Локально крестовые множества в топологиях раздельной непрерывности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Я. С. Гриншпон

ЛОКАЛЬНО КРЕСТОВЫЕ МНОЖЕСТВА В ТОПОЛОГИЯХ РАЗДЕЛЬНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Исследуются топологии раздельной непрерывности с помощью понятий локально крестового и сильно локально крестового множеств. Доказаны критерии компактности, счетной компактности, секвенциальной компактности, псевдокомпактности, линделефовости и полноты по Чеху пространств с такими топологиями. Результаты данной статьи обобщают работу [1].

Пусть X и У - вполне регулярные топологические пространства. На их декартовом произведении XхУ наряду с пространством со стандартной тихоновской топологией, которое мы также будем обозначать через ХхУ, будем рассматривать пространство X 0 У с топологией раздельной непрерывности [2] и пространство X 00 У с вполне регулярной топологией раздельной непрерывности [3].

Топологии раздельной непрерывности удовлетворяют следующим условиям:

- для любого пространства 1 отображение /: X х У ^ 1 раздельно непрерывно тогда и только тогда, когда /: X 0 У ^ 1 непрерывно;

- пространство X 00 У вполне регулярно, и для любого вполне регулярного пространства 1 отображение /: X х У ^ 1 раздельно непрерывно тогда и только тогда,

когда /: X 00 У ^ 1 непрерывно.

В топологии пространства X 0 У известно описание открытых множеств: О с X 0 У - открыто тогда и только тогда, когда для каждых а е X и Ь е У сечения Оа ={у е У;(а,у)е О} и ОЬ = {х е X;(х,Ь)е О} открыты в пространствах У иX соответственно.

Отметим также, что если каждое сечение множества Е с X х У замкнуто и дискретно в пространствах X и У, то само множество Е замкнуто и дискретно в пространстве X 0 У . Если, кроме того, пространство XхУ наследственно нормально и Е замкнуто в XхУ, то Е будет дискретным и в пространстве X 00 У .

Пусть теперь Е - некоторое подмножество множества XхУ. Тогда на множестве Е можно рассматривать три топологических пространства:

- пространство EX0У с топологией, наследуемой из пространства X 0 У ;

- пространство EX0У с топологией, наследуемой из

пространства X 00 У ;

- пространство EXхУ с топологией, наследуемой из пространства XхУ.

Из соотношений между топологиями раздельной непрерывности и тихоновской топологией произведения очевидным образом вытекает, что топология пространства EX0У сильнее топологии пространства EX 0У , которая, в свою очередь, сильнее топологии пространства EXхУ.

ЛОКАЛЬНО КРЕСТОВЫЕ И СИЛЬНО ЛОКАЛЬНО КРЕСТОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Для описания свойств топологий, индуцированных топологиями раздельной непрерывности, удобно ввести классы локально крестовых и сильно локально крестовых подмножеств произведения двух топологических пространств.

Определение. Пусть а е X и Ь е У. Тогда крестом точки (а, Ь) называется множество

сгоББ(а,Ь) = {(а,у);у е У}и{(х,Ь); х е X} .

Более общее понятие креста множества, лежащего в произвольном конечном произведении множеств, было введено в [4].

Определение. Пусть X и У - топологические пространства, E с X х У . Тогда множество E называется локально крестовым в XхУ, если у каждой точки (а, Ь) е E существует окрестность и в пространстве EXхУ такая, что и с сгоББ(а,Ь).

Определение. Пусть X и У - топологические пространства, E с X х У . Тогда множество E называется сильно локально крестовым в XхУ, если у каждой точки (а, Ь) е X х У существует окрестность и в пространстве X х У такая, что и п E с сгоББ(а, Ь).

Из этих определений видно, что, например, мно-1 1'

является локально крестовым,

I п-п);пе *}

жество —,— |; п

V п п

но не является сильно локально крестовым в Я х Я.

