О коллективной нормальности пространства функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Попов В.В., 2012

УДК 513.83 ББК 22.152

О КОЛЛЕКТИВНОЙ НОРМАЛЬНОСТИ ПРОСТРАНСТВА

ФУНКЦИЙ

В.В. Попов

Доказано, что если X — тихоновское пространство, У — метризуемый компакт и пространство СР(Х, У) непрерывных отображений пространства X в пространство У в топологии поточечной сходимости нормально, то оно коллективно нормально.

Ключевые слова: пространство непрерывных функций, топология поточечной сходимости, нормальное пространство, коллективно нормальное пространство, метризуемый компакт.

В работе [1, с. 48, 1.5.16] А.В. Архангельский поставил следующий вопрос: Пусть X — тихоновское пространство и пространство СР(Х, {0,1}) нормально. Обязано ли оно быть коллективно нормальным? Положительный ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Основная теорема. Пусть пространство СР(Х, У) нормально, X — тихоновское пространство, а У — метризуемый компакт. Тогда СР(Х, У) коллективно нормально.

Предварительные результаты

Все рассматриваемые ниже пространства предполагаются тихоновскими. Спрэд з(Х) пространства X — это наименьший бесконечный кардинал т, для которого |У| < т для любого дискретного в себе подпространства У С X. Экстент е(Х) пространства X — это наименьший бесконечный кардинал т, для которого |У| < т для любого замкнутого дискретного подпространства У С X. Через и>(X), п^(х) и х(Х) обозначаются, соответственно, вес, сетевой вес и характер пространства X; вХ — стоун-чеховское расширение (тихоновского) пространства X. Подмножества А, В С X называются вполне отделимыми, если П = 0-

Пусть Ух = П{У* = У : х € X} — декартово произведение |Х| экземпляров тихоновского пространства У. Стандартную базу топологии пространства Ух образуют множества вида

W = Д{Ж* : х € X},

где каждое Wx является открытым подмножеством пространства Y и множество supp W = {ж е X : Wx = Y} конечно.

Если A С X, то ра — это естественное проектирование YX ^ YA. Скажем, что подмножество E пространства YX удовлетворяет условию (*), если для всех вполне отделимых множеств A,B С X и любых элементов f, g е E найдется h е E, для которого h|A = f |A и h|B = g|B. Ясно, что условие (*) выполнено, если E = Cp(X, Y). Остальные определения и обозначения можно найти в [1; 3].

Из следствия 1 работы [2] вытекает следующая лемма.

Лемма 1. Пусть f : Y ^ R — непрерывная функция, где Y — плотное подмножество произведения X = П{Xa : а е A} метризуемых пространств со счетной базой. Тогда f зависит от счетного числа координат, то есть найдется счетное M С X и непрерывная функция g : pM (Y) ^ R, для которых f = g о pM, где pM : X ^ n{X« : а е M} — проектирование.

В дальнейшем потребуется следующая версия теоремы Корсона [1, с. 48, теорема I.5.17]:

Предложение 1. Пусть Y — плотное подмножество произведения Xi = П{X* : t е е Ai} тихоновских пространств, где i = 1, 2. Пусть для любых счетных подмножеств Mi С Ai и М2 С A2 пространство П{X* : t е Mi, i = 1, 2} наследственно сепарабельно. Пусть Zi = ^(Yi), где ^ : Yi ^ Zi непрерывные отображения при i = 1, 2, а пространство Z1 х Z2 нормально. Тогда e(Zi) < или e(Z2) < ш0.

Доказательство. Предположим противное. Тогда при i = 1,2 найдутся множества Di = {у“ : а < ш1} С Yi, для которых множества <^i(Di) замкнуты и дискретны в Zi и

ограничения ^i|Di отображений ^ взаимно однозначны. Пусть ^ = ^1 х ^2 : Y = Y1 х х Y2 ^ Z1 х Z2 — произведение отображений, D = D1 х D2 и А = {(yf,^) : а < ^1}. Тогда S = ^(D \ А) и T = <^(А) — дизъюнктные замкнутые подмножества нормального пространства Z = Z1 х Z2. Поэтому найдется непрерывная функция h : Z ^ R, для которой h(S) = {1} и h(T) = {0}. Положим f = h о ^ : Y ^ R. По лемме 1 найдется счетное множество M С A1 U A2 и непрерывное отображение g : pM (Y) ^ R, для которых f = g о (pM |Y).

