Научно-исследовательский семинар по общей топологии имени П. С. Александрова (основан П. С. Александровым в 1924 г. ) Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР ПО ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ

ИМЕНИ П. С. АЛЕКСАНДРОВА

(основан П. С. Александровым в 1924 г.)

Руководители: П. С. Александров (1924-1982), Ю.М. Смирнов (1982-1983), В. В. Федорчук (с 1983 г.) Заседания осеннего семестра 2004/05 учебного года

16 сентября

B. В. Федорчук. Некоторые впечатления о конференции в Кейптауне. 23 сентября

О. В. Сипачева. О .значениях метрик. Рассмотрены подмножества вещественных чисел, которые могут являться множествами значений метрик. Приведены примеры, показывающие, что множества значений полных и неархимедовых метрик могут быть любыми (т.е. они не обязаны удовлетворять никаким естественным условиям типа замкнутости, ограниченности, нульмерности и пр.), однако в ряде случаев они эквивалентны метрикам с "хорошими" множествами значений. Рассмотрены множества значений метрик на группах, в частности граев-ских продолжений метрик, которые должны удовлетворять естественным алгебраическим условиям. Получены следствия, касающиеся вложения метрических пространств в метрические группы.

30 сентября

К. Л. Козлов. n-Мощность и свойства типа нормальности и паракомпактности топологических произведений. Для m € N через Sm обозначим семейство, состоящее из всех непустых подмножеств множества {1,..., m}. Само множество {1,..., m} будем обозначать через M.

Пусть Xj = X,j = 1,...,m, — m экземпляров произвольного множества X. Если a € Sm, то Xa = n{Xs : s € a}, и pra : XM ^ Xa — естественная проекция.

Через Xa обозначим топологию (не обязательно связанную со структурой произведения) на множестве Xa, a € Sm. Если проекции pra : (XM, Хм) ^ (Xa, Xa) непрерывны, a € Sm, то в этом случае семейство {(Xa, Xa), pra, Y*m} топологических пространств (Xa, Xa) и проекций pra, a € Sm, будем называть согласованным.

Теорема. Пусть {(Xa,Xa), pra, ~Em} — согласованное семейство, удовлетворяющее условию

(S) для любых a € Sm \ M и x € Xa несчетна \M \ a| — мощность множества Ra (x);

пространство (Xм,Хм) наследственно сепарабельно, наследственно линделефово и удовлетворяет 1-й аксиоме счетности;

топологии Tj ,j = 1,...,m, на множестве X имеют в каждой точке счетную базу окрестностей из открыто .замкнутых множеств и удовлетворяют условиям:

(T) TM = T1 х ... х тт >- Хм,

(B2) если A, B — замкнутые подмножества (Xм,тм) и \A П B\m ^ ш, то \с1дм A П с1дмB\m ^ ш.

Тогда для любого a € Sm пространство (Xa,Ta) коллективно-нормально и счетно-паракомпактно (а также ш\-компактно).

Если вместо B2 выполнено условие

если A — замкнутое подмножество (Xм ,Tм), то |с1дм A \ A\m ^ ш,

то для любого a € Sm пространство (Xa,Ta) совершенно нормально. 7 октября

C. А. Богатый, В. Валов (Канада). Обобщение трансверсальной теоремы Твеберг и теоремы вложения. Доказывается обращение трансверсальной теоремы Тверберг, из которого выводится следующее обобщение теоремы вложения Нёбелинга-Понтрягина, теоремы Гуревича о малократных отображениях в евклидово пространство, теоремы Болтянского о ^-регулярных отображениях.

Пусть X является метризуемым компактом с dim X ^ n и m ^ n +1. Тогда пространство C(X, Rm) содержит плотное Gg-подмножество, состоящее из таких отображений g, что для всяких целых чисел d,t,T с 0 ^ t ^ d ^ T ^ m и d ^ m — n — 1 и всякой d-мерной плоскости П С Rm, параллельной некоторым координатным плоскостям

-1ШС1Л „„„_ ......... „ _„ _____.7,1 + , " + (П + Т - т)((1 - ¿)

П4 С П в обратный прообраз д (П ) состоит не более чем из </ точек, где </ = (1+1 — ¿ +

т — п — а

п

при п ^ (то — п — Т)(с1 — и </ = 1 И--— в противном случае.

