О множествах Жюлиа некоторых рациональных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513

Секованов Валерий Сергеевич

Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова

О МНОЖЕСТВАХ ЖЮЛИА НЕКОТОРЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

В данной статье исследуются множества Жюлиа и бассейны притяжения некоторых рациональных функций, устанавливается хаотичность рациональных функций на своих множествах Жюлиа.

Ключевые слова: хаотичность, множество Жюлиа, периодические отталкивающие и притягивающее точки.

Множества Жюлиа появились в начале прошлого века в результате итериро-. вания функций комплексной переменной. Исследования показали, что в большинстве случаев множества Жюлиа являются фракталами. В настоящее время интенсивно исследуются фрактальные множества на комплексной плоскости. Это связано с их использованием при создании математических моделей в физике, экономике и других науках. Полезны комплексные фракталы и для реализации дидактических целей, поскольку математические исследования органически переплетаются с разработкой алгоритмов, реализуемых с помощью современных информационных и коммуникационных технологий, включая параллельное программирование, что дает прекрасную возможность формирования креативности студентов.

Следует отметить, что множества Жюлиа и множество Мандельброта рассматриваются в учебных пособиях и монографиях (см., например: [1-5]) в основном для квадратичных отображений.

В настоящей работе мы покажем, что множество Жюлиа для рациональной функции

2г

2 г

Ю , __ V

- = — + — , (г є С, в є [0, 2^1) 2 2г 1 ;

‘'°г +!)

г є R, г = г,

является прямой линией ц(г) = ГЄ проходящей через начало координат, и установим, что функция /(г) хаотична на своем множестве Жюлиа.

Множество Жюлиа для полинома комплексного переменного /(г), обозначаемое J/), определяется как J(/) = д{г: /(п)(г) ^ да, п ^ да}, где 8 - граница области притяжения бесконечности, а /(п)(г) = /(/(п-1)(г)),п = 1, 2,....

Покажем, что множество Жюлиа для функции /(г) = г2 есть окружность |г| = 1. На самом деле,

/ (1)( г) = г2, / <2)(г) = (г 2 )2 = г 4 = г 2 •г 2. Так как

Ь1 = ИІ• Ь1 =1, то |/<2)(г)| = 1. Следовательно, / (2)(г) находится на единичной окружности радиуса единичной длины с центром в начале координат. Аналогично можно проверить, что точки

/ <3)(г), / <4)(г).../ (п)(г)... также находятся на единичной окружности.

Нетрудно проверить, что последовательность

/(п)(2о) = /(/<пЧ)(2о)) = г0Г , п = 1, 2, ... стремится к да,

если |г0| > 1. При |г0| < 1 данная последовательность будет стремиться к 0. В рассмотренном случае множеством Жюлиа будет окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Мы будем считать множеством Жюлиа рациональной функции как замыкание периодических отталкивающих точек.

Справедлива теорема: пусть Д — полином п-й степени п > 2. Тогда следующие определения множества Жюлиа эквивалентны:

а) множество Жюлиа есть граница области притяжения всех притягивающих неподвижных точек функции f включая да;

б) каждая отталкивающая периодическая точка принадлежит Jf) и Jf) является замыканием отталкивающих периодических точек для функции f (см.: [2]).

Найдем для функции f (г) = 22 множество Жю-лиа, воспользовавшись пунктом б) выше приведенной теоремы.

Как уже отмечалось, f (п)(г) = г2 . Пусть периодические точки порядка р = 1, 2, 3,... удовлетворяют

уравнению г2" = г. Если г * 0

2 р -1

то, сократив на г,

получим, что г2 1 = 1. Следовательно, имеется 2 р -1 периодических точек, образующих множество

2 лід

В = \е ^

2р-1

0< д < 2р -2^ =

0 < д < 2р - 2

2па 2па

= ^сов------— + і sin

2р-1

Все эти точки лежат на единичной окружности с центром в начале координат и распределены на ней

равномерно. Поскольку

(/ (г)( р))'

= 2р > 1, то каждая

ненулевая периодическая точка является отталкивающей. Совокупность всех периодических точек функции ./(г), очевидно, образует всюду плотное подмножество единичной окружности. Таким образом, согласно характеристическому свойству б), множеством Жюлиа является единичная окружность.

