Развитие гибкости мышления студентов при разработке алгоритмов построения дерева Фейгенбаума в различных средах Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 378; 51

Секованов Валерий Сергеевич

доктор педагогических наук, профессор Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

Фатеев Александр Сергеевич

Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

Белоусова Надежда Валерьевна

Костромской завод автокомпонентов [email protected], [email protected], [email protected]

РАЗВИТИЕ ГИБКОСТИ МЫШЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ ПРИ РАЗРАБОТКЕ АЛГОРИТМОВ ПОСТРОЕНИЯ ДЕРЕВА ФЕЙГЕНБАУМА

В РАЗЛИЧНЫХ СРЕДАХ

В работе рассматриваются способы развития гибкости мышления студентов при разработке в различных средах алгоритмов построения дерева Фейгенбаума, находящего многочисленные приложения в различных областях реального мира. Сначала рассматривается динамика Ферхюльста, на базе которой строится универсальность Фейгенбаума. Предлагаются алгоритмы построения диаграммы орбит различными способами - с помощью языков программирования и компьютерной математики. На конкретных задачах обосновывается возможность развития гибкости мышления студентов в процессе построения дерева Фейгенбаума. Рассматривается сценарий перехода к хаосу с помощью удвоения периода. Адаптируются алгоритмы построения дерева Фейгенбаума и сценария перехода к хаосу с помощью языков программирования и математических пакетов. Приводится описание алгоритмов как с помощью блок-схемы и компьютерной программы. Указаны значения параметра, при которых орбиты точек устойчивы, имеют период два, четыре, восемь... Затем указываются значения параметра, при которых орбита точки становится непредсказуемой и наблюдается хаос. Построение дерева Фейгенбаума различными средствами, позволяет развивать гибкость мышления студентов - одного из важнейших креативных качеств личности.

Ключевые слова: мышление, алгоритм, гибкость мышления, вариативность, Ферхюльст, дерево Фейгенбаума, информационные и коммуникационные технологии, хаос, блок-схема, дидактическая задача, математический па-

кет, язык программирования, аттрактор.

Развигие креативности студентов вуза имеет важное значение для становления специалиста высокого уровня. Важнейшим параметром креативности является гибкость мышления. По мнению Дж. Гилфорда, гибкость мышления - это способность продуцировать разнообразные идеи. Д.Н. Богоявленский и Н.А. Менчинская [1] выделили три основных показателя гибкости мышления:

1) целесообразное варьирование способов действия;

2) легкость перестройки знаний и навыков и их систем в соответствии с измененными условиями;

3) легкое переключение от одного способа действия к другому.

При формировании гибкости мышления мы акцентируем свое внимание на принципе дидактики - принципе вариативности. Согласно данному принципу при обучении необходимо выполнение следующих требований:

а) выделение известных и нетрадиционных путей решения;

б) осуществление учебных действий с позиции поиска новых решений задачи или рассмотрение новых возможностей известных математических утверждений;

в) ориентация педагогического стимулирования на новизну путей решения предлагаемых задач;

г) психологическое обоснование возбуждения интереса к математическим теориям, новым информационным и коммуникационным технологиям, которые имеют теоретическое и практическое значение [5].

Вариативность - важнейший принцип в творческой деятельности студента, поскольку обуславливает актуализацию его разнообразных знаний из различных областей математики и информатики, что приводит к поиску нестандартных решений задач.

Отметим, что вариативность в нашем исследовании выполняет двоякую роль: решение задач с использованием различных информационных и коммуникационных технологий (ИКТ); генерирование новых идей при решении задач.

По мнению ряда ученых, компьютерные технологии открывают совершенно новые, еще не исследуемые технологические варианты обучения, связанные с уникальными возможностями современных компьютеров и телекоммуникаций.

Компьютерные технологии в нашем исследовании осуществляются, как «проникающие», то есть применение компьютерного обучения производится по отдельным темам, разделам для отдельных дидактических задач, связанных с исследованием дерева Фейгенбаума.

Следует отметить, что применение языков программирования и математических пакетов при решении задач следует сочетать с традиционными методами, связанными с математическими методами, ибо понимание содержания задачи имеет главенствующее значение. При обучении математике компьютер должен выполнять вспомогательную функцию, позволяющую обучаемому глубже разобраться в сути вопроса, а также закрепить приобретенные знания, приобрести твердые умения и навыки.

