Развитие гибкости мышления студентов при изучении структуры неподвижных точек полиномов комплексной переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Развитие гибкости мышления студентов при изучении структуры неподвижных точек полиномов..,

УДК 517.5 ; 378

Секованов Валерий Сергеевич

доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук, профессор

Смирнова Алена Олеговна

Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова [email protected], [email protected]

РАЗВИТИЕ ГИБКОСТИ МЫШЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ СТРУКТУРЫ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ПОЛИНОМОВ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

В данной работе раскрывается механизм развития гибкости мышления студентов математических направлений подготовки при изучении периодических точек полиномов комплексной переменной. Выделено рассмотрение структуры периодических точек для полинома 4-й и 5-й степеней комплексной переменной. Сначала, исходя из общих теорем, показывается, что среди неподвижных точек функции f(z)=Zp+c все за исключением одной являются неподвижными отталкивающими точками. Затем рассматриваются случаи p=5, p=4 и устанавливается структура неподвижных точек для функций f(z)=z5+c и g(z)=z4+c, причем, доказательства приводятся, исходя из определения неподвижной точки и методов дифференциального исчисления. Такой подход нацелен на развитие гибкости мышления студентов, поскольку дает возможность рассмотреть альтернативные решения задачи. Использование логического и образного мышления предполагает применение принципа дополнительности, нацеленного на развитие креативности студентов. Приводятся примеры, когда существует одна неподвижная притягивающая точка, а остальные неподвижные точки - отталкивающие. Указаны примеры, когда все неподвижные точки отталкивающие. При изучении данной темы в процессе творческой математической деятельности студенты разрабатывают альтернативные алгоритмы для построения различных математических объектов, что формирует у них способность к решению нестандартных задач и позитивно влияет на развитие гибкости мышления студентов.

Ключевые слова: гибкость мышления, креативность, неподвижные точки, отталкивающие и притягивающие неподвижные точки, множества Жюлиа, притягивающие периодические точки, принцип дополнительности, нестандартная задача, творческая математическая деятельность.

Гибкость мышления рассматривалась как параметр креативности еще Гилфордом. В отечественной психологии термин «гибкость мышления» ввела в практику Н.А. Менчинская. Она описала несколько случаев торможения процесса актуализации известных испытуемому правильных приемов решения «под напором более сильных и навязчивых тенденций... идущих со стороны последнего во времени опыта». Исследованием «гибкости мышления» также занимался и Д.Б. Богоявленский. Д.Б. Богоявленский и Н.А. Менчинская выделили три основных показателя гибкости мышления: 1) целесообразное варьирование способов действия; 2) легкость перестройки знаний и навыков и их систем в соответствии с измененными условиями и 3) легкое переключение от одного способа действия к другому [4, с. 140]. Гибкость мышления является одним из креативных качеств личности [1, с. 130] и столь необходима при формировании исследовательских компетенций [8, с. 150]. Гибкость (подвижность) мыслительных процессов связана с изменением аспектов рассмотрения предметов, явлений их свойств и отношений, с умением изменить намеченный путь решения задачи, если он не удовлетворяет тем условиям, которые вычленяются в процессе решения и не могут быть учтены с самого начала, проявляющаяся в активном переструктурировании исходных данных, понимании и использовании их относительности [4, с. 141].

В процессе обучения математике педагогу необходимо ориентироваться на развитие «в синте-

зе» как образного, так и логического мышления. Увлечение одними «графическими решениями» сможет снизить уровень строгости в решениях задач, предлагаемых обучаемым. Однако увлечение одними логическими доказательствами может перерасти в скептицизм. Следовательно, при решении математических задач обучаемому чрезвычайно полезно оперировать как логическим, так и образным мышлением.

При решении ряда задач такой подход просто необходим. Например, нахождение объема тела предполагает наличие чертежа и вычислительных операций. Однако очень эффективным средством решения задачи является не только создание образа, но и его преобразование, подключая механизм логического типа переработки информации. Для того чтобы понять, в чем состоит этот вид творческой математической деятельности (ТМД) развивающий гибкость мышления, приведем ниже несколько примеров, что позволит лучше определить данный вид ТМД, основанный на принципе дополнительности.

