О модифицированных преобразованиях Эно Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514

Секованов Валерий Сергеевич

доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

[email protected]

О МОДИФИЦИРОВАННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ЭНО

В статье рассматривается спектр преобразований Эно плоскости; исследуется характер неподвижных точек данных преобразований; рассмотрены их аттракторы при некоторых значениях параметров; указаны методические приемы изучения модифицированного преобразования Эно.

Ключевые слова: нелинейность, аттрактор, неподвижные точки, нелинейное преобразование, преобразование Эно.

Д

двумерно

инамические системы находят в настоящее время многочисленные приложения. Например, аттракторы классического Двумерного нелинейного преобразования Эно, порождающего дискретную нелинейную динамическую систему, могут использоваться в качестве математических моделей объектов и процессов, происходящих в природе и обществе. Исследованию нелинейных преобразований, построению с их помощью математических моделей и методике их изучения посвящены многочисленные работы (см., например, [1-11]). Изучение аттракторов Эно позволяет, на наш взгляд, развивать креативность обучаемых, устанавливает интеграцию между математикой, программированием и компьютерной графикой.

Как известно, классическое преобразование Эно задается формулой:

f 1 - ах2 + y

T

y

bx

,0 < а < 2, b < 1 - и об-

ладает рядом интересных свойств, среди которых:

1) переход к хаосу через удвоение периода Т: (см. рис. 1-3 и [2]).

2) Фрактальная размерность аттрактора равна 1,26 при а = 1,4, Ь = 0,3 .

3) При а = 1,4, Ь = 0,3 в системе Эно наблюдаются признаки хаоса.

В данной статье мы рассмотрим серию отображений, исследование которых в научных статьях и монографиях нам не встречалось. Отметим, что в нашем случае обе переменные изменяются по

Рис. 1. а) Орбита точки

f о 1

V 0 ,

f о 1

при а = 0,25, b = 0,3, Т=1; б) Орбита точки о при а = 0,6, b = 0,3. Т=2

У/ 0.5- ч

-L ° f 2

Рис. 2. Орбита точки

f 01 V 0 ,

при а = 1, b = 0,3, Т=4

Вестник КГУ им. H.A. Некрасова № 4, 2014

© Секованов В.С., 2014

12

------ 1 У Л "'У! 0.5 -».".Г • ч » 1 1 \

1 -0.5 • • • 0 ..... 1 ** *" 1 / г X,

Рис. 3. Признаки хаотичного поведения орбиты точки

Г 0 1

нелинейным законам в отличие от классического случая.

Рассмотрим серию модифицированных отображений Эно:

/ \ ( ^ Г * 1

Г X 1

Ап+1

V Уп+1 у

V 0 у (

при а = 1,4, Ь = 0,3 .

1

1 - ах + уп Ьхп

0 < а < 2, Ь < 1, п е N.

V У У

1 - ах2 + Уп

Ьхп

0 < а < 2, Ь < 1, п е N.

Как известно (см. [2]), элементы матрицы А, задающей линейное отображение, находятся через

' дХ дХ ^ дх ду

при п=1 мы полУчаем классическое отображе- значения частных производных А = ние Эно. Проведем исследование данных отображений в общем виде.

Г 11

1 - ах2 + у

ду дУ

дх ду

Рассмотрим уравнение: Имеем:

Ьхп

Г х 1

У

В нашем случае мы имеем:

Г-2ха п(У)п

А = п

1 - ах2 + Ьпх = х

а-1 >\

1 - ах + Уп = х ^

1

Ьх" = У ах2 + (1 - Ьп) х -1 = 0.

Решая квадратное уравнение, получим:

1 I 7

п ) ±\}(Л и"\2

гЬ( х)п

0

Найдем собственные значения оператора

-2 ха 1 (У)п п

-(1 - Ьп) (1 - Ьп )2 + 4 а *

2а

У*,2 = Ь (х*,2 )п.

А =

(Здесь

чТ-1 ^

гЬ( х)п

0

Таким образом, мы имеем две неподвижные точки при каждом значении п е N.

х = х,„ =

(1) х+ п =-

-ап+4а1 + 4а * , / * \п —2а—; у=у+п = (х+п)

-(1 - Ьп) (1 - Ьп )2 + 4 а *

2а

У+ п = Ь (х+ п )п

х = х „ =

-а-Уа2 + 4а

2а

; у = У- п =Ь (х- п )п

(2) х:,=-(| -Ьп' - ^ -Ьп )2+4 а; Л = (х*,, г

отображения Тп).