т — п — 1

14 октября

Заседание семинара посвящено памяти Михаила Васильевича Смурова.

1. С. А. Богатый. Вокруг неравенства Эйлера. Обсуждаются различные уточнения известного неравенства Эйлера 2г ^ К о радиусах г и К вписанной и описанной окружностей треугольника. Показывается, что для данного к во всяком треугольнике справедливо неравенство 2а/3г ^ Мк(а, Ь, с), где Мк(а, Ь, с) — среднее степенное порядка к от длин сторон треугольника, тогда и только тогда, когда —2 ^ к. В 1960 г. Лоенбергер (Leuenberger) доказал справедливость этого неравенства при к = — 1. В 1963 г. Беркеш (Вегкеэ) доказал, что для данного к во всяком треугольнике справедливо неравенство 6, с) ^ \/ЗД тогда и только тогда, когда к ^ ь^Гь^з •

2. В. В. Федорчук. Размерность пространств и отображений. 21 октября

1. С. А. Логунов. О наследственной нормальности стоун-чеховских бикомпактификаций.

Теорема 1. Если X метризуемо и без изолированных точек, то ¡ЗХ \ {х} не нормально для любого х € X*.

Теорема 2. Пусть пространство X некомпактно, метризуемо и без изолированных точек. Тогда в наросте расширения Чеха-Стоуна существует далекая от разреженных множеств (тотально неудаленная) точка.

Вторая теорема отвечает на вопрос Э. ван Дауэна, поставленный для пространств рациональных чисел о^.

2. К. Л. Козлов. О размерности некоторых топологических произведений.

Теорема. Пусть {(Xа,Ха), рг0, ~Ет} — согласованное семейство, удовлетворяющее условию (Б). Пространство (Xм,Хм) наследственно сепарабельно, наследственно линделефово, удовлетворяет 1-й аксиоме счетности, пространства (Xа, Ха), а € £т \ М, нульмерны, Ind(Xм, Хм) = dim(Xм, Хм) = п,п € Nи{ж} и {0} и в (Xм, Хм) существует п пар дизъюнктных замкнутых множеств (Аг,Бг), таких, что для любых замкнутых перегородок между Аг ,Бг, г = 1,...,п, | П{-Ъ : г = 1,---,п}\т > и. Если на множестве X введены топологии Ту= 1,...,т, имеющее в каждой точке счетную базу окрестностей из открыто замкнутых множеств и удовлетворяющее условиям (Т) и (Б2), то dim(Xм,тм) = Ind(Xм,тм) = п при п € N и {0}, а при п = ж пространство (Xм,тм) является А-сильнобесконечномерным, не слабосчетномерным. Кроме того, пространства (Xа, та), а € \ М, нульмерны. 28 октября

1. В. В. Федорчук. Слабая бесконечномерность и обратные спектры. С применением ¿-разреженных отображений доказывается

Теорема. Если Б = {Xa,fa} — непрерывный обратный спектр, все соседние проекции % которого вполне замкнуты и слабобесконечномерны, то все его предельные проекции fa : Ит Б ^ Xa слабобесконечномерны.

2. В. В. Редкозубов. О предельных множествах отображений графов. Исследованы комбинаторные (относительно введенного инварианта — ^-функции) и топологические свойства и-предельных множеств одномерных динамических систем.

4 ноября

1. Е. А. Резниченко, П. Х. Дельгадильо (Мексика). Обобщения вещественно-полных пространств.

2. И. Звина (Рига). О некоторых свойствах г-топологических пространств. 11 ноября

1. К. Л. Козлов. Пример такого нульмерного пространства X, что пространство Xт совершенно нормально, но не нульмерно. Следующая теорема обобщает результаты М. Ваге, К. Тсуды, Р. Энгелькинга и Э. Поль.

Теорема. Для любых п € Nu{ж}, т € N существует такое сепарабельное, локально бикомпактное, локально счетное пространство X = X(т, п), что пространство Xт совершенно нормально и dim Xт = IndXт = п при п € N а при п = ж пространство Xт А-сильнобесконечномерно, не слабосчетномерно. Кроме того, пространства Xв нульмерны при в < т.

