Выполнение многоэтапного математико-информационного задания «Дискретные динамические системы» как средство формирования креативности студентов Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 378; 51

Секованов Валерий Сергеевич

кандидат физико-математических наук, доктор педагогических наук

Бабенко Алена Сергеевна

кандидат педагогических наук

Селезнева Елена Михайловна Смирнова Алена Олеговна

Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

ВЫПОЛНЕНИЕ МНОГОЭТАПНОГО МАТЕМАТИКО-ИНФОРМАЦИОННОГО ЗАДАНИЯ «ДИСКРЕТНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ», КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ КРЕАТИВНОСТИ СТУДЕНТОВ

В данной работе раскрывается механизм формирования креативности студентов при выполнении многоэтапного математико-информационного задания «Дискретные динамические системы». Приводится пример задания, которое состоит из пяти этапов. На первом этапе рассматриваются основные понятия дискретных динамических систем. На втором излагается динамика Ферхюльста и строится дерево Фейгенбаума. На третьем дается определение хаоса, анализируется тентообразная функция и устанавливается ее хаотичность на множестве Кантора. На четвертом этапе рассматриваются алгоритмы построения множеств Жюлиа для комплексных полиномов. Выявляются множества Жюлиа для функций f(z) = z2, g(z) = z2 - 2 и доказывается хаотичность данных функций на своих множествах Жюлиа. На пятом этапе разрабатываются компьютерные программы построения множеств Ман-дельброта. Определяются свойства симметрии множеств Мандельброта для функции f(z) = zp + c, при различных значениях показателя р. Устанавливается связь между множеством Мандельброта и сопутствующими множествами Жюлиа. При выполнении каждого этапа от студентов требуется разработка альтернативных алгоритмов для построения различных математических объектов и формируется способность к решению ими нестандартных задач, что позитивно влияет на развитие креативности студентов.

Ключевые слова: креативность, креативное качество, мотивация, толерантность к новизне, многоэтапное математико-информационное задание, дискретные динамические системы, неподвижные точки, периодические точки, транзитивность, существенная зависимость от начальных условий.

Креативность в самом общем смысле характеризует способность личности к творчеству. Мы будем понимать креативность как неотъемлемую часть человеческой духовности, определяющую устойчивую характеристику личности, способной творчески мыслить, осуществлять творческую деятельность, изменять стереотипы с целью создания нового, воспринимать и чувствовать проблемы, новизну, красоту и гармонию, прогнозировать результаты деятельности, нестандартно решать широкий круг задач, которые ставит информационное общество [2].

Важнейшими креативными качествами мы считаем гибкость мышления, способность личности решать нестандартные задачи и осуществлять творческую деятельность. Эффективное формирование выше указанных креативных качеств студентов, позволяет, на наш взгляд, выполнение многоэтапного математико-информационного задания «Дискретные динамические системы».

Впервые многоэтапные математические задания рассматривались М. Клякля [1] с целью формирования творческой математической деятельности учащихся. В работах В.С. Секованова [2; 5] предложены многоэтапные математико-информа-ционные задания. Важно подчеркнуть, что изучение дискретных динамических систем предполагает использование, как математических методов, так и компьютерных технологий.

Многоэтапные математико-информационные задания, являющиеся специально составленной последовательностью задач, упражнений, проблем и дидактических ситуаций, соединяют друг с другом:

- различные виды творческой математической деятельности;

- проведение математико-компьютерных экспериментов;

- проведение лабораторных работ по математике;

- решение нестандартных задач по математике;

- прогнозирование результатов математической деятельности;

- преодоление стереотипов мышления.

В нашем понимании многоэтапные математико-информационные задания являются лабораторией, в рамках которой происходит творческая математическая деятельность, компьютерное моделирование, развитие искусства программирования, направленных на формирование креативных качеств студента.

При выполнении многоэтапных математи-ко-информационных заданий у студента формируется мировоззрение, развивается интеллект, конвергентное и дивергентное мышление, вырабатывается умение прогнозировать результаты математической деятельности.

В процессе выполнения многоэтапного мате-матико-информационного задания у обучаемых усиливается мотивация к изучению математики, информатики, компьютерной графики, развива-

© Секованов B.C., Бабенко A.C., Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинетика М- № 2 Селезнева Е.М., Смирнова А.О., 2016

Связь множеств Мандельброта с множествами Жюлиа и свойства симметрии множеств Мандельброта

' I

Разработка компьютерных программ построения множеств Мандельброта

Диагр Ламе аммы рея

Орбита точки

Неподвижные притягивающие и отталкивающие точки. Примеры

Нейтральные неподвижные точки. Примеры.