- (1 - Ь" )2 1

а > —--—. Положим а = 1 - Ьп. Нетрудно

4

Из уравнения

-2ах±п -Р 1 (У± п ) п^ и

Ьп (х±п )п-1 -Р

= 0 име-

видеть, что ап е (0,1). Таким образом.

-ап+4а1+4а. *

ем:

2а

У+ п = Ь ( х+ п )п

(3) х+ п =-

. -а -л/а2 + 4а » / . \п

(4) х-п =-М-=—; у-п =Ь (х-п)

2а

Прежде чем перейти к процессу линеаризации модифицированного преобразования Эно

х ч ( Л

: р2 + 2ах± р - пЬ = 0, поскольку

Ьп (х± п )п-1 х 1 (У± п )1-1 =

п

- 1 1_1 1 = Ьп (х±п )п-1 х-(Ь • х±пп К = Ьп =

VI '

= -ах±п ±-у/а2х±п + Ь

Положим:

-2ах±п 4а2х±п2 + 4Ь

Р±п =

Т

чУ у

1 - ах + уп Ьхп

положим

где /=1, 2.

Будем считать, что

Р+п = -ах+ п + ^а' (х+ п )2 + ^

2.5

ci

Рис. 4. График функции р+ п (а) на отрезке [- 2; 2]

Р+ п = -ах+

Р- п = -ах-п +

Р- п = -ах-

у/а2 (х+ n )2 + # ,

fW+^Tb,

^а2 (х-п )2 + üß .

Р+ п = - а~

-а + 4а

2а

- +

а

Г~2-

-ап + >К + 4а

2а

.

Преобразовав последнее выражение, получим:

( ап -л1а1 + 4а ^

(р1 п (а)) =

2

^a2n - 2ап/а2 + 4а + а2п + 4а + 4tfb

1

а2 + 4а

4^а -2апу]а + 4а + а2п + 4а + 4tfb

4-

4 -а

+ 4а j 4а1 + 4а

_1_

-у/а - 2а^а2п + 4а +а2п + 4а + 4tfb

№ +4а -ап _ _

у1ап + 4а j + 4а

4а1 + 4а-а

-1

< 0.

Исследуем на экстремам каждую из полученных выше функций. Рассмотрим сначала функцию Р1 п (а). Для этой цели найдем производную функции р+ п (а): Имеем:

д/а2 -2ап/а2 + 4а + а2п +4а + 4tfb

Пусть теперь п = 1, а = 1, b = 0,3 . Тогда: lim р+ (1)« 0,20 (см. рис. 4).

Отметим, что р+п (а) не превосходит единицы на отрезке [0 ;2]. Заметим, также, что предел limР+п (а)« 24h « 0,54 < 1.

Далее рассмотрим функцию

Р+2п = -ах+п а (х+ п )2 + ^ :

-а+4а1 + 4а

Р+2п (а) = -а

1

2а

-ап+Уа2 + 4а

2а

а -4а1+4а

-п/ь =

а -2ап^а2п + 4а + а2п + 4а + 44b

i 4

.а -Уа2 + 4а -' 2

^а2п - 2ап/т2 + 4а + а2п + 4а + 4tfb

(Р (а)) =

ап -4а1 + 4а

^а2п - 2апу[а2п + 4а +а2п + 4а + 44b

2

2

2

2

А2 + 4а

Рис. 5. График функции (а) на отрезке [- 2; 2].

Вывод: система Эно устойчива в окрестности точки с координатами

( * x+n

4^¡al - 2апЛ]аП + 4а + а2п + 4а + 4п[Ь

4-

4-а

\Ia2 + 4а J № + 4а 1

^ П—Г" Л

Уап +4а -ап = 1 _

л/а2 +4а J ^аП, +4а

+ 4а -ап

^а2п - 2аиЛ/аи2 + 4а + аи2 + 4а + 4^Ь

+1

2а,

а2 + 4а =(1 + а - -УЬ ) , а =

1 + а --УЬ ) -а

4

находим

.У+

гДе =

-ап Ча'2 + 4а . • = Ь (• Г

2а ' У+п = я>

при 0 < а < ап.