Следует отметить, что принцип дополнительности в гносеологии рассматривается как одно из важнейших общенаучных понятий. Данный принцип выдвинут Н. Бором [4, с. 143]. Его суть можно сформулировать так: для воспроизведения целостности явления необходимо применять в познании взаимоисключающие «дополнительные» классы понятий. Принцип дополнительности не ограничивался Н. Бором областью применения только в физике. По его мнению, слова «мысль, чувства»,

© Секованов В.С., Смирнова А.О., 2016

Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинетика М- № 3

189

необходимые для описания многообразия жизни употребляются в дополнительном смысле. Приложение принципа дополнительности к частному виду познания - обучению - не может не принести специфического приращения дидактических или методических знаний, что, несомненно, положительно скажется на формировании гибкости мышления студента при решении математических задач.

В методической литературе указывается, что в настоящее время вузы переходят на совместное изложение алгебры и аналитической геометрии. Однако эти курсы объединяются формально и по-прежнему изучаются раздельно. Используя принцип дополнительности можно получить наибольший дидактический эффект, развивая гибкость мышления студента, алгебраически истолковывая геометрические теоремы и наоборот, получая геометрическую интерпретацию алгебраических задач. Особую ценность принцип дополнительности приобретает при изучении фрактальной геометрии, когда логическое мышление (вычисление размерности странных аттракторов) тесно связано с образным мышлением (визуализацией странных аттракторов).

Рассмотрим задачу голоморфной динамики, связанную с формированием гибкости мышления с использованием принципа дополнительности. Отметим, что вопросы голоморфной динамики и методики её преподавания рассмотрены в работах [2-7].

Рассматриваемая ниже задача голоморфной динамики нестандартна для студентов, поскольку исследуются новые математические объекты. Суть задачи заключается в выявлении структуры периодических точек (периода 1) для функции А2)=2р+с. Периодические точки являются основой для определения знаменитых множеств Жюлиа, находящих в настоящее время приложения в различных областях - физике, экономике и других. Среди периодических точек важную роль играют притягивающие неподвижные точки, определяющие бассейны притяжения.

Выясним структуру неподвижных точек функ-ции^(¿)=гр+с, р>2, pеN. Исходя из общих теорем голоморфной динамики докажем теорему, указывающую что возможны только два варианта:

а) одна неподвижная точка притягивающая -остальные отталкивающие неподвижные точки;

б) все неподвижные точки отталкивающие.

Действительно, при с=0 для функции _/(2)=2р,

р>2, peN точка 2=0 является неподвижной притягивающей точкой. Остальные р - 1 неподвижные точки удовлетворяют уравнению 2р-1=1 и лежат на единичной окружности 2|=1 с центром в начале координат. Поскольку для точки 2, модуль которой равен единице значение модуля производной |/ (2)|=р>1, то остальные р - 1 неподвижные точки отталкивающие.

Рассмотрим теперь комплексное число с, модуль которого больше двух. Тогда для полинома А2)=2р+с, р>2, peN в силу предложения 1 (см. [7, с. 235]) каждая из р неподвижных точек отталкивающая.

Покажем, что других вариантов нет. Предположим противное. То есть пусть существуют, по крайней мере, две неподвижные притягивающие точки иеС и veC, причем и-±у. Имеем: _Ди)=и и ^у)=>. Согласно [2, с. 245] бассейнам притяжения точек и и V принадлежит критическая точка 2=0. Тогда

последовательность

V(п )(о)}

П = №

п=0 :

являющаяся ор-

битой точки 2=0, должна сходиться к двум различным пределам и и V, что невозможно. Мы пришли к противоречию.

Отметим, что доказательство теоремы опирается на достаточно сложную теорию функции комплексной переменной (см. [2, с. 235-236]).

Развитие гибкости мышления студентов при изучении математики базируется на вариативных способах их решения. Мы приведем альтернативные решения выше приведённой задачи при р=4, р=5, связанные с использованием лишь свойств неподвижных притягивающих точек и с производной данной функции.

