CC BY
27Труда Петрозаводского государственного университета
Серия "Математика" Выпуск 1, 1993 г.
УДК 515.12 Иванов А.В.
• * _______________. ________________________
МИКСЕРЫ, ФУНКТОРЫ И МЯГКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
В работе доказана параметрическая версия теоремы ван Милла и ван де Вэла, утверждающее, что связный компакт с миксером является абсолютным ретрактом. Получен ряд следствий, касающихся ковариантных функторов в категории бикомпактов.
Симметрическим миксером на топологическом пространстве X называется такое непрерывное отображение р: X3 -» X, что значение ц(х,у,г) не зависит от перестановки координат х.у.г для любых точек х.г « X (см. [1]). На всяком пространстве X с миксером р определено понятие р-выпуклых подмножеств. Подмножество А с X называется р-ттукл«й, сини для лмиых точек х,у,я « А р(х,у,в) - А.
Интерес к изучению бикомпактных пространств с миксером (в дальнейшем мы рассматриваем только бикомпактные хаусдорфовы пространства) был мотивирован следующим результатом ван Нилла и ван де Вала [1].
Теорема. Пусть X - связный метризуемый компакт, на котором задан миксер р такой, что р-выпукпые подмножества образуют базу. Тогда X - абсолютный ретракт.
В настоящей работе доказана параметрическая версия приведенной выше теоремы п получен ряд следствий, касающихся функторов.
Пусть (Х,р) - пространство с миксером. Множество А с X будем чазывать сильно р-выпуклым, если для любых х,у « а и для любого г « X р(х,у,г) <е А. Будем говорить, что миксер р обладает свойством БС (сольной выпуклости), если для любых точек а,Ь « X множество Ва„= {х: р(а,Ь,х)=х} г. ьно р-выпуклс.
Примером миксера со свойством 30 может служить миксер ц на отрезке (0,11, который ставит в соответствие тройке точек Х,У,2 ту из них, что лежит между двумя остальными. Заметим, что произведение миксеров со свойством БС аа пространствах X и У дает миксер с тем же свойством на произведении Х«У. Так что, используя приведенный выше пример, можно построить миксер со свойством БС на всяком п-мерном кубе. Стандартный миксер на суперрасширенця XX, который ставит в соответствие тройке максимальных сцепленных систем ,£э систему (£,п£г )иЦ,л£э)и(£,п£э) (СМ. [21), также обладает свойством БС.
Пусть (Х,ц,)- пространство с миксером и БСХ - пространство замкнутых сильно ц-выпуклых подмножеств X с топологией Вьеториса. (Отметим, что БСХ э X, так как для любой точки хеХ {х} сильно ц-выпукло). Отображете р: Х«БСХ -* X назовем отображением
ближайшей точки для Ъространствв с миксером (Х,ц), если
1) р непрерывно;
2) для любой пары х,А р(х,А) е А;
3) если х«А , то р(х,А) = х.
СГ'рйЯРЛЛИЕО следующее
Предложение. Если миксер ц обладает свойством БС , то для (Х,ц) существует отображение ближайшей точки.
Доказательство. Пусть х « X и А « БСХ. Для любой точки в*А рассмотрим множество С,.=Вя,па. Покажем, что система тМС*,: а«А> центрирована. Любые два множества системы т) пересекаются, поскольку для любых точек а,Ь«А ц(х,а,Ь) е л ся*. Предположим, что мы уже доказали непустоту пересечения любых к множеств системы т). Покажем, что пересечение I « С„. г> ... п сяв также непусто для л'Яых точек а,, ..., а,., «А. ’для этого *в’ каждом пересечении С„. г\ ... п С.. ,0,. п ... л0„ пС„ и
С«т> л С..^ ( возьмем соответственно по точке а,Ь и с. и рассмотрим точку уЦа(8,Ь,С). В силу сильной ц-выпуклости множеств С*, очевидно, ЧТО уеЪ.
Итак, система т) центрирована и, следовательно, п Ся./0.
