Научная статья на тему 'О множествах Мандельброта и Жюлиа для многочленов комплексной переменной'

О множествах Мандельброта и Жюлиа для многочленов комплексной переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
778
137
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МНОЖЕСТВО ЖЮЛИА / МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА / ОРБИТА ТОЧКИ / ФРАКТАЛ / JULIA SET / MANDELBROT SET / ORBIT OF POINT / FRACTAL

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Секованов Валерий Сергеевич

В данной статье рассматриваются множеств Жюлиа и множества Мандельброта для полиномов комплексной переменной любой степени и исследуются их свойства.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Секованов Валерий Сергеевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On Mandelbrot and Julia sets for polynomials of complex variable

This article discusses Julia sets and Mandelbrot set for polynomials of any degree of complex variable and studies their properties.

Текст научной работы на тему «О множествах Мандельброта и Жюлиа для многочленов комплексной переменной»

УДК 513

Секованов Валерий Сергеевич

Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

О МНОЖЕСТВАХ МАНДЕЛЬБРОТА И ЖЮЛИА ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

В данной статье рассматриваются множеств Жюлиа и множества Мандельброта для полиномов комплексной переменной любой степени и исследуются их свойства.

Ключевые слова: множество Жюлиа, множество Мандельброта, орбита точки, фрактал.

В настоящее время интенсивно исследуются фрактальные множества на комплексной плоскости. Это связано с их использованием при создании математических моделей в физике, экономике и других науках. Большой интерес для исследователей представляют комплексные фракталы. Полезны комплексные фракталы и для реализации дидактических целей, поскольку математические исследования здесь органически переплетаются с разработкой алгоритмов, реализуемых с помощью современных информационных и коммуникационных технологий, включая параллельное программирование, что дает прекрасную возможность формирования креативности бакалавров, магистров, аспирантов и студентов.

Мы считаем, что данная статья может оказаться полезной в методическом плане, поскольку здесь материал излагается в той последовательности, в которой его можно использовать при чтении спецкурсов «Фрактальная геометрия и теория хаоса» и «Комплексная динамика».

Следует отметить, что множества Жюлиа и множество Мандельброта рассматриваются в известных автору учебных пособиях и монографиях [1-6] в основном для квадратичных отображений, а для многочленов, степень которых больше двух, даются только определения, приводится несколько задач и компьютерных экспериментов.

В настоящей статье мы рассмотрим множества Жюлиа и множества Мандельброта для полиномов f ф = zp + с, р > 2. Приведем сначала определения данных комплексных фракталов.

Определение 1. Множество Жюлиа для полинома комплексного переменного, f ф = zp + с, р > 2, обозначаемое J(/), определяется как

J (/) = д{ы: f (п)( ы) ^ да, п ^ да}, где д - граница области притяжения бесконечности,

а f (п)(Ы) = f (/(п-1)(z)),п = 2, 3,... .

Определение 2. Множество Мандельброта для функции комплексного переменного

р(т) = zp + С , р > 2, обозначаемое Мр, определяется как множество с комплексных точек (с е С), орбиты нуля которых ограничены. То есть точка с принадлежит множеству Мандельброта М ,

если последовательность {<р(п) (0)}^^=1 ограничена на комплексной плоскости.

Определение 3. Заполняющее множество Жюлиа для полинома комплексного переменного аф = zp + с, р > 2, обозначаемое J(/), определяется как множество точек г комплексной плоскости, орбиты которых ограничены (заметим, что множеством Жюлиа будет граница заполняющего множества Жюлиа).

Построить множества Жюлиа, так же как и множества Мандельброта, без использования компьютера практически невозможно, поскольку границы этих множеств сильно изрезаны. Однако есть и исключения. Например, при с = 0 заполняющим множеством Жюлиа будет круг единичного радиуса с центром в начале координат, а множеством Жюлиа - окружность, граница этого круга.

Обоснуем данное утверждение. Пусть /0(г) = 2Р, р > 2. Тогда ып = /0(п)(ы) = , п = 1,2,... . Если

Ы < 1, то Нт ып = 0, а при Ы > 1 11т ып = да . Если

п^да п^да

же Ы = 1, то |ып| = 1. Таким образом, заполняющим множеством Жюлиа действительно будет круг радиуса единица с центром в начале координат. Отметим, что при с, отличном от нуля, множество Жюлиа будет иметь фрактальную структуру.

