Многоэтапное математико-информационное задание «Странные аттракторы» Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 514

Секованов Валерий Сергеевич

доктор педагогических наук кандидат физико-математических наук, профессор Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

Seko vanows@freemail. ш

Ивков Владимир Анатольевич

Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

Ivkov_wa@mail.ru

МНОГОЭТАПНОЕ МАТЕМАТИКО-ИНФОРМАЦИОННОЕ ЗАДАНИЕ «СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ»

В статье рассмотрено многоэтапное математико-информационное задание «Странные аттракторы», нацеленное на развитие креативности и компетентности студентов естественных специальностей вузов.

Ключевые слова: аттрактор, нелинейное отображение, многоэтапное математико-информационное задание, фрактальная геометрия, креативность, компетентность.

В настоящее время исследуется вопрос

о преподавании в вузах нелинейной динамики и совершенствовании учебной деятельности по математике. Интерес к данным вопросам вызван потребностью информационного общества в формировании у студентов креативных качеств, профессиональных компетенций, развитии способностей к исследовательской работе и обновлению их мировоззренческих взглядов на основе последних достижений науки.

Данной проблематике посвящены работы ряда авторов. Так, например, в работе [3] исследуются множества Жюлиа комплексных полиномов, а в работе [4] рассматривается вопрос, связанный с вкладом А.Н. Колмогорова в развитие идей фрактальной геометрии. В работе [5] рассматривается вопрос совершенствования учебной деятельности студентов при решении математических задач.

М. Клякля анализировал многоэтапные математические задания для формирования творческой математической деятельности учащихся Польши

в школах с углубленным изучением математики [1]. В.С. Секованов рассматривал многоэтапные математико-информационные задания, нацеленные на формирование креативности студентов физико-математических специальностей университетов при обучении фрактальной геометрии [2]. Выполнение многоэтапных математико-информационных заданий в отличие от выполнения многоэтапных математических заданий предполагает использование информационных и коммуникационных технологий (ИКТ), без которых изучение фрактальной геометрии практически невозможно.

Мы рассмотрим многоэтапное математико-информационное задание (ММИЗ) «Странные аттракторы», выполнение которого формирует у студентов креативные качества, профессиональные и общекультурные компетенции.

В нашем понимании многоэтапные математико-информационные задания являются лабораторией, в рамках которой происходит творческая математическая деятельность, компьютерное моделиро-

Рис. 1. Схема многоэтапного математико-информационного задания «Странные аттракторы»

© Секованов В.С., Ивков В.А., 2013

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 5, 2013 I

вание, компьютерный эксперимент, совершенствование искусства программирования и создание художественных композиций, направленных на формирование креативных качеств и компетенций студентов. При выполнении ММИЗ у студента формируется мировоззрение, развивается интеллект, конвергентное и дивергентное мышление, вырабатывается умение прогнозировать результаты математической деятельности. Важно подчеркнуть, что в процессе выполнения ММИЗ у студента усиливается мотивация к математике, развиваются рефлексивные способности, вырабатывается толерантность к инновациям, формируются эстетические и нравственные качества, что неразрывно связано с гуманизацией и гуманитаризацией математического образования.

В данной работе мы строим последовательное изучение нелинейных отображений. В процессе выполнения ММИЗ студентам предлагается решение нестандартных математических задач, связанных с идеями нелинейной динамики, фрактальной геометрии, созданием художественных композиций, проведением компьютерных экспериментов, поиском информации в Интернете, созданием учебных проектов, посвященных А.Н. Колмогорову, стоявшему у истоков фрактальной геометрии и внесшему весомый вклад в развитие нелинейной динамики. Важно отметить, что в рамках ММИЗ студентам предлагается спроектировать учебные действия, развивающие их креативные качества, профессиональные и общекультурные компетенции. Работа студентов проходит в несколько этапов. Схема ММИЗ представлена на рисунке 1. Опишем каждый из этапов.

В самом общем виде под аттрактором мы будем понимать ограниченное предельное множество, полученное в результате итерационного процесса нелинейного отображения. Под странным аттрактором мы будем понимать аттрактор, фрактальная размерность которого является дробным числом.

1 этап: определение аффинного преобразования, задание аффинного преобразования в виде матрицы, построение фракталов с помощью аффинных преобразований, вычисление размерности самоподобия и размерности Минковского аттракторов аффинных преобразований.

2 этап: определение множества Жюлиа, определение множеств Мандельброта. Множество Жюлиа для полинома комплексного переменного,

У(г) = ^ + c, р > 2, обозначаемое J(^), определяется как J (f) = д^: f (п)( z) ^ да, п ^ да}, где д -граница области притяжения бесконечности, а f (п)( z) = f (f (-1)( z)), п = 2,3,... .

