Сценарий удвоения периода в рамках спецкурсов для студентов университетов Текст научной статьи по специальности «Математика»

В ПОМОЩЬ ПРЕПОДАВАТЕЛЮ ВУЗА

В. С. Секованов

СЦЕНАРИЙ УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА В РАМКАХ СПЕЦКУРСОВ ДЛЯ СТУДЕНТОВ УНИВЕРСИТЕТОВ

Преамбула. В данной статье представлен математико-информационный проект, связанный с фракталами, динамическими системами, математическим моделированием процесса Фер-хюльста. Выполнение данного проекта позволит студенту расширить свой кругозор, установить связь математики с другими науками.

Одним из тех, кто осознал важность изучения процесса Ферхюльста, был биолог Роберт М. Мэй, который в 1976 году писал: «...Я настоятельно советую, чтобы люди знакомились скажем, с уравнением Ферхюльста, на раннем этапе своего обучения математике. <...> Такое изучение очень обогащало бы интуитивные представления учащегося о нелинейных системах. Для всех нас было бы лучше, если бы не только в научной работе, но и в повседневной политической и экономической жизни как можно больше людей поняло, что простые нелинейные системы не всегда обладают простыми динамическими свойствами».

Процессу Ферхюльста уделено много внимания в различных монографиях и учебных пособиях, научных статьях, сайтах, где в основном констатируются основные факты, полученные разными исследователями. Однако отсутствует целостная разработка методики изучения этого явления, наблюдающегося в различных природных процессах. В данной статье предлагается целостное изучение сценария удвоения периода по Ферхюльсту в рамках разработанного автором математико-информационного проекта «Динамика Ферхюльста и универсальность Фейгенбаума», составляющего основу одного из читаемых автором статьи спецкурсов для студентов физико-математических специальностей университета.

Мы будем понимать под образовательным математико-информационным проектом (МИП) форму организации занятий по математике с использованием современных информационных и коммуникационных технологий (ИКТ), предусматривающую комплексный характер деятельности всех участников, способствующую формированию креативной личности каждого студента при получении конкретной продукции за заданный промежуток времени. Занятия по плану МИП

(рис. 1) позволят, на наш взгляд, будущему специалисту - учителю математики, инженеру, программисту и т. д. - осуществлять творческую математическую деятельность, способствующую развитию его мировоззрения, интеллекта и креативности. У обучаемого вырабатываются такие личностные качества, как стремление к новизне, развитие толерантности и неприятие конформизма, необходимые для творческого процесса в любой сфере деятельности. МИП - это многоэтапная форма творческой деятельности, основные этапы которой предусматривают: изучение динамики Ферхюльста, построение с помощью компьютерных программ «Деревьев Фейгенбаума» и создание с помощью данных объектов художественных композиций на основе ИКТ. Фактически многоэтапные задания в рамках МИП являются творческой лабораторией для школьника и студента. Они познакомят его с новыми направлениями науки - фрактальной геометрией и синергетикой, которым посвящены многочисленные исследования (см., напр., [1-8]). При выполнении данного проекта у студента появится возможность активного познания мира с помощью выдвижения гипотез и их проверки, обобщения и аналогии, развития интуитивного, пространственного, критического мышления. Данная работа многогранна. Зачастую студенту приходится проявлять гибкость мышления, перестраивая мыслительные процессы с одной области знаний на другую, с одного метода на другой. В рамках МИП студент решает математические задачи, доказывает теоремы, строит математические объекты, математические модели, то есть он не приобретает готовые знания (изучает готовую математику), а становится непосредственным участником математического творчества. Он открывает для себя знания, ставит новые задачи и устанавливает связь с другими науками.