Далее исследуем на устойчивость си-

/V А

где

стему Эно в окрестности точки

-ап ;y+n=Ь (x+n )n

У-

Имеем:

2а

Pn (а) = -<

-ая -д/а^ + 4а

2а

Л 1

< 0. 1' [

I—2-

а -.д + 4а

2а

-Vb =

Найдем такое значение ап, чтобы выполнялось:

р+2п(ап) = -1. То есть: -1 = -ах+ п ^л/оп^^^+^Ь . Далее имеем: 1 - 2а х* + а 2х2 = а 2х2 + . Проведя несложные преобразования, получим:

-а + л/а2 + 4а <- /—;- /—

1-2ап--'-^¡-^-- = 4Ъ;1 + ап ^а2 + 4^ = п/Ь;

а + 4а

•V

а2 + 2а л/а2 + 4а +а2 + 4а + 4-^Ь

n n у n n *

а + Л/а2 + 4а

. n у n +

" 2

Л/а2 + 2а Л/а2 + 4а +а2 + 4а + 4-^Ь

у n n V n n '

В классическом случае при п = 1, Ь = 0,3, а1 = 0,7

(1 + 0,7 -0,3)2 -0,49

а -----— = 0,3675,

1 4

что согласуется с результатом, приведенным в [2]. При п = 2, Ь = 0,3, а2 и 0,45,

(1 + 0,45 - 0,55)2 - 0,2025 а2 «---и 0,152. На рисунке 5 мы видим, что при а > ап |р+п (а) > 1 (здесь рас-смотренслучай п = 1, Ь = 0,3, а1 = 0,7, а1 = 0,3675).

Заметим, что

^ Р- n(а Н

:+а а+а+а+Ф

■-ап +1п + ^ = 1 -2Ь + -n¡.Ь

= 1 - ф+V1 - + ФИ2 > 1 - Ф+4ъ = 1 (1 - 4Ь + ФИ2 > ф2).

2

2

2,5 a

Функция р-п (а) монотонно возрастает, поскольку возрастает каждое слагаемое. То есть: 0 < а1 < а2 р\ (а1) < рр (а2) ^ ^р-па) > 1 е [0; 2] (рис. 6). Заметим, что при п = 1, b = 0,3 limр- (1)«1,58 .

Исследуем, наконец, функцию р\ (а). Найдем

г

производную (Pin (а)) . Имеем:

/ 0 , чЧ' fа +Л/а2 + 4а (Р-2п (а)) = -

Рис. 6. График функции р1-п (а) на отрезке [- 2; 2]

1

( \ 4-а

4

у]а2п + 4a ) ,]а2п + 4a 1

•v/а2 + 2а Ja2 + 4a +а2 + 4a + 4-^6

у n n у n n *

' /~~2—Г" ^

■\]а11 + 4a +ап = 1

у]а1 + 4a J + 4a yjаI + 4a + ап

1 -

л/а2 + 2а ч/а2 + 4a +а2 + 4a + 4^6

у n n у n n у

4л/а2 + 2а ../а2 + 4a + а2 + 4a + 4

у n n у n n *

л/а2 + 4a

V n

+ 2аnS]а2 + 4a + а\ + 4a + 4 lim p2n (a) « an - Ла^ + 2an2 + а^ + 4 =

= i - 4ь - )2 + 4ъ.

Далее имеем:

> 0.

P-n(a) 0

-0,02 :

Рис. 7. График функции р^п (а) на отрезке [-2; 2].

a

Рис. 8. Устойчивость системы Эно при [0; an ] в окрестности точки

1 - -V1 - 4Ь + ^Ь7 > > 1 - 4ь --у/Т-УЬ+Ж >-4Ь >-1.

Покажем, что график функции р-п (а) не пересекает оси абсцисс Оа. Предположим противное. Тогда

ап + 4а

f * \

У-

■ ГДе x-n =

V У+n У

а -Vanr+4a. .

2a

У-п = b (x-n )П .

Дадим полученным результатам геометрическую интерпретацию. Заметим, что при ап ^ 0, (Зп ^ 0 приращение значений отображения Тп выражается в виде:

2

( * Л x.„ + а

yja2 + 2ап^а2 + 4a + а2 + 4a + 4 ф

У± п + ßn

- T

/ * \ x.

- 0.

(

Из последнего равенства получаем: 4П~Ь = 0, что невозможно. Поскольку функция p-n (a) монотонно возрастает, то -1 < p-n (a)< 0 для каждого a е[0;2]. Следовательно, |p-n (a)| < 1 и Va е[0;2].