Справедливы следующие теоремы 1 и 2, обобщающие соответственно теоремы 8.1.1, 8.3.3, доказанные в [2] для квадратичных полиномов комплексной переменной.

ТеоРема 1 Предположим, что f (7) = 2р + с, Шр (г| = \2р + А > |^р - С > |г|Ро - С > 2. Соглас-

где с < 2, а р > 2. Пусть и е С и ип = /с (и) для п = 1, 2, 3,... Если существует такое п0, что |г^ | > 2, то имеет место 11т ип = да . То есть орбита

п^да

ип = {/с<”)(ы)}дада=1 стремится к бесконечности и 2 не

принадлежит множеству Жюлиа J (/с).

Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что Ы > 2 . Тогда

\/с (2)| > к+С > N

ІР-1

С

N -гг 2

\

. Рассмотрим функ-

I/

цию вещественной переменной ф( х) = хр--------,

х

х е [2; да). Имеем: р'(х) = (р - 1)хр-2 + -Ц. Следо-

х

вательно, при переменной х е[2; да) функция р(х) возрастает. Пусть |с| = 2 - 28,8 > 0. Тогда

1 I р—1 с 1 с ,

2 -П>2р -Т = 2р — 1 + ^ >1 + ^ . Таким об-

И 2

разом, |./с (Х)| > |И|(1 + 5).

Положив /с (и) = у, имеем |/с (и)| = |у | > |и|р — |с|,

|и| > 2 . Поскольку |и|р > 4, |с| < 2, то |/с (и)| = |у| > 2, и мы получим, что

\/с2)(иI = |/с(у)|>\у\(1 + 3)>И(1 + 3)2. Продолжая аналогичные рассуждения, получим для любого натурального п |/с(п) (и) > |и|(1 + 8 )п, что и заканчивает доказательство теоремы 1.

Обозначим п-ю итерацию функции

/с(и) = ир + с при фиксированномрчерез /{с"]р(и). Следствие 1. Предположим, что /]",р (и),

И > 1, |с| < 1. Тогда существует такое р0, что для каждого р > р0 орбита точки и стремится к бесконечности.

Доказательство. Так как |и| > 1, то существует

такое натуральное число р0, что Ир° — |с| > 2. Тогда при каждом р > р0

но теореме 1 последовательность {/{сп)р (и )}= стремится к бесконечности для каждого р > р0. По скольку орбита точки

отличается от

{2, /«р (2), /^ (2),..., /«р (2),...}

последовательности {/(")Р (2)|“^ только одним

первым членом, то она также стремится к бесконечности для каждого р > р0.

Теорема 2. Предположим, что /с (2) = 2Р + с,

где |с| > 2, 2 > |с| и р > 2. Тогда орбита точки 2

устремляется к бесконечности и С £ М .

Доказательство. Положим |с| = 2 + 8, 8 > 0. Далее имеем

/ (2) > |2р+А > |2|р - с > 12р -Н=И(2^1 -і)=

=2 (2 -1)( 2|р 2 +| 2р 3 +...+12+1)>

> N(2 -1)> N(с1 -1)=N(1+5)-

Положим /с (и) = у , где с > 2, И > |с| и |у| > |и|(1 + 5)> И > |с| > 2. Тогда имеем:

|у| = I /с (у )| > |у|р - |с| > |с|р - |с| = |с| (с|р-1 -1) > |с|.

Таким образом,

|/с<2)(и)| = |/с(/(и)) = |/с(У) > |у|(1 + 3)|> |И|(1 + 3)2 .

Продолжая аналогичные рассуждения, получим неравенство |/с(п)(и)| > |и|(1 + 8)" для каждого натурального п. Следовательно, 11т /с(п) (и) = да.