Отметим некоторые простые свойства локально крестовых и сильно локально крестовых множеств:

a) если E - сильно локально крестовое в XхУ, то E

- локально крестовое в XхУ;

b) если E - локально крестовое и замкнутое в

X х У , то E - сильно локально крестовое;

c) если E с (X) х Уг)п(X2 х У2) и E - локально крестовое в X1 х У1, то E является локально крестовым и в X2 х У2 ;

ф если E1 с E2 и E2 - (сильно) локально крестовое в X х У , то E1 - также (сильно) локально крестовое в X х У ;

е) если E1,E2,...En - (сильно) локально крестовые

п

в XхУ, то и ^ - (сильно) локально крестовое в XхУ;

к=1

^ если XхУ - (сильно) локально крестовое в XхУ, то либо X, либо У является дискретным пространством.

Свойство «с» показывает корректность употребления понятия локально крестового множества E без указания пространств X и У, подмножеством произведения которых является E. В частности, если X1 с X , У1 с У и E с X1 х Ух, то E - локально крестовое в

XI х У! тогда и только тогда, когда E - локально крестовое в XхУ. Для сильно локально крестовых множеств это не так. Действительно, множество

-1,11;п е к} не является сильно локально кресто-

\п п) )

вым в Я х Я, но является сильно локально крестовым в (Я\{0})х Я .

Предложение 1. Пусть X и У - вполне регулярные пространства, E с X х У - локально крестовое множество. Тогда EX0У = EX0У = EXхУ .

Доказательство. Достаточно показать, что топология пространства EX0У слабее топологии пространства EXхУ. Пусть (а,Ь) е E и V - произвольная окрестность точки (а,Ь) в пространстве EX0У . Тогда

V = V п E и множества V, = {у е У; (а, у) е К} и

VЬ = {х е X;(х, Ь) е К} открыты в пространствах У и X

соответственно. Так как E - локально крестовое, то существует окрестность и в пространстве EXхУ такая,

что и с сгобб(,, Ь). Множество (VЬ х V) п и является окрестностью точки (а, Ь) в пространстве EX0У . Покажем, что (VЬ х V) п и с V.

Пусть (с, ё) е (VЬ х^) п и . Тогда (с, ё) е и с сгобб(,, Ь) и с = а или ё = Ь . Если с = а , то

(с, ё) = (а, ё) е ({а} х ^ ) п E с V .

Если же ё = Ь , то

(с, ё) = (с, Ь) е (I?Ь х {Ь}) п E с V . □

Теорема 2. Пусть X и У - вполне регулярные пространства, E с X х У и EXхУ - пространство Фреше -Урысона. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) EX0У = EX0У = EXхУ ;

2) EX0У = EXхУ ;

3) E - локально крестовое множество.

Доказательство. Эквивалентность 1) » 2) очевидна.

Пусть выполнено условие п.2. Предположим, что найдется точка (а,Ь) е E такая, что и \ сгобб(,,Ь) ф 0 для любой окрестности и в пространстве EXхУ. Тогда (а,Ь) - предельная для E \сгобб(,,Ь) в пространстве EXхУ. Следовательно, существует последовательность {(ап,Ьп)}пе1Ч с E\сгобб(,,Ь), сходящаяся к точке

(а,Ь). Однако в пространстве EX0У множество {(ап,Ьп);п е К} замкнуто, так как каждое его сечение конечно. Получили, что EX0У ф EXхУ .

Импликация 3)^1) доказана в предложении 1. □

Приведем пример, показывающий, что в общем случае теорема неверна. Для этого напомним определение одноточечной линделефикации дискретного пространства.

Определение. Одноточечной линделефикацией дискретного пространства X называется пространство X и {у} такое, что все точки х е X изолированы, а окрестностью точки у является любое множество вида {у} и и, для которого выполняется условие, что

множество X \ и не более чем счетно.

Пример 3. Пусть X - произвольное несчетное дискретное пространство, У = X и {у} - одноточечная линделефикация пространства X и аК = {1;2;да} -одноточечная компактификация множества натураль-

ных чисел. По свойству «:5> множество аК х У не является локально крестовым в аК х У . Покажем, что тем не менее аК 0 У = аК х У .

