О пространстве частичных селекций Текст научной статьи по специальности «Математика»

'Груди Петрозаводского государственного университета

Серия "Математика" Выпуск 1, 1993 г.

УДК 515.12 Степанова Е.Н.

О ПРОСТРАНСТВЕ ЧАСТИЧНЫХ СЕЛЕКЦИЙ

Рассмотренные в этой работе пространства являются обобщением пространств решение дифференциальных уравнений (преимущественно с непрерывной правой: частью), которые исследованы В.В. Филипповым. Мы не рассматриваем их с чисто топологической точки зрения.

Для топологического пространства У рассмотрим пространство ехрУ всех его непустых замкнутых подмножеств с топологией Вието-риса. Множество подпространств пространства ехрХ обозначим через 1 ехрЧ.

Пусть N е У, Ъ £ агрУ. Положим

гк={к: к г, к £ ю.

Дли множеств К £ У и V £ етрУ определим

01К,У>={2: г « Ь ехрХ, и £ V}.

Будем рассматривать Ь еорУ в качестве топологического пространства с %редбазой, состоящей из всех множеств вида 0{К,У), где К пробегает множество ехр^ всех компактных подмножеств пространства У, а V - множество всех открытых подмножеств пространства е.трУ.

Пространство I агрУ не является хаусдорфовым: если

г0£г, - различные его элементы, то любая окрестность точки г, содержит точку .

Будем говорить, что обобщенная последовательность :а&4}5етрУ сходится в У к пространству ЪаехрУ, если

для любого компакта К £ У и любой обобщенной последова-

<•)

тельности элементов Ра е (г„в )к, а*», < а*, при р'< р",

найдутся элемент ! е 2 в п дгюследовательность последовательности 1КЙ >, сводящаяся к ¥.

Обозначим через ЬС ехрУ множество всех пространств

Ъ е езрУ, удовлетворяющих условию: для любого компакта КеУ множество г* компактно. Множество ЬС ехрУ несет индуцированную из пространства Ь ехрЧ топологию.

Предложение. Пусть пространство У нормально,

{гп.-п=о,/,2,...} с ь.,ехру, г„ —* г0,

{К„:п=0,/,2,...) С ехр^у, К„—* Ко, п—► О».

Тогда {7ъ)к —* (га)к .

П о

Теорема 1. Если У - локально компактное пространство веса т и Ъ « ЬС езрУ, то точка Ъ пространства Ь ехрУ обладает базой

мощности и.

Доказательство. I. Зафиксируем базу 7 мощности т пространства У. Множество 70 тех ее элементов, замыкания которых ком-

пактны, также имеет мощность г и составляет базу.Мощность множества 7, всех конечных подмножеств множества 70 также равна т. Та;:=;.: образом, семейство

*={[ и £ ]; 1^7,} состоит из компактов, лежащих в У, и |ае|=т.

Известно,что для Т -пространства вес его экспонент., сов-

падает с весом самого пространства, поэтому ш(агрУ)=г. Для каждоп замкнутого множества Г а ехрУ зафиксируем базу {*„Р:ае2},|Е|=т, (на самом деле, здесь можно было ограничиться базами только для компактов Г в елгрУ) и рассмотрим семейство (МОСК.И.г* >: К « ае, а « ЕЬ

Очевидно, |С|=х.

II. Выберем произвольно К в &ФСУ и открытое подмножество V пространства ехрЧ, содержащее множество .

Зафиксируем базу я компакта К в У: аМ£/* направленную по включению. Для множества и каждой точки хеК найдем

элемент С,(х) базы 70, удовлетворяющий условию: х « С,(х) £ и,.

Из открытого покрытия {С,(х):®=К} компакта К выделим конечное подпокрытие, объединение элементов которого обозначим О,К.

Для каждого индекса р*/,и любой точки х^К зафиксируем элемент Св (х) базы 70 с условием: х « Св (х) 5 17в п °<к- и вновь из покрытия (х):хеК} выделим конечное подпокрытие, объединение его элементов обозначим О^К.

Покажем, что К1 е V при некотором 00*3. Семейство

«(р,К1:р-В> является °центрированным и лежит в компакте г(0)К]. Поэтому семейство {г10вК1\У:реЗ> тоже центрировано и в компакте должно иметь непустое пересечение при услоаии,

что все элементы этого семейства непусты. Но очевидно, что

п {2[0йкЛУ; Р в = *•

Следовательно, существует р0«5. Для которого К1 еУ. Тогда

найдется такой индекс ае£, что г(0в -*в2(ой к]°5У и поэтому

• О О

о{[оВоК],иаг[0й К]} е о^о^ю.у} я 0{к,у>.

Но множество слева принадлежит 0, следовательно, это включение в силу произвола выбора К и V означает,что семейство 0 составляет предбаэу в точке I.

'эмиа. Обобщенная последовательность {7^:сим}«Ь ехрУ тогда и только тогда сходится к точке Ъ « ЬС ехрУ в пространстве Ь ехр1, когда она сходится к 1 в У в смысле определения с условием (•).

