CC BY
57
естествознание
УДК 519.1
Козырев сергей Борисович
кандидат физико-математических наук Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова
методическая программная поддержка динамической системы ферхюльста
В данной статье рассматриваются возможности методической компьютерной поддержки при изучении и преподавании дискретных динамических систем на примере системы, порожденной логистическим отображением Ферхюльста.
Ключевые слова: методика, динамические системы, логистическое отображение.
В последние полвека в математике активно развиваются области, называемые в совокупности нелинейной динамикой. Это, разумеется, связано в первую очередь с существенным использованием численных расчетов на компьютерах. Математики предшествующих эпох применяли для исследования динамических систем исключительно линейные методы исследования, то есть изучали их поведение путем подходящей линеаризации. Основным математическим инструментом служил аппарат дифференциальных уравнений. На исследование динамических систем, не поддающихся линеаризации, математики прошлого выходили только в виде редкого исключения (например, проблема Кэли о бассейнах притяжения корней рациональной функции на комплексной плоскости, множества Жюлиа, знаменитая задача трех тел). Это давало основания полагать, будто данные явления действительно редки и исключительны.
Активное применение компьютеров в численных расчетах привело в 50-х - 70-х годах прошлого века к открытию целого ряда новых явлений - неустойчивые задачи (поиск корней многочлена Уил-кинсона [10]), непредсказуемость поведения динамической системы (аттрактор Лоренца), странные аттракторы, явление детерминированного хаоса, бесконечный каскад бифуркаций системы с переходом к хаосу. В связи с ними возникли новые разделы математической теории - фрактальная геометрия, дифференциальные уравнения дробной размерности, теория катастроф, теория хаоса и др. В последние десятилетия создаваемые на их основе нелинейные математические модели находят все более широкое применение не только в физике, но также в химии, биологии, экологии, метеорологии, экономике и многих других практических сферах деятельности. Этому способствует непрерывный рост возможностей вычислительной техники.
В результате произошел коренной пересмотр роли нелинейных математических моделей. В настоящее время важность изучения нелинейных моделей общепризнанна. Поэтому представляется необходимым вводить начальные понятия, связанные с нелинейными моделями, в программу выс-
шей школы. Об этом, например, говорится в предисловии [3]. Среди учебников для высшей школы по данной теме можно отметить [6] и [11]. (Последний, к сожалению, так и не был переведен на русский язык.)
При начальном изложении нелинейных динамических систем почти обязательно рассказывается о дискретной динамической системе, порожденной квадратичным отображением Ферхюльста (рис. 1). В [2] имеется остроумное замечание о том, что ныне изображение аттрактора Лоренца встречается в соответствующей литературе едва ли не чаще репродукций Моны Лизы. Эти слова в не меньшей степени можно отнести и к динамической системе Ферхюльста с ее деревом Фейгенбау-ма (см. ниже рис. 5). В подтверждение этой мысли можно привести, например, [1] и [4], а в монографии [5] квадратичным отображениям (фактически системе Ферхюльста) посвящена целая глава. Популярность данной системы объясняется сочетанием предельно простого описания с многообразными вариантами ее поведения в зависимости от значения единственного параметра. Изучение её поведения не просто поучительно. Бифуркация, каскад бифуркаций, хаос, перемежаемость ламинарных и турбулентных периодов - всё это противоречит нашему обыденному опыту. Знакомство с названными понятиями и явлениями неизбежно влечёт преодоление стереотипов (родственные вопросы рассматривались в статье [9]) о возможном поведении динамической системы.