2. А. А. Клячко, А. В. Трофимов. Число нерешений уравнения в группе и нетопологизируемые группы без кручения. Всякая группа является топологической с дискретной топологией. Назовем группу О нетопологизируе-мой, если на О можно ввести лишь дискретную отделимую топологию, в которой непрерывны групповые операции. Очевидно, что конечные групппы нетопологизируемы.

Теорема. Существуют такая конечно-порожденная группа без кручения Н и такое уравнение ,ш(х) = 1 над ней, что решениями этого уравнения являются все элементы группы Н, кроме одного:

Н € Ню(Н) = 1.

Поскольку множество решений любого уравнения замкнуто в любой отделимой групповой топологии, мы получаем ответ на вопрос П. И. Кирку о существовании нетопологизируемой группы без кручения.

Следствие. Существует нетривиальная счетная нетопологизируемая группа без кручения. 18 ноября

1. А. П. Пыщев. О совершенных прообразах тихоновских и вещественно-полных пространств. Обсуждаются свойства пространств, для которых существует совершенное отображение на тихоновское пространство. Пусть kX — катетовское расширение пространства X.

Предложение 1. Регулярное пространство X является совершенным прообразом тихоновского пространства тогда и только тогда, когда для любых точек x € X и y € kX \ X существует непрерывная функция f : kX ^ I, такая, что f (x) =0 и f (y) = 1.

Предложение 2. Регулярное пространство X является совершенным прообразом вещественно-полного пространства тогда и только тогда, когда для любой точки y € kX \ X существует непрерывная функция f : kX ^ I, такая, что f (y) =0 и f (x) > 0 для любого x € X.

2. О. Д. Фролкина. Об обращении теоремы Лефшеца для задач совпадения. Для задачи совпадения конечного набора непрерывных отображений гладких замкнутых ориентируемых многообразий дано обращение теоремы типа Лефшеца. Частный случай приведенного утверждения содержится в одной из работ Х. Ширмер в случае, если образ — односвязное многообразие. Кроме того, из результатов Брукса-Брауна выведены следствия о соотношениях между числами Нильсена, Лефшеца и определенным в докладе числом Янга.

25 ноября

1. В. В. Федорчук. О d-разреженных отображениях. Замкнутое отображение f : X ^ Y называется d-разреженным, если для любых непересекающихся замкнутых множеств -Fi,F2 С X множество f (Fi) П f (F2) разрежено. Класс совершенных d-разреженных отображений замкнут относительно взятия композиции. Основным результатом является

Теорема. Предел обратной последовательности, состоящей из слабобесконечномерных бикомпактов и d-разреженных отображений, слабобесконечномерен.

2. К. Л. Козлов. Пример такого нульмерного пространства X, что пространство Xm нормально и счетно-паракомпактно, но не нульмерно. Следующая теорема обобщает результаты Т. Пшимушиньского, К. Тсуды, Р. Эн-гелькинга и Э. Поль.

Теорема. Для любых k,m € N, к < m, n € Nи{ж} существует пространство X = X(k, m, n) с 1-й аксиомой счетности, такое, что (a) пространство Xs линделефово тогда и только тогда, когда s < k; (b) пространство Xs нормально при s ^ m; (c) dim Xs = 0 при s < m; (d) dim Xm = IndXm = n при n € N.

Дополнительно заметим, что при s ^ m пространство Xs является коллективно-нормальным и счетно-пара-компактным, а при n = ж пространство Xm является A-сильнобесконечномерным и не слабосчетномерным. Если k = 1, то пространство X является локально бикомпактным и локально счетным. Если n = 1, то пространство X является сепарабельным.

2 декабря

А. П. Пыщев. О вполне замкнутых отображениях. Факторное отображение f называется элементарным, если все слои f, за исключением, возможно, одного, являются одноточечными.

Теорема. Пусть X, Y — регулярные пространства и f : X ^ Y — факторное отображение. Отображение f вполне замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает с веерным произведением элементарных отображений между регулярными пространствами.

Этот результат является обобщением теоремы В. В. Федорчука.