Рассмотрим функцию

/ (г ) = г-:

2г

Заметим, что г

2г

— е

= 2 2г

в і—

, 2

г2 = -е 2 - нули функции

Х(г)

г) = г" - е являются неподвижными сверхпритя-

2 . ів г + е

2 . ів г + е

е

гивающими точками функции f (z) = z-------, по-

2z

скольку

f (z1 ) = z^

f '(z) = 1 -

л 2 о ^ і о ie 2 ie

4z - 2z + 2e z - e

4z2

2z2

После преобразований имеем

в 2 в

є'2 w^l1 + ^

V( f (^1(wo>>> = в w2 1-в = wo2

є'^2 ^ - Jl .

wo -1

/ в ■ eJ

Рассмотрим две точки Al c0s_2и

( в . в J Ґ \ i-

Bl- cos — , - sm — I, лежащие на прямой v(z ) = re 2,

где r є R, z = r. Покажем, что для функции

id

-e

f (z) = —і--множество Жюлиа J(f> есть перпен-

2 2z

дикуляр, проходящий через середину отрезка AB. Уравнение этого перпендикуляра, очевидно, имеет

И *і)

вид: /u(z) = re12 2J, где r є R, z = r. Обозначим пря-

/-+-J

мую n(z)= re12 2J через L.

i( -+£J

Заметим, что если z = re12 2JeL, то

Таким образом, <р(Д(ц> ‘(м ))) = м>2 для каждого

м е С . Раньше мы установили, что множество Жюлиа для функции Ыг) = г2 есть окружность единичного радиуса с центром в начале координат комплексной плоскости С. Таким образом, изучение траекторий точки при отображении Д сводится к изу-

чению траектории точки при отображении 1(м) -Покажем, что отображение г = у~1(м) = <

w +1 w-1

переводит окружность |м| = 1 в прямую

ц(г) = ге (2 2',г е R , г = г. Для того чтобы убедиться в справедливости данного суждения, найдем образы трех точек при отображении

i(-+£) ■

re12 2J e,e

f (z> =--------------+

2

2re

i( I+! J

іI+fJ

2re

r -± )є-1 1^ L. 2 2r J

, i— q> (w> = e 2

w+1

w-1

. Действительно, пусть w = -i. Тог-

■ . 1 -e t 1 . -VI -4 9 в т в i( I +

-1 +1 (-1 +1>(1-1> i~2 ■ '2 '~2 '~2 4 2 + 2 J

да ----------e 2 = --------—-------e 2 = ie 2 = e 2 • e 2 = e 12 2J

i-1

Если же w = 1, то e

w +1 w-1

= да . И, наконец, если

r О il-+£l

Таким образом, точки гек ; и | ^ |е

лежат на одной прямой L. Следовательно, если г е Ь, то и Д (г) е Ь .

Рассмотрим теперь два отображения, каждое из которых является гомеоморфизмом комплексных

плоскостей Z и W:

в

z + e 2 w = ф( z> =----------F и

w = -1, то e

w +1 w-1

= o . Таким образом, при отобра-

жении q> ‘(w> = e 2

w+1

w-1

трем точкам, лежащим на

окружности w = 1, соответствуют три точки на пря-

.(в к il —+— І 2 2

мой /u(z)= re12 2J. Ясно, что дробно-линейное пре-

образование p1(w> = e 2

w+1 w-1

переводит единичную

- i—

z = q> (w> = e 2

w + 1 w-1J '

Пусть 1(м) = м2. Покажем тогда, что I = <р ° Д ° ф 1 (то есть м2 = ф(Д(ф 1 М)) ). Пусть м = м0. Тогда

wo +1

. Далее получим

z1 = f ( zo> = f (9~ 1(wo>> = J

2 • zo

wo +1

id

e I l wo-1 J +e = wo2 +1

в

2e 2 o

w +1

wo2 1

wo 1

'(f *5 J

окружность в прямую линию ц(г)= ге ^2 2'. Будем

считать, что внутренность единичного круга |м| = 1

функция ‘(м) переводит - в полуплоскость Р а внешность единичного круга она переводит в полуплоскость Р1, на которые комплексная плоскость разбивается прямой линией,

i( -+-\

z ) = re 12 2 J, (r є R, z = r),

Mz )=

поскольку точки

o +1 o-1

-—-e 2 = — e 2 лежат по разные

стороны от данной прямой.

и

i6

e

в

e

2

в

.( в к

il —+-

в

в

Z — Є

в

в

6

6

2

2

2

e

Предложение 1. Пусть дана функция луплоскости

Р,

(р2).