Так как |M| < ш0, пространство pM(Y) наследственно сепарабельно и | А | > ш0, получаем, что pM(у) е [pM(А \ {у})] для некоторой точки y = (yf,ya) е А. Так как f (у) е f (А) С R \ [f(D \ А)] и g непрерывно, найдутся открытые множества Ui С pm(Xi),i = 1, 2, для которых pm(у) е U х U2 и множество g((U х U2) П pm(Y)) дизъюнктно с f (D \ А).

Выберем точку у' = (yf , ув) е А \ {у}, для которой pM(у') е U1 х U2. Тогда а = ß и мы получаем у'' е D \ А, где у'' = (уа,у2). Ясно, что pM(у'') е U1 х U2 и поэтому f (у'') = g(PM(у'')) С g((U х U2) Прм(Y)) С R \ f (D \ А)). Противоречие с у'' е D \ А завершает доказательство предложения 1.

Предложение 2. Пусть f = f1 х f2 : X1 х X2 ^ Y1 х Y2 — непрерывное отображение в пространство Y1 х Y2 со счетным спрэдом. Пусть D1 = {ж^ : а < ш1} и D2 = {ж^ : : а < ш1} — несчетные замкнутые дискретные подмножества пространств X1 и X2 соответственно. Тогда f (А) П [f (D \ А)] = 0, где D = D1 х D2 и А = {(ж^, ж^) : а <

< wj.

Доказательство. Не теряя общности, считаем, что ж“ = жв при любых различных а, в и г = 1, 2. Так как в (У х У2) < ш0, найдется точка х 6 Д, для которой f (ж) € [$(Д \ \ {ж})]. Пусть и = и1 х и2 — базисная окрестность точки у = f (х). Тогда f(ж') 6 и для некоторой точки ж' 6 Д \ {ж}. Пусть ж = (ж?, ха) и ж' = (жв, жв). Ясно, что а = в и f (жа, жв) 6 и П f (Б \ Д). Поэтому у 6 f (Д) П ^(В \ Д)]. Предложение 2 доказано.

Следствие 1. Пусть У1,У2 — плотные подмножества пространств ДЛ и ДБ соответственно и е(У) > при г = 1, 2. Тогда пространство У1 х У2 не нормально.

Лемма 2. Пусть з(Х1) < ш0 и пи>(Х2) < ш0. Тогда з(Х1 х Х2) < ш0.

Доказательство. Предположим противное. Пусть А = {(ж*,у4) : Ь 6 Т} — несчетное дискретное (в себе) подмножество пространства Х1 х Х2 и {и* х V* : Ь 6 Т} — такое семейство открытых подмножеств Х1 х Х2, что 6 Т и (ж8,у8) 6 и* х V* влечет ^ = Ь. Пусть Р — счетная сеть пространства Х2. Для любого Ь 6 Т найдется элемент 5 сети Р, для которого у* 6 5 С V*. Поэтому существует несчетное семейство Т' С Т и элемент 50 6 Р, для которых у* 6 50 С V* для всех Ь 6 Т'. Тогда из условий 6 Т' и ж5 6 и* следует ^ = Ь. Значит, {ж5 : 5 6 Т'} — дискретное в себе несчетное подмножество пространства Х1. Противоречие с з(Х1) < ш0 завершает доказательство леммы.

Доказательство основного результата

Доказательство теоремы 1 разбивается на отдельные шаги. После формулировки очередного свойства приводится его доказательство. Для краткости полагаем Е = = Ср(Х,У). Через С обозначается семейство таких подмножеств Ь С X, что в(р^(Е)) <

< ш0. Наша цель — показать, что X 6 С.