п^да

Далее имеем /с (0) = с. Поскольку |с| > |с| > 2,

то согласно предыдущему рассуждению орбита точки с стремится к бесконечности. В таком случае к бесконечности будет стремиться и орбита нуля. Согласно определению множества Мандельброта точка с ему не принадлежит. Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Пусть /с (и) = ир + с, р > 2. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если р > 2, р е N, то множество Мандельброта для функции /с (и) = ир + с симметрично относительно вещественной оси;

б) если р > 2 - четное число, то множество

Мандельброта для функции /с (и) = ир + с не симметрично относительно мнимой оси;

в) если р > 3 - нечетное число, то множество Мандельброта для функции /с (и) = ир + с симметрично относительно мнимой оси, а значит, центрально симметрично.

Доказательство. а) Мы убедимся, что

/с(п) (0)= /с;п) (0) для каждого натурального числа п.

Применим метод математической индукции по п, где п - номер итерации. При п = 1 имеем

/с (0) = с, а /- (0) = с и утверждение справедливо,

поскольку /- (0) = с = с = /с (0). Пусть теперь наше утверждение справедливо при п = k. То есть /с:11) (0)= /с(к) (0). Покажем тогда,

что

/(к+1’ (0) = /?+ч (0). Положим /}к ) (0) = у = рк ) (0).

Тогда /ск )(0) = у = /^) (0). Далее имеем:

/1к+1)(0) = / (/с(к }(0))= / (у ) = ур + с.

£к+1)(0) = /с (/(к Ь (0))=/ (у )=у

+ с =

= ур + с = ур + с.

Следовательно, /}к+1)(0) = /к+1)(0).

Таким образом, для каждого натурального

числа п /с(п)(0)= /с(п)(0). Покажем, что сеМп, тогда и только тогда, когда сопряженное число

се М„.

Действительно, /с(") (0)= /(п) (0)

/(п) (0) = /-(л) (0) = / (п)(0). Замечаем,

и

что

{Л” )(0)}да=1 = {0, -1,0, -1,...}. °днако 1 г М 2к, ибо

для функции /1(и) = и 2к +1 орбита нуля

{/1(п)(0)}пп=1 = {>,1, 2, 22к +1, (22к + 1)2к +1,...} не ограничена.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Докажем в). Пусть с = с1 + iс2 и р = 2к +1,

к > 1. Введем обозначение с = -с1 + гс2. Заметив, что модули комплексных чисел с = с1 + гс2

и с = - с 1 + г с2 равны, покажем, что с е М 2к+1, тогда и только тогда, когда с е М 2к+1 .

Итак, пусть р - нечетно. Покажем сначала, что

/ сП) (0) = /іп)(0) для каждого натурального

числа

п, где /(и) = ир + с. Применим вновь метод математической индукции по п, где п - номер итерации. При п = 1 имеем /с (0) = с, а /I (0) = с . Сле-

с

довательно, наше утверждение справедливо. Предположим теперь, что утверждение справедливо при п= к. То есть /()(0)= /Ук^0). Покажем

с

тогда, что /с(к+1) (0)= /Ук+1)(0). Положим

с

■/<к)(0) = у = , где у = у1 + гу2. Тогда

с

/с(%) = .у = /У }(0). Далее, используя бином

с

Ньютона и определение к + 1 итерации функции / (и) = ир + с, получим равенство (1):

\/сп)(0) = |/с">(0). Следовательно, последователь- /[с 1(0) = / с(/! 1(0)) = / с(у) = УР + с1 +гс2 =

ности

^/(и)(0)И=1 и {/<->(0)]:=1

одновременно схо-

дятся или расходятся и а) доказано.

Докажем теперь б). Пусть р = 2к, к > 1 - четное число. Найдем две точки, симметричные относительно мнимой оси, одна из которых принадлежит М2к , а другая не принадлежит. Заметим, что - 1еМ2к, поскольку для функции /_ 1(и) = и 2к-1 орбита нуля ограничена

= (Уі + іу2)р + сі + і с2 = ур1 У 2і ° + с>Р-1у^ + +С ур-2 у2і2+с; ур-3 у3і3+.

...+ср-3 у1 ур-3ір-3 + с;-2 уі2 У2р-2ір-2 + + СрР-1 у! ур2-1ір-1 + Срру0 урір + сі + іс 2.