Для случая р=2, р=3 получен аналогичный результат независимо от теоремы (см. [7, с. 237-238]).

В настоящей статье мы исследуем случаи для р=4, р=5, не используя выше доказанную теорему.

Предложение 1. Функция _/(2)=25+с ни при каком значении с не может иметь более одной притягивающей неподвижной точки.

Доказательство. Предположим противное. То есть, предположим, что данная функция имеет, по крайней мере, две притягивающие неподвижные точки 2 и 22 при некотором се С. Эти точки являются решениями уравнения 25-2+с=0.

Причем, V'(21 ) = |524| < 1 и \/'2) = |5224| < 1.

То есть имеют место неравенства (1) и (2):

< (1)

4/5

05 .

(2)

Здесь студентам полезно напомнить теорему Виета для полинома любой степени.

Обозначим остальные три корня уравнения 25-2+с=0 (неподвижные точки функции V2)) через

Согласно формулам Виета будем иметь:

2 +2 +2 +2 +2 =0

1 2 3 4 5 '

+23 +г1 г4 г5 +г2 23 +г2 23 г5 +

(3)

(4)

(5)

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова «¿1- 2016, Том 22

22 <

190

Развитие гибкости мышления студентов при изучении структуры неподвижных точек полиномов..

Из равенства (4) находим:

(6)

(7)

Из равенств (3) и (7) получаем неравенство (8):

= Zj2 - z2 (Zj +z2 ) < Zj2 +|z2 (Zj +z2)| <

(8)

(^ (^

Далее из равенства (3) получим

2 = — 2 — 2 — 2 — 2

2 1 3 4 5

Умножим левую и правую части последнего равенства на 22. Получим равенство:

Из равенства (4) и (9) получаем равенство (10): г2 =2123+2124+2125+2324+2325+2425. (10) Умножим обе части равенства (10) на 2 . Получим равенство (11):

Из равенства (5) и равенства (11) получим равенство (12):

2\=212324+212325+212425+232425. (12) Умножим теперь обе части неравенства (12) на 22 и получим равенство (13):

Из равенств (6) и (13) получим равенство (14):

24 + !=21232425. (14)

Покажем теперь, что выполняется неравенство

I I 4

|2з2425|<--—. (15)

(* I"

Действительно из равенства (12) получим равенство (16):

232425=232 - 21 ( 2324+2325+2425 ). (16) Из неравенства (8) и равенства (16) получим неравенство (17):

|232425| < 22 +^1 |2324+2325+242^<

1

(V5)3 (V5)3 (V5)3

(j7)

Далее из равенства (14) и неравенств (1), (15) получим неравенство (18):

II 4 1

|z?| > 1 - |zJ|z2z"z4|>1 - 5 = 5.

z2 <1 -Г

котором ceC оказалось ошибочным и наше предложение доказано.

Применяя принцип дополнительности, полезно использовать диаграммы Ламерея, когда z и c - вещественные числа. Например, рассмотреть случай c=0. В данном случае три неподвижные точки 0, +1, -1 - вещественные числа и две неподвижные точки +i, -i - числа комплексные. С помощью диаграмм Ламерея нетрудно показать, что вещественная точка 0 - притягивающая, а две оставшиеся отталкивающие. Проверка того факта, что точки +i, -i являются отталкивающими, проводится с использованием производной функции fz)=z5+c.

Предложение 2. Функция g(z)=z4+c ни при каком значении c не может иметь более одной притягивающей неподвижной точки.

Доказательство. Пусть z1, z, z, z4 - неподвижные точки функции g(z)=z4+c. Предположим, что данная функция имеет, по крайней мере, две притягивающие неподвижные точки z1 и z2 при некотором ceC.

Так как |g'(z)| =4|z|3, то

— |z l< — V?' |z2' V?.

Заметим, что точки z1, z , z , z являются корнями уравнения z4-z+c=0.

По теореме Виета имеем равенства (21), (22) и (23):

z1+z2+z3+z4=0, (2j)

z1z2+z1z3+z1z4+z2z3+z2z4+z3z4=0, (22)

z1z2z3+z1z2z4+z2z3z4+z1z3z4=1 (23)

Из равенства (21) с учетом оценок (20) имеем

I II ,112

неравенство |z3+z4| = |z1+z^< -щ+-щ=-щ.