9 декабря

A. В. Зуев. О краевых задачах для ОДУ с разрывной правой частью. Новый вариант метода сдвига вдоль траекторий, не требующий единственности решения задачи Коши и отсутствия решений, выходящих за границу рассматриваемой области за конечное время, применяется для доказательства теоремы о существовании решения задачи Дирихле и теорем о существовании периодического решения для векторного обыкновенного дифференциального уравнения. Полученный результат применим к уравнениям с разрывной правой частью и дифференциальным включениям. Рассматривается ряд примеров использования доказанных теорем в ситуациях, не покрываемых классической теорией и теорией уравнений с правой частью, удовлетворяющей условиям Каратеодори.

2. Е. А. Резниченко. О бисеквенциальных компактах. Бисеквенциальные бикомпакты охарактеризованы как наследственно почти вещественно-полные бикомпакты.

16 декабря

B. В. Федорчук, А. В. Иванов (Петрозаводск), Я. ван Милл (Нидерланды). О промежуточных размерностях произведений бикомпактов. В CH существует такая последовательность n-мерных бикомпактов Xk, k € N, что для конечной подпоследовательности ki,...,ks и каждого замкнутого множества F С Xk1 х ... х Xks имеем dim F = mn, где m = 0,1,...,s. Существует также такой бесконечномерный бикомпакт X, что всякое бесконечное замкнутое множество F С X х X сильнобесконечномерно.

Заседания весеннего семестра 2004/05 учебного года

17 февраля

B. В. Федорчук. О размерной полноценности компактов. Напомним, что непустой (би)компакт X называется размерно неполноценным, если

dim(X х Y) = dim X + dimY (1)

для любого непустого (би)компакта Y.

Первыми примерами размерно неполноценных компактов были знаменитые понтрягинские поверхности Пр (1930 г.). В 1988 г. А.Н. Дранишников построил такие 4-мерные AR-компакты Mp, где p — простое число, что dim(Mp х Mq) = 7 при p = q. Из недавних результатов Брайянта (J. L. Bryant) вытекает, что равенство (1) выполняется для однородных ANR-компактов X и Y.

Вопрос 1. Будет ли размерно полноценным всякий однородный ANR-компакт?

Вопрос 2. Выполняется ли равенство (1) для однородных компактов X и Y ?

Замечание 1. Пример понтрягинской поверхности П2 показывает, что однородный компакт не обязан быть размерно полноценным.

Замечание 2. В неметризуемом случае ответ на вопрос 2 отрицателен.

24 февраля

А. В. Архангельский. О мощности однородных пространств счетной тесноты. 3 марта

Б. А. Пасынков. О лебеговой размерности топологических произведений. 10 марта

А. В. Трофимов. Теорема вложения в нетопологизируемую группу. Доказывается, что произвольная группа может быть вложена в нетопологизируемую группу той же мощности. Хотелось бы также отметить, что в построенном ниже примере нетопологизируемой группы почти все элементы (т.е. все, кроме конечного числа) являются решениями одного уравнения.

Рассмотрим произвольную группу H. Фиксируем достаточно большое нечетное п. Будем строить группу G = О(ж) индуктивно, используя конструкцию, предложенную А. Ю. Ольшанским. Пусть H * < a >n * < b >n= G(0). Для каждого i = 4, 5,... выберем некоторые конечные множества слов pi С H * < a >n * < b >n= G(0) и определим искомую группу G = G((x) следующим образом:

G = G(<x>) = < A\R = 1; R G pi > .

Для определения групп G(i) при i = 5, 6, 7,... выберем pi как максимальное подмножество xi свободных простых в ранге i — 1 слов длины i, такое, что pi = {An|A G X,}. Для того чтобы определить G(4), введем слово W = [a, b] и определим p4 = X4 \ {W}, где X4 — максимальное множество простых, свободных в ранге 3 слов, содержащее простое, свободное в ранге 3 слово W.

Теорема. Построенная группа нетопологизируема.

Доказательство опирается на то, что уравнению ([a,X])n = 1 над группой G(tt) не удовлетворяют только элементы двойного смежного класса < a >n b < a >n.

Следствие. Произвольная группа H изоморфно вкладывается в нетопологизируемую группу той же мощности.