Очевидно, что семейства окрестностей для точек, отличных от точки (да, у), совпадают в пространствах аК х У и аК 0 У. Пусть и - произвольная окрестность точки (да, у) в пространстве аК 0 У. Множества ип = {х е У; (п, х) е и} открыты в У, и значит, если п е иу = {п еаК;(п, у) е и}, то У \ ип не более чем счетно. Следовательно, множество

V = иу х ( п ип ) открыто в аК х У , (да, у) е V и

\пеПу )

V с и. Таким образом, топология пространства аК х У сильнее топологии пространства аК 0 У. Обратное же включение выполняется всегда: топологии раздельной непрерывности сильнее стандартной топологии произведения. □

Предложение 4. Пусть X и У - вполне регулярные пространства, E - сильно локально крестовое в X х У

г-т 0У т^X (0 У ^FX хУ

множество. Тогда E = E = E .

Предложение 4 позволяет говорить о замкнутых сильно локально крестовых множествах E в X х У , не уточняя, в какой из топологий раздельной непрерывности или стандартной топологии произведения рассматривается данное множество.

Теорема 5. Пусть X и У - вполне регулярные пространства, E с X х У и X х У - пространство Фреше

- Урысона. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) EX 0у = EX 0 у = EX хУ •

2) EX0У = EXхУ ; ’

3) E - сильно локально крестовое множество.

Доказательства предложения 4 и теоремы 5 аналогичны доказательствам предложения 1 и теоремы 2 соответственно. □

СВОЙСТВА ТИПА КОМПАКТНОСТИ

Пусть E - некоторое подмножество множества XхУ. Для множества E можно ставить вопрос о его компактности, счетной компактности, секвенциальной компактности и псевдокомпактности в трех топологиях: EXхУ, EX0У и EX0У . Любое компактное,

счетно компактное, секвенциальнно компактное или псевдокомпактное множество в X 0 У будет обладать этим же свойством в X 0 У, а любое компактное, счетно компактное, секвенциально компактное или псевдокомпактное множество в X 0 У будет обладать таким же свойством и в XхУ. Напомним, что компактные, счетно компактные и секвенциально компактные пространства всегда являются псевдокомпактами и в нормальных пространствах понятия счетной компактности и псевдокомпактности эквивалентны.

Докажем критерий, связывающий понятия компактности (счетной компактности, секвенциальной компактности, псевдокомпактности) во всех трех рассматриваемых топологиях произведения пространств.

Теорема 6. Пусть X и У - вполне регулярные пространства, E с X х У и EXхУ - наследственно нор-

мальное пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Ex(Y - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство;

2) Ex(Y - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство;

3) EXxY - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство, E - сильно локально крестовое множество в XxY;

4) EXxY - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство, E - локально крестовое множество в XxY;

5) EXxY - компактное (счетно компактное, секвен-

циально компактное, псевдокомпактное) пространство, и существует конечный набор точек

{,d1 ),(с2,d2),...,(сп,dn)} с E такой, что

n

E с U cross^, dk ) ;

k=1

6) Ex xY представимо в виде конечного объединения пространств, гомеоморфных компактным (счетно компактным, секвенциально компактным, псевдоком-пактным) подпространствам пространств X и Y.

Доказательство. Очевидно, что п.1 влечет п.2 и что для доказательства импликации 2)^З) достаточно показать, что любое компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) множество в X ( Y является сильно локально крестовым. Предположим, что ExgY - компактно (счетно компактно, секвенциально компактно, псевдокомпактно) и что существует точка (a0, b0 ) є X x Y такая, что для всякой ее окрестности U в пространстве XxY множество U n E \cross(a0, b0) непусто.

Пусть Ux и UY - произвольные окрестности точек a0 и b0 в пространствах X и Y соответственно. Тогда существует точка

(a1,b1) є En(x x UY)cross(a0,b0).

В силу регулярности найдутся окрестности uX , UY,

V1 X и V1Y точек a0 , b0 , a1 и b1 соответственно и точка (a2, b2) такие, что

U1X с Ux , U1Y с UY , U1x nVх =0 , UY nV1Y = 0

и (a2, b2) є E n(yx xUY )cross(a0, b0).