162

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 1, 2006

© В. С. Секованов, 2006

Рис. 1. Схема математико-информационного пректа «Динамика Ферхюльста и универсальность Фейгенбаума»

Остановимся кратко на истории вопроса. В 1845 году Ферхюльст вывел модель ограниченного роста популяции в виде уравнения х +1= ах (1-х). Наиболее важным отличительным

п пу п

признаком уравнения Ферхюльста и его следствий является нелинейность, что, как оказалось позднее, позволяет моделировать различные явления в природе и обществе. Наиболее впечатляющим в динамике Ферхюльста является не хаос как таковой, а сценарий, по которому порядок превращается в хаос. При точном анализе точек бифуркации в процессе Ферхюльста обнаруживается закономерность, имеющая исключительное значение в мире нелинейных явлений.

Закономерность касается длин интервалов значений параметра, при которых устойчивым является периодическое движение с некоторым определенным периодом. Данные интервалы сокращаются при каждом удвоении периода, причем множитель, характеризующий сокращение, приближается к универсальному значению 5=4,66920201660910..., когда период растет.

Это число, десятичные знаки которого были впервые опубликованы Гроссманом и Томе в 1977 году, появляется снова и снова во многих других процессах. Огромный вклад при выявлении универсальности множителя 5 внес Фей-генбаум. Это число называется теперь «числом Фейгенбаума». Исследователь проделал вычисления для ряда различных процессов и получил в каждом случае один и тот же множитель, равный значению 5, что послужило открытию универсальности этого числа.

Данное число является такой же характеристикой для сценариев удвоения периодов, как число л для отношения длины окружности к ее диаметру.

Остановимся на открытии Фейгенбаума наиболее подробно. Фейгенбаум анализировал уравнение Ферхюльста х +1=ах (1-х ).

п пу п

Уравнение Ферхюльста заслуживает особого внимания. Оно имеет глубокие исторические корни. Сначала Мальтус исследовал модель неограниченного роста популяции в виде уравнения: х +1=а-х п=0, 1, ..., где а - параметр роста. Неограниченный рост следует геометрической прогрессии х=а"хд, что означает, что в каждом поколении популяция будет в а раз больше, чем в предыдущем поколении. Ясно, что при а>1 популяции неограниченно возрастают. Число а называется показателем Мальтуса. Однако хорошо известно, что ограниченное количество ре-

сурсов ограничивает рост популяции. Проще всего уменьшение фактора роста моделируется заменой а на а(1-х ). Тогда при приближении х к некоторому пределу (в нашем случае единице) параметр роста стремится к нулю. Ферхюльст считал, что численность популяции, заполняющей данную экологическую нишу, не может быть больше некоторого максимального числа R. То есть для того, чтобы ограничить рост популяции, Фер-хюльст заставил коэффициент роста а меняться вместе с изменением численности популяции.

После краткой исторической справки здесь уместно дать студентам задания для самостоятельной работы в виде реферата:

а) найти информацию в Интернете, касающуюся истории вопроса, связанного с динамикой Ферхюльста;

б) найти информацию в Интернете, касающуюся истории вопроса, связанного с вычислением универсальной константы Фейгенбаума;

в) указать имена математиков, внесших существенный вклад в развитие динамики Фер-хюльста и универсальность Фейгенбаума;

г) указать процессы и явления, приводящие к удвоению периода.

Опишем сначала краткое содержание этапов 1-4. На данных этапах даются основные определения, доказываются теоремы о неподвижных точках. Приводятся примеры, указывающие переход от циклических точек к неподвижным точкам, приводится ряд задач, связанных с построением примеров отталкивающих, нейтральных и притягивающих неподвижных точек. Далее исследуется динамика Ферхюльста для функции Да,х)=а(1-х)х, доказывается частный случай теоремы Шарковского - теорема Йорка - Ли: Если непрерывное отображениеимеет точку периода 3, то данное отображение имеет также точки периода п=1, 2, 3,. Приведены иллюстрации, когда данная теорема не имеет места. Указано упорядочение Шарковского, строится блок-схема и разрабатывается компьютерная программа для построения диаграммы орбит, разрабатываются алгоритмы нахождения точек бифуркации и универсальной константы Фейген-баума. Далее рассматриваются алгоритмы нахождения универсальных констант Фейгенбау-ма для функций ц:(г,х) = 1-гх2, ф(с,х)=с+х2, h(x, d)=(1 +йх)-х2, Да,х) =а(1-х)х.