17 марта

C. А. Довбыш. Оптимальные ляпуновские метрики экспансивных гомеоморфизмов. Получены уточнения результатов У. Л. Редди (W.L. Reddy), К. Сакая (K. Sakai) и Д. Фрида (D. Fried) о существовании для экспансивного гомеоморфизма метризуемого компакта ляпуновской метрики, совместимой с топологией, и о том, что в случае наличия локальной структуры произведения (т.е. когда гомеоморфизм является A# -гомеоморфизмом, по терминологии В. М. Алексеева и М.В. Якобсона, или обладает каноническими гиперболическими координатами, по терминологии Р. Боуэна (R. Bowen), или вместе с метрическим компактом образует пространство Смейла, по терминологии Д. Рюэля (D. Ruelle)) возможно добиться также выполнения введенной Д. Рюэлем технической аксиомы о липшицевом характере гомеоморфизма и его обратного, а также локальной структуры произведения. Показано, что для экспансивного гомеоморфизма найдется ляпуновская метрика, относительно которой гомеоморфизм в малых масштабах на локальных устойчивых (соответственно неустойчивых) "многообразиях" приблизительно представляется как сжатие (соответственно растяжение) с постоянным коэффициентом As (А^1 ). При этом в качестве коэффициентов As и Au можно взять соответствующие показатели сжатия и растяжения на локальных "многообразиях", фигурирующие в определении гиперболической структуры, для заданной гиперболической (необязательно ляпуновской) метрики. Для A# -гомеоморфизмов установлено, что в малых масштабах искомая метрика может быть приблизительно представлена как прямая сумма метрик, соответствующих каноническим

координатам, определяемым локальной структурой произведения, а локальные "многообразия" являются в некотором смысле "плоскими". Для А#-гомеоморфизмов также доказано, что нижние грани показателей сжатия Ля и растяжения Ли одновременно достигаются на некоторой метрике, удовлетворяющей всем описанным условиям.

Большая часть результатов мотивирована известными фактами о ляпуновских метриках гиперболических множеств диффеоморфизмов и является их топологическими аналогами и обобщениями.

24 .марта

П. В. Семенов. Селекции отображений со значениями в не локально выпуклом пространстве. Предложен вариант равномерной локальной выпуклости семейства выпуклых подмножеств метризуемого, векторного, вообще говоря, не локально выпуклого пространства. Доказано, что всякое полунепрерывное снизу отображение пара-компакта с полными значениями в таком семействе имеет непрерывную однозначную селекцию. Доказательство основано на использовании универсальной милютинской сюръекции нульмерного паракомпакта и интегралов с параметрами. Частными случаями доказанной теоремы являются некоторые селекционные теоремы Майкла (1959, 1966), Торунчика (1972), Добровольского и ван Милла (2004).

31 марта

О. Д. Фролкина. Относительная задача прообраза. Сформулирована проблема минимизации для относительной задачи прообраза. Доказаны минимизационные теоремы. В качестве следствий получены как известные результаты для относительных задач совпадения двух отображений, корня, неподвижной точки, так и теоремы, касающиеся относительных задач совпадения конечного числа отображений и общего корня.

7 апреля

П. В. Семенов. Селекции отображений с незамкнутыми значениями. Изложены недавно полученные результаты о наличии непрерывных селекций полунепрерывных снизу выпуклозначных отображений со значениями: в не локально выпуклых полных метрических векторных пространствах (Торунчик, Добровольский, ван Милл, Семенов: положительные результаты имеются для конечномерных значений с локально равномерными ограничениями на размерность); в полнометризуемых подмножествах банаховых пространств (Майкл, Гутев, Валов, Успенский, Щепин, Реповш, Семенов): приведена реализация контрпримера В. В. Филиппова к проблеме Майкла в гильбертовом кубе.

14 апреля

О. В. Сипачева. О безусловно замкнутых множествах и одной гипотезе А. А. Маркова. В 1945 г. А. А. Марков поставил проблему: верно ли, что всякое безусловно замкнутое подмножество группы О (т.е. множество, замкнутое в любой отделимой групповой топологии на О) является алгебраическим (т.е. представляет собой пересечение конечных объединений множеств решений некоторых уравнений в группе О)? Известно, что для счетных и абелевых групп это так. В континуум-гипотезе построен пример, который дает отрицательный ответ на вопрос Маркова.