Так

как

Д(г) = —+—. Тогда точки г и Д(г) лежат в одной и 2 2г

той же полуплоскости относительно прямой Ь. Доказательство. Докажем сначала, что функция

у (г ) = г +-^ переводит каждую точку, лежащую в

правой (левой) полуплоскости относительно мнимой оси в точку, лежащую в правой (левой) полуплоскости. Возьмем г = а + Ь', где а > 0 (а < 0). Тогда

а + іЬ 1 1 ( , а - іЬ

у(г) =-----------------------------------------------1-— = —| а + іЬ +-

2 2(а +іЬ) 2

2 , ї2 а + Ь

1

= — | а +

+— і| Ь -

Ь

, то v(z)

Так как 1 [а + ат+ь)> 0 ^ [а + 0

принадлежит правой (левой) полуплоскости. Возьмем точку м, находящуюся внутри окружности £ радиуса единица с центром в начале координат. Пусть ф(г) = —. Тогда ф-(м) = м +1. Покажем, г-1 м-1

м2 +1

что тогда точка —— лежит в левой полуплоскос-

м -1

ти относительно мнимой оси. Так как м находится

внутри Б, то поскольку ^-1(0) = = -1, то ф~1(м)

0 -1

будет находиться в левой полуплоскости. А тогда и у(0_1(м)) также будет находиться в левой полуплос-

кости

. Поскольку уфф '(™)) =

то и точка

будет находиться в левой полуплоскости. Если же м находится вне круга £, то аналогично можно по-

казать, что у\ф V

у(ф~1(м>)= будет

находиться в пра-

2 1

м -1

вой полуплоскости относительно мнимой оси.

Как и выше, будем считать, что прямая Ь, за-

і( І+1)

данная уравнением /л(г) = ге[2 2', (г е R,г = г), разбивает комплексную плоскость С на две полуплоскости Р1 и Р Покажем, что каждую точку г, при-

г е‘в

надлежащую Р1 (Р2), Д(г) = —+— переводит в точ-

2 2г

ку, также принадлежащую Р1 (Р2). Пусть

Р1 (Рг). Тогда существует такая точка і

у , 1 '2 м + 1

г = е 2----е

м-1

лежащая внутри (вне) круга £, что

-1/ \ *2 м +1 тт м +1

г = ф (м) = е 2-----. Поскольку точка —— лежит

м-1 м -1

в левой (правой) полуплоскости относительно мни-

■в 2,1

„ '7 м +1

мой оси, то точка е 2 —— будет находиться в по-

м2 -1

, і— /(г) = /(р“ (V)) = е 2

, то /(г) = /(ф\м>)) будет

находиться в плоскости Р1 (Р2).

Будем считать орбиту функции Д(г) предперио-дической, если для некоторого натурального числа п

число.

Д(п+к)(г) = Д(п)(^) = г, где к> 1 натуральное

Предложение 2. Пусть г е Ь с Z. Тогда возможны следующие случаи:

а) орбита Д (п)(г )}пп=1 имеет предел;

б) орбита Д (п)(г )}пп=1 периодична;

в) орбита Д (п)(г )}”=1 предпериодична;

г) орбита Д (п)(г )£= не имеет предела.

'Г ~+£1

Доказательство. Если точка г = ге -2 2 ; е Ь, то

г = ге ^22) є L , то /(г):

і( -+-1 ге12 21 і, еів

2 і(Н)

2ге

1 \ -I 0 ж

г 1 А і| -+

2 2г

= 1----|е[ е Ь . Таким образом, итерации

функцииДг) вдоль прямой ге[ 2 2' вычисляются по формуле (*):

1

г„м = —| г----------------

1

(*)

Положим г = -^(жа). Тогда гп+1 = -^(7(1^), м +1 гп =-^(лап). Далее в силу (*) получим

2 л

м 1Г 1 \

-<^(^+1 ) = тI -«^«п)+—7------------------Ч I = ). Из

2 [ сгф1ап))

последнего равенства находим, что сг^ (л,ап+1) = с1% (2лап). Следовательно,

жап+1 = 2лтап + тж,т е Z . В таком случае: ап+1 = 2ап + т, где т - целое число. Запись ап+1 = 2ап + т, т - целое число, означает, что ап+1 = 2ап mod1, где "тсхИ" сохраняет дробную часть, расположенную в полуинтервале [0, 1) (например, 2,45тоё1 = 0,45). Пусть ап записано в двоичной системе счисления. Тогда знаки ап1 будут теми же, что и в ап, только сдвинутыми на единицу влево, а единица, оказавшаяся левее двоичной запятой, отбрасывается. Поскольку функция г = -^(жа) отображает полуинтервал [0, 1) на всю

числовую прямую, то будем считать, что а е [0,1).