(і)

Учитывая, что с = -с + с , получим равенство (2):

/г (0)=/7 (/() (0) )=/: р ^=;ур+с=

= (- у1 + іу2 )р - с1 + іс2 = Ср (- у1 )ру20і 0 +

+ср(- у1)р 1 у2і’1 + ср(- у1)р 2 у2і 2 +

+ср (- у1 )р-3 у23і3+.....+с;-3 (- у )3 у2р-3ір-3 +

+ с;-2 (- у1 )2 у2р-2ір-2 + с;-1 (- у1 )1 у2р-1ір-1 +

+ ср (- у )0 у2рір - с + і с 2. (2)

Замечаем, что на четных местах в (1) и (2) стоят одночлены, не имеющие в своем составе мнимой единицы і. Занумеруем данные одночлены члены слева направо. Получим выражения (3):

0 / \р 0-0 .

= сруру2°і°, Ь = ср(-у )

\р-2 2-2.

а2 = СруГ2у2 2, Ь2 = Ср(- у1)р у2г ар-1 = ср-1у!ур-1гр-1, Ьр-1 = ср-1(- у, 11 ур-1гр-1;

ар+1 = с1 , ьр+1 =-с1. (3)

Из соотношений (3) замечаем, что одночлены, стоящие на четных местах, имеют противоположные знаки. Рассуждая аналогично, нетрудно убедиться, что на нечетных местах стоят одинаковые одночлены. Таким образом, если -

нечетно,

получим /с(к+1)(0)= /<к+1)(0). Следова-

тельно, /с(п) (0) = /іп)(0) для каждого натурально-

го числа п.

Далее Vn є N из равенства /с(п) (0) = /іп)(0)

получаем, что /« (0) = /с (0). Поскольку

|/с(п) (0) =

то последовательности

И! ■ {/сп ’(0)):=1

одновременно сходятся или расходятся.

Таким образом, с е М , тогда и только тогда,

когда с е М , что и доказывает симметричность множества Мандельброта относительно мнимой оси при р = 2к +1, к > 1.

Далее, пусть с = с1 + гс2 е М . Согласно пункту а) теоремы 3 с = с1 - гс2 е М . Посколькур нечетно, то согласно пункту в) теоремы 3 множество Мандельброта симметрично относительно

у

мнимой оси. Тогда с = -с1 - с2г = - с е М . Теорема 3 доказана.

Теоремы 1 и 2 дают возможность глубже исследовать математические свойства множеств Жюлиа и множеств Мандельброта. Данные теоремы также позволяют разрабатывать эффективные алгоритмы для визуализации этих множеств на мониторе компьютера, без которого, как уже отмечалось, строить множества Жюлиа и множества Мандельброта (за редким исключением) невозможно.

Предложение 1. При каждом натуральном

р > 2 множества Мандельброта М находятся внутри или на границе круга радиуса 2 с центром в начале координат.

Доказательство. Пусть комплексное число с

такое, что |с| > 2. Тогда в силу теоремы 2 с г Мр. Покажем, что при некоторых значениях р точка с е М может находиться на границе круга с центром в начале координат и радиусом, равным 2. Действительно, пусть с = -2, р = 2. Тогда для функции /-2(и) = и2 -2 орбита нуля {0,-2,2, 2, 2,...} ограничена. Следовательно, с е М2. Видимо, это единственный случай. То есть не существует таких р ф 2, для которых граничная точка окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 2, принадлежит М . Предложение 1 доказано.

Предложение 2. Заполняющее множество Жюлиа для функции /с (и) = ир + с, р > 2 непусто.

Доказательство. Пусть п - натуральное число. Рассмотрим уравнение /(п) ( и) = и , левая часть которого является многочленом степени рп, имеющим ровно рп корней: И1, и2, и3, ..., ир. Нетрудно заметить, что для корней уравнения выполняются следующие равенства: и2 = / (и1 ),

и3 = /(и2), ..., Ирп = /(2п-1), /(ирп) = И1. Таким

образом, орбита каждой точки и1 г = 1, рп ограничена. И, следовательно, каждая из них принадлежит заполняющему множеству Жюлиа. Объединение всех неподвижных точек функции /(п) ( и)

п е N конечно или счетно, а следовательно, непусто.

