Обобщенная теорема Катетова для полунормальных функторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 13, 2006

УДК 515.12

Е. В. Кашуба

ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА КАТЕТОВА ДЛЯ ПОЛУНОРМАЛЬНЫХ ФУНКТОРОВ

В статье доказаны обобщение теоремы Катетова о кубе для полунормальных функторов и свойства наследственной К-нор-мальности.

Классическая теорема Катетова утверждает, что если куб компакта X наследственно нормален, то пространство X метризуемо. Так как операция возведения в куб является нормальным функтором1 степени три, возник естественный вопрос, будет ли компакт X метризуем, если для нормального функтора Т степени не меньше трех компакт Т(X) наследственно нормален. На этот вопрос В. В. Федорчуком [1] был получен положительный ответ. А. П. Комбаров [2] заменил в теореме Федорчука наследственную нормальность компакта Т(X) на наследственную К-нормальность.

Распространение теоремы на случай полунормальных функторов приводит к необходимости рассмотрения степенного спектра функтора Т-множества степеней точек пространства Т(X). Для нормального функтора степенной спектр представляет собой натуральный ряд или отрезок натурального ряда, начиная с 1. В теореме Федорчука требование наследственной нормальности пространства Т(X) можно ослабить до наследственной нормальности пространства Тз^) \ X. Для случая полунормального функтора суперрасширения А имеется следующий результат Т. Ф. Жураева [4]: если пространство А^) \ X наследственно нормально, то компакт X метризуем. Здесь произошла замена индекса 3 на индекс 4, поскольку 4 является третьим по счету элементом степенного спектра функтора суперрасширения А.

© Е. В. Кашуба, 2006

1 Необходимые определения можно найти в [5].

В работе А. В. Иванова [3] доказано, что если F — полунормальный функтор, удовлетворяющий некоторому комбинаторному условию (*), и спектр sp(F) = {1,m, n,...}, то наследственная нормальность пространства Fn(X) \ X влечет метризуемость X.

В настоящей работе получен следующий результат: если sp(F) = {1,m, n,...} — спектр полунормального функтора F, этот функтор удовлетворяет комбинаторному условию (*), и пространство Fn(X)\X наследственно K-нормально, то компакт X метризуем. Доказательство опирается на идеи и методы, используемые в статьях [2] и [3].

Будем рассматривать ковариантные функторы, действующие из категории Comp компактов и их непрерывных отображений в ту же категорию.

Функтор F называется мономорфным, если для любого вложения i : Y ^ X отображение F(i) : F(Y) ^ F(X) тоже является вложением. Для мономорфного функтора F и замкнутого в пространстве X подмножества Y пространство F(Y) естественно отождествляется с подпространством F(i)(F(Y)) пространства F(X).

Мономорфный функтор сохраняет пересечения, если для любого семейства {Ya : a G A} замкнутых подмножеств пространства X выполнено соотношение

F(n{Ya : a G A}) = n{F(Ya) : a G A}.

Для мономорфного сохраняющего пересечения функтора F определен носитель supp(a) произвольной точки множества F(X) по следующему правилу:

supp(a) = n{Y С X : Y- замкнуто, a G F(Y)}.

Обозначение Fn(X) используется для множества

{a G F(X) : |supp(a)| < n}.

Если F — мономорфный, сохраняющий пересечения функтор, то подпространство Fn(X) замкнуто в пространстве F(X) для любого компакта X и любого натурального числа n. Кроме того, соответствие X ^ Fn(X) однозначно определяет подфунктор функтора F.

Функтор F называется непрерывным, если он перестановочен с операцией перехода к пределу обратного спектра.

Мономорфный непрерывный сохраняющий пересечения функтор называется полунормальным, если он сохраняет точку и пустое множество. В случае, если Т является полунормальным функтором, его подфунктор Тп также полунормален для любого натурального числа п. Пространство Тх^) гомеоморфно пространству X, и можно считать, что компакт X является подпространством пространства Т(X).