(1) Пусть В С X — конечное множество. Тогда рБ (Е) гомеоморфно пространству УБ.

Это доказывается индукцией по числу элементов множества В с использованием свойства (*).

(2) Пусть Е1 и Е2 — дизъюнктные замкнутые подпространства пространства Е. Тогда найдется такое счетное множество М С X, что рм(Е1) П [рм(Е2)] = 0 (где рм : Ух ^ Ум — проектирование).

Доказательство. Так как пространство Е нормально, найдется непрерывная функция f : Е ^ Д, для которой f(Е1) = {0} и f (Е2) = {1}. Из (1) следует, что Е — плотное подмножество произведения Л{1^ : ж 6 X} пространств счетного веса. Пусть счетное множество М С X выбрано в соответствии с леммой 1 для подмножества Е произведения П{Ух : ж 6 X} и функции f. Тогда М — искомое множество.

В.В. Успенский доказал, что если Z — замкнутое подпространство тихоновского пространства X и пространство Ср^) нормально, то и пространство рг(Ср^)) нормально [1, с. 52, теорема 1.6.2]. Используя его метод, получаем свойство (3).

(3) Пусть Е — замкнутое подпространство пространства X. Тогда пространство рЕ (Е) нормально.

Из (3), свойства (*) и предложений 1, 2 вытекает следующее свойство.

(4) Пусть А, В с X — замкнутые вполне отделимые подмножества X. Тогда е('РА (Е)) < Ш или е(рв (Е)) < Шо.

(5) Пусть Ь — замкнутое подмножество пространства X и р = рь : Ух — — Уь — проектирование. Тогда эквивалентны следующие условия:

(a) е(р(Е)) < шо;

(b) з(р(Т)) < ш0 для всех замкнутых дискретных множеств Т с Е;

(c) е(р(Т)) < ш0 для всех замкнутых дискретных множеств ТсЕ.

Доказательство. (а) ^ (Ь). Пусть Т — такое замкнутое дискретное подпространство Е, что р(Т) дискретно в себе и ограничение р\Т взаимно однозначно. Допустим, что \Т\ > ш0. Пусть Н = Е Пр-1(Р), где Р — множество всех предельных точек множества р(Т) в Уь. Тогда Т и Н — дизъюнктные замкнутые подмножества Е. Из свойства (2) вытекает существование счетного М с X, для которого рм(Т) П [рм(Н)] = 0.

Так как Ух регулярно, для любой функции f € Т найдется элемент Uf стандартной базы топологии на Ух, для которого f € Uf, [Uf] ПН = 0 и множество kf = supp(Uf) лежит в М. Так как |М| < ш0 и каждое kf конечно, найдется конечное к с М и несчетное Т1 с Т, для которых kf = к для всех f € Т1.

Пусть д :Ух ——У к — проектирование. Так как произведение Л{Ух : х € к} имеет счетную сеть и {д(^) : f € Т} — открытое покрытие финально компактного пространства д(Т1), найдется такое д € Т1, для которого множество Т2 = Т1 П д-1^^) несчетно.

Так как е(р(Е)) < ш0 и |р(Т2)| > ш0, найдется к0 € Е, для которого р(к0) € [р(Т2) \ \ {р(к0)}]. Используя условие (*), выберем функцию к € Е, для которой к\Ь = к0\Ь и к(х) = д(х) при любом х € к \ Ь. Ясно, что р(к) = р(к0) € Р и д(к) € [д(Т2)] с [д^)]. Из кд = к получаем к € [^]. Следовательно, Н П [^] Э {к} = 0. Противоречие с выбором Ug завершает доказательство.

(b) ^(с) — очевидно.

(c) ^(а). Предположим, что р(Е) содержит некоторое несчетное замкнутое дискретное в себе множество Т0. Выберем ТсЕ такое, что р(Т) = Т0 и р\Т взаимно однозначно. Тогда Т — несчетное замкнутое дискретное подмножество Е, причем е(р(Т)) > \Т0\ > ш0. Противоречие с (а) завершает доказательство свойства (5).

