CC BY
38
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012 Математика и механика № 1(17)
УДК 517.982.272+515.122.55
А.В. Осипов АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ НА ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Изучаются свойства семейства X, при которых множество С(Х,У) всех непрерывных отображений из тихоновского пространства X в метризуемое ТВП Г, наделенное множественно-открытой (слабо множественно-открытой) топологией, будет топологической группой (ТВП).
Ключевые слова: множественно-открытая топология; слабо множественно-открытая топология; топологическая группа; С-компактное подмножество; паратопологическая группа
Пусть X и Г - тихоновские топологические пространства. На множестве С(Х,Г) всех непрерывных функций рассмотрим множественно-открытую и слабо множественно-открытую топологию. Если на топологическом пространстве Г задана некоторая алгебраическая структура, например Г - топологическая группа или топологическое векторное пространство (ТВП), то на множестве С(Х,Г) можно оп-
ределить (поточечные) операции, которые определены на Г.
Основной вопрос исследования: при каких условиях на семейство X пространство С\(Х,Г) будет паратопологической группой (топологической группой, ТВП), если пространство Г метризуемое ТВП?
Напомним определение множественно-открытой и слабо множественнооткрытой топологии на множестве С(Х,Г). Пусть X - семейство непустых подмножеств пространства X. Множественно-открытая (слабо множественнооткрытая) топология на множестве С(Х,Г) определяется предбазой, состоящей из всех множеств вида
[Р,и] = {/ е С(X,Г): /(Р) с и}
([Р, и]* = {/ е С(X, Г): Др) С и}),
где РеХ и и - открытое множество пространства Г. Множество С^Г), наделенное множественно-открытой топологией и слабо множественно-открытой топологией, будем обозначать через Сх^Г) и С^^У) соответственно.
На семейство X будем накладывать ограничение быть п-сетью для пространства X. Заметим, что это ограничение естественное, так как пространство Сх^Т) хаусдорфово тогда и только тогда, когда X - п-сеть.
Подмножество А пространства X будем называть Г-компактным, если /(А) компакт для всех / е С^Г). Отметим, что если Г - числовая прямая Ж., то Г-компактное подмножество называют С-компактным (иногда Ж. -компактным) подмножеством пространства X.
Будем называть семейство X - Г-компактным (ограниченным), если всякое FеX является Г-компактным (ограниченным). Через Sе(a) будем обозначать открытый шар с центром в точке а и радиусом е.
1. Множественно-открытая топология.
В [1] М.О. Асановым были доказаны два утверждения при условии, что X -сеть пространства X.
Утверждение 1. Пусть Г - топологическая группа (ТВП) и X - У-компактно. Тогда С^Г - топологическая группа (ТВП).
Утверждение 2. Пусть Г - ТВП над полем Б и С^Г) - ТВП над тем же полем Б относительно естественных операций. Тогда для любых Ре X и/еСX(X,У) множество /(Р) замкнуто и ограничено в пространстве Г.
Далее в работе пространство Г полагаем метризуемым ТВП и семейство X - п-сеть пространства X.
Пусть дано семейство X непустых подмножеств пространства X, тогда X(С) = {AеX : для любого С-компактного подмножества В пространства X, такого, что ВсА, множество [В, и] открыто в для любого открытого множества и
пространства Г }.
Теорема 1. Пусть семейство X - С-компактно и X=X(С). Тогда пространство С^Г) - ТВП.
Доказательство. Отметим, что по теореме 4.4 из [3] следует, что множественно-открытая топология на C(X,У) будет совпадать с топологией равномерной сходимости на семействе X.
Покажем непрерывность сдвигов. Пусть /еСх^Г) и [Р, и] - произвольная предбазисная окрестность функции / Отметим, что /(Р) - С-компактное подмножество метризуемого пространства Г, значит, является компактом. Компакт /(Р) содержится в открытом множестве и, следовательно, найдется конечный набор У1, ... , У„- окрестностей нуля пространства Г и точки у1, ..., упе /(Р), такие, что
/ (Р) с и„=!(уI + У г) С и„=!(У/+У/ + У г) С и. Пусть У _ П „=1уг-, тогда множество [Р, У] - окрестность нуля пространства С х^Г). Эта окрестность искомая, то есть / + [Р, У] с [Р, и]. Действительно, пусть g е [Р, У] их е Р. Так как
/(х) е и„_ 1(у;- + У), то найдется г<„, такое, что/(х) е уг +У. Так как g(x) е Ус У,
то получаем/(х) + g(x) е уг + Уг + У\ с и. Следовательно, / + g е [Р,и].
