CC BY
129
УДК 514
Секованов Валерий Сергеевич
доктор педагогических наук кандидат физико-математических наук, профессор Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова
Seko vanows@freemail. ш
Ивков Владимир Анатольевич
Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова
МНОГОЭТАПНОЕ МАТЕМАТИКО-ИНФОРМАЦИОННОЕ ЗАДАНИЕ «СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ»
В статье рассмотрено многоэтапное математико-информационное задание «Странные аттракторы», нацеленное на развитие креативности и компетентности студентов естественных специальностей вузов.
Ключевые слова: аттрактор, нелинейное отображение, многоэтапное математико-информационное задание, фрактальная геометрия, креативность, компетентность.
В настоящее время исследуется вопрос
о преподавании в вузах нелинейной динамики и совершенствовании учебной деятельности по математике. Интерес к данным вопросам вызван потребностью информационного общества в формировании у студентов креативных качеств, профессиональных компетенций, развитии способностей к исследовательской работе и обновлению их мировоззренческих взглядов на основе последних достижений науки.
Данной проблематике посвящены работы ряда авторов. Так, например, в работе [3] исследуются множества Жюлиа комплексных полиномов, а в работе [4] рассматривается вопрос, связанный с вкладом А.Н. Колмогорова в развитие идей фрактальной геометрии. В работе [5] рассматривается вопрос совершенствования учебной деятельности студентов при решении математических задач.
М. Клякля анализировал многоэтапные математические задания для формирования творческой математической деятельности учащихся Польши
в школах с углубленным изучением математики [1]. В.С. Секованов рассматривал многоэтапные математико-информационные задания, нацеленные на формирование креативности студентов физико-математических специальностей университетов при обучении фрактальной геометрии [2]. Выполнение многоэтапных математико-информационных заданий в отличие от выполнения многоэтапных математических заданий предполагает использование информационных и коммуникационных технологий (ИКТ), без которых изучение фрактальной геометрии практически невозможно.
Мы рассмотрим многоэтапное математико-информационное задание (ММИЗ) «Странные аттракторы», выполнение которого формирует у студентов креативные качества, профессиональные и общекультурные компетенции.
В нашем понимании многоэтапные математико-информационные задания являются лабораторией, в рамках которой происходит творческая математическая деятельность, компьютерное моделиро-
Рис. 1. Схема многоэтапного математико-информационного задания «Странные аттракторы»
© Секованов В.С., Ивков В.А., 2013
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 5, 2013 I
вание, компьютерный эксперимент, совершенствование искусства программирования и создание художественных композиций, направленных на формирование креативных качеств и компетенций студентов. При выполнении ММИЗ у студента формируется мировоззрение, развивается интеллект, конвергентное и дивергентное мышление, вырабатывается умение прогнозировать результаты математической деятельности. Важно подчеркнуть, что в процессе выполнения ММИЗ у студента усиливается мотивация к математике, развиваются рефлексивные способности, вырабатывается толерантность к инновациям, формируются эстетические и нравственные качества, что неразрывно связано с гуманизацией и гуманитаризацией математического образования.
В данной работе мы строим последовательное изучение нелинейных отображений. В процессе выполнения ММИЗ студентам предлагается решение нестандартных математических задач, связанных с идеями нелинейной динамики, фрактальной геометрии, созданием художественных композиций, проведением компьютерных экспериментов, поиском информации в Интернете, созданием учебных проектов, посвященных А.Н. Колмогорову, стоявшему у истоков фрактальной геометрии и внесшему весомый вклад в развитие нелинейной динамики. Важно отметить, что