Укажем ряд определений и примеров, рассмотренных в этапах 1-4.

Пусть х0 - некоторое вещественное число. Будем называть последовательность х1=/(х0), х2=/(х1), ., х=Ахп1) итерационной схемой.

Начальная точка х0 и функция f- пример простейшей динамической системы.

Определение 1. Назовем последовательность

к};=0 = {/(п)(*0)}!0, где ^\Х0)=М.--Ах0)) (функция f берется п раз. Если п=2 то /(2)(х0)=/(/х0)), если п=0, то /0)(х0)=х0 орбитой точки х0 или итерационной схемой.

Определение 2. Функцию/вместе с итерационной схемой будем называть итерированной функцией.

В фрактальной геометрии, динамических системах и других современных математических дисциплинах итерированные функции имеют огромное значение.

На первом этапе проекта «Итерированные функции» вводятся определения неподвижной, притягивающей, отталкивающей и нейтральной точек. Доказываются теоремы об отталкивающей и притягивающей точках. Вводится понятие паутинной диаграммы (диаграммы или «лестницы» Ламерея).

Приведем примеры дифференцируемых функций, имеющих неподвижную точку, модуль значения производной в которой равен 1. Данная неподвижная точка может оказаться притягивающей, отталкивающей, не притягивающей, не отталкивающей.

Пример 1. /(х)=х-х2. Находим: /'(х)=1-2х. /(0)=0, / '(0)=1. Прямая у=х является касательной к графику функции у=/х) в точке 0(0,0). Очевидно, что данная точка О не является ни отталкивающей, ни притягивающей. Точка О(0,0) нейтральна (рис. 2). Отметим, что данная точка притягивает орбиты слева и отталкивает справа.

Рис. 3.

Пример 2./(х) =&чпх;/(0) =sin0=0./'(х)=со&'(х); /'(0)=^(0) = 1.

В данном случае /'(0) = 1. Однако точка 0(0,0) - притягивающая (рис. 3).

Пример 3. /(х)=х3+х. Имеем /'(х)=3х2+1; /(0)=0; /'(0) = 1. Поскольку /'(х)>0, то V xеR /(х) всюду возрастает./''(х)=6х. Точка 0(0,0) - точка перегиба. В точке 0(0,0) будем иметь уравнение у-0=/'(0)(х-0); у=х. Точка х=0 является отталкивающей несмотря на то, что /'(0)=1 (рис. 4).

Рис. 2.

Рис. 4.

В предлагаемом проекте рассматривается функция/(х)=а(1-х)х и исследуется поведение ее орбит в зависимости от значения ае[0; 4]. Показано аналитически и с помощью диаграмм Ламерея, что при ае [0; 3] орбиты будут сходиться к одной точке (рис. 5-6).

При а = 45 +1 орбиты будут сходиться уже к двум неподвижным точкам (рис. 7). Покажем как

отыскать значение а = 45 +1. Потребуем, чтобы /(/(х))=0,5. Диаграмма Ламерея указывает нам, что уравнение/(/(х))=0,5 имеет решение. Тогда получим:

/2>(х)=//(х))=а(ах-ах2)-а(ах-ах2)2=а(ах-ах2)(1--(ах-ах2))=а2х(1-х)(1-ах(1-х)).

Рис. 5. а=0,4

Таким образом, а2х(1-х)(1-ах(1-х))=х или же имеем: а2(1-х)(1-ах(1-х)) = 1. а2(1-х)(1-ах+ах2)= 1.

Подставим х = -1: а111 -11|1 - а+а | = 1»

2 Л 2 4

,2 ,

а [, а ! , а3 а2

»—11--1 = 1 »--+ — = 1 »

2 I 4) 8 2

<»-а3 + 4а2 = 8 а3 - 4а2 =-8 ^ ^ а3 = 4а2 -8.