Докажем непрерывность умножения на скаляр. Пусть/ g е С^Г), а - скаляр и а/ = g. Пусть [Р, и] - произвольная предбазисная окрестность точки g в пространстве СX(X,Г). Для каждой точки хеР зафиксируем окрестность Ох(а) точки а и Ух - окрестность нуля в пространстве Г с условием: для всякого Ре Ох(а) и любого 2е Ух выполняется в/(х)+1)е и. Так подобрать окрестности Ох(а) и Ух можно, так как Г является ТВП и g(x)е и. Семейство д = {/(х) + Ух : х е Р } покрывает /(Р); найдем конечное подсемейство {/(х) + Ухг : г = 1, ..., „ } семейства д, покрывающее /(Р). Множества О а _ Пг'_1Ох,(“) и О(/) _ [Р, и„_ 1(/(хг)+ухг)] будут
искомыми окрестностями точек а и / соответственно. Действительно, пусть Ре Оа , А е О(/) и хеР. Найдем г, такое, что А(х)е/(х,)+Ух1- . Пусть р=к(х) -/(хг).
Так как ре Ухг и Ре ОасОх.(а), то по построению в(р + /(хг))е и, то есть,
г
РА(х)е и для всех хеР. Отсюда следует, что рАе [Р, и] и, таким образом, С^Г) является ТВП. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть X - ограниченно. Тогда С*(X,У) является ТВП.
Доказательство. Достаточно заметить, что множество /(А) является компактным для любого Ае X и /еСТ, Г). Действительно, образ любого ограниченного множества А будет являться ограниченным множеством/(А). Замыкание любого ограниченного множества в метризуемом (субметризуемом) пространстве является метризуемым компактом (теорема 1 в [4]). Далее применяем схему доказательства теоремы 1.
Напомним, что топологическое пространство с непрерывной операцией сложения называется паратопологической группой. Ясно, что любая топологическая группа является паратопологической группой. Прямая Зоргенфрея - пример пара-топологической группы, которая не является топологической.
Теорема 3. Пусть - паратопологическая группа. Тогда семейство X со-
стоит из С-компактных подмножеств.
Доказательство. Предположим противное. Пусть существует Ае X, которое не является С-компактным.
Тогда существует /еC(X), такое, что /(А) - не компакт. Мы можем полагать, что /(А) не замкнуто. Действительно, если /(А) замкнутое и неограниченное в Ж, то множество Н(/(А)) не является замкнутым при Н(() = аг^(/).
Пусть ф - изоморфное вложение Ж в Г, определяемое как ф(/) = /*у0, где уо -фиксированная точка из пространства Г. Заметим, что ф(/(А)) не замкнуто в Г.
Пусть точка а е ф(/(А))\ ф(/(А)) и [А, Г \{а}] - открытое множество пространства СX(X,У), содержащее точку ф°/е СX(X,У). Пусть 0Г - функция, тождественно на X равная нулю пространства Г. Так как СX(X,У) топологическая группа, существует окрестность [В, Sе(0)] точки 0Г, такая, что ф°/+[В, Sе(0)] с [А, Г \{а}]. Выберем точку х0 еА, так чтобы ф°/(х0) еSе(a). Пусть g = а - ф°/(х0) - функция, тождественная на X. Очевидно, что gе С^Г) и g е [В, Sе(0)]. Однако ф ° / + g £ [А, Г \{а}]. Действительно, (ф°Ад)(х0) = ф°/(х0) + g(x0) = а£Г \ {а}. Это противоречит нашему предположению, что ф°/+[В, Sе(0)] с [ А, Г \ {а}]. Теорема доказана.
Пусть дано семейство X непустых подмножеств пространства X, тогда X(С) = {А е X : для любого С-компактного подмножества В пространства X, такого, что ВсА, множество [В, и] открыто в СX(X,У) для любого открытого множества и пространства Г }.