Из равенства (21) и (22) получаем равенство (24):

z3z4=z1 (-z2 - z3 - z4 )- z2 (z3+z4 ) =z2 - z2 (z3+z4 ) . (24)

Далее имеем:

|z3z4|= |z2 - z2 (z3+z41 < |zf| + |z21 • |z3+z4|.

I I 1 I i 2

Так как и r3+z4|<^, то имеем нера-

венство (25):

z, <-

(20)

1

1 2 w • W

(25)

(18)

Поскольку точка 22 - неподвижная притягивающая точка, то в силу неравенства (2) имеет место неравенство (19):

V 1

(19)

Неравенства (18) и (19) показывают, что мы пришли к противоречию. То есть предположение, что функция Дг)=25+с имеет по крайней мере две притягивающие неподвижные точки 21 и 22 при не-

' 3 41 ()2 *4 V4 (^)2

Из равенства (21) выразим 22= — 21 - 23 - 24. Умножим обе части полученного равенства на 2 , получим равенство (26):

22 = - 2122 - 2223 - 2224 . (26)

Из равенства (22) и (26) получим равенство (27): 22 =2123+2124+2324. (27) Умножим равенство (27) на 2 , получим равенство (28): 2

22 =212 223 +212224 +222324. (28)

Из равенства (28) и равенства (23) получим равенство (29):

22=1 - 212324. (29)

Далее имеем:

Щ = |1 - 212324|>1 - |2^|2324|.

Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинетика Jii- № 3

z3z4+z3z5 +z4z5

z3z4 +z3z5 +z4z5

191

I I 1 I U 3 Так как z, <—¡=, а z3z4 <-2

1 11 V4 1 3 41 (^4)2

венство (30):

N21 >i --1= 1 2| V4

(*)

то имеем нера-

(30)

С другой стороны согласно неравенству 1 < имеем неравенство (31):

, 1

<—

1 4

(31)

Замечаем, что неравенство (30) противоречит неравенству (31).

Таким образом, предположение о том, что функция g(z)=z4+c имеет две неподвижные притягивающие точки, оказалось ошибочным.

Таким образом, из предложений 1 и 2 вытекает, что функции fz)=z5+c и g(z)=z4+c ни при каком значении c не могут иметь больше одной неподвижной притягивающей точки.

В заключении отметим, что выявление структуры неподвижных точек некоторых полиномов комплексной переменной проводилось нами различными математическими методами, что позволяет студентам глубже изучать идеи, связанные с решением задач голоморфной динамики. Такой методический подход к изучению структуры неподвижных точек полиномов способствует, на наш взгляд, развитию гибкости мышления студентов - одному из важнейших креативных качеств личности.

Библиографический список

1. Бабенко А.С. Формирование креативных качеств студентов с помощью многоэтапного ма-

тематико-информационного задания «Системы трех дифференциальных уравнений» // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. - Т. 19. - № 2. -С. 130-133.

2. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. - М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

3. Секованов В.С., Салов А.Л., Самохов Е.А. Использование кластера при исследовании фрактальных множеств на комплексной плоскости // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественнонаучных дисциплин: материалы V Всерос. научн.-метод. конф. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2011. - С. 85-103.

4. Секованов В.С. Методическая система формирования креативности студента университета в процессе обучения фрактальной геометрии. -Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2006. - 279 с.

5. Секованов В.С. Формирование креативной личности студента вуза при обучении математике на основе новых информационных технологий. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2004. - 231 с.

6. Секованов В.С. Что такое фрактальная геометрия? - М.: ЛЕНАНД, 2016. - 272 с.

7. Секованов В.С. Элементы теории фрактальных множеств. - М.: ЛИБРОКОМ, 2015. - 248 с.

8. Смирнова Е.С. Развитие исследовательских компетенций студентов в процессе изучения фрактальной геометрии студентов // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. - Т. 19. - № 2. - С. 150-153.

Вестник КГУ им. H.A. Некрасова «ij- 2016, Том 22

192