Нелинейные динамические системы можно отнести к учебным математическим дисциплинам нового типа. Для них характерна высокая роль компьютерных исследований, экспериментов, наблюдений. Но при этом существуют методические трудности нового типа. Скажем, при описании поведения системы Ферхюльста в книжном формате приходится приводить множество диаграмм и графиков. Графики позволяют достичь связности изложения материала, но ни в коей мере не могут заменить наблюдение за поведением системы в интерактивном режиме. Вдумчивому читателю предлагается самому разработать вспомогательное программное обеспечение (далее - ПО), позволяю-
8
Вестник КГУ им. H.A. Некрасова . м l- № 5, 2014
© Козырев С.Б., 2014
щее наблюдать в динамике всё то, о чём говорится в книге. При изложении этого материала в лекционном формате рассчитывать на помощь ПО, даже разработанного слушателем, вовсе не приходится. Что касается сборников практических заданий, то возьмём для примера одно из последних учебных пособий по новой тематике [8]. В части материала по динамическим системам автор вынужден либо ограничиваться такими заданиями, в которых решение достигается аналитическими методами, либо приводить алгоритмические блок-схемы программ, необходимых для решения. Конечно, применение программ, собственноручно приготовленных учащимся, крайне важно, но ведь так делали и 25 лет назад, когда возможности компьютеров были несравнимо ниже. Очевиден разрыв между содержательным учебным материалом, требующим современных компьютерных мощностей, формирующим гибкое, креативное, исследовательское мышление, и слишком простыми инструментами исследования.
В Интернете сейчас можно найти в свободном доступе программы, выполненные на уровне студенческой курсовой работы и реализующие систему Ферхюльста. С их помощью можно, например, получить изображение дерева Фейгенбаума, наблюдать графики различных итераций системы. Однако в целом их возможности ограничиваются повторением иллюстраций из учебников и мало чем могут дополнить традиционное книжное изложение материала.
Мы полагаем, что при изучении дискретных динамических систем необходимо использовать специализированное демонстрационное ПО с достаточно широкими возможностями, позволяющее лектору в необходимой полноте показать в динамике поведение системы. Наш опыт показывает, что подобное ПО позволяет также значительно быстрее ввести студентов в курс дела для написания курсовых или дипломных работ, связанных с нелинейными динамическими системами. В настоящей статье мы опишем возможный вариант такого ПО. Во всяком случае, демонстрационные возможности программы должны выходить далеко за рамки того, что мы можем увидеть в книжных иллюстра-
циях. Предлагаемый нами порядок подачи учебного материала также рассчитан на использование ПО и отличается от традиционного книжного изложения.
Напомним вкратце описание системы Ферхюль-ста. На отрезке [0, 1] рассматривается функция /(х) = Сх(1 - х), где С - параметр системы, принимающий значения в диапазоне [0, 4]. Функция / называется логистическим отображением, а также законом эволюции системы. Задавая некоторое начальное значение х0е[0, 1] и применяя рекуррентное соотношение х = /(х ) при п = 0, 1, 2, ..., мы получаем последовательность чисел х , называемую орбитой системы. Каждое число х характеризует состояние динамической системы Фер-хюльста по прошествии п квантов времени. Задача состоит в том, чтобы, зная начальное состояние системы х0 и значение параметра С, предсказать характер последовательности х, то есть дальнейшее поведение системы. Полезным также является понятие п-й итерации системы /(п), которая представляет собой суперпозицию п логистических отображений, то есть, /(п)(х) = /(/(п-1)(х)), где /(1) = /. Таким образом, /(п) (х0) = хп.
Знакомя студентов с системой Ферхюльста, прежде всего следует продемонстрировать логистическое отображение, так сказать, в чистом виде (рис. 1): без чисел х , притягивающих точек и прочих деталей. Студент должен увидеть, что закон эволюции системы характеризуется значением единственного параметра - коэффициента С. Причем, если 0 < С < 4, функция / будет отображать отрезок [0, 1] сам в себя.