Решим данное кубическое уравнение относительно а:

а3-2а2-(2а2-8)=д ^ а2(а-2)-2(а-2)(а+2)=0 ^ ^ (а-2)(а2-2а-4)=0;

а 1=2 не устраивает поскольку а1^[0, 1];

а2 = 1 - 45 не устраивает, ибо а2<0.

Следовательно, нужный нам корень равен а3.

То есть а3 = 75+1« 3,3260679.

Рассмотрим /(х) = (45+1)х - (45+1)х2. Найдем /(0,5).

Рис. 6. а=3

/ Г11=и+1) 1 •

0,8090...

Таким образом, х1 =

45+1

0,8090..

Нетрудно убедиться, что /2)(0,5)=0,5. Дей-

ствительно /(х0) = /(0,5) = / (0,5) =

/(*,) = /1 — 1 = 0,5.

45+1

Если, например, а=3,5, то орбиты точек будут принимать уже четыре значения (рис. 8).

Дальше следить за динамикой процесса Фер-хюльста становится все труднее. При возрастании параметра а орбиты точек будут принимать 8, 16. значений вплоть до области хаоса, где при каждом фиксированном а орбиты точек могут заполнять целые полосы. Как известно каскад удвоений периода завершается «хаотической» орбитой при а=аю=3,5699.

0 0,5

Рис. 7. а = 45 +1

0 0,5 1 X

Рис. 8. а=3,5

4

= х.

4

-2

-1

Рис. 9.

Следует отметить, что каскад бифуркаций удвоения периода сменяется хаосом (плотные заполненные полосы), который перемежается «окнами периодичности» (рис. 9б). На данном рисунке показано «поведение» итерированной логистической параболы, то есть значения ее итераций х , когда параметр а изменяется от 3 до 4. Наиболее заметно окно с периодом 3 при

а= л/8 +1 . Следует отметить, что в окне периода 3 снова происходит удвоение, приводящее к орбитам с длинами периода 6, 12, 24., в которое вложено другое окно с периодом 3 и т. д. согласно упорядоченности Шарковского.

Далее в рамках проекта вычисляются координаты точек бифуркации ап, где а а2, а3... есть возрастающая последовательность тех значений параметра, при которых происходит бифуркация удвоения периодов, и находится величина выра-

г г ап ~ ап-1

жения о = lim —--—

с точностью е (известно,

что предел 8 = Нт-

существует и

5=4,6692016). При выполнении заданий, рассмотренных в этапах 5-8, с помощью компьютерных программ строятся множество Мандель-брота и диаграмма точек орбит для функции ф(с,х)=с+х2 (рис. 9а-9б). Приводятся примеры

использования удвоения периода в различных областях знаний, изучаются хаотические отображения, создаются и размещаются на сайте художественные композиции.

Диаграмма орбит функции ф(с,х)=с+х2 имеет тесную связь с множеством Мандельброта. Она указывает (рис. 9), что происходит на вещественной оси множества Мандельброта. Бифуркации соответствуют прорастанию почек, периодические окна, разрывающие хаотическую пелену, соответствуют малым копиям множества Мандельброта, расположенным на главной антенне (рис. 9). На рисунке 9 изображен ряд участков-обрамлений множества Мандельброта, соответствующих существованию притягивающих периодических точек различных периодов. Нетрудно заметить, что точки вещественной прямой, принадлежащие главной кардиоиде множества Мандельброта, определяют длину периода 1 в диаграмме орбит. Окружность, примыкающая к главной кардиоиде слева определяет в диаграмме орбит длину периода, равную 2 и т.д.