Из теоремы 1 и леммы следует

Теорема 2. Если точка г«ЪС ехрУ принадлежит замыканию множества МяЪ ехрУ в пространстве I ехрУ, то найдется обобщенная последоватёльность мощности, равной весу пространства У, элементов множества И,сходящаяся в У к пространству 1. И обратно: если для точки йеЬС ехрЧ существует обобщенная последовательность элементов множества МеЬ ехрЧ, сходящаяся в У к пространству 1, то точка I принадлежит замыканию множества М - пространстве Ь ехрУ.

Теперь перейдем к описанию пространства частичных селекций.Для топологических пространств X и У зафиксируем некоторое непрерывное отображение х пространства У на пространство X, то есть тс; У —* X. Часаигнай селекцией отображения тс назовем непрерывное отображение ф:4—* У замкнутого

подмножества А пространства К в пространство Y,удовлетворяющее условию: 1с(ф\а))=а для любого алементв оеА. Через CS(Y,ic) обозначим множество всех таких частичных селекций (происхождение символов CS заключено в словах continue selection).

Отображение

Im : CS(У.1C)—► expY, ставящее в соответствие каждой частичной селекции <р из CS (Y. тс) образ <рМ), где Л - область определения ф, инъективно. Множество rm(CS(Yr*)) является подмножеством множества expY, где определена топология Виеториса. Считая отображение Im : CS(Y,ic) —» Im(CS(Y,ic)) гомеоморфизмом, можно однозначно определить топологию на CS(Y,ic).

Наряду с CS(Y,?:) рассмотрим его подпространство CSe (Y,тс), состоящее из тех частичных селекций, области определения которых являются бикомпактами.

Теорема 3. Пусть пространство Y метризуемо. Тогда множество Im(CSe(Y,n)) является G6-множеством пространства expY.

Иокдаятельство. Пусть р - некоторая метрика на пространстве Y. Отнесем к множеству Н„ все те бикомпактные множества М пространства Y, котор*е удовлетворяют условию: найдутся такие

точки у, ,уа«М, что тс(у, )-и(уа) и р(у, ,у, )>-!- . Тогдв в напих обозначениях получим:

Im (CS (Y.ic) )= eip Y \ U [Н ].

^ К 4 П

П= I

Идея доказательства этого равенства следует доказательству теоремы 9.1.12 из [1 ].

Замечание. Если Y - метризуемое пространство,то пространство ехрсY метризуемо метрикой Хаусдорфа, следовательно, метризуемо CSe (Y,it).

В дальнейшем полагаем Y метризуемым. Для К s Y,

с е ]0,оо[ U {®> и Z, ,Z, е L eipcY положим

m(Z,,Z,; К,с)= Inf ({с} U {е; s>0, (Z,)* £ 0( (Z, )к ,е) >)

Утверждение 1. Пусть К 5 У, С« ]0,»( 1> {оо> И Х.г.Р « Ь ехрсУ. Т.гда

/) ш(Х,г;К,с) * О,

2) п(Х,Х;К,с) - О,

3) т(Х,г;К,с) < т(Х,Р;К,с) ♦ т(Р,г;К,с),

4) если Ъ с Х,то найдется такой компакт Ь е У,что т(Х,г;Ь,с)>0.

Пусть У г метриэуемое локально компактное пространство счетного веса и «={К, .^=1,2,...} - семейство, построенное в доказательстве теоремы 1. Для любых Х,Ъ*I ехрЧ положим

т(ХД)= Е т{Х,Ъ\К.,2'*).

>' •

Утг^рждение 2. Пусть Х,1,Р « Ь ехрЛ- Тогда П т(Х,1) > 0.

2) тал) - о « г е X,

3) ЖХ.г) * т(Х,Р) * щ(Р,г).

Утверждение 3. Пусть {г.: а « 4} с Ь етрсУ, г « ЬС елрсУ. Следующие условия эквивалентны:

1) последовательность (г«:а « »<> сходится в У к пространству г;

2) для любого компакта К 5 У и любого с « ]0,®[ и {«}

Ищ { т(1,7^',К,с): а « *}=0;

3) для любого компакта К е ае и любого с « ]0,®[ и (®}

Ит {т(7,г»;К,с); а е <4>=0;

4) 11т {«(;:,г»): а е 1#>=0-

Следующая теорема характеризует топологию пространства 1.С ехр^У.

Теорема 4. Пусть и £ ЬС ехрсУ. Множество и открыто тогда и только тогда,когда для любого Ъе и найдется такое число е>0, что

1*:т(г,Х)<Е>£и.

Доказательство. Необходимость. Пусть и открыто в ЬС ехрсУ. Тогда можно полагать: и=я{КД), где К - компакт в У, V - открытое полчникество пространств! втр_У.

Зт^к^груем 2-г1]. Поскольку £* - замкнуто, V - открыто,

ТО существует такое ЧИСЛО Е>0, ЧТО Он ('^ ,Е)гУ, где 0„ {Ък »Б) — окрестность множества г, в е:треУ относительно метрики Хаусдорфа.