Функтор Т сохраняет прообразы, если для любого непрерывного отображения / : X ^ У и любого замкнутого подмножества А С У

Т (/-1(А)) = (Т (/))-1(Т (А)).

Функтор Т называется эпиморфным, если он сохраняет эпиморфизмы. Функтор Т сохраняет вес, если для любого бесконечного компакта X ) = и>(Т(X)). Полунормальный функтор является нормальным, если он эпиморфен и сохраняет вес и прообразы.

Обозначим через пп отображение

Пп : Xп х Т(п) ^ Т(X),

определяемое равенством пп(х,£) = Т(х)(£). Здесь каждая точка х = (хх,...,хп) пространства Xп отождествляется с отображением х : п ^ {хх,..., хп} С X, где символ п используется также для обозначения п-элементного дискретного множества. Для любого непрерывного функтора Т и любого компакта X отображение пп непрерывно. Для полунормального функтора Т справедливо равенство /шпп = Т^,^).

При п > 2 обозначим Т^,^) \ Т^,-!^) через Тпп(X). Степенной спектр функтора Т определяется следующим образом:

5р(Т) = {к : к € N Т^(к) = 0}.

Степенной спектр любого полунормального функтора содержит 1.

Пусть Т является полунормальным функтором и спектр вр(Т) = {1, т, п,...}, причем элементы спектра расположены в порядке возрастания. Отображение фпт : п ^ т определяется по следующему правилу: ^пт(*) = * при * < т и у>(г) = т — 1 при * > т. Будем говорить, что функтор Т удовлетворяет условию (*), если

Т (^ пт )(Тпп(п)) ^ Ттт(т) = 0.

Пусть пространство X является компактом и Дп = {(хх, ...,хп) : 3*3^’(* = ^’, х* = х^-)} — обобщенная диагональ пространства Xп. В работе [3] доказана следующая

Лемма 1. Если обобщенная диагональ Дп является Оц -множеством в пространстве Xп, то пространство X метризуемо.

Пусть К — класс пространств, представимых в виде объединения счетного числа компактных подпространств. Хаусдорфово пространство X называется К-нормальным, если в нем любые два непересе-кающиеся замкнутые подмножества, одно из которых принадлежит классу К, содержатся в непересекающихся окрестностях.

Пространство X называется наследственно К-нормальным, если всякое его подпространство К-нормально.

Множество ^ называется регулярным Оц -множеством, если ^ является пересечением не более чем счетного числа замкнутых множеств, внутренность каждого из которых содержит ^.

В дальнейших выкладках сыграет определенную роль доказанная в [2]

Лемма 2. Пусть X — счетно компактное бесконечное пространство и произведение X х У наследственно К-нормально. Тогда всякий компакт в пространстве У является регулярным О§ -множеством.

Основным результатом работы является

Теорема 1. Пусть Т — полунормальный функтор, спектр вр(Т) = {1, т, п,...} и функтор Т удовлетворяет условию (*). Если для компакта X пространство Тп^) \ X наследственно К-нормально, то компакт X метризуем.

Доказательство. Рассмотрим возможные альтернативы для пространства X:

1) в компакте X имеются, по крайней мере, две неизолированные точки;

2) компакт X имеет единственную неизолированную точку. Случай 1. Выберем точку 6 € Тпп(п) так, чтобы

Т (^ пт )(6) € Ттт(т).

Заметим, точка 6 существует в силу условия (*). Пусть хх,... ,хт — набор различных точек из пространства X, в котором хх не является изолированной точкой, и пусть и и V — окрестности точек хх и хт

соответственно, причем такие, что х2,..., хт-х € [и]и [V] и [и]П [V] = 0. Рассмотрим в пространстве Xп множество

Т = [и] х {х2} х {хз} х ... х {хт-х} х [V]п-т+х

и положим

/ = Пп |Тх|Й| : Т х {6} = Т ^ Тn(X).