Удвоение периода - распространенное явление. Рассмотрим экологический пример: песцы и лемминги. Здесь возможны различные варианты в зависимости от значения а: популяция песцов может вымереть; численность популяции может стабилизироваться; численность может испытывать периодические колебания, повторяясь через некоторое число сезонов; численность популяции может меняться хаотически. Отметим, например, что при умеренном воспроизводстве песцов (а<3) количество леммингов может оказаться достаточным для «пропитания» песцов. В результате устанавливается равновесие между численностью песцов и леммингов. Однако, если песцы уничтожат столько леммингов, что в следующем сезоне их количества не хватит для того, чтобы прокормить всех песцов, популяция песцов пойдет на убыль. Уменьшение хищников даст леммингам шанс на восстановление своей популяции, но как только леммингов станет больше, возрастет и поголовье песцов. Мы получаем цикл в с периодом в два сезона. Если а приблизится к а;, то популяция песцов будет приближаться к хаотическому изменению ее численности.

Следуя [8], рассмотрим пример из гидродинамики, важнейшей составляющей которой является турбулентность. Одним из основателей теории турбулентности считается академик

а.,, — а

п+1 п

а..., — а

п+1 п

А. Н. Колмогоров. Известный своими работами по фрактальным моделям однородной турбулентности, Уриэл Фриш отмечает, что даже чистая турбулентность порождает фрактальные множества. Основная характеристика турбулентности -спектральная функция - распределение энергии по различным масштабам движения или скорости движения от масштаба. Для вихревой турбулентности имеет место спектр Колмогорова -Обухова, полученный для изотропной и однородной турбулентности несжимаемой жидкости (плотность жидкости считается постоянной). В 1980 году Либахера и Маурера в эксперименте по конвекции жидкости показали, что тепловой поток переходит в турбулентное состояние, следуя сценарию Фейгенбаума. В данном эксперименте слой жидкого гелия в стеклянном прямоугольном ящике подогревался снизу В качестве управляющего параметра использовалось число, пропорциональное АТ - разности температур между нижней и верхней поверхностями жидкости. Когда разность температур мала, то существует тепловой поток, но жидкость неподвижна. При некотором АТ возникает роликовая конвекция: горячая жидкость поднимается в середине ящика, холодная опускается вдоль краев, возникает два вала (ролика) с направленным течением жидкости. С ростом разности температур валы становятся неустойчивыми; вдоль пробегает волна; теплая жидкость поднимается по одному краю вала, холодная опускается по другому. В измеряемом спектре мощности теплового потока при конвекции в таком слое при увеличении АТ имела место последовательная смена режимов - появлялись субгармоники, кратные частоте f0 периодического движения:

f0 f0 f0 2 ' 4 ' 8 "'

При изучении данного вопроса студенты имеют возможность посещать сайты или вести переписку по электронной почте для приобретения новых знаний и обмена разного рода информацией. Например, на сайте http:// mathgydro. com. ru/turb. html «Математическая гидродинамика» можно познакомиться с основными понятиями «турбулентность», «ламинарное течение», «гидродинамическая неустойчивость», «вязкость» и др.

Далее исследуются функции y(a,x)=asin(:rcx), ф(a,x)=a+x2, A(x)=(1+a)x-ax2 и находятся координаты точек бифуркации, по которым вычис-

ляются постоянная Фейгенбаума с точностью до двух знаков.

При организации занятий в рамках МИП дается определение хаотичного отображения, приводится его пример.

Определение 1. Пусть (X, р) - метрическое пространство и /: х ^ X, хеХ, а и - открытое подмножество, содержащее х. Отображение / обладает существенной зависимостью от начальных условий. Если для некоторого 5 >0 существует такое целое п>0 и такая точка уе и что р(/п)(х), /п)(у))>5.

Определение 2. Отображение / называется транзитивным, если для любой пары и, V открытых множеств существует такое п>0, что пересечение /п)(Ц)п V не является пустым множеством.

Пусть М - множество периодических точек отображения / в метрическом пространстве X.

Определение 3. Отображение/называется хаотическим, если оно обладает тремя свойствами:

а) / обладает существенной зависимостью от начальных условий;

б) / транзитивно;

в) замыкание множества М совпадает с множеством X (то есть М = Х).