Циклические точки. Примеры

Типы неподвижных точек функции ЯгН+С

Типы неподвижных точек у функции /(гН+С

Начало

Постановка задачи. Основные определения.

Дерево Фейгенбаума функции /(а,х) = ах(1-х2)

Константа Фейгенбаума для функции /(а,х) = ах(1-х2)

Блок-схема Для построения множеств Жюлиа

для функций /(г)=7Р+с, Р=2,3,...

I ~

Разработка компьютерной программы, для построения. множеств Жюлиа

для функций /(г)=гр+с, Р=2,3,...

Хаотичность функций №=7?, Ш(г)= г-2 на своих множествах Жюлиа

Понятие существенной зависимости от начальных условий. Примеры.

Понятие транзитивности. Примеры.

I

Понятие всюду плотность периодических точек. Примеры.

Определение хаоса по Девани

Хаотичность тенто-образной функции на множестве Кантора

Рисунок 1. Схема-план многоэтапного математико-информационного задания «Дискретные динамические системы»

ются рефлексивные способности, вырабатывается толерантность к инновациям, формируются эстетические и нравственные качества, что неразрывно связано с гуманизацией и гуманитаризацией математического образования.

Приведем пример многоэтапного математико-информационного задания: «Дискретные динамические системы». В процессе выполнения данного задания студентам предлагается решение нестан-

дартных математических задач, связанных с идеями нелинейной динамики, теории хаоса, фрактальной геометрии, проведение лабораторных работ, связанных с построением фракталов. Работа студентов проходит в несколько этапов. Схема-план данного задания представлена на рисунке 1.

Опишем каждый из этапов и укажем решение дидактических задач, нацеленных на развитие креативности обучаемых.

214

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова «¿^ 2016, Том 22

На первом этапе даются понятия орбиты точки функций вещественной и комплексной переменных. Дается определение неподвижных (притягивающих, нейтральных, отталкивающих) и периодических точек. Приводятся примеры. С целью развития гибкости мышления обучаемых исследование типа неподвижной точки для функций вещественной переменной проводится двумя способами:

1) геометрический (с помощью диаграмм Ламе-рея);

2) аналитический (с помощью дифференциального исчисления).

Доказывается, что квадратичная функция Д2)=22+С ни при каком значении С не может иметь двух притягивающих неподвижных точек. Приводятся примеры тех значений С, при которых функция ^)=22+С имеет одну притягивающую и одну отталкивающую неподвижные точки и две отталкивающие неподвижные точки.

Доказывается, что кубическая функции ^)=23+С ни при каком значении С не может иметь двух притягивающих неподвижных точек и одну отталкивающую неподвижную точки.

С целью развития гибкости мышления обучаемых неподвижные притягивающие точки функций выявляются как с помощью дифференциального исчисления, так и с помощью компьютерных экспериментов. После проделанной работы студентам предлагается решить несколько нестандартных задач, связанных с рассмотренными задачами на данном этапе.

На втором этапе рассматривается функция а,х) = ах(1-х2) - аналог функции h(a,x)=(l+a)x-ax2, рассмотренной Ферхюльстом в XIX веке при исследовании роста популяций (см. [2]). При построении диаграммы орбит функции Д,а,х) = ах(1-х2) происходит интеграция математических методов с информационными и коммуникационными технологиями. Аналитическими методами и с помощью компьютерных экспериментов устанавливаются те значения параметра а, при которых аттрактор системы состоит из одной, двух, четырех и т. д. точек. При построении дерева Фейгенбаума прослеживается переход от порядка к хаосу. Дерево Фейгенбаума строится как с помощью языка программирования (см. блок-схему на рисунке 2), так и с помощью математического пакета MathCad (см. программу и дерево Фейгенбаума на рисунке 3), что позитивно влияет на развитие гибкости мышления обучаемых и формирование их профессиональных компетенций.

Следует отметить, что задачи, которые приходится студентам решать нестандартны, поскольку в других математических дисциплинах задачи такого типа не встречались. Кроме того, решать такие задачи невозможно как без использования математических методов, так и информационных и коммуникационных технологий.

На втором этапе также разрабатываются два алгоритма нахождения константы Фейгенбаума для

функции f(a,x) = ax(l-x2). Первый алгоритм базируется на использовании языка программирования (Pascal, Lazarus), а второй предполагает использование математического пакета MathCad. Студенты впервые знакомятся с открытой во второй половине прошлого века константой Фейгенбаума ¿-4,66920..., вошедшей в десятку знаменитых констант, таких как e и п.