Теорема 4. Пусть СX(X,У) паратопологическая группа. Тогда X=X(С).
Доказательство. Предположим, что А е и В - С-компактное подмножество пространства X, такое, что ВсА. Докажем, что [В, и] - открытое множество в С^Г) для любого открытого множества и пространства Г. Пусть Ае[В, и]. Множество А(В) - компактное множество. Это следует из того, что непрерывный образ С-компактного множества является С-компактным множеством, и в метри-зуемом пространстве С-компактные множества являются компактными (теорема 1 в [4]). Так как А(В)с и, то существует Sе(h(B)) = {уеГ: р(у, А(В)) < е}, такое, что Sе(h(B))c и. Множество Ж = А + [А, Sе(0)] - открытое множество в СX(X,У). Осталось доказать, что Ж с [В, и]. Действительно, пусть g е Ж и пусть х е В, тогда р(д(х),А(х)) = р(А(х) + /(х),А(х)) < е, где/е [А, Sе(0)]. Отсюда следует, что g(x)е и и Ж с [В, и]. Теорема доказана.
Так как пространство Г метризуемое, то на множестве C(X,F) можно рассмотреть топологию равномерной сходимости на семействе подмножеств .
Топология равномерной сходимости на пространстве X определяется базой в точкеfe C(X,Y). Эта база состоит из множеств (g е C(X,Y): p(g(x), f (x)) < e, xeX }, где p - метрика на пространстве Y. Топология равномерной сходимости на семействе X является естественным обобщением топологии равномерной сходимости на пространстве X. Все множества вида <f F, e> = (geC(X,Y): p(g(x)f(x)) < e, xeF}, где Fe X и e>0, образуют базу в точке /е C(X,Y). Множество C(X,Y) наделенное топологией равномерной сходимости на семействе X, будем обозначать как Cx u(X,Y).
Равенство CX(X,Y) = CXu(X,Y) подразумевает совпадение множественно-открытой топологии и топологии равномерной сходимости на семействе .
Теорема 5. Для тихоновского пространства X и метризуемого ТВП Y следующие утверждения эквивалентны:
1) Сх (X,Y) = Cx,h(X,Y);
2) CX(X,Y) - паратопологическая группа;
3) CX(X,Y) - топологическая группа;
4) Сх(X,Y) - ТВП;
5) семейство X состоит из C-компактных подмножеств пространства X и X = Х(С).
Доказательство. (1)» (4) следует из теорем 4.1 - 4.4 в [3]. Из (4)^ (3) по теореме 1.
Из (4) ^ (3)^ (2) по определению. (2)^ (5) следует из Теорем 3 и 4. Теорема доказана.
Если Y= R, то справедливо
Следствие 6. Для тихоновского пространства X следующие утверждения эквивалентны :
1) Сx(X)= Cx,h(X);
2) CX(X) - паратопологическая группа;
3) CX(X) - топологическая группа;
4) Сх (X) - ТВП;
5) CX(X) - локально выпуклое ТВП;
6) семейство X состоит из C-компактных подмножеств пространства X и X = Х(С).
Доказательство. Достаточно проверить (6) ^ (5) . Для каждого A е X определим полунорму pA на пространстве C(X): pAf) = sup(f(x)| : xe A}. Тогда для любого AeX и e > 0 пусть VA, e = (fe C(X) :pAf)<e}.
Пусть ^ = ( VA,e : A e X, e > 0 }. Тогда для каждой точки f е C(X) семейство f + t=(f + V: Уе ^ } является базой в точке f. Так как топология порождается семейством полунорм, то она является локально выпуклой. Следовательно, пространство С (X) - локально выпуклое ТВП.
2. Слабо множественно-открытая топология.
Подмножество A пространства X называют ограниченным, если f(A) - ограниченное множество для всех fe C(X). Заметим, что любое C-компактное подмножество является ограниченным, но не наоборот. Простой пример ограниченного, но не C-компактного подмножества можно привести на числовой прямой R, положив в качестве подмножества A произвольный ограниченный интервал (а, Р).
Заметим, что слабо множественно-открытая топология на семействе совпадает со слабо множественно-открытой топологией на семействе Х_{А: А еХ}.
Действительно, для любых / е С^Г) и А е X, /(А) с /(А) и, следовательно,
/ (А) с / (А). Таким образом, далее семейство X полагаем состоящим из замкнутых подмножеств пространства X.