Продолжая данное построение по индукции, получим последовательность {(an, bn)} N. Обозначим через D

множество предельных точек этой последовательности в пространстве XxY.

Заметим, что функция

f : {(an, bn ); n є N}u| E n U cross d \ D I ^ R,

V dєD )

задаваемая по правилу f (an, bn ) = n и

f l U cross d I = {0}, непрерывна, причем ее область

V dєD )

определения замкнута в нормальном пространстве EXxY \ D . По теореме Титце - Урысона ее можно продолжить до непрерывной функции 8 : EX xY \ D ^ R . Продолжим теперь функцию 8 на все множество E, положив 8 (D) = {0}. Тогда g раздельно непрерывна и, следовательно, непрерывна относительно топологии пространства EXgY . Таким образом, на EXgY существует непрерывная неограниченная функция. Противоречие.

Импликация 3)^4) вытекает из свойства «а» локально крестовых множеств.

Покажем теперь, что из п.4 следует п.5, построив требуемый набор точек {ck, dk ); k = 1, n} . Точку (cj, d1 ) выберем произвольно. Если E с cross(c1, d1), то построение закончим. В противном случае, выберем точку (c2, d2) e E \ cross(c1, d1). Если предположить, что этот процесс продолжается до бесконечности, то получаем счетное множество

{(ck, dk);k e N} с E, замыкание которого по свойству «b» является дискретным. А это противоречит условию п.4 теоремы.

Для доказательства импликации 4)^5) обозначим

E2k-i = E п{(л dk);x e X} и E2k = E °{(ck, y); y e Y}

где {(ck, dk);k = 1, n} - конечный набор точек из п.4.

2n

Тогда E = U Ek. Пространства {(x, dk ); x e X} и

k=1

{(ck, y);y e Y} гомеоморфны пространствам X и Y, а множества Ek компактны (счетно компактны, секвенциально компактны, псевдокомпактны) в этих пространствах, как замкнутые подмножества множества E в нормальном пространстве EXxY.

Чтобы доказать оставшуюся импликацию 5)^1), надо заметить, что топология, индуцируемая на множества Ek топологиями пространств X x Y и X ® Y, одинакова. Следовательно, EX0Y , являющееся конечным объединением компактных (счетно компактных, секвенциально компактных, псевдокомпактных) множеств, обладает соответствующим свойством типа компактности. □

Следствие 7. Пусть X и Y - вполне регулярные пространства такие, что пространство X x Y является наследственно нормальным. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X ® Y - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство;

2) X <§> Y - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство;

3) одно из пространств X или Y является конечным, а второе - компактным (счетно компактным, секвенциально компактным, псевдокомпактным).

Доказательство. Импликации 1) 2) и 3) 1)

очевидны. Докажем, что п.2 влечет п.3. Действительно, из теоремы 6 и свойства «f» видно, что X или Y яв-

ляется дискретным, а любое дискретное компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псев-докомпактное) пространство является конечным. D

Следствие 8. Пусть X - вполне регулярное пространство, такое, что пространство X x X является наследственно нормальным. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X ® X - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство;

2) X ® X - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство;

3) пространство X является конечным.

Следствие 9. Пусть X и Y - метрические пространства, E с X x Y . Тогда следующие условия эквивалентны:

1) E - компактное множество в X ® Y ;

2) E - счетно компактное множество в X ® Y ;

3) E - секвенциально компактное множество в X ® Y ;

4) E - псевдокомпактное множество в X ® Y ;

5) E - компактное множество в X ® Y ;

6) E - счетно компактное множество в X ® Y ;

7) E - секвенциально компактное множество в

X ® Y ;

S) E - псевдокомпактное множество в X ® Y.

Доказательство непосредственно вытекает из теоремы б и из того факта, что все понятия типа компактности совпадают в случае метрических пространств. D

Известно, что понятия типа компактности эквивалентны в метрических пространствах. Следствие 9 дает примеры нерегулярных пространств (в частности, R ® R ) и вполне регулярных ненормальных пространств (в частности, R ® R ), для которых совпадают все понятия типа компактности.