а) Очевидно, что каждая двоичная стационарная дробь имеет предел, равный нулю. Действительно, если а0 = 0,р1р2...рп в двоичной системе

а

2

г

в

счисления, то п-ая итерация числа «о = 0 ЛЛ.Д, (одна итерация состоит из сдвига запятой на один знак вправо и обнуления целой части) будет равна нулю, а / (п)(- ^ (о)) = да. Например, если то

«0 = 0,001(2) = 0,125(10) , а2 = 0,1(2) = 0,5(ю), г0 = -^(0,125ж) = -(1 + 42);

/% )=і|-(1+42

«1 = 0,01(2)= 0,25(10) ,

а3 = 0(2) = 0(10)

4(-(1 +^)+1+^2)" 2

1 (-1-242 -2+1

1+42

= -1,

/(2)(го) = 2(-1 +1) = 0, /) = да . Следовательно,

последовательность /(п) (г) }п=1 имеет предел, равный дає С.

б) Пусть ао = 0,ДД..ДДД..ДДД... является

периодической двоичной дробью. В данном случае а0 = 0,(р1р2...рп) порождает периодическую орбиту, период которой равен п. Таким образом /(п) (г) = г, где г = -^(ал). Рассмотрим пример. Пусть а0 = 0, (10 )(2) = 0, (б) (10). Тогда имеем

го=-с%(хао)= ^3. Первая итерация а1 числа а0

будет иметь вид а1 = 0,0(10), /(1)(го) = -^. Далее

имеем а2 = 0, (10), /(2) (г0) = г0.

в) Возьмем г0 = 43. Тогда после преобразований получим: г1 = /(го) = ^ г2 = /(2) (го) = -^

г3 = /(3) (г0) = ^. Далее заметим, что

/(2+1)(г0) = /(2)(г1) = г1. Таким образом, орбита {/п (г) }пп=1 точки г является предпериодической.

г) Если а0 = 0,р1р2...рп... является бесконечной непериодической дробью, то последовательность итераций {ап }да= не будет иметь передела. А тогда не будет иметь предела и орбита точки /(п) (г) }”=1, где г = -^(яа0). В качестве иррационального числа а0 можно, например, взять последовательность Морса-Туэ, строящуюся по правилу: каждая строка получается из предыдущей путем приписывания справа дополнения, к системе чисел, расположенных в выше стоящей строке.

0

01

0110

01101001

0110100110010110

Таким образом, а0 = 0,0110100110010110.... Заметим, что в двоичном представлении а0 мы никогда не обнаружим трех единиц, стоящих рядом.

Лемма 1. Пусть ф гомеоморфизм метрических

пространств 1 и Ж (<р: Z — ш), а р- - обратное отображение для <р (р- :Ш — 1). Д- отображение метрического пространства 1 на себя и пусть

h = ф° До^-1. Тогда ф° Д(п) = Ь{п), то есть

р(/(п) (^(м)))= (м).

Доказательство поведем по индукции. При п= 1 равенство справедливо, так как фо Д о р- = h и Д = Д(1). То есть ф(д(1) (р- (м))) = h (м), Ум е С. Предположим, что наше утверждение справедливо при п=к. То есть фо Д(к* ор- = и(к* или что равносильно - ф(д(к )(^^1(м))) = ^к )(м). Подействовав на левую и правую части последнего равенства отображением ф- , получим Д(к) (ф- (м)) = ф- (h(к) (м)). Далее имеем следующее равенство

Д ^(ф-1 (м))= Д (/ (к\ф-\м)))= Д ф- (к(к >(м})). ^ме-

тим, что ф(д(ф-(в(к)(м)))) = h(h(k)(w))= h(k+1)(w). Поскольку р(д (к+^ (р- (м))) = ф(/ (ф (к(к) (м)))), то лемма 1 доказана.

Рассмотрим ^'^) = V2, V = ф( г) =

г + е

г = ф \-ю) = е 2

г2 - е‘в г2 + е‘“ — е

- = — + -

/ (г ) = г-:

V-1

2 ів 2 . і^ іб

2г

2г 2 2г

Тогда согласно лемме 1 будем иметь р(д(п)(р-1(м))) = м2', поскольку ^п)(м) = м2' .