Через Д обозначим разбиение, которое порождает на множестве Т отображение /, а именно

Д = {/-х(е) : е €Тп^)}.

Покажем, что каждый элемент разбиения Д лежит в некотором слое Т2 = {г} х {х2} х ... х {хт-х} х [V]п-т+х произведения Т, г € [и], и на всех слоях разбиение Д одинаково.

Пусть у = (ух,..., уП) € Т. Покажем, что

{ух, . . . , Ут-х} С бИрр(/(у)) С {ух, . . . , Уп}. (1)

По определению отображения / имеем /(у) = Т(у)(6). Если отображение у — взаимно однозначное (то есть все координаты точки у различны), то яирр(/(у)) = {ух,...,уп}, так как вирр(6) = п. Если же среди координат точки у имеются совпадающиеся, то рассмотрим отображение ц : {ух,..., уп} ^ {ух,..., ут}, определяемое следующим образом: ц(у*) = у* при * < т, ц(у*) = ут при * > т. Очевидно, что композиция ц о у гомеоморфна отображению ^>пт. Следовательно,

|8Ирр(Т(ц О у)(6))| = |8Ирр(Т(<£>пт)(6))| = т.

Значит, бирр(Т (ц о у)(6)) = {ух,..., ут}, откуда следует, что

вирр(Т(у)(6)) Э {ух,... ,ут—}.

Включение (1) доказано.

Пусть ух = (у!,..., уп), у2 = (у2,..., уп) — две точки из различных слоев Ту1 и Ту2 разбиения Т, то есть у{ = у2. Тогда в силу включения (1) /(у];) = /(у2). Таким образом, элементы разбиения Д не могут пересекать два различных слоя одновременно.

Покажем теперь, что если /(уь у^,..., уп) = /(ух, у2,..., уп), где ух € [и], то равенство /^, у^... ,уП) = /(у!,у|,... ,уП) имеет место для любого элемента у[ € [и]. Введем обозначения:

а2 = (уъу2 ,...,уП ), = (у£ ,у22 ,...,уП),

А2 = {уЬу22,..., у2}, В2 = {у;, у22,..., у2},

где к = 1; 2. Пусть отображения цй : А2 ^ В2 определяются по формулам: цк (ух) = у', 9й(у2) = у2, * = 2,... ,п, к = 1;2. Тогда о а2,

к = 1;2 и щЦ1пА2 = 92|А1пА2. Имеем

Т(ах)(6) = Т(а2)(6) € Т(Ах) П Т(А2) = Т(Ах П А2). Следовательно,

Т (6х)(6) = Т )(Т (ах)(6)) = Т Ыа^ )(Т (а2)(6)) = Т (62)(6),

что и требовалось доказать.

Итак, разбиение Д порождает на всех слоях Т2 произведения Т одинаковые разбиения Д'. Слои Т2 гомеоморфны пространству [V]п-т+:1-, следовательно, фактор-пространство Т/Д = /(Т) С ТП^) гомеоморфно произведению П = [и] х ([V]П-т+1 /Д'). В силу включения (1) П = /(Т) С ТП^) \ X, следовательно, произведение П наследственно К-нормально. Поскольку множество [и] по построению бесконечно, то по лемме 2 наследственная К-нормальность произведения П влечет, что любой компакт в пространстве [V]П-т+1/Д' является регулярным Од-множеством.

Возьмем теперь произвольный слой Т2, гомеоморфный [V]П-т+1, и рассмотрим отображение

9 = /к : [V]П-т+х ^ [V]П-т+7Д' С Тп^).

Пусть ДП-т+1 — обобщенная диагональ пространства [V]П-т+1. Тогда выполнено соотношение 9-1(9(ДП-т+1 )) = Дп- т+1, поскольку при х € Дп-т+1 |вирр(9(х))| = т, а при х € Дп-т+1 |вирр(9(х))| = п, что следует из доказательства включения (1). Следовательно, обобщенная диагональ Дп-т+1 является О^-множеством в пространстве [V]П-т+1. Значит, по лемме 1 пространство [V] метризуемо.