21 апреля

О. В. Сипачева. Вложения топологических пространств в нульмерные метризуемые группы. Доказано, что метрическое пространство X вкладывается в нульмерную (в смысле метризуемую группу тогда и только тогда, когда топология X порождена равномерностью, обладающей базой, которая состоит из открыто замкнутых окружений диагонали.

28 апреля

П. В. Семенов. Применение теории селекций в минимаксных задачах. Классический способ получения теорем о минимаксе (фон Нейман, Ки Фань, Сион) состоит в редукции к проверке так называемого ККМ-свойства некоторого многозначного отображения. В свою очередь ККМ-свойство просто гарантирует центрированность семейства значений выпуклозначного отображения.

При отказе от выпуклости значений ККМ-свойство перестает быть верным. Установлено, что можно использовать наследственность выпуклости не относительно пересечений множеств, а относительно объединений растущих по включению последовательностей множеств. При таком подходе базой для получения минимаксных теорем становятся не те или иные версии ККМ-свойства, а теория селекций для невыпуклозначных отображений.

5 мая

Д. А. Мусаев. Суперпаракомпактные и сильнопаракомпактные равномерные пространства. Проводится исследование введенных автором равномерных аналогов вполне паракомпактности, сильной паракомпактности и суперпаракомпактности.

12 мая

Л.Б. Шапиро. О нормальных функторах.

28 мая

1. Д. С. Охезин (Екатеринбург). Продолжение монотонных функций на произведении пространств. Пусть У С X — некоторое замкнутое подпространство, / — непрерывная функция на У. Можно ли продолжить ее до непрерывной монотонной функции / на пространстве X?

Предложение. Любая монотонная функция, определенная на подпространстве X х {у}, продолжается до монотонной функции на всем пространстве X х У для любых связных пространств X, У и у € У.

Теорема. Пусть / — произвольная ограниченная функция (необязательно монотонная) на пространстве X х {р}. Тогда она продолжается до монотонной функции на всем пространстве X х [0,1] для любого связного пространства X и любой точки р € (0,1).

Пример. Существует непрерывная функция на пространстве [0,1] х {0}, которая не продолжается до монотонной функции на пространстве [0,1] х I.

2. М. А. Патракеев (Екатеринбург). Непрерывные отображения между конечными степенями прямой Зор-генфрея. Доказан ряд теорем о существовании различных непрерывных отображений между конечными степенями прямой Зоргенфрея Б и вещественной прямой М.

Теорема 1. Для любых т,п € N,4 > т ^ 1 существует уплотнение Бп на Бт.

Теорема 2. Для любых т,п € Щ,п > т ^ 2 существует уплотнение Бт на Бп.

Теорема 3. Для любых т,п € Щ,п > т не существует непрерывного факторного отображения Бт на Бп.

Теорема 4. Для любого п € М,п > 1 не существует непрерывного замкнутого отображения Бп на прямую Зоргенфрея Б.

Теорема 5. Существует непрерывное открытое отображение прямой Зоргенфрея Б на вещественную прямую М.

Теорема 6. Не существует непрерывного замкнутого отображения прямой Зоргенфрея Б на несчетное подмножество вещественной прямой М.

Теорема 7. Существует уплотнение прямой Зоргенфрея Б на отрезок I.

3. М. А. Филатова (Екатеринбург). О разложимости пространств со счетным спредом. Понятия разложимого, т-разложимого и неразложимого топологического пространства были введены Хьюиттом. Пространство X разложимо (т-разложимо), если X можно представить в виде дизъюнктного объединения двух (т) плотных в X множеств. Дисперсионным характером Д^) называется минимум мощностей непустых открытых подмножеств пространства X. Пространство X максимально разложимо, если оно Д^)-разложимо.

Наименьшее кардинальное число т ^ ш, такое, что каждое подмножество пространства X, состоящее только из изолированных точек, имеет мощность не более т, называют спредом пространства X и обозначают з^).

О. Павловым доказана максимальная разложимость пространства X такого, что Д^) > з^)+. Им же поставлен вопрос о разложимости пространств со счетным спредом и несчетного дисперсионного характера. Следующая теорема дает ответ на этот вопрос.

Теорема. Пусть Д^) > ш и з^) = ш. Тогда X ш-разложимо.

В. В. Федорчук, Б. А. Пасынков, В. И. Пономарев, В. В. Филиппов