© Секованов B.C., Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинетика М- № 1

Фатеев А.С., Белоусова Н.В., 2016

Изучению нелинейных динамических систем в настоящее время уделяется большое внимание, поскольку с их помощью строятся математические модели в различных областях. Дело в том, что одним из важных аспектов нелинейной динамики является теория хаоса, находящая в настоящее время многочисленные приложения. Как указывает Р. Кроновер [3], универсального определения математического хаоса не существует, имеется, по-видимому, полное согласие в том, что любой вид хаоса обладает свойством непредсказуемости. Это свойство называют существенной зависимостью от начальных условий. Как ни странно, оно не эквивалентно случайному поведению. По сути дела математический хаос - это характерная черта именно детерминированных систем. Поэтому наблюдаемые в состоянии хаоса флуктации только кажутся случайными - их значения полностью предопределены входными параметрами.

Знакомство с хаосом, на наш взгляд, целесообразно вводить, изучая динамику Ферхюльста и дерево Фейгенбаума.

В 1845 году Ферхюльст вывел модель ограниченного роста популяции в виде уравнения: хп+1 = (1 + а)хп - хп2 [см. 4]. В переводе на язык фрактальной геометрии это есть одномерная дискретная динамическая система - отображения / (х, а) = (1 + а )х - х2. Наиболее важным отличительным признаком уравнения Ферхюльста и его следствий является нелинейность, что, как оказалось позднее, позволяет моделировать различные явления в природе и обществе.

начало

нач уел.

а=а 3

х=0 5

а=а+|а8-ае|/640

конец

Наиболее впечатляющим в динамике Ферхюль-ста является не хаос как таковой, а сценарий, по которому порядок превращается в хаос. При точном анализе точек бифуркации в процессе Фер-хюльста обнаруживается закономерность, имеющая исключительное значение в мире нелинейных явлений. В 70-х годах прошлого века внимание ученых привлек необычайно простой путь к хаосу, получивший название сценарий (маршрут) Фейгенбаума, суть которого такова: в определенной области значений параметров динамическая система вида хп+1 = Дх), где / - унимодальное, одногорбное отображение (типичными представителями такого отображения являются квадратич-

4

ные функции /(х) = (1 + а)х - х2, а е [0; 3], х е

0;

3

р(х) = ах - ах2, а е [0; 4], х е [0; 1]) действует в периодическом режиме с периодом Т; при переходе через порог период удваивается и становится равным 2Т, при переходе через порог период удваивается и становится равным 4Т и т.д. до наступления хаоса. Таким образом, система характеризуется последовательностью бифуркаций удвоения периода. Как указывают И. Пригожин и И. Стенгерс [6] сценарий Фейгенбаума один из типичных маршрутов, ведущих от простого периодического режима к сложному апериодическому, наступающему в пределе при бесконечном удвоении периода. Графическая иллюстрация данного процесса приводит к построению дерева Фейгенбаума, находящему в настоящее время приложения в различных областях человеческих знаний.

Рисунок 1. Блок-схема и дерево Фейгенбаума функция р(х) = ах - х2

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова „й- 2016, Том 22

144

Как уже отмечалось, при формировании гибкости мышления студентов мы опираемся на принцип вариативности и предлагаем изучение динамики Ферхюльста и построения дерева Фейгенбаума по следующей схеме:

1) с помощью ИКТ, включая языки программирования и математические пакеты;

2) с помощью математических методов.

Опишем алгоритм построения дерева Фейгенбаума в виде блок - схемы применительно к языку программирования для функции p(x) = ax - x2, a e [0; 4], x e [0; l] (рис. 1).

Параметр роста a изменяется вдоль оси абсцисс ( a e [0; 4] ). Для каждого значения a по истечению переходного периода длительностью в 100 итераций на плоскость наносятся 120 итерации точки x e [0; 1]. Мы полагаем x = 1. Таким образом, первые 100 итераций мы не выводим на экран монитора, чтобы процесс успел войти в свой аттрактор, а последующие 120 итераций наносятся на диаграмму, для того, чтобы показать структуру данного аттрактора (рис. 1). Данный аттрактор состоит из одной точки при a e [0;3). Если же a = 3, то появляется орбита периода 2. Затем появляется орбита периода 4 и т. д. При a = 4 наступает максимальная сложность - хаос (рис. 1). Использование новых информационных технологий при решении математических задач приобретает все большее значение. В настоящее время широко используется математический пакет Mathcad. Опишем построение дерева Фейгенбаума в среде Mathcad (рис. 2). Сначала задается начальное значение a = 0. Затем указывается шаг Д = 0,001, число итераций m = 100

и выбирается стартовая точка x = 1. Далее указывается v - диапазон числа точек на диаграмме орбит (дереве Фейгенбаума) рис. 2).