(6) Пусть Ь € С и Т — несчетное замкнутое дискретное подмножество Е. Тогда рь^) € [рь(Т \ ^})] для некоторого f € Т.

Доказательство. Из Ь € С получаем е(р(Е)) < ш0 и свойство (5) дает з(р(Т)) < ш0, поэтому р(Т) или счетно, или не является дискретным в себе подпространством. Отсюда легко вытекает заключение свойства (6).

(7) Пусть Ь — замкнутое подмножество X, Ь € С, к с X \ [Ь] и к конечно. Тогда Ь и к € С.

Доказательство. Пусть р : Ух — Уь и д : Ух — Уьик — проектирование. Пусть Т — замкнутое дискретное подмножество Е. Ввиду свойства (*) д(Т) гомеоморфно подпространству произведения Z = р(Т) хП{Ух : х € к}. Из Ь € С получаем з(р(Т)) <

< ш0 (см. (5) ). Теперь из леммы 2 и неравенства пи>(П{Ус : х € к} < ш0 вытекает ) < ш0. Следовательно, е(д(Т)) < з(д(Т)) < ) < ш0 и поэтому Ь и к € С.

Свойство (7) доказано.

(8) Пусть Ь = и{Ьп : п Е N}, где Ьп ЕС и Ьп С Ьп+1 для всех п Е N. Тогда

Ь Е С.

Доказательство. Предположим противное. Тогда найдется несчетное замкнутое дискретное Т С Е, такое, что для всех Д Е Т найдется элемент Uf канонической базы Ух, для которого Uf ПТ = {Д} и = su.pp(Uf) С Ь. Так как |Т| > ш0 и каждое конечно, найдется т Е N и несчетное Т1 С Т, для которого kf С Ьт для всех Д Е Т1. Так как Ьт Е С и |Т11 > ш0, можно выбрать f Е Т1 с условием дт(f) Е [дт(Т1 \ {f})] (см.

(6)), где ят : Ух ^YLm — проектирование. Так как kf С Ьт, получаем |Uf П Т1| > ш0. Но |Uf ПТ1| < |Uf ПТ| = 1. Полученное противоречие завершает доказательство свойства (8).

Из (7) и (8) получаем:

(9) Пусть V — счетное семейство подмножеств X и иР0 Е С для любого конечного Р0 С V. Пусть В С X и |В | < ш0. Тогда В и (иР) Е С.

(10) Допустим, что е(Е) > ш0. Пусть А С [ЗХ — некоторое конечное множество. Тогда найдется замкнутое (в X) множество Е С X, для которого ЕЕ С и

А П [Е\вх = 0.

Доказательство. Допустим противное. Тогда верно следующее свойство:

^) X \ О А Е С для любой окрестности О А множества А в lвX.

Выберем замкнутое дискретное Т С Е мощности ш1. Для f Е Т пусть f : |ЗX ^ ^ У — продолжение непрерывного отображения f : X ^ У на чех-стоуновскую ком-пактификацию |ЗX пространства X.

Пусть £ Е А. Положим 01 = П{f-1f(t) : f Е Т}. Тогда множество 01 замкнуто в |ЗX (как пересечение замкнутых множеств) и из соотношений х(У) < ш0 < ш1 и 1Т1 <

< ш1 следует x(0t,вX) < ш1. Поэтому 0 = и{04 : £ Е А} — замкнутое подмножество вX характера < ш1. Поэтому найдется семейство К = {Яа : а < ш^ замкнутых

подмножеств X, для которого X \ 0 = иК и А П [Яа\вх = 0 для всех а. Из ^)

получаем: иК0 Е С для всех конечных подсемейств К0 С К, и (9) дает нам Xa Е С для всех а < ш1, где Xa = В и и{Яр : в < а}.

Положим А' = {£ Е А : 0t П X = 0} и выберем конечное множество В С X, для

которого В П 0г = 0 для всех £ Е А'. Тогда выполнено свойство

(Ь) f(0t) = {Д(£)} = f (В П 0^ для всех £ Е А' и любой функции f Е Т.