•СА
Очевидно, что пересечение л с„ состоит из одной точки г, причем вта точка обладает следующим свойством: ц(х,а,г) = г для любой точки зеА. Точку г будем называть инвариантной точкой множеств? А
для заданной точки х. Введем обозначение: р(х,А) - г.
Нетрудно проверить, что р - искомое отображение ближайшей точки. Предложение доказано.
Теорема 1. Пусть Г: X ■» У - открытое непрерывное отображение связных метризуемых компактов. Пусть на X существует миксер ц такой, что
1) для любого у «У Г~1у сильно ц-выпукло;
2) открытые ц -выпуклые множества образует базу в X;
3) ц обладает свойством ЗД.
Тогда Г - мягкое отображение.
Доказательство. В условиях теоремы X является абсолютным ретрактом. Кроме того, для (Х.ц.) существует отображение ближайшей точки р. Проверим выполнение определения мягкости для отображения Г. Пусть 1 - бикомпакт, А - замкнутое подмножество 1 и в: Ъ+Х, Ь: А-*Х такие непрерывные отображения, что в|А=Гог*г. рассмотрим произвольное продолжение Н':г-»Х отображения 11 и положим Н(г) = Р(Н’(г), Г~1£(г)). Тогда Н - искомое продолжение Ь.
Теорема доказана.
Замечание 1. В формулировке теоремы 1 можно отбросить требование метризуемости Х,У □ условие 2), если потребовать дополнительно, что X - абсолютный ретракт ( или абсолютный экстензор в размерности п; ь этом случае отображение Г будет п-мягким).
Теорема 2. Пусть Г: Сошр+Сотр - коваризнтный непрерывный
сохраняющий вес функтор из категории бикомпактов и непрерывных отображений в ту же категорию, который сохраняет свойство открытости отображений и свойство связности пространств. Пусть на каждом пространстве ГХ задан канонический миксер ц, со свойством 5С, такой, что открытые ц-выпукпые множества обрвзуют базу пространства ГХ и для любого отображения Г:Х-»У отображение ГГ коммутирует с миксерами ц, и т.е. ГГ(щ(х.*.г))
Цу(ГГ(ж),ГГ(*),ГГ(2)). Тогда
1) для любого связного ае метризуемого бикомпакта X ГХ есть АН;
2) для любого открытого отображения связных ае-метризуемых бикомпактов Г: Х-*У ГГ является мягким отображением;
3) для любого ае-метризуемого бикомпакта X УХ есть бикомпакт Дугунджи;
4) для любого открытого отображения Г: Х*У ае-метризуемьа
бикомпактов отображение ¥1 является 0-мягким.
Изложим кратко идею доказательства теоремы. Доказательство пунктов 1) а 2) проводится одновременно по индукции по весу X. В силу условий на функтор К для любого связного X веса Шо ¥Х является абсолютным ретрактом. Следовательно, для любого отображения Г: Х-*У связных пространств веса ц, отображение ЕГ удовлетворяет условиям теоремы 1 (см. замечание 1; условие
1) теоремы 1 вытекает из условия коммутирования миксеров ц, и ц, с отображением ЕГ). Следовательно, ЕГ - мягкое отображение.
Предположим теперь, что условия 1), 2) доказаны для всех X веса
<т и пусть *Х = т. Разложим X в спектр Б = {Х*,^: а,р<т] с открытыми проекциями и ге-метризуемыми X.. Спектр КЗ = {ЕХ., Е^: а,р<т} состоит из АЯ-пространств и мягких отображений.
Следовательно, в силу теоремы Е.В.Щецина [3] 11ш ЕБ = ЕХ есть
абсолютный ретракт. Накопец, в силу замечания 1 и свойств функтора Е получаем, что если Г: Х-*У - открытое отображение связных ае-метризуемых бикомпактов, то ЕГ: ЕХ-»ЕУ - мягкое отображение.
Условия 3) и 4) доказываются аналогично.
Замечание 2. Для доказательства условий 3) и 4) не используется требование, что ц-выпуклые множества образуют базу в ЕХ.