Итак, показано, что любая точка х = хт € X имеет метризуемую окрестность. Следовательно, компакт X метризуем.

Отметим, что при доказательстве был существенно использован тот факт, что в X имеется отличная от хт неизолированная точка хх.

Таким образом, остается рассмотреть случай 2), когда компакт X имеет единственную неизолированную точку. Предположим, что пространство X неметризуемо. Тогда оно является александровской ком-пактификацией несчетного дискретного пространства: X = А и {4}. Разложим множество А на три непересекающихся подмножества: А =

B U C U D, где B — счетно, C и D — несчетны. Рассмотрим в пространстве X” \ Д„ подмножества

Fi = {(xi,..., xn) : xi G B, X2 = t, хз = x3,...,xn = x”},

F2 = {(xi, .. ., x„) : xi = t, X2 G C, X3 = X3,. .., x„ = x”},

где x0,..., x” — фиксированные несовпадающие точки из множества D. Множества Fi и F2 замкнуты в пространстве X” \ Дп и не пересекаются, кроме того Fi G K.

Покажем, что множества Fi и F2 не имеют в пространстве X” \ Дп непересекающихся окрестностей. Для произвольной фиксированной окрестности OFi множества Fi и для произвольной точки x = (xi, t, x3,..., x”) G Fi С OFi существует окрестность Ox точки x вида Ox = {xi} x Otx x {x3} x ... {x”} С OFi, где Otx = X \ Ex —

окрестность точки t в пространстве X, Ex — конечное множество элементов из пространства A. Положим E = УEx. Множество E не более чем счетное, значит, C \ E = 0. Пусть у2 G C \ E. Тогда у' = (t, у2, x0,..., x”) G F2. Для любой окрестности OF2 множества F2 существует окрестность Oy' точки у' вида Oty x {у2 } x {x0}x ... x {x”} С OF2, где Oty = X \Ey — окрестность точки t в пространстве X, Eyr — конечное множество элементов из пространства A. Пусть xi G B \ Ey. Тогда точка x' = (xi,t, x0,... , x”) G Fi и содержится в окрестности OFi множества Fi. Окрестность Ox' точки x' содержится в окрестности OFi множества Fi. Получаем, что OFi П OF2 D Ox' n Oy' = 0 для произвольных окрестностей OFi и OF2 множеств Fi и F2 соответственно.

Положим

h = п„|Хпх{й} : X” x {^}^F„(X).

Тогда h-i(Л.(ДП)) = Дп. Отображение h|xn\An замкнуто и h(Fi) П h(F2) = 0. Поскольку h(X”\ Дп) С Fn(X)\XT и Fn(X) — наследственно K-нормально, а h(Fi) G K, то множества h(Fi) и h(F2) имеют в h(X” \ Дп) непересекающиеся окрестности, прообразы которых будут непересекающимися окрестностями множеств Fi и F2 в пространстве X”. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Resume

A generalization of the Katetov Theorem for seminormal functors and the property of hereditarily K-normality is proved.

Список литературы

[1] Федорчук В. В. К теореме Катетова о кубе / В. В. Федорчук // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 1989. № 4. С. 93-96.

[2] Комбаров А. П. К теореме Катетова—Федорчука о кубе / А. П. Ком-баров // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 2004. № 5. С. 59-61.

[3] Иванов А. В. Теорема Катетова о кубе и полунормальные функторы / А. В. Иванов // http://topology.karelia.ru/arh.html

[4] Жураев Т. Ф. Функтор Л и метризуемость бикомпактов / Т. Ф. Жу-раев // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 1999. № 4. С. 54-56.

[5] Федорчук В. В. Общая топология. Основные конструкции / В. В. Федорчук, В. В. Филиппов. М.: Изд-во МГУ, 1988.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33