Затем надо познакомить с графическим методом построения орбиты системы - паутинной диаграммой Кёнигса-Ламерея (рис. 2), которую полезно дополнить графиком эволюции х . (График эволюции показан в правой части рис. 2; для лучшего восприятия соседние точки на нём соединены отрезками прямых.) Если интерактивно менять начальное значение системы х0, то можно убедиться, что на характер её эволюции этот выбор не влияет. (Разумеется, за исключением случаев, когда в качестве х0 берутся неподвижные отталкивающие точки или их прообразы.) Однако характер
Рис. 1. Логистическое отображение
Рис. 2. Итерации сходятся к притягивающей точке
Рис. 3. Итерации меняются хаотически
эволюции зависит от выбранного значения С. Если 0 < С < 1, то орбита неизменно сходится к нулю. В случае же, когда 1 < С < 3, орбита сходится к другой точке, теперь уже зависящей от С. В этот момент у студентов начинает формироваться понятие аттрактора - сначала в виде притягивающей точки, затем притягивающего цикла.
Меняя значения параметра С, мы можем проследить, что при его увеличении система проходит каскад бифуркаций аттрактора, подробно описанный в литературе, а затем её поведение становится хаотическим (рис. 3). При первом знакомстве на явлении каскада бифуркаций можно подробно не останавливаться, но вполне своевременно включить в демонстраторе режим отображения аттрактора (изображен под абсциссой графика) и проследить, как он из одноточечного множества последовательным удвоением превращается в бесконечное множество.
Тем не менее, наблюдая систему после наступления хаоса, можно видеть, что при некоторых значениях С система как бы случайно выходит на циклический режим (рис. 4) и затем на небольшом участке значений параметра его удерживает, проходя аналогичные каскады бифуркаций. Но для этого необходимо иметь возможность достаточно тонко менять значения С, например, хотя бы с точностью до 0,0001, а лучше - с точностью до 10-6.
При наблюдении изображений аттракторов для различных значений параметра С возникает есте-
Рис. 4. Итерации меняются по циклу с периодом 6
ственное и логичное желание свести эти изображения в единую карту аттракторов. Эта карта носит название дерева Фейгенбаума, и её можно увидеть практически в любой книге по нелинейной динамике. Однако помимо обычного изображения дерева демонстратор должен предоставить учащемуся весьма важную и поучительную возможность выделять и увеличивать отдельные его фрагменты. На рис. 5 изображена часть дерева Фейгенбаума, соответствующая диапазону параметра 2,925 < С < 4. (Полагаем, что из методических соображений изображение дерева надо располагать именно в такой ориентации, а не лежащим на боку, как это часто делается. Здесь горизонтальная ось отвечает за состояние системы х, а вертикальная - за значение параметра С, что в сопоставлении с предыдущими графиками, особенно с графиком на рис. 1, воспринимается вполне естественно.)
Наблюдая верхнюю часть дерева Фейгенбау-ма, мы прежде всего видим каскад бифуркаций, который испытывает система при переходе от одноточечного аттрактора к хаотическому режиму. Чтобы дать учащемуся возможность детально проследить, как и почему это получается, следует рассмотреть графики нескольких итераций системы (например, первой, второй, четвёртой и восьмой) в одних координатах. Мы не приводим здесь соответствующие рисунки, потому что такие иллюстрации в изобилии встречаются в литературе (особенно детальные, например, в [3; 5; 7]). Но
Рис. 5. Верхняя часть дерева Фейгенбаума
Рис. 6. «Хаотизация» 32-й итерации
понятно, что демонстратор должен быть способен строить графики нескольких итераций в одной системе координат с возможностью менять параметр С в интерактивном режиме. Наблюдая затем третью, шестую и двенадцатую итерации в диапазоне 3,83 < С < 3,86, можно увидеть аналогично образующийся каскад бифуркаций, также переводящий систему в хаотический режим.