Разобъем Т на ш1 частей: Т = и{Та : а < ш-]}, где 1Та1 = ш1 и Та П Тр = 0 для всех а < в < ш1. По свойству (6) для всех а можно выбрать fa Е Та, для которого Яа^а) Е [Яа(Та \ {fa})], где Яа : Ух ^ Ух — проектирование.

Тогда Т1 = Д : а < ш^ и Т2 = Т\Т1 — дизъюнктные замкнутые подмножества Е. По свойству (2) найдется счетное М С X, для которого рм(Т1) П [рм(Т2)] = 0.

Так как а < в < ш1 влечет Xа С XI! и X \ 0 = и^а : а < ш1}, найдется ординал 7 < ш1 такой, что М \ 0 С X7. Тогда из (^) Е [я~((Т7) \{Д~(}], свойства (Ь) и В С X7 следует, что рмД) Е [рм(Т7)] и из д. Е Т1 и Т7 \ {Д7} С Т2 получаем рм(Т1) П П [рм(Т2)] = 0. Противоречие с выбором М завершает доказательство свойства (10).

(11) Пусть е(Е) > ш0. Тогда существуют замкнутые в X вполне отделимые множества Е,Ь С X, для которых Е,Ь Е С.

Доказательство. Выберем несчетное замкнутое дискретное множество F с E. Так как F дискретно в себе, для всякого f £ F найдется конечное множество kf с Х, для которого qf (f) £ [qf (F \ {f})], где qf : YX ^ Ykf — проектирование.

Так как |F| > ш0, найдется n £ N и несчетное F0 с F, для которых |kf | < n для всех f £Fo.

Пусть exp вХ — пространство замкнутых подмножеств пространства /ЗХ в топологии Виеториса. Так как exp ЗХ — компакт [3], несчетное множество {kf : f £ F0} имеет некоторую точку полного накопления A с ЗХ. Ясно, что |A| < n. Поэтому A конечно. По свойству (10) найдется такое замкнутое множество E с X, для которого E £ L и [E]^х П A = 0. Выберем открытое множество U с ЗХ, для которого A с U и [U]рх П [E}рх = 0. Пусть L = [U]рх П Х и p : YX ^ YL — проектирование.

Тогда множество Fi = {f £ F0 : kf с L} несчетно и p(Fi) дискретно в себе. Следовательно, s(p(F)) > |F1| > ш0 и (5) дает L £ L. Ясно, что множества E и L — искомые. Свойство (11) доказано.

Доказательство основной теоремы. Предположим, что e(E) > ш0. Пусть множества E и L выбраны в соответствии со свойством (11). Применяя предложение 1 к произведениям n{Y* : x £ E}, П{Yx : x £ L} и их плотным подпространствам pe(E) и pL(E), заключаем, что произведение pE(E) х pL(E) не нормально. Но это произведение гомеоморфно пространству pEuL(E) (см. условие (*)), которое нормально по свойству

(3). Противоречие показывает, что e(E) < ш0. Для завершения доказательства осталось отметить, что любое нормальное пространство со счетным экстентом коллективно нормально. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Архангельский, А. В. Топологические пространства функций / А. В. Архангельский. — М. : Изд-во МГУ, 1989. — 222 с.

2. Архангельский, А. В. Непрерывные отображения, факторизационные теоремы и пространства функций / А. В. Архангельский // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1984. — T. 47. —

C. 3-22.

3. Энгелькинг, Р. Общая топология / Р. Энгелькинг. — М. : Мир, 1986. — 752 с.

ON COLLECTIWISE NORMALITY OF FUNCTION SPACES

V.V. Popov

It proves, that if X is a Tychonoff space, Y is a compact with a countable base and the space Cp(X,Y) is normal, then it is collectionwise normal.

Key words: the space of continuous functions, pointwise convergence, normal space, collectionwise normal space, metrizable compact space.