Следствие І0. Пусть E с R x R. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Er®r - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство;

2) Er®r - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство;

3) E - сильно локально крестовое ограниченное замкнутое множество в R x R.

Доказательство непосредственно вытекает из теоремы б и критерия компактности в Rn . D

Отметим, что в формулировке условия п.З следствия 10 нет указания на топологию, в которой рассматривается множество E. Это стало возможным благо -даря доказанной в предложении 4 независимости замыкания сильно локально крестового множества от топологии.

Если пространства X и Y - хаусдорфовые и не вполне регулярные, то на их декартовом произведении естественно рассматривать только одну не вполне регулярную топологию раздельной непрерывности

X 0 У (топология этого пространства часто не является даже регулярной, см. например, [3, 5]).

Теорема 11. Пусть X и У - хаусдорфовы пространства и E с X х У . Тогда следующие условия эквивалентны:

1) EX0У - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное) пространство;

2) EXхУ - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное) пространство, и E - сильно локально крестовое множество в X х У ;

3) EXхУ - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное) пространство, и E - локально крестовое множество в X х У ;

4) EXхУ - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное) пространство, и существует конечный набор точек {(с1, ё1), (с2, ё2),..., (сп, ёп)} с E

п

такой, что E с и сгоББ(ск, ёк);

к=1

5) EXхУ представимо в виде конечного объединения компактных (счетно компактных, секвенциально компактных) подпространств пространств X и У.

Доказательство. Для доказательства импликации

1)^2), заметим, что построенное в доказательстве теоремы 6 множество {(ап, Ьп); п е К} является замкнутым и дискретным в X 0 У, так как все его сечения содержат не более одной точки. Остальные импликации доказываются так же, как и в теореме 6. □

Следствие 12. Пусть X и У - хаусдорфовы пространства. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X 0 У - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное) пространство;

2) одно из пространств X или У является конечным, а второе - компактным (счетно компактным, секвенциально компактным).

Доказательство аналогично доказательству следствия 7. □

Следствие 13. Пусть X - хаусдорфово пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X 0 X - компактное (счетно компактное, секвенциально компактное) пространство;

2) пространство X является конечным.

ФИНАЛЬНАЯ КОМПАКТНОСТЬ И ЛИНДЕЛЕФОВОСТЬ

Финальная компактность так же, как и свойства типа компактности, сохраняется при ослаблении топологии, поэтому любое финально компактное множество в пространстве X 0 У будет финально компактным и в пространстве X 0 У, а любое финально компактное множество в X 0 У - финально компактно и в X х У . Для характеризации финальной компактности пространств вида EX0У и EX0у более

удобными оказались не понятия локальной крестово-сти и сильной локальной крестовости, а свойства, аналогичные условию п.5 теоремы 6 и условию п.4 теоремы 11.

Теорема 14. Пусть X и У - хаусдорфовы пространства и E с X х У . Тогда следующие условия эквивалентны:

1) EX0У - финально компактное пространство;

2) EXхУ - финально компактное пространство, и существует счетный набор точек {(сп, ёп); п е К} с E

да

такой, что E с и сгобб(сп , ёп);

п=1

3) EXхУ представимо в виде счетного объединения пространств, гомеоморфных финально компактным подпространствам пространств X и У.

Доказательство. Предположим, что EX0У - финально компактное пространство, но счетного набора точек, кресты которых покрывают E, не существует. Построим по индукции набор точек (са, ёа) е E, где а<ю1. Точку (с1, ё1) выберем произвольно во множестве E, а точки (са, ёа) будем выбирать во множестве E \ и сгобб(ср , ёр). Каждое сечение множества

в<а

{(са, ёа);а <1^} состоит не более чем из одной точки, значит, оно замкнуто и дискретно в пространстве EX0У . А это противоречит финальной компактности.

Доказательство импликаций 2)^3) и 3)^1) аналогично доказательству импликаций 5)^6) и 6)^1) теоремы 6. □

Следствие 15. Пусть X и У - хаусдорфовы пространства. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X 0 У - финально компактное пространство;

2) одно из пространств X или У является счетным, а второе - финально компактным.