Сравнивая вторую, восьмую и тридцать вторую итерации при небольших значениях параметра, можно наблюдать, как с ростом порядка итерация становится всё более ступенчатой. Казалось бы, это говорит о предсказуемости поведения системы. Однако можно быстро убедиться в иллюзорности такого впечатления. Для этого достаточно увеличить значение параметра и пронаблюдать, как ступеньки старших итераций «хаотизируются» в вертикальном направлении. На рис. 6 изображён график 32-й итерации со значением параметра С = 3,6. Особенно красочно выглядит взаиморасположение графиков двух соседних старших итераций (например, 31-й и 32-й итерации) по мере роста параметра. Вначале их графики почти постоянны и практически совпадают. После первой бифуркации системы они переходят в противо-фазу, что соответствует двум ветвям дерева Фей-генбаума. Затем оба графика начинают порознь «хаотизироваться», что соответствует раннему периоду наступившего хаоса. Наконец, они встречаются, полностью перемешиваясь и заполняя собой практически всё выделенное под них графическое поле. С методической точки зрения очень важно и поучительно связать наблюдаемые метаморфозы с устройством дерева Фейгенбаума. Это наблюдение также показывет, что если параметр системы соответствует хаотическому режиму, то её поведение в долгосрочной перспективе непредсказуемо.
При рассмотрении дерева Фейгенбаума легко заметить его неоднородность на хаотических режимах. Более разреженные участки указывают на то, что соответствующие им значения система принимает сравнительно редко. Тем не менее и разреженные и более плотные участки вместе образуют аттрактор. Поэтому, хотя в долгосрочной
Рис. 7. Гистограмма плотности аттрактора
перспективе поведение системы непредсказуемо, вероятность её появления на том или ином участке наоборот вполне предсказуема. Этот тезис можно отразить наглядно, если снабдить демонстратор возможностью строить гистограмму частоты посещения системой различных участков аттрактора. На рис. 7 показана верхняя часть дерева Фейгенба-ума, а под ней гистограмма значений системы (то есть её вероятностное распределение, полученное численным способом), соответствующая значению параметра С = 3,87. Вертикальная шкала гистограммы носит здесь относительный характер, она подбирается для каждого конкретного значения параметра. Плавно меняя значение С, можно наблюдать, как изменяется гистограмма. Если снабдить демонстратор ещё возможностью плавно менять начальное значение системы, то можно будет убедиться, что на вид гистограмм его выбор практически не влияет. Таким образом, на основании опыта можно говорить об устойчивости вероятностного описания системы по отношению к её начальному значению в хаотических режимах, а следовательно, и о возможности вероятностного прогнозирования её значений в долгосрочной перспективе.
Наблюдая дерево Фейгенбаума, можно заметить, что в его хаотической части встречаются горизонтальные просветы. Это так называемые окна регулярности. Когда величина параметра С соответствует высоте окна, система имеет притягивающий цикл. Исследуя дерево Фейгенбаума в увеличенном виде, можно убедиться в том, что окон регулярности в нём гораздо больше, чем может показаться на первый взгляд. На самом деле, как известно [5], их бесконечно много и они располагаются плотно во всём диапазоне значений параметра С, соответствующих хаосу. Возьмём, к примеру, самое большое окно регулярности, находящееся вблизи значения параметра С = 3,84. При данном значении параметра система имеет притягивающий цикл периода 3. Это означает, что прямая, задаваемая уравнением С = 3,84, пересекается с графиком дерева Фейгенбаума в трёх точках. На рис. 8 показаны в увеличенном виде три участка рассматриваемого окна регулярности, на которых дерево пересекается с прямой С = 3,84. Изображения этих участков, особенно среднего, напоминают изображение всего дерева Фейгенбаума на рис. 5. (На самом деле, и на крайних участках, если для них подобрать более крупный масштаб по горизонтали, изображения имеют не меньшее сходство с самим деревом.) На каждом участке мы видим, что на уровне чуть выше С = 3,84 происходит бифуркация и период притягивающего цикла удваивается, становясь равным 6. При дальнейшем росте С происходит следующая бифуркация, и т. д. Вообще, в окнах регулярности можно наблюдать всегда одно и то же: сначала система находится в режиме устойчивого цикла с некоторым периодом; далее
Рис. 8. Три участка самого большого окна регулярности дерева Фейгенбаума
при увеличении параметра происходит бесконечный каскад бифуркаций, в результате которого период устойчивого цикла системы последовательно удваивается и система быстро переходит в хаотический режим. Такая последовательность изменений в поведении системы называется переходом к хаосу по сценарию Фейгенбаума. Примерное значение параметра, при котором система переходит в хаотический режим, можно предсказать на основании константы Фейгенбаума.