Нетрудно проверить, что условиям теоремы 2 удовлетворяют, в частности, функтор суперрасширения А. и функтор полных сцепленных систем N (см. [4]). Таким образом, полученные ранее автором характеризации классов ае-метризуемых бикомпактов и связных ае-метризуемых бикомпактов в терминах А. и N (см. [4-6]) являются непосредственным следствием теоремы 2 и тем самим их доказательства значительно упрощаются. Автору не известно, можно ли с помощью аппарата миксеров упростить доказательства следующих, полученных им ранее, результатов, имеющиеся доказательства которых требуют пока привлечения громоздкой спектральной техники.
Теорема 3. Для непрерывного отображения Г: 4-*У связных
однородных по характеру л метризуемых бикомпактов следующие условия вквивалентны:
1) f открыто и не имеет точек однократности;
2) Vf является тривиальным 1а-расслоением, где a=wX;
3) Nf является тривиальным 1х-расолоением.
Теорема 4. Для непрерывного отображения ?: Х*У нульмерных однородных по характеру ае мегризуемых бикомпактов следущие условия эквивалентны:
1) f открыто и |f"1 у| > 1 для любого y«Y;
2) \t является тривиальным UT расслоением, где x=wX;
3) Nf является тривиальным 0я- расслоением.
А и т КР А Т У Р А
1. Van Mill J., ven de Vel. On an Internal property of Absolute Retracts // Top. Proc. 1979. V.4. P.193-200.
2. Дранишндков A.H. Миксеры. Обращение одной теоремы ван Милла - вэн де Вэлв // Мэтематические заметки. 1985.
Т.37. Иып. 4. С.587-593.
3. Щепин Е.В. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров // Успехи матем. наук. 1976. Т.31. Вып.5. С. 191-226.
4. Иванов А.В. Суперраоширения открыто-порожденных бикомпактов // Доклады АН СССР. 1981. Т. 259. Л 2. С.275-278.
5. Иванов А.В. Решение проблемы ван Милла о характеризации бикомпактов, суперрасширения которых являются абсолютными ретрактами // Доклады АН СССР. 1ь»82. Т. 262. * 3. С. 526-528.
6; Иванов А.В. О пространстве полных сцепленных систем // Сибирский матем. журнал. 19Н6. Т.27. # 6. С. 95-110.
Труды Петрозаводского государственного университета
Серия "Математика" Выпуск 1, 1993 г.
УДК 515.12 Моисеев Е.В.
О ПРОСТРАНСТВАХ С М-СТРУКТУРОЙ
В статье вводится понятие пространства с м структурой, которое обобщает некоторые свойства пространств XX, ExpX, GX, NX и других.
Основное определение. Будем говорить,что на метрической пространстве ( Х,р ) задана М-структура, если любому непрерывному отображению Г : дб ■. X, заданному на транше об симплексе О (dim б >2), поставлено в соответствие непрерывное продолжение I : 0 ■» X на весь симплекс и вто соответствие удовлетворяет двум условиям:
1. Постоянному отображению Г соответствует постоянное ? .
2. Для любого е>0 существует такое 0>0, что для любого симплекса б ( dim 6*2), любых двух непрерывных отображений Г, и f2 1-мерного остова 6t, симплекса б в X их непрерывные
продолжения Т1 и !г , имеющие одинаковые комбинаторные схемы, удовлетворяют условию :
если max р( f (х),Г (х) ) < 0 , то max р( Т (х),1 (х) ) < є.
*«б, 1 2 хвб ^ 1 2
Здесь необходимо сформулировать определение комбинаторной
схемы продолжения ( к.с.п. ).Рассмотрим некоторый стандартный
симплекс б ( dim б > 2).Если отображение g задано на 1-мерном
остове б , то с помощью М-структуры его можно продолжить на весь
симплекс б .Продолжение будем производить последовательно на
п-мерные остовы.Сначала возьмем некоторую двумерную грань
(е ,е ,е ) симплекса б. Сечение отображения g на границе этой
1 2 А3.
грани продолжаем ыа всю грань. Для этого с помощью линрйкого
гомеоморфизма отождєстеим симплекс (е ,е. ,е. ) со стандертным
Іг з