Предложение 3. Если р > 2 - четное число, то множество Жюлиа для функции /с (и ) = ир + с центрально симметрично. Пусть 2 принадлежит заполняющему множеству Жюлиа. Тогда орбита

точки и: {и, z2 + с, (и 2 + с)2 + с,...} ограничена. Рассмотрим орбиту точки -2:

{- и, (- и)2 + с, ((- и)2 + с)2 + с,... }. Сравнивая полученные последовательности, замечаем, что они отличаются только первым членом. Следовательно, орбита точки -2 ограничена, и она принадле-

Рис. 1. Множество Мандельброта для функции /(2) = г3+ с

жит заполняющему множеству Жюлиа. Если точка -г принадлежит заполняющему множеству Жюлиа, то, рассуждая аналогично, нетрудно показать, что 2 также ему принадлежит. Предложение 2 доказано.

Компьютерные эксперименты показывают,

что множество Мандельброта М , порожденное

многочленом /с (2) = 2р + с, р > 2, состоит из доминирующей области, состоящей из р - 1 примыкающих областей (для р = 3 см. рис. 1). Покажем, что внутренность этой области соответствует точкам с, для которых сопутствующее множество Жюлиа имеет притягивающую неподвижную точку. Докажем это и построим границу данной области.

Пусть 2 есть притягивающая неподвижная точка. Тогда выполняются два условия:

1) /с(2) = 2р + с = г; 2) /с (2)

= р2Р 1 < 1.

Из условия 2) следует, что точки границы удов-

летворяют соотношению Щ2\

і і 1

р-1

1. Или же

рІр

. Тогда переменную 2 можно записать

в виде 2 =

Гр

Учитывая

р-(7~

е" (*), где г є [0; 2к\.

условия 1), (*) и

получим выражение

°Тр

1 = 1

ррІр

Г

„рі!

где

t е [0; 2ж], р > 2, которое является уравнением

границы основной области множества М .

Положив с = с1 + гс2, получим параметрическое уравнение данной линии:

1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

cos г-

sin г -

cos рг р sin рг

где t е [0; 2к\, р > 2.

Найдем площадь Sp основной области множества Мандельброта М р:

2 =

е

Р —

2

1

с =

е

с=

с

2

Sp = 2 І —^ | sin t -

p І PiP I p

sin pt I І

—== (sin pt - sin t) dt =

piP1 7

sin2 pt (p +і)

S„ =

sin pt sin t Jdt.

Вычисляя последний интеграл, получим: І

=| ж +

p,

p17

Заметим, что последовательность

І

’Ір

монотонно возрастает и предел ее равен единице. Таким образом, сопутствующее множество Жюлиа с притягивающей неподвижной точкой при достаточно большом р будет приближаться к кругу радиуса единица с центром в начале координат.

Это же предположение подтверждает и вычис-

ленная нами площадь Sв = -

І

-УР2

по-

скольку lim Sp = lim-

,—, ж + — I = ж - есть пло-

-171 р,

щадь круга радиуса 1.

Согласно следствию 1 при достаточно больших р (р > р0) и |с| < 1 точка г, модуль которой больше единицы, не принадлежит заполняющему множеству Жюлиа К£).

Заметим также, что

lim

І

І

рІр

pP-fp

для каждого t є[О; 2ж]. При p=3 получим:

І f cos 3t

С, = —1= | cos t--------

1 SI 3

І f . sin3tI , t є[О;2ж]. c =—j=| sint------------1

2 л/3 I 3

А обрамление М 3, у которого в сопутствующем заполняющем множестве Жюлиа будет неподвижная притягивающая точка, заполнит внутренность основной части множества Мандельброта, расположенной на рисунке 1.

Например, для функции fc (г) = г3 получим

одну притягивающую неподвижную точку г1 = 0 и две отталкивающие неподвижные точки

(г2 = 1 Г3 = -1).

Приведем таблицу (табл. 1) нескольких значе-

1 ( и ^ 1

ний функции: с = ^^I е" —— I.

Заметим, что данная линия простирается по

2

вещественной оси от -0,39 до

~ 0,39 Зу/3 '

Следует отметить, что согласно исследованным свойствам множеств Жюлиа и множеств Мандельброта алгоритмы их построения значительно сокращают число вычислительных операций.