На третьем этапе рассматривается понятие «Хаос», включающее три компоненты:

а) существенная зависимость от начальных условий;

б) транзитивность;

в) всюду плотность периодических точек.

Доказывается, что тентообразная функция,

x -1 +3 обладает существенной зависимостью от начальных условий на множестве Кантора (множестве K), транзитивна на данном множестве и множество периодических точек всюду плотно на множестве Кантора. То есть тентообразная функция хаотична на множестве Кантора. Выявляется неожиданная связь орбит точек тентоо-бразной функции с множеством Кантора. Именно, точка x е K тогда и только тогда, когда ее орбита применительно к тентообразной функции ограничена. Данный подход к изучению теории хаоса приобщает студентов к творческой деятельности, способствует развитию их креативности.

На четвертом этапе студенты выполняют задания связанные с множествами Жюлиа. Сначала

q{x) = -3

Рисунок 2. Блок-схема построения дерева Фейгенбаума с помощью языков программирования

Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинетика jii- № 2

215

Рисунок 3. Построения дерева Фейгенбаума с помощью математического пакета MathCad

Рисунок 4. Множество Жюлиа для функции f(z)= z2 + 0,25

Рисунок 5. Множество Жюлиа для функции f(z)=z2+0,531+0,202i

Рисунок 6. Заполняющее множество Жюлиа для f(z) = z3+0.5+0.1i

Рисунок 7. Множество Мандельброта

для f(z) = z4 + C

Вестник КГУ им. H.A. Некрасова «ij- 2016, Том 22

216

и соответствующие связные множества Жюлиа

определяется «Заполняющее множество Жюлиа», затем определяется «Множество Жюлиа» и строится блок-схема для построения заполняющих множеств Жюлиа для полиномов комплексной переменной различных степеней. Далее, для формирования гибкости мышления студентов рассматриваются альтернативные алгоритмы построения множеств Жюлиа:

1) с помощью пакета MathCad (см. рис. 4, 5);

2) с помощью языков программирования (см. рис. 6 и [3]).

Далее, используя учебные пособия [4; 6], студенты устанавливают, что множеством Жюлиа для функции = I2 является окружность радиуса единица с центром в начале координат, а для функции g(z) = I2 - 2 множеством Жюлиа является отрезок [-2; 2] и доказывают хаотичность данных функций на своих множествах Жюлиа.

На пятом этапе студенты выполняют задания, связанные с построением множеств Мандельброта и выявлением их свойств симметрии с помощью языков программирования (см. рис. 6, 7 и [3]).

Студенты доказывают, что для функции

= 1Р + С при четном числе р множество Ман-дельброта будет симметрично относительно вещественной оси, но не будет симметрично относительно мнимой оси. Если же р - нечетное число, то студенты доказывают, что множество Мандель-брота будет симметрично как относительно вещественной, так и мнимой осей.

С помощью компьютерных экспериментов студенты убеждаются, что при С, принадлежащем множеству Мандельброта, сопутствующие множества Жюлиа будут связны. Если же точка С не принадлежит множеству Мандельброта, то сопутствующее множество Жюлиа будет вполне разрывно.

На рисунках 8 и 9 приведены соответствующие примеры множеств Мандельброта и сопутствующих множеств Жюлиа для функции + С.

Рисунок 9. Множество Мандельброта и соответствующие вполне несвязные множества Жюлиа

Многоэтапное математико-информационное задание «Дискретные динамические системы» являются интеграцией математических методов и компьютерных технологий. На занятиях студенты решают нестандартные математические задачи, связанные с идеями нелинейной динамики, теории хаоса, фрактальной геометрии, разрабатывают компьютерные программы построения множеств Мандельброта, что способствует развитию креативности студентов.

Библиографический список

1. Клякля М. Формирование творческой математической деятельности учащихся в классах с углубленным изучением математики в школах Польши: дис. ... д-ра пед. наук. - М., 2003. - 285 с.

2. Секованов В.С. Методическая система формирования креативности студента университета в процессе обучения фрактальной геометрии. -Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2006. - 279 с.

3. Секованов В.С., Салов А.Л., Самохов Е.А. Использование кластера при исследовании фрактальных множеств на комплексной плоскости // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественнонаучных дисциплин: материалы V Всерос. науч.-метод. конф. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2011. - С. 85-103.

4. Секованов В.С. Элементы теории фрактальных множеств. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2015. - 248 с.

5. Секованов В.С., Ивков В.А. Многоэтапные математико-информационные задания странные аттракторы // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. -Т. 19. - № 5. - С. 155-157.

6. Секованов В.С. Что такое фрактальная геометрия? - М.: ЛЕНАНД, 2016. - 272 с.

Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинетика № 2

217