Пусть дано семейство X непустых подмножеств пространства X, тогда X(B) = {AеX : для любого ограниченного подмножества В пространства X, такого, что ВсА, множество [В, и] открыто в С «^Г) для любого открытого множества и пространства Г }.
Теорема 7. Пусть С «^Г) - паратопологическая группа. Тогда семейство X состоит из ограниченных подмножеств пространства X.
Доказательство. Предположим противное. Пусть существует неограниченное множество А е X. Тогда существует/ е C(X), такое, что/(А) - неограниченное множество.
Пусть ф - изометрическое вложение Ж в пространство Г, определенное правилом ф = «0 , где точка у0е Г так, что 0 < р(0, у0) < 1 (где р - инвариантная метрика на Г).
Предположим, что для каждого аеЖ луч [а,+да)^ /(А) (доказательство для луча (-да, а] аналогично). Тогда существует система дизъюнктных открытых интервалов {(с,, Ь,)}, такая, что (с,,Ь,)п/(А) _0 для каждого ге М, и последовательности {с,} и {Ь,} стремятся к +да.
Получаем, что /(А) с Ж\Ц”_1(сг-,Ьг). Пусть А е С(Ж) такая, что
А(Ж\ (Х(сг, Ьг)) = N. Рассмотрим композицию g = ф о А ° / и окрестность [А,Ж]* функции g в слабо множественно-открытой топологии С «(X, Г), где Ж = У ^ 1Л (а, ) .
Так как С«^Г) - паратопологическая группа, то существует окрестность [В, Sе(0)]* нуля пространства С •(X,Г), такая, что g + [В, Sе(0)]* с [А, Ж ]* .
Заметим, что А с В. Действительно, если существует точка г е А\В, тогда существует функция реС(Г, Г), такая, что р\В = g\B и р(г) £ Ж. Получаем, что р е g + [В, S]* , нор £ [А, Ж]* .
Рассмотри функцию д(х) = ф (А(/(х)) + ё), где ё такое, что р(ё«у0, 0) < е и 0 < ё < 1.
Так как р(д(х), g(x)) = р(А(/(х)) + ё) «у0, А(/(х)) «у0) = р(ё«у0, 0) < е, функция д е g + [В, S] . Заметим, что g(А) с Ц.{аг} и д(А) с Ц. (аг + ё * у0), тогда существует /, такое, что 1//< ш1п{р(а,, aj + ё«у0), р(а/+1 , а/+1 + ё«у0)}. Следовательно, существует х0 е А, такое, что д(х0) = ак + ё«у0 для некоторого к >/. Таким образом, д(х0) £ Ж и д £ [А, Ж] . Получили противоречие с предположением, что [а, +да) /(А) для любого аеЖ. Таким образом, существует ЬеЖ, такое, что
[Ь, +да) с / (А).
Предположим, что ф о /е [А, и] , где и - открытое множество, содержащее ф(/(А)). Тогда [Ь, + да)«у0 с и. Так как С•^Г) - топологическая группа, то су-
ществует окрестность [Б, Sе(0)] нуля пространства Сх‘^Г), такая, что ф о/ + [Б, Sе(0)] с [ А, и ] . Функция ф о/ имеет базисную окрестность в слабо
П*
”_1 [А, ж, ] , такую, что
П”_1 [А,, Ж-]*сфо/ + [Б,Se(0)]* .
Заметим, что А с У А и АсБ (доказывается аналогично доказанному отношению АсВ).
По доказанному выше, множество /(А,) либо ограниченно сверху числом I,
либо содержит луч [Ь,, +да).
Пусть т = шах,{/,, Ь,} и пусть точка у е [т, +да)«у0 такая, что р(ф(т), у) > е. Множество /~1оф-1^е(у)) является функционально открытым, следовательно, существует неотрицательная функция уеС^, такая, что у(х) = 0 для всех
точек х £ /-1о ф-1^е(у)) и у(а)>5Мр{ф-1 ^ е(у))} для некоторой точки
а е /— о ф-1^е (у))П А. Функция ф (/+у)е C(X, Г) не принадлежит ф о /+[Б, S]* . Действительно, для точки ае АсБ выполняется:
Р(ф(/(а)), ф (/+У)(а)) = р(ф (/(а)), ф (/(а))+ ф (у(а))) = р(0, ф (у(а)))> е.