Отметим, что при п = 1 b = 0,3 lim p-n (a) и 0,7 - 0,888 - -0,188 (рис. 7).

Вывод: Система Эно неустойчива при любом a е[0;2] в окрестности точки с координатами

1

-2xlna - (У±п )

п

nb( x± п )п-1

,У±п

1 Л

-T

x +а

У±п +ßn

0

а

у Vßп у

Линейное отображение:

(

-2x.„ a

1 (У+п) "

•л о

гЬ( x+ п )п

0

ßn

имеет два собственных вектора Р1, Р2. Оно пред-ставимо по данным направлениям в виде (рис. 8):

ßn

-Рп • P

о

ßn

-Р+п • P

*

п

*

Рис. 10. Орбита точки I о I при а=0,2, Ь=0,3

Рис. 11. Орбита точки I о I при а=0,4, Ь=0,3

Заметим, что модуль р+ п (а) не превосходит единицы на отрезке [о ;2]. При 0 < а < ап, Р+п (а) < 1. Таким образом, при а е [0; ап ] система устойчива в окрестности неподвижной точки

(х ^

(оба направления притягивающие, см. рис. 8).

,У+

Линейное отображение:

( ... 1 . . 1 , \( а \

- 2 х „ а

- (У-п )п"

пЬ(х-п )п-1

А

имеет два собственных вектора Р3, Р4. Оно представимо по данным направлениям в виде:

а

Л

,1

Р, А

а

= Р-п - '3

V п у

Заметим, что

в у

Р1 (а)

= Р-

• Р,.

не превосходит единицы на отрезке [0 ;2]. Однако при каждом а е [0 ;2] Р1_п (а) > 1. Следовательно, система Эно неустой-

(х ^

У -

при

чива в окрестности неподвижной точки

каждом а е [0 ;2] (одно направление притягивающее, а другое - отталкивающее, см. рис. 9).

0

п

0

@ Foiml УЙт

if

0 0

.а Ь

1

Action

Масштаб i

| 80 100

п

! 2

0

Рис. 12. Наличие признаков хаоса орбиты точки I I при а=1, Ь=0,3

Компьютерные эксперименты дают результаты, согласующиеся с нашими аналитическими исследованиями при различных значениях параметра а, п = 2, Ь = 0,3 . Суть компьютерного эксперимен-

(0 ^

та - рассматривается точка | ^ | и исследуется ее

орбита. Оказывается, устойчивость системы теря-

(0 ^

ется, поскольку орбита точки | 0 | притягивается к

нескольким центрам (рис. 10: а=0,2, Ь=0,3; рис. 11: а=0,4, Ь=0,3).

На рисунке 12 при а=1, Ь=0,3 у орбиты точки

( 01

I 0 I наблюдаются признаки хаоса.

Библиографический список

1. Белихов А.Б., Леготин Д.Л., Сухов А.К. Современные компьютерные модели распространения загрязняющих веществ в атмосфере // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. - № 1. - С. 14-19.

2. Гринченко В.Т., Мацибура В.Т., Снарский А.А. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы. Изд. 2-е. - М.: Изд-во ЛКИ, 2007. - 264 с.

3. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. - М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

4. Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. Изд. 4-е, сущ. перераб. и доп. - М.: КомКнига, 2005. - 312 с.

0

5. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. - 656 с.

6. Секованов В.С., Миронкин Д.П. Изучение преобразования пекаря как средство формирования креативности студентов и школьников с использованием дистанционного обучения // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. - № 1. - С. 190-195.

7. Секованов В.С. О множествах Жюлиа некоторых рациональных функций // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2012. - № 2. - С. 23-28.

8. Секованов В.С. Отображение «Кошка Арнольда» и методика его изучения // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. - № 2. - С. 143-149.

9. Секованов В.С. Элементы теории фрактальных множеств. Изд. 5-е, перераб. и доп. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013. - 248 с.

10. Секованов В.С. Преодоление стереотипов мышления при рассмотрении понятия «фрактальная размерность множества» / В.С. Секованов, С.Б. Козырев // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. -2006. - Т. 12. - №7.

11. Секованов В.С. Многоэтапное математи-ко-информационное задание «Странные аттракторы» / В.С. Секованов, В.А. Ивков // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. - № 5. - С. 155-158.