Приведем иллюстрации построения дерева Фейгенбаума для функции q>(x) = ax - x2.

Несмотря на внешнее сходство вышеуказанных алгоритмов, студент при работе с математическим пакетом соприкасается с видом знаково-символи-ческой деятельности, отличным его знаково-сим-волической деятельности в программировании (языках паскаль, С++ и др.), что позитивно влияет на развитие гибкости мышления студента.

Как показывают компьютерные эксперименты и аналитические исследования удвоение периода и переход к хаосу происходит и для ниже приведенных функций ll(x), l2(x), l3(x) (рис. 3а-3в).

Следует отметить, что алгоритмы построения дерева Фейгенбаума для функций l2(x), l3(x) с помощью ИКТ нам неизвестны. Среда Mathcad для исследования хаотических процессов, связанных с удвоением периода, используется достаточно редко. Однако данный математический пакет позволяет с помощью несложных программ строить дерево Фейгенбаума и исследовать орбиты точек, о чем свидетельствуют рис. 2, рис. 3а-3в, что повышает мотивацию студентов к изучению компьютерной математики.

Дерево Фейгенбаума для функции

12 (x) = (1 + a)x - x3 будет иметь вид (рис. 3б).

Дерево Фейгенбаума для функции

13 (x) = (1 + a)x - x4 будет иметь вид (рис. 3в).

Создание сценариев перехода к хаосу мы относим к творческой математической деятельности, которая развивает гибкость мышления студента, формирует его креативность [см. 2], вызывает интерес к предмету, учит прогнозировать результаты математической деятельности. Хорошей иллюстрацией хаотичности отображения при определенных значениях параметра служит дерево Фейгенбаума, построенное с помощью компьютерной програм-

Рисунок 2. Программа и дерево Фейгенбаума для функции p(x) = ax - ;

Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинетика Jiî- № 1

2

145

:= 0 ап := 3 Д := 0.001 т := 100 хО := 0.5 V := 1.

Г(а,х) := (1 + а) х - а х

М1 :=

V«- 0

а«— аО ■шЫ1е а < ап х^хО £ог 1.. т х1 Ца.х)

х^— х1 ¡Г х1 > 0 м^ 1

Бэг j е 1.. т

^ О

х1 <Н Ца.х) х ^— х1 ¡£ > 0 М1Т:[|-Н а М1Т, 1 х1 - а+ Д

_1_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_|_

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

М1„,0

М1

Рисунок 3а. Программа и дерево Фейгенбаума для функции /1 (х) = (1 + а)х -;

- 0 ап :- 1.6 Д :- 0.001 т := 100 хО := 0.5

:= 1

т Г(а,х) (1 + а) х— а-х

М1 :=

а аО wЫle а < ап х ^— хО Ьг 1е 1.. т

х«— х1 £ х1 > 0 Ьг J е 1.. т

х1 Е(а,х) X <т— х1 ¡Г х1 > 0 М1„_о^ а М1Т>1 а^ а+ Д

0.08 0.16 0.24 0.32 0.4 0.480.56 0.64 0.72 0.8 0.88 0.96 1.04 1.12 1.2 1.28 1.36 1.44 1.52 1.6

М1Т,0

Рисунок 3б. Программа и дерево Фейгенбаума для функции 12 (х) = (1 + а)х -;

ап := 1.15 Д := 0.001

V«- 0 а аО whlle а < ап х ^— хО Бэг 1 е 1.. т

г х1 > о

:Гог } е 1 т у<Нч + 1

х ^— х1 £ х1 > 0

1 х1 [<- а+ Д М1

:= 100 хО := 0.5 V := 1.