Предложение 3. Если точка г е Р1 с 1. Тогда

Д(п(г) —— -е 2 при

Доказательство. Существует такая точка м, лежащая внутри единичного круга £, что г = ф- (м). Поскольку (р(д(п)(ф-‘(м)))= м2' , то

/ (п)('р-1 (^))=^-1(^2п )=е 2

V +1 V2 -1

и

г - е

в

Из последнего равенства вытекает, что

.л г , 1 .л

і-2 V +1 і -

е 2 —------> -е 2 при п ^ да.

V -1

Предложение 4. Если точка г є Р2 с Z . Тогда

Д(п)(г) — е 2 при п — да.

Доказательство аналогично доказательству предложения 3.

Лемма 2. Пусть h = ро Д оф-, где h, j и Д те же отображения, что и в лемме 1. Тогда Д(п) имеет неподвижную точку тогда и только тогда, когда й(п) имеет неподвижную точку.

Доказательство. Пусть Ф)(м) = м. Тогда со-

же имеет 22” 1 неподвижных точки.

Как и выше, обозначим прямую

і( -+-1

ц(г) = ге ^2 2), (г є R,г = г) через Ь, а окружность радиуса 1 с центром в начале координат обозначим через &. Предположим, что точка г є Ь имеет период п, где п>1 для функции / (в случае п=1, на прямой Ь находится лишь одна неподвижная точка г = да ).

Существует такая точка V є 5, что г = р- (V. Покажем, что данная точка отталкивающая. Согласно лемме 1 получим Ф(/ = V2' . Тогда

гласно

лемме 1 р(/(п'(р ‘(^})) = h(n*(^)= V. Из

/ (п)(,р-1(™)) = р- (у>г). То есть / (п)(<рч (™)) = е

после-

V +1

V2 -1

днего равенства получаем Д (п)ф- (м))= р- (м). Положив г = (р~1(м), получим Д(п)(г) = г . Обратно, пусть Д(п) (г) = г. Существует такое м, что г = р- (м). Из равенства р(д (п)(р-1(м)))= ^п)(м) имеем: Д(п)(г) = р-1 (в(п)(м)). Так как Д(п)(г) = г , то Д(п)(р-1(м}) = р-(к(п>(м}) и г = (р-(й(п)(м)). Применив к левой и правой части последнего равенства отображение ф, получим ^п)(м) = м, поскольку

ф(г) = м и лемма 2 доказана.

Замечание. Мы показали, что если м является неподвижной точкой для п-ой итерации й(п)

г(п)

Далее имеем:

(/ (п)(г ))'=(/ %>)))’ =

( -в 2п . Л

^ V +1

е 2 —------------

2

V - 1

/->п 2п-1 / /->п+1 2п-1

2 ^ (- 2)_ 'I2

і-2 2п ^2”-1 (^2п -1)-2п ^2”-1 р" +1)

=е 2-------—ГТ^2—-------~

(^ -1)

(^п -1)2 (^п -1)2'

После преобразований

получим:

(/ %»)) =:

2п

(Ф'^) = V), то для п-ой итерации /(п) неподвижной принадлежат & Так как

точкой является точка ф(м) (д(п)(р-1 (м))= р-(м)).

Теорема 1. Прямая Ь является замыканием периодических отталкивающих точек функции

—

Д (г) = г + —.

2 2г

Доказательство. Рассмотрим вновь = м2,

Следовательно,

|(/ =|(/ ^-Р»))! = -

-> 1

в

і і 2 й і г + е 2 ч ^ V + 1

V = ф(г) =--------¥ г = ф (м>) = е 2-----------------

^ V -1 ;

г - е

- = —+-

2г 2г 2 2г

г + е 2

Как уже отмечалось, V = ф(г) =------¥ является

гомеоморфизмом комплексных плоскостей 1 и ш .

г1 + е'в

Нетрудно заметить, что функция Д (г) =---------ото-

2г

бражает 1 на себя.