Следствие 16. Пусть X - хаусдорфово пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X 0 X - финально компактное пространство;

2) пространство X является счетным.

Регулярные финально компактные пространства

называют линделефовыми. Поэтому в случае пространства EX0У следует ставить вопрос о его линде-

лефовости. Будет ли верна в этом случае теорема, аналогичная теореме 14, автору неизвестно. Доказан только более слабый результат, аналогичный следствию 15.

Определение. Пусть X и У - топологические пространства. Будем говорить, что пространство X равномощно отображается в пространство У, если существует непрерывное отображение у : X ^ У такое, что множества X и ) имеют одинаковую мощность.

Теорема 17. Пусть X и У - вполне регулярные пространства такие, что X равномощно отображается в У и пространство XхУ является наследственно нормальным. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X 0 У - финально компкатное пространство;

2) X 0 У - линделефово пространство;

3) X - счетное и У - линделефово пространства.

Доказательство. Импликации 1)^2) и 3)^1)

очевидны. Докажем, что из п.2 следует п.3. Пусть X 0 У - линделефово. Тогда пространства X и У, как замкнутые подпространства пространства X 0 У, также линделефовы.

Предположим, что X - несчетно, и пусть у : X ^ Y - непрерывное отображение, такое, что

множества X и y(X) равномощны. Для каждого

b е y(X) обозначим Db = {(х,b); x е X и у(x) = b} .

Так как множества {(х, у( x)); x е X }\ Db и

U cross d \ Db замкнуты и не пересекаются в нор-

deDb

мальном пространстве (X х Y) \ Db , то существует непрерывная функция fb :(X х Y)\ Db ^ R такая, что

fb ({(x, У (x); x е X}) = {1} и fb ( U cross d) = {0} .

\deDb /

Продолжим теперь функцию fb на все множество X х Y , положив fb (Db) = {0}. Тогда fb раздельно непрерывна и, следовательно, непрерывна относительно топологии пространства X 0 Y. Получили, что в X 0 Y существует несчетное открытое покрытие {f—1 (— 1, 1)}^ замкнутого подмножества

{(x, у(x)); x е X} , из которого, очевидно, нельзя извлечь счетное подпокрытие. Это противоречит условию п.2. □

Следствие 18. Пусть X - вполне регулярное пространство, такое, что пространство X х X является наследственно нормальным. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X 0 X - финально компактное пространство;

2) X 0 X - линделефово пространство;

3) X - счетное пространство.

ПОЛНОТА ПО ЧЕХУ

Понятие полноты по Чеху определяется только для вполне регулярных топологий, поэтому мы будем рассматривать пространства вида EXgY , для исследования которых будем пользоваться известным критерием 19 и новым понятием локально раздельно крестового множества.

Определение. Пусть Г - семейство подмножеств множества X и F с X . Тогда F называется Г-малым, если найдется элемент G е Г такой, что F с G .

Теорема 19. Вполне регулярное пространство X полно по Чеху тогда и только тогда, когда существует счетное семейство {Гп}пе1Ч открытых покрытий пространства X со свойством: если Ф - центрированное семейство замкнутых множеств таких, что для каждого натурального n в Ф существует Гп-малое множество, то пересечение семейства Ф не пусто.

Определение. Пусть X и Y - вполне регулярные пространства, E с X х Y . Тогда множество E называется локально раздельно крестовым в X*Y, если у каждой точки (a, b) е E существует окрестность U в

пространстве EX^Y такая, что U с cross(a,b).

Предложение 20. Пусть X и Y - вполне регулярные пространства, E с X х Y , EXxY - наследственно нормальное и EX0Y - полное по Чеху пространства.

Тогда E - локально раздельно крестовое множество в

XxY.

Доказательство. Предположим, что E не является локально раздельно крестовым и существует точка (a0, b0) е E такая, что для всякой ее окрестности U

в пространстве EXgY множество U \cross(a0, b0) не пусто. Так как EXgY полно по Чеху, то существует счетное семейство {Гп}пеК открытых покрытий пространства EXgY из критерия 19.