Г(а,х) :— (1 + а)-х- а-х

0 0.112 0.224 0.336 0.448 0.56 0.672 0.784 0.896 МЦ.,0

Рисунок 3в. Программа и дерево Фейгенбаума для функции 13 (х) = (1 + а )х -;

2

4

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова «¿1- 2016, Том 22

146

Возможности выявления критериев и показателей личностного развития студента

мы и визуализованное на мониторе компьютера. При создании сценариев перехода к хаосу студент имеет возможность проводить компьютерные эксперименты, выполнять лабораторные работы по математике, решать широкий круг нестандартных математических задач.

Библиографический список

1. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959, - 347 с.

2. Дружинин В.Н. Психология творческих способностей. - СПб.: Питер, 2000. - 368 с.

3. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. - М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

4. Пайген Х.-О., Рихтер П.К. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. -М.: Мир, 1993. - 176 с.

5. Подготовка учителя. Инновационные подходы / под ред. В.Д. Шадрикова. - М.: Гардарики, 2002. -384 с.

6. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. - М.: КомКнига, 2005. - 296 с.

УДК 159.923

Сысоева Екатерина Валентиновна

Вологодский государственный университет [email protected]

ВОЗМОЖНОСТИ ВЫЯВЛЕНИЯ КРИТЕРИЕВ И ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛИЧНОСТНОГО РАЗВИТИЯ СТУДЕНТА

В статье рассматриваются критерии и показатели личностного развития студента на начальном этапе обучения в организации высшего образования (ОВО). Отмечается сложность выявления объективных критериев и показателей личностного развития студента ввиду многоаспектности понятия личность.

Ключевые слова: критерии и показатели личностного развития, личность, личностное развитие

Выявление критериев и показателей личностного развития студента представляет собой сложную проблему ввиду многоплановости толкования понятия «личность». Особенно трудно выявить объективные критерии и показатели личностного развития студента. Цель данной статьи - рассмотреть процесс выявления критериев и показателей личностного развития студента.

Период студенчества не имеет жестких временных рамок и варьируется от 17 до 40 лет. Считаем, что это связано с субъективным восприятием расцвета сил человека. Периодизация жизненного пути личности, начиная с юности, перестает совпадать с возрастной и становится личностной [1, с. 119]. Студенчество мы рассматриваем как благоприятный период для формирования личности, а личность - как особое качество, которое приобретается индивидом в обществе.

В наше исследование включено 120 студентов 1 и 2 курсов Вологодской государственной мо-лочно-хозяйственной академии им. Н.В. Верещагина. В сентябре 2014 г. была осуществлена диагностика исходного уровня личностного развития студентов-первокурсников. В экспериментальную и контрольную группы были отобраны студенты в соответствии с возрастом (18-19 лет), полом (60 юношей и 60 девушек), местом проживания (студенческое общежитие), средним баллом, полученным на ЕГЭ (от 60 до 80) и успеваемостью на основе ежемесячной аттестации по предметам семестра. В течение года проводилась реализация опережающей педагогической поддержки личностного развития студента: во внеучебную деятельность был введен спецкурс «Когда легко учиться?» Его предназначение - облегчить про-

цесс адаптации студентов на начальном этапе обучения в ОВО, в ходе которого актуализируется возможность познать себя, одногруппников и выстроить индивидуальную траекторию личностного развития студента с целью организации его саморазвития. В ноябре 2015 года была проведена повторная диагностика уровня личностного развития студентов, показавшая положительную динамику.

Для выявления уровня личностного развития студента мы первоначально пытались осознать многоплановость толкования понятия «личность», которое по-разному рассматривается во многих науках: философии, психологии, педагогике, социологии и других.

В философии под личностью принято понимать социальное свойство человека активно воздействовать на окружающий мир. Так, критерием развития человека у Аристотеля является степень развития души [6, с. 128-130]. В психологии личность обычно представляет собой целостную психологическую структуру, набор психологических черт индивида.

В.И. Слободчиков рассматривает основные ступени развития субъектности человека в онтогенезе: оживления, одушевления, персонализации, индивидуализации и универсализации [9]. У В. Штерна критерием развития личности выступает овладение культурными навыками [11].

Согласно педагогическому словарю С.М. Вишняковой, критерий - это признак, на основании которого формируется оценка качества объекта, процесса; показатель - это уровень, характеризующий состояние какого-либо одного аспекта функционирования системы, который позволяет судить о состоянии системы, ее развитии [4, с. 168, 280].

© Сысоева Е.В., 2016

Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинетика М- № 1

147