Однако на рис. 8 присутствует одна важная деталь, которой нет на рис. 5: внизу изображения мы видим хаотическую область. То есть если мы, начиная со значения параметра, скажем, С = 3,84, будем это значение постепенно уменьшать, то в какой-то момент система утратит циклический режим и сменит его на хаотический. Как будет выглядеть такой переход к хаосу? Если судить только по виду дерева (на рис. 8), то можно предположить, что система перейдёт в хаотический режим внезапно, без предварительных стадий. На самом деле это не так, хотя и ясно, что переход к хаосу произойдёт не по сценарию Фейгенбаума. Оказывается, в этом случае реализуется так называемый сценарий перехода к хаосу через перемежаемость. Подробно этот сценарий описан, например, в [3], хотя в целом ему уделено в литературе гораздо меньше внимания, чем сценарию Фейгенбаума.
Установлено [5], что хаотическая и циклическая области на рис. 8 разделяются пограничным
значением параметра С =1 + = 3,828427---. Это минимальное значение параметра, при котором у системы появляется цикл периода 3, и оно является бифуркационным. То есть если это значение параметра чуть-чуть увеличить, то у системы появляется два близких цикла периода 3, из которых один притягивающий (его-то мы и видим на рис. 8), а другой отталкивающий. Чтобы понять, почему это происходит, необходимо посмотреть в динамике график третьей итерации /(3), прона-
блюдать, как зарождается 3-цикл при пересечении графика /<3) с прямой у = х. Если отталкивающий цикл подрисовать к изображению рис. 8, то мы бы увидели, как от хаотической области поднимаются три кривых, похожих на параболы, с вершинами на высоте С = 1 + л/8. Причём одна ветка каждой параболы соответствовала бы притягивающему 3-ци-клу, а другая - отталкивающему. Поэтому если, начиная со значения С = 3,84, уменьшать параметр, то также в принципе можно было бы предсказать момент наступления хаоса на основании того, что изображения притягивающего 3-цикла при изменении параметра похожи на три половинки парабол, вершины которых соответствуют границе циклической и хаотической областей.
Наблюдать переход системы к хаосу по сценарию через перемежаемость также очень поучительно. Предусмотреть такую функцию в демонстраторе совсем не сложно. Достаточно лишь иметь возможность при заданных значениях х0 и С строить график орбиты системы наподобие того, который изображён в правой части рис. 2, но на протяжении не 30, а нескольких сотен итераций.
Рассмотрим для примера поведение системы с параметром С = 3,82843. У системы имеется притягивающий цикл периода 3. Для большинства значений х0 система сходится к нему более-менее быстро. В то же время довольно типичным является и другой характер сходимости, который мы можем наблюдать, если, например, возьмём в качестве начального значения х0 = 0,3849 (рис. 9а). Дважды система, казалось бы, выходит на циклический режим, но затем без всяких видимых причин «соскакивает» с него. И, лишь сделав около 600 итераций, она окончательно устанавливается в циклический режим.
Загадочность такого поведения системы объясняется наличием отталкивающего цикла периода 3, который, впрочем, по мере приближения к краю окна регулярности становится весьма слабоотталкивающим. Если система случайно оказы-
t * \ + *
________J ____________________________
lili
'* tt *** ++ '"i** *V♦
* * / *; : **; Г
++
_t" **_}'• i .* i ' ______J* X* -J ♦ ' 'i' г J ' ' •
4 ** í+ + ^
_tt *_/> t ' l •! J _* U^t *
lili
200
400
600
800
1000 о
200
400
600
800
1000
D
200
400
600
800
1000
1000
Рис. 9. Переход к хаосу через перемежаемость: а, б - С = 3,82843; в - С = 3,82842; г - С = 3,82835
вается в непосредственной близости от него, то ей нужно определённое количество итераций, чтобы от него отдалиться. В этот период поведение системы внешне выглядит циклическим, но затем она начинает вести себя хаотически. В свою очередь хаотический период заканчивается в тот момент, когда система попадает в сферу влияния 3-цикла. Но какой из циклов это будет - притягивающий или отталкивающий, - является делом случая. Загадочности графику 9а добавляет то обстоятельство, что около нижнего края окна регулярности оба 3-цикла весьма близки друг к другу и на графике мы не можем их различить.