Несколько видоизменив и дополнив рассуждения, приведенные в [2], покажем, что

f (x) =

<r 1

3- x, x < —

хаотична на множестве Кан-

3 - 3- x, x > — 2

тора К.

Проверим сначала существенную зависимость от начальных условий. Возьмем хеК

и 8 = 1. Пусть и - открытое множество, содержащее точку х. Тогда существуют такие числа:

n0еN, aеR, |еR, хе[а;Д]си и [а;Кщ

(см. [7]). Заметим, что /{щ)([а; ^]) = [0;1], где

/("0)(х) есть линейная функция на отрезке [а;Р], с угловым коэффициентом отличным от нуля, заданная на отрезке [а;Р\. Далее замечаем, что аеК, ¡ЗеК. Следовательно,

либо /<Пл)(а)-/("л)(х)| > 1, либо \/(Щ)(Ю-/(щ)(х)| > -1.

2

Проверим теперь транзитивность отображения f. Пусть и, V - открытые множества в множестве К. Тогда существуют такие п0еЫ, а еR, что [а1;^1]си и [«1; Д ]с Кщ. Кроме того, существуют такие т0еЫ, a2еR, P2еR, что [а2;Р2]с V и [«2;р2]с Кт0. Поскольку

/("о)([«1; Р]) = [0;1], а 0<а2<1, 0<Р2<1, то пересечение / <По)(и) П V непусто.

Замечаем, что график функции /и)(х), заданной на отрезке [0; 1], является ломаной, состоящей из 2п звеньев. Кроме того, звено данной ломаной 1(п)(х) отображает частичный отрезок [аД]сКп (/=1, 2, ..., 2п) на отрезок [0; 1]. Следовательно, графики функций у=/п\х) и у2=х пересекаются в 2п точках. Таким образом, каждая из этих 2п точек является неподвижной для функции /п)(х). Замечаем, что каждая неподвижная точка принадлежит множеству Кантора К. Кроме того, каждый частичный отрезок разбиения [а; р ] сК имеет две неподвижные точки для отображения /п+1)(х). Пусть теперь х0еК и и - произвольная окрестность данной точки. Существуют пеЫ, аeR, р eR, хе [а;Р]си и [а;Р]сКп. Отрезок [а;Р] имеет две неподвижные точки для функции /(п+1)(х), которые являются периодическими для функции /п)(х) с периодом р, равным 2. Пусть М -множество периодических точек функции /(х). Тогда по доказанному М = К . То есть множество периодических точек функции /(х) плотны в К.

После знакомства с хаотическими отображениями студенты анализируют хаотичные отображения, порождаемые итерированными отображениями, которые используются в динамике Ферхюльста. В рамках МИП создаются художественные композиции. Деревья Фейгенбаума имеют фрактальную структуру в тех областях, которые моделируют хаотическое поведение системы. Фрактальные множества являются одними из самых красивых математических объектов. Преподавателю целесообразно, используя современные ИКТ, вовлекать студентов в художественную творческую деятельность, что бу-

Рис. 10.

дет повышать интерес к изучаемым предметам «Динамические системы», «Фрактальная геометрия», «Программирование», а также воспитывать чувство гармонии и красоты (рис. 10).

Автор выражает благодарность своим ученикам Андрею Смирнову и Артему Зобову за помощь в иллюстрации фрактальных множеств и проведение вычислительных экспериментов.

Библиографический список

1. Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. - М.; Ижевск, 2001.

2. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. - М.: Постмаркет, 2000.

3. Малинецкий Г. Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. - М.: URSS, 2005.

4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2001.

5. Пайтген Х.-О, Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: Мир, 1993.

6. Секованов В. С. Формирование креативной личности студента вуза при обучении математике на основе новых информационных технологий. - Кострома, 2004.

7. Секованов В. С. Элементы теории фрактальных множеств. - Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова, 2005.

8. Трубецков Д. И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. - М. : УРСС, 2004.