Пусть (a0, b0) е Gj е Г , и UX и UY - произвольные

окрестности точек a0 и b0 в пространствах X и Y соответственно. Тогда существует точка (a1, b1) е (UX х UY) n G1 \ cross(a0, b0). В силу регулярности найдутся окрестности UjX, U, Vх и точек a0, b0, a1 и b1 соответственно, множество G2 еГ2 и точка (a2, b2) такие, что

UX с UX , Uf с UY , UjX n VX = 0 , Uf n VY = 0

и (a2,b2) е ( х Uf )nG1 nG2 \cross(a0,b0).

Продолжая данное построение по индукции, получим последовательность {(an, bn )}пеК. Обозначим через D

множество предельных точек этой последовательности в пространстве EXxY.

Заметим, что функция

f: {(an,bn);п е N} u (en U crossd\D) -» R ,

\ dеD /

задаваемая по правилу

f (an, bn) = n и f ( cross d) = {0},

\dеD '

непрерывна, причем ее область определения замкнута в нормальном пространстве EXхТ \ D . По теореме Титце - Урысона ее можно продолжить до непрерывной функции g : EXхТ \ D ^ R . Продолжим теперь функцию g на все множество E, положив g (D) = {0}.

Тогда g раздельно непрерывна, и следовательно, непрерывна относительно топологии пространства E.

X g Y ■

Обозначим Fn ={(an , bn ),(an+J, ¿WX-} Множества Fn замкнуты в EX gY , так как точки из множества D

отделены от них с помощью функции g, а точки, не принадлежащие Б, не являются предельными для Еп даже в более слабой топологии пространства EXхУ. Кроме того, по построению каждое ¥п является

да

Гп-малым множеством. Значит, П Рп *0 . Противо-

п=1

речие.

Теорема 21. Пусть X и У - вполне регулярные пространства, такие, что пространство XхУ является наследственно нормальным. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X 0 У - полное по Чеху пространство;

2) одно из пространств X или У является дискретным, а второе - полным по Чеху.

Доказательство. Импликация 2)^1) очевидна. Пусть выполняется п.1, и предположим, что в обоих пространствах существуют неизолированные точки а е X и Ь е У . Рассмотрим произвольную окрестность и точки (а, Ь) в пространстве X 0 У. Так как

топология пространства X 0 У слабее топологии пространства X 0 У, то сечение

иь = {х е X;(х,Ь)е и} открыто и, значит, не совпадает с точкой а. Пусть с е иь \{а} . Аналогично, сечение ис = {у е У;(с, у) е и} не совпадает с Ь, и существует элемент ё, принадлежащий множеству ис\{Ь}. Получили, что (с, ё) еи\сгоз5(а, Ь) и множество X х У не является локально раздельно крестовым. По предложению 20 пространство X 0 У не является полным по Чеху. Противоречие.

Таким образом, одно из пространств X или У должно быть дискретным, и так как полнота по Чеху наследуется замкнутыми множествами, то второе пространство будет полным по Чеху.

Следствие 22. Пусть X - вполне регулярное пространство, такое, что пространство X х X является наследственно нормальным. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X 0 X - полное по Чеху пространство;

2) пространство X является дискретным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гриншпон Я.С. Компактность в топологиях раздельной непрерывности // Междунар. конф. по математике и механике: Избранные докл. Томск, 2003. С. 50 - 54.

2. Knight C.J., Moran W., Pym J.S. The topologies of separate continuity. I // Proceedings of Cambridge Philosophy Society. 1970. No. 68. P. 663 -671.

3. Knight C.J., Moran W., Pym J.S. The topologies of separate continuity. II // Proceedings of Cambridge Philosophy Society. 1972. No. 71. P. 307 - 319.

4. Maslyuchenko V.K., Maslyuchenko O.V., Mykhaylyuk V.V., Sobchuk O.V. Paracompactness and separately continuous mappings // General Topology in Banach Spaces. New York, 2001. P. 147 - 169.

5. Hart J. E., KunenK. On the regularity of the topology of separate continuity// Topology and its Applications. 2002. No. 123. P. 103 - 123.

Статья представлена кафедрой теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 2 июня 2005 г.