Такая смена хаотического (или турбулентного) и циклического (или ламинарного) поведения системы называется перемежаемостью. Иногда она может длиться довольно долго. Например, на графике 9б (при С = 3,82843; х0 = 0,38467) перемежаемость наблюдается в течение свыше 900 итераций. Примечательно, что для значений параметра, предшествующих наступлению хаоса, то есть при С < 3,5699... явление перемежаемости не наблюдается, хотя притягивающие и отталкивающие циклы имеются.
Посмотрим теперь на поведение системы после выхода из окна регулярности. Например, возьмём С = 3,82842. Притягивающий и отталкивающий 3-циклы соединились и взаимно уничтожились. У системы теперь нет притягивающего цикла, но его недавнее существование ещё чувствуется. При х0 = 0,66 мы наблюдаем весьма типичную картину (рис. 9,в). Система, оказавшись вблизи места только что исчезнувшего притягивающего цикла, подолгу на нём задерживается. В результате возникают участки ламинарного поведения системы, перемежающиеся относительно короткими хаотическими всплесками. При дальнейшем уменьшении параметра влияние исчезнувшего цикла ослабевает и ламинарные участки укорачиваются (рис. 9,г; С = 3,82835; х0 = 0,325), постепенно исчезая в хаотических колебаниях.
Итак, при переходе из окна регулярности в хаотическую область на самом стыке хаотического и циклического диапазонов параметра для системы характерно чередование хаотических и ламинарных периодов её поведения. Весьма показательно сходство на рис. 9 пар графиков а и в, б и г. Разница между ними лишь в том, что у первых в конце
концов устанавливаются стабильные циклические колебания, а у вторых этого не наступает. Однако если графики рассматривать лишь на протяжении первых 800-900, а не 1000 итераций, то по их виду вовсе нельзя определить, какие из них соответствуют циклическому уровню параметра, а какие - хаотическому.
В заключение отметим, что весьма полезно предусмотреть в демонстраторе возможность поменять отображение Ферхюльста на какие-либо иные варианты отображений. Причем они не обязательно должны быть унимодальными. Исследование других отображений, сопоставление их с отображением Ферхюльста поможет лучше понять, благодаря каким особенностям оно обладает такими удивительными свойствами. Для примера предлагаем следующие варианты отображений: парабола четвёртой степени, тентообразная функция, пикообразная функция (с верхушкой в середине более острой, чем у предыдущей функции), параболическая функция с асимметрически сдвинутым максимумом вправо или влево, унимодальное нестрого выпуклое отображение (ломаная функция, в частности), неунимодальное отображение.
Библиографический список
1. Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой. - М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 224 с.
2. Босс В. Интуиция и математика. - М.: Книж-
ный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. - 224 с.
3. ГринченкоВ.Т., МацыпураВ.Т., СнарскийА.А. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы. - М.: Издательство ЛКИ, 2010. - 280 с.
4. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. - 208 с.
5. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. - М.: МЦМНО, 2005. - 464 с.
6. Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах. - М.: Постмаркет, 2000. - 488 с.
7. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. - М.: Едиториал УРСС, 2004. -320 с.
8. Секованов В.С. Элементы теории фрактальных множеств. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013. - 248 с.
9. Секованов В.С., Козырев С.Б. Преодоление стереотипов мышления при рассмотрении понятия фрактальная размерность множества // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2006. - № 7. - С. 87-94.
10. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. -М.: Мир, 1980. - 280 с.
11. Falconer K.J. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, 2nd ed. - Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 2003. - 367 p.