Библиографический список

1. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. - М.; Ижевск, 2002.

2. Кроновер Ричард М. Фракталы и хаос в динамических системах: пер. с англ. под ред. Т.Э. Крэнкеля. - М.: Постмаркет 2000.

3. Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. - М.; Ижевск, 2001.

4. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы: (миниатюры из бесконечного рая). - М.:

Таблица1

2

Р

= e

t О к 2 к Зж 2

СІ -Л- * О,39 3V3 О —^ * -О,39 3V3 О

С2 О 4 —;= * О,78 3V3 О 4 =■ и -0,78 3V3

Научно-издательский центр «Регулярная и хаотичная динамика», 2001.

5. Гринченко В.Т., Мацыпура В.Т., Снарс-кий А.А. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы. Изд. 2-е. - М.: URSS, 2007.

6. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем: пер. с англ. под ред. А.Н. Шарковского. - М.: Мир, 1993.

УДК 636.2.082:591.421

Сиротина Марина Валерьевна

кандидат биологических наук Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

mvsirotina@gmail.com

Баранов Александр Васильевич

доктор биологических наук Костромской НИИСХ Россельхозакадемии Knicx@kosnet.ru

ИЗУЧЕНИЕ ДЕРМАТОФЕНОВ КРУПНОГО РОГАТОГО СКОТА

В статье описана история изучения дерматофенов носогубного зеркала крупного рогатого скота в России и за рубежом. Обращается внимание на эпигенетические основы фенетики, отмечен вклад авторов в развитие фенетики крупного рогатого скота.

Ключевые слова: фенетика, носогубное зеркало, дерматоглифы, эпигенетика.

Фенетика - это научное направление, сформировавшееся в 70-е годы ХХ века на стыке генетики, классической зоологии и ботаники. Предметом фенети-ки является внутривидовая изменчивость, которая доводится до рассмотрения дискретных альтернативных признаков - фенов, а методы фене-тики основаны на вычленении различных фенов, количественном и качественном их изучении. По мнению А.Г. Васильева [4; 5], в последние годы всё яснее становится, что фенетика основана на популяционном анализе процессов развития (эпигенеза) и является своеобразным «популяционным окном» в онтогенез и морфогенез. Впервые эта мысль была сформулирована А.В. Яблоко-вым [20] и развивалась в работах его учеников и последователей.

Успехи молекулярной биологии в последние годы позволяют установить реальное существование эпигенетических механизмов и их роль в регуляции процессов функционирования генома и морфогенеза [5; 8; 19]. По мнению Б.В. Конюхова, «фенотип многоклеточного организма рассматривается сейчас не как мозаика признаков, контролируемых отдельными генами, а как общий продукт взаимодействия многих тысяч генов в онтогенезе». Следовательно, генотип развивающегося организма представляет собой эпигенетическую систему, а фены представляют собой «маркеры» особенностей организации про-

цесса «эпигенеза», то есть могут служить маркерами эпигенетической системы популяции. По мнению А.Г. Васильева [4], фены представляют собой результат дискретного осуществления в ходе развития последовательных или альтернативных шагов онтогенетических программ, лежащих в основе структурогенеза, и позволяют надёжно и устойчиво маркировать эпигенетическую специфику популяций и внутрипопуляционных групп.

У крупного рогатого скота в настоящее время выделено более 40 фенов. Среди них: дерматоглифы носогубного зеркала, вибриссы, форма завитков волос на некоторых частях тела, форма копытец, рогов, ноздрей, ушей, вымени, молочных колодцев, масть, форма и расположение отметин на туловище, конечностях и др., но наиболее перспективным направлением в фенетике крупного рогатого скота является изучение дерматофенов носогубного зеркала.

История изучения дерматоглифических узоров носогубного зеркала началась в 20-е годы ХХ века, когда вышел ряд работ, посвящённых этой тематике в Австрии, Англии, Германии, Японии, России. Основы фенетики дерматоглифов носогубного зеркала были разработаны на Украине А.Л. Трофименко в 70-е - 90-е годы прошлого века. Так, А.Л. Трофименко были проанализированы частоты дерматотипов у 14 пород крупного рогатого скота, сделаны выводы о породной специфичности распределения частот дер-

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.