*
Заметим, что ф (/+у) е П ”_1 [А,, Ж,] . Пусть хе А,, тогда если х£ у-1 ° ф-1 (S е(у)), то
ф (/+^)(х) = ф /(х))е Ж, , и, если хе ° ф-1^ е(у)), тогда
/(х)е ф-1^ е(у)) с [т, +да) с /(А,), (/+у)(х) = /(х)+у(х)е[т, + да) и ф (/+у)(х) с ф (/(А,)) с Ж, .
Так как П”_1[А , Ж ] с ф ° / + [Б, S]* , то получаем противоречие. Таким образом, множество /(А) является ограниченным для любого АеХ и /£0^). Теорема доказана.
Теорема 8. Пусть Сх-(^Г) - паратопологическая группа. Тогда х= X(B) . Доказательство. По теореме 7 семейство X состоит из ограниченных подмножеств.
Пусть А е X и ВсА. Докажем, что [В, и] - открытое множество в пространстве Сх*(X,У) для каждого открытого множества и числовой прямой Ж. Пусть/е [В, и] .
Так как А - ограниченное множество, то множество /(В) - компакт. Существует
^ (/(В) )={ уеЖ: р(у, /(В) )< е } такое, что Sе (/(В) )си. Множество Ж = /+[А,
Sе(0)] является открытым множеством в пространстве Сх•(X,Г). Осталось показать, что Жс [В, и]*. Пусть gе Ж и хе В, тогда р(д(х), /(х)) = р(/(х)+А(х), /(х)) < е, где Ае [А, Sе(0) ]. Следовательно, g(x)е и и Жс [В, и]«. Теорема доказана.
Теорема 9. Для тихоновского пространства X и метризуемого ТВП Г следующие утверждения эквивалентны:
1) СX ,(X,Г) = Сх,u(X,Y);
2) Сх•(X,Т) - паратопологическая группа;
3) Сх*(X,Т - топологическая группа;
4) Сх-(X,Т - ТВП;
5) семейство X состоит из ограниченных подмножеств пространства X и X = X(B).
Доказательство. (1) » (5) следует из теорем 4.5 - 4.7 в [3]. Из (5) ^ (4) по теореме 2.
Из (4) ^ (3) ^ (2) по определению. (2) ^ (5) следует из теорем 7 и 8. Теорема доказана.
Если Y=R, то справедливо
Следствие 10. Для тихоновского пространства X следующие утверждения эквивалентны:
1) с *(X)= CUX);
2) Сх *(X) - паратопологическая группа;
3) С *(X) - топологическая группа;
4) С*(X) - ТВП;
5) С *(X) - локально выпуклое ТВП;
6) семейство X состоит из ограниченных подмножеств пространства X и X = X(B).
Доказательство. (6) ^ (5). По теореме 1.1 из [2] следует, что CXu(X) -локально выпуклое ТВП. Следовательно, по эквивалентности (1) » (6), Сх *(X) -локально выпуклое ТВП.
ЛИТЕРАТУРА
1. АсановМ.О. Пространства непрерывных отображений: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1981.
2. Kundu S., McCoy R.A. Topologies between compact and uniform convergence on function spaces // Internat. J. Math. & Math. Sci. 1993. V. 16. No. 1. Р. 101-110.
3. OsipovA.V. The set-open topology // Topology Proc. 2011. No. 37. Р. 205-217.
4. Осипов А.В., Косолобов Д.А. О секвенциально-компактно-открытой топологии // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2011. Вып. 3. Р. 75-84.
Статья поступила 15.09.2011 г.
Osipov A.V. ALGEBRAIC STRUCTURES ON THE SPACE OF CONTINUOUS MAPS. We study properties of the family X at which the set C(X,Y) of all continuous mappings from a Ty-chonoff space X into a metrizable topological vector space Y equipped with the (weak) set-open topology is a topological group.
Keywords: set-open topology; weak set-open topology; topological group; C-compact subset; paratopological group.
OSIPOV Alexander Vladimipovich (Ural Federal University, Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences) E-mail: OAB@list.ru