Множество Мандельброта для функции комплексного переменного ^>(г) = zp + C , p > 2, обозначаемое М , определяется как множество c комп-

лексных точек (с е С), орбиты нуля которых ограничены. То есть точка с принадлежит множеству Мандельброта M , если последовательность

ограничена на комплексной плоскости.

Разработка алгоритма построения множеств Жюлиа, разработка алгоритма построения множеств Мандельброта, обрамления множеств Мандельброта, симметрия множеств Жюлиа и множеств Мандельброта, признаки хаотичности комплексных полиномов на своих множествах Жюлиа.

3 этап: определение классического преобразования пекаря.

Классическое определение преобразования пекаря, определенное на квадрате стороны которого направлены по осям OX и OY, а центр расположен

(1 1 'l

в точке \ —I, имеет вид:

12 2 У ^

( 2х modi

У ,0 < x <1

1 + У ,1 < x < 1

2 2 2

Разработка алгоритма построения преобразования пекаря, структура циклических точек классического преобразования пекаря, вычисление размерности Минковского преобразования пекаря, определение модифицированных преобразований пекаря, исследование математических свойств и разработка алгоритма их построения, признаки хаотичности преобразования пекаря.

4 этап: определение преобразования Эно.

T

(

1 - ax2 + у bx

Л

0 < a < 1,5, |b| < 1 . Анализ не-

подвижных точек преобразования Эно, разработка алгоритма построения аттрактора Эно, удвоение периода преобразования Эно, признаки хаотичности преобразования Эно.

5 этап: определение преобразования Чирикова, исследование устойчивости неподвижных точек преобразования Чирикова, разработка алгоритма построения преобразования Чирикова, анализ орбит точек преобразования Чирикова, признаки хаотичности преобразования Чирикова.

6 этап: преобразование кошка Арнольда. Под отображением «кошка Арнольда» T мы будем понимать суперпозицию отображений A (линейное отображение) и ф (перекладывание или взятие mod 1). То есть T = ср° A.

Исследование циклических точек преобразования кошка Арнольда. Цикличность точек с рациональными координатами. Преобразование кошка Арнольда и числа Фибоначчи.

x

2

2

x

156

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 5, 2013

Рис. 2. График тентообразной функции при n=3

7 этап: преобразование Ферхюльста и универсальность Фейгенбаума.

Рассмотрим функцию f (x) = ax(1 - x), заданную на отрезке [0; 1]. Укажем те значения а, при которых f (x) е[0;1]. Найдем наибольшее значение функции f (x) на отрезке [0; 1]:

\ А11 а а а ^ max f (x ) = f \ —I= — —- = —. Таким образом,

xe[o,1^J w 2) 244

0 < a < 1. Откуда следует, что а е [0; 4] и

f ([0;1]) с [0;1]. Следовательно, если x е[0; 1], то

(x, f (x))e[0;1]x[0;1]. Данное отображение впервые использовалось Ферхюльстом при исследовании роста популяций.

Константа Фейгенбаума (предсказатель хаоса)

S = lim an+1 an

= 4,669201609... вошла в десятку

знаменитых констант.

8 этап: тентообразная функция:

fn (x) =

1

n • x, x < —

2

n - n • x, x > —

2

При п = 3 будем иметь график функции (см. рис. 2).

При выполнении ММИЗ «Странные аттракторы» студенты знакомятся с новыми идеями современной

математики (включая теорию хаоса) и программирования (включая параллельное программирование), устанавливают неочевидные связи между математическими объектами, преодолевают стереотипы мышления, формируют толерантность к новизне, повышают уровень и глубину своих знаний, что является эффективным средством формирования их креативности и компетентности, востребованных современным информационным обществом.

Библиографический список

1. Клякля М. Формирование творческой математической деятельности учащихся в классах с углубленным изучением математики в школах Польши: Дис. ... д-ра пед. наук. - М., 2003. - 285 с.

2. Секованов В.С. Обучение фрактальной геометрии как средство формирования креативности студентов физико-математических специальностей университетов: Дис. . д-ра пед. наук. - М., 2007. -393 с.

3. Секованов В.С. О множествах Жюлиа некоторых рациональных функций // Вестник Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова. - 2012. - № 2. - С. 23-28.

4. Секованов В.С. Вклад А.Н. Колмогорова в становление и преподавание фрактальной геометрии // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе. - М.: Mill У 2012.

5. Хамов Г.Г., Тимофеева Л.Н. Использование диофантовых уравнений как средства совершенствования учебной деятельности студентов по математике // Вестник Поморского университета. -2011. - № 6. - С. 151-156.

ап+2 - an+1

1

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 5, 2013

157