Согласно лемме 1 будем иметь

(р(д(п)(р^1(м)))= м2~ . Поскольку й(п)(м) имеет 22”-1

неподвижных точки, то согласно лемме 2 Д(п) так-

Таким образом, точка г - отталкивающая. Покажем теперь, что множество периодических точек функции Д(г) всюду плотно на Ь. Пусть г е Ь и и - некоторая окрестность точки г. Тогда существует такая точка ае Б, что г = ф(а). Поскольку множество периодических отталкивающих точек всюду плотно на Б для функции к(м) = м2, то

существует последовательность [хрк ^ с Б (рк - период точки арк е Б, к=1, 2,...), сходящаяся к а е Б . Согласно лемме 2 и только что приведенным рассуждениям каждая точка последовательности

[-пРк }да=1 с Ь будет периодическая и отталкивающая

г2 + е'в

для функции Д(г) =---------. Поскольку ф- гомео-

2г

морфизм Б и Ь, то последовательность периодических отталкивающих точек [гРк [“ сходится к точке

Г п т=\

г е Ь, где гРк = ф- (арк). Существует такой номер п0,

2

в

г - е

что гр є и. Таким образом, множество периодических точек функции /(г) всюду плотно на Ь. Покажем, что функция /(г) хаотична на прямой

'(!+І)

ц(г)= ге [2 22 . Несколько изменив приведенное в [2] рассуждение, установим сначала хаотичность функции М—) = г2 на Б. Заметим, что если х = е'е, то

к{п}(х) = ег"'в". Возьмем 3 > 0, е = 2. Пусть х еБ .

/е+-^- I

Найдем такие пг е N и у = е[ 3 2 г 2 е Б, чтобы выполнялись условие расстояние р(х,упг )< 5 . Тогда

hW)(x) = e2'^ш и h{n‘)(yn )= e

2n*L e+^—J i \2»6в*-|■ i

3) и

р(к{п,)(х),^п,)(упа ))= 1 > в = —. Следовательно, И(г)

обладает существенной зависимостью от начальных условий на Б. Проверим транзитивность отображения И(г) на Б. Пусть и и V - открытые множества в Б. Нетрудно заметить, что существует такое п, что А(п)(и)зБ . Следовательно, ^п'(и)ПV непусто и транзитивность И(г) доказана. Всюду плотность периодических точек И(г) на Б отмечалась в начале статьи.

Пусть теперь 8 > 0, в = 1, г1 и некоторое открытое множество и на прямой Ь, содержащее точку г1. Тогда р(г1) принадлежат Б и ф(и) - открытое множество в Б. Обозначим <р(г) = х = е‘в и найдем

к

+------

3 ■ 2п&

такие ns є N и yni = e1 3 2”J, чтобы выполнялось ус:: ущ = e'(x+32ns^(U). Тогда yns)<5 и

ловие:

p(kM(x),hM(yns ))= 1 > s = 2. Обозначим k(ns\x) = w1,

k(n)(ys)= w2. Ясно, что точки w1,w2 eS . Тогда

•б.1 -в , 1

/(nV(wi))=e'2^, a /%-(W2))=Л .

Wi - 1 W2 -1

Далее найдем расстояние между точками

/(nVWi)) и /(nV (W2)):

/ v>,))-/%-■ w))=Л f -wi^ti - ^

1 1 ^ w2 -1 w1 -1

2 w2 - w11

Поскольку w1, w2 є S , |w2-l||wT -Ї й 4

-,i і 2 2| w2 - wi > —, то

|f (n V(w2 ))-f {n){V- W ))= > 6

W2 - Ї' W1 - І б

и существенная зависимость от начальных условий функции f(z> на L установлена. Покажем, что f(z> транзитивна на L. Пусть U и V - два открытых множества на прямой L. Тогда существуют такие два открытых множества W и W2 на S, что выполняются соотношения: U = cp~1(W1) и V = <р~^2). Поскольку h(w) = w2, то существует такое натуральное число n, что h{n){wl)зS . Далее, поскольку /'VWi )) = Р- (h{n){Wl)), то fM^1 (W1 ))з L. Следовательно, f(n)(p1 (Wт ))п V непусто и транзитивность f(z> установлена. Выше мы показали, что множество периодических точек функции f всюду плотно в L.

Таким образом, отображение f обладает существенной зависимостью от начальных условий, транзитивно и множество периодических точек f всюду плотно в L. Согласно определению хаоса, по Девани, отображение f хаотично на L.

Библиографический список

1. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. -М.; Ижевск, 2002.

2. Кроновер Ричард М. Фракталы и хаос в динамических системах I пер. с англ. под ред. Т.Э. Крэнкеля. - М.: Постмаркет, 2000.

3. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. - М.; Ижевск, 2001.

4. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы: (миниатюры из бесконечного рая). - М.: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотичная динамика», 2001.

5. Гринченко В.Т., Мацыпура В.Т., Снарс-кий А.А. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы. Изд. 2-е. - М.: ЛКИ, 2007.

6. Секованов B.C. Элементы теории фрактальных множеств: учебное пособие. 4-е изд. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2012.

и

3-2

= Є