* с

Теперь покажем, что найдется 0>0: £ 0и(г«, ).

Здесь 0Р(К,С) - 0-окрестность компакта К в метрическом прост-

ранстве (У,р). Допустим противное. Семейство

я = {0В(К.г-*): 1=1,2,...} -

база компакта К в У. Семейство гг{0 <к 2_1)];1=1*2*•*является центрированным и лежит в компакте ' г^0 (К _!_)] (множество

[0Р(К, )) можно считать компактом, в противном случае повторим

алгоритм построения множества О,К из доказательства теоремы 1, пункт II и получим нужный компакт). Семейство

{2[0о(К,2_1>] \ °н(2к. )* 1=1,2,...}

тоже должно быть центрироввнным и иметь в компакте г(0 -1- )]

непустое пересечение при условии,что все элементы этого семейства непусты. Но очевидно,

*• 41 \ ^,2,... } = И,

т.е. существует такой номер п, что

2[0е (К,2_п)] £ °н(2«» •§■ )••

Построим покрытие 11 компакта К элементами базы 7о из теорем 1, выполняя при этом условие: для любого множества СМ выполнено 0£0Р(К,2_П>. Из покрытия «I выделим конечное подпокрытие, Объединение элементов ЭТОГО покрытия лежит В семействе 71, а замыкание Р этого объединения является элементом семейства ае: К £ Р = х, причем Кт £ [0Р(К,2‘П)1. Положим

ео= т1п {-|-,2_т~1} и покажем, что {X: т(гД)<ео) £ и = 0(К,У}. Очевидно, что для этого достаточно доказать импликацию:

и(гД)<ео =* ^у. Имеем:

ЕЛ > т(г,Х) = £ Х;К ,2-^) > т(гД;К ,2~т).

° >1 3 т

Из оценки т(г,Х;Кт,2-го)<Ео<-^ <-^ получаем ^ £ 0н(гк ,Ео).

с с ш ш

И в итоге:

*к s Хк я °h(Zk •Ео) s 0H<Z[Q.(R,2_n)]»Eo) fi

ГП ш

£ 0Н(0Н(^. -§- J,60> £ VV-f )=0H(V£) s V-

Досможогносжь. Пусть для любого Zell существует число е>0

такое, что {X: m(Z,X) < є>£ІІ. Покажем, что тогда U - открыто.

Пусть є > для некоторого т « и. Рассмотрим открытое

в LC expj. множество W, содержащее точку Z:

m+1 Є

W ж п 0{К 0(Z^ ,------------)>,

3 2 (т+І)

и покажем, что оно лежит в D.

Для всякого X « W выполнены неравенства:

, е

m(Z,X;K.,2~J) < ---------- , J=/,2,...,nu/.

3 2(m*/)

Поэтому

m(Z,X) = Е m(Z,X;K.t2-J) < —------------- • <m+/) + E 2’3=

3 2(m+1) j=m+z

= є

2 gm+1 4 2 2 fc>

Таким образом, для любого « W верно m(Z.X)<£. a по условию это означает, что Х« 0.

Утверждение 4. Если подпространство пространства LC ехрсY есть Г1-пространство, то оно метризуемо.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федорчук З.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во ИГУ, 1988.

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия "Математика" Выпуск 1, 1993 г.

УДК 515.12 Стреколовская Н.С.

О РЕТРАКТЕ ЭКСПОНЕНТЫ ехр?Х БИКОМПАКТА X

В работе доказывается теорема "Бикомпакт X является ретрактом экспоненты ехр*Х ".

Приведем определения. На множестве непустых замкнутых множеств пространства X рассматривается топология Виеториса, базу которой обрвзуют множества вида

0<U......Un> = {Fc U Ulf FnU, * о, Ftf], * о...........ВД, * й },

1=1

где UU„ опфыты в X. Это топологическое пространство называется экспонентой ехрХ. При этом пространство X естественно вкладывается в экспоненту ехргХ, X с ехргХ. Отображение вложения J:X -» ехрД определяется формулой J(х)-{х> для любой точки хеХ.

Множество из всех непустых замкнутых ».ложеств пространства X мощности, не превосходящей кардинального числа к, называется ехр*Х. При любом к имеет место включение ехр*Х с ехр:: И можно рассматривать ехр*Х в качестве подпространства пространства ехрХ (см.11]).

Пусть X - бикомпакт. Рассмотрим на декартовом произведении Х-Х отношение эквивалентности: точка (х,у)~(у,х). Так, заданное отношение эквивалентности задает разбиение R на произведении бикомпактов Х*Х. Тривиальными элементами разбиения R являются точки вида (х,х). Фактор-пространство по разбиению R обозначим X«X/R, факторное отображение тс:Х-Х - X»X/R.

Легла . Экспонента бккохпакта X ехргХ гомесморфна пространству X*X/R.