Свободные n-периодические топологические группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика и механика № 3(11)

УДК 512.546

Л.В. Гензе

СВОБОДНЫЕ и-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ1

В статье вводятся понятия свободной и свободной абелевой «-периодических топологических групп тихоновского пространства X и доказывается существование таких групп.

Ключевые слова: топологическая группа, свободная группа, п-периодическая группа, непрерывный гомоморфизм.

Понятия свободной топологической группы и свободной абелевой топологической группы произвольного тихоновского пространства X ввел А.А. Марков в [1]. В [2] А.В. Архангельский изложил простое доказательство существования таких групп. В статье [3] были введены понятия и доказано существование свободной и свободной абелевой п-периодических топологических групп произвольных отрезков ординалов. В данной работе такие группы определяются для произвольного тихоновского пространства X и доказывается их существование. При доказательстве используются идеи и рассуждения из работы [2].

Определение. Пусть п > 2 - некоторое натуральное число. Группу О с единицей е будем называть «-периодической, если ^ = е для каждого g £ О.

Несложно видеть, что класс всех «-периодических групп замкнут относительно переходов к подгруппам, переходов к фактор-группам и переходов к декартовым произведениям.

Пусть п > 2 - некоторое фиксированное натуральное число и X - произвольное

множество. Словом будем называть формальное выражение вида х^1---хекк , где

х; е X и Е; £ {1,..., « - 1}, I = 1,..., к. Пустой набор тоже будем называть словом. Слово будем называть несократимым, если в нем не встречается комбинаций вида (х1. хк )т, где х; е X,; = 1,., к и т > п. Рассмотрим два несократимых слова 1\

и х2 и образуем новое слово, в котором сначала идут все элементы первого слова (в их исходном порядке), а затем все элементы второго слова (также в их исходном порядке). В полученном слове произведем сокращения, последовательно вычеркивая комбинации (х1.хк)«, пока не получим несократимое слово, которое назовем произведением слов х1 и х2.

Множество всех несократимых слов (включая пустое слово) с только что введенной операцией умножения образует группу, которую мы обозначим ^[п](^^ и будем называть свободной «-периодической группой, порожденной множеством X.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы», государственный контракт П937 от 20 августа 2009 г., а также при финансовой поддержке Федерального агентства по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238.

Единицей в этой группе является пустое слово, а обратный элемент к х61- хкк -

это х« 5... х1« 51. Очевидно, что Т[п](А’) является «-периодической группой.

Теорема 1. Для любого тихоновского пространства X существует «-периодическая топологическая группа Fn](X), обладающая следующими свойствами:

1) X гомеоморфно замкнутому подпространству в F[n](X);

2) алгебраически F[n](X) является свободной «-периодической группой, порожденной множеством X;

3) если О - «-периодическая топологическая группа и /: X ^ О - непрерывное отображение, то / можно продолжить до непрерывного гомоморфизма f: ^[«](X) ^ О .

Для доказательства этой теоремы нам потребуются две леммы.

Лемма 1 [4]. Каждая топологическая группа О топологически изоморфна замкнутой подгруппе некоторой линейно связной топологической группы О .

Доказательство. Рассмотрим множество О тех функций f заданных на полуинтервале [0,1) со значениями в О, для которых существует последовательность 0 = г0 < ^ < ... < =1, такая, что / постоянна на каждом полуинтервале [ , г^).

Относительно операций f g (г) = /(г) g (г) и (г) = (/(г)) ч, ге [0,1), О является группой. Функция, тождественно равная единице группы О, является единицей группы О. Топологию на О зададим следующим образом: для е > 0 и окрестности V единицы группы О рассмотрим множество

и(V,е) = {f е О: е [0,1): f (г) г V}) <е} ,

где ц - мера Лебега на прямой. Семейство всевозможных множеств и (V, е) образует базу единицы группы О. Постоянные функции образуют замкнутую подгруппу в О, топологически изоморфную группе О. Осталось показать, что группа О линейно связна. Пусть f е О, g е О и а £ [0,1]. Положим

и (г) = {•/ (г),ге [0,а); а() Ь (г), г е [а,1).

Ясно, что при любом а £ [0,1] Иа е О, И0 = g, И = f и что отображение а ^ Иа

из [0,1] в О непрерывно. ■

Замечание. Очевидно, что если О - «-периодическая топологическая группа, то группа О, построенная в лемме 1, тоже будет «-периодической и что |О| < тах {О| ,2к° } .

Лемма 2 [4]. Пусть X - тихоновское пространство, У - линейно связное пространство, х, ; = 1,., т, - различные точки пространства X и у, ; = 1,., т, - различные точки пространства У. Тогда существует такое непрерывное отображение f: X ^ У, что f (х,) = у,, ; = 1,., т.

Доказательство. Зафиксируем точку у0 £ У и рассмотрим непрерывные отображения ф; : [0,1] ^ У, для которых ф,(0) = у0, ф,(1) = у,, ; = 1,., т. Пусть и, - попарно непересекающиеся окрестности точек х, ; = 1,., т, и у,- : X ^ [0,1] - такие непрерывные функции, что у (х,) = 1 и у (х) = 0, если х £ X \ и .

Положим х i = фг°уг. Тогда х (x) = уг и сужения отображений х k и х / на множе-

m

ство X \ QU равны для любых k, l = 1,__________, m. Следовательно, отображение

i=1

/: X ^ 7, заданное формулой

X (x), x eUt;

/(Х) = <yo, x e X\Qu-,

i=1

определено корректно, непрерывно наX и/(x-) = у-, i = 1,_,m. ■

Доказательство теоремы 1. Пусть 4 = {Gs | s G S} - такое семейство я-перио-дических топологических групп, что:

(а) |Gs| < max {|X| ,2К°};

(б) элементы 4 попарно топологически неизоморфны;

(в) любая я-периодическая топологическая группа H, для которой HI < max {X| , 2К°} , топологически изоморфна некоторой группе Gs G 4.

Рассмотрим семейство n = {/s,t | /¡,t: X ^ Gst ; t G Ts} всех непрерывных отображений пространства X в группу Gs G 4 (Gs t - это экземпляр группы Gs для каждого t G Ts). Покажем, что семейство ns разделяет точки и замкнутые множества пространства X. В самом деле, пусть F С X - произвольное непустое замкнутое множество, x G X \ F и/: X ^ [0,1] - такое непрерывное отображение, что /(x) = 0 и /(у) = 1 для каждого y G F. Из замечания после леммы 1 следует, что семейство

4 содержит линейно связную группу G (так как в семействе 4 найдется группа, топологически изоморфная дискретной аддитивной группе Zn классов вычетов по модулю я, которая, очевидно, является я-периодической). Пусть g0 и g1 - два различных элемента этой группы и ф : [0,1] ^ G - такое непрерывное отображение, что ф(0) = g0 и ф(1) = g1. Ясно, что композиция ф°/ является непрерывным отображением из X в G (т.е. совпадает с некоторым /st), что ф°/(x) = g0 и ф°/(y) = g1 для каждого y G F.

Итак, семейство п разделяет точки и замкнутые множества, а, следовательно, диагональ 5 отображений {/s t | t G Ts , s G S} является гомеоморфным вложением пространства X в я-периодическую топологическую группу

П Gs t (S(x) = {/s,t (x) 11 e Ts, s e S}e П Gs,t).

teTs, seS

Пусть F[n](X) - алгебраическая оболочка множества 5(X) в П Gs,t. Наде-

5,?

геТх, 5е5

лим F[n](X) топологией, индуцированной из тихоновского произведения П О5 ? топологических групп О5, ?. Тогда F[n](X) становится топологической

1еТх, 5е5

группой, причем «-периодической, так как она является подгруппой декартова произведения «-периодических групп. Докажем, что группа F[n](X) - искомая, для чего надо показать, что она обладает свойствами 1), 2) и 3).

Сначала докажем, что Fn](X) обладает третьим свойством. Пусть О - произвольная «-периодическая топологическая группа и f: X ^ О - непрерывное отображение. Тогда образ f (X) содержится в некоторой подгруппе Н с О, такой, что

HI < max {|X| ,2К°} . Поэтому пара (H, /) совпадает с некоторой парой (Gs t, /,t), где Gst G 4 и/st G ns. Пусть ns,t : П Gs t ^ Gs t - проекция. Ясно, что - непре-

teTs, seS

рывный гомоморфизм. Его сужение на F[n](X) и будет искомым продолжением отображения /.

Докажем теперь, что алгебраически F[n](X) является свободной я-периодиче-ской группой, порожденной множеством X. Отображение 5 : X ^ П Gs,t , по-

teTs, seS

строенное выше, можно продолжить до алгебраического гомоморфизма 5: F[я] (X) ^ П Gs t формулой

teTs, seS

5 (xE1 x22 • • • xkk ) = (5 (x1 )) (5 (x2 )) - (5 (xk )) .

Докажем, что этот гомоморфизм является (алгебраическим) изоморфизмом между FW(X) и F[я] (X) с П Gs t . Ясно, что 5(F[я] (X)) = F[я] (X). Осталось пока-

teTs, seS

зать, что ядро гомоморфизма состоит из нейтрального элемента группы F W(X), т. е. что для любого непустого слова x^1 x!;2 — xkk e F[я] (X) его образ

5(( x!;2 ... xk ) отличен от единицы группы F^X). Рассмотрим на группе F[n](X)

дискретную топологию. По лемме 1 найдется линейно связная топологическая группа G, содержащая замкнутую подгруппу, топологически изоморфную группе F [,,](X). Пусть x^1 x;2 — xkk Ф e - элемент этой подгруппы, соответствующий x^1 x22 — xlk (e - единица группы G). По лемме 2 найдется такое непрерывное отображение /: X ^ G, что / (xi) = 5ci, i = 1,_, k. Можно считать, что / = /s,t при некоторых s e S и t e Ts. Но отображение 5 - это диагональ отображений /s t. Следовательно, e Ф (5(x1 )) (5 (x2 ))2... (5 (xk )) = 5 (x^ x22 — xskk), где e - единица в F^X).

Наконец, убедимся, что X - замкнутое подпространство в F^X). Если X -компакт, то пространство X замкнуто в F^^X), так как F^^X) - хаусдорфово пространство. Пусть теперь X - произвольное тихоновское пространство и cX - некоторая его компактификация. По уже доказанному свойству 2) можно считать, что F^X) с F^cX), значит, F^cX) содержит F^X) в качестве алгебраической подгруппы. Пусть тс - топология на F-^X), индуцированная из F’n](cX). Так как cX замкнуто в F^cX) иX = cX П F[n](X), то X замкнуто в (F^X), tc). Обозначим через т топологию на Fi”](X), наследуемую из П Gst . По доказанному свойству 3)

teTs, seS

тождественное отображение ф : X ^ X С FXX), tc) продолжается до непрерывного гомоморфизма (даже изоморфизма) ф: (F[я] (X),т)^-(F[я] (X), tc ). Но так

как X замкнуто в (F^X), tc), то ср 1(X ) = X замкнуто в (F^X), т). ■

Определение. Группу F"XX), существование которой доказано в теореме, будем называть свободной п-периодической топологической группой пространства X.

Определим теперь свободные абелевы n-периодические группы тихоновских пространств.

Напомним, что прямой суммой семейства абелевых групп {As }seS называется подмножество в декартовом произведении П As , состоящее из таких элементов

seS

{as }seS, у которых as ^ 0 лишь для конечного числа индексов s G S.

Пусть п > 2 - некоторое фиксированное натуральное число и X - произвольное множество. Свободной абелевой п-периодической группой, порожденной множеством X, будем называть прямую сумму семейства групп {ZX} , где Zxn изо-

морфна Zn (аддитивной группе классов вычетов по модулю п) для каждого x G X. Обозначим эту группу A [n](X). Очевидно, что A [n](X) является п-периодической группой. Элементы группы A [n](X) можно представлять себе так: это формальные конечные линейные комбинации a1x1 +... + akxk элементов множества Xс коэффициентами из Zn , причем две такие линейные комбинации равны тогда и только

тогда, когда они отличаются, самое большее, порядком слагаемых. Сложение линейных комбинаций проводится формально, путем сложения коэффициентов при одинаковых элементах xt и приведения их по модулю п.

Теорема 2. Для любого тихоновского пространства X существует абелева n-периодическая топологическая группа A[n](X), обладающая следующими свойствами:

1) X гомеоморфно замкнутому подпространству в A[n](X);

2) алгебраически A[n](X) является свободной абелевой п-периодической группой, порожденной множеством X;

3) если G - абелева n-периодическая топологическая группа и f : X ^ G - непрерывное отображение, то f можно продолжить до непрерывного гомоморфизма

f : A[n](X) ^ G .

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. Определение. Группу A[n](X), существование которой доказано в теореме, будем называть свободной абелевой п-периодической топологической группой пространства X.

ЛИТЕРАТУРА

1. Марков А.А. О свободных топологических группах // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. Вып. 9. № 1. С. 3 - 64.

2. Архангельский А.В. Топологические пространства и непрерывные отображения. Замечания о топологических группах. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. 147 с.

3. Genze L.V., Gul'ko S.P., and Khmyleva T.E. Classification of continuous n-valued function spaces and free periodic topological groups for ordinals // Top. Proc. 2011. V. 38. P. 1 - 15. (E-published on June 30, 2010. URL: http://topology.auburn.edu/tp/reprints/v38/)

4. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. М.: Наука, 1975. 656 с.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

ГЕНЗЕ Леонид Владимирович - старший преподаватель кафедры теории функций Томского государственного университета. E-mail: genze@math.tsu.ru

Статья принята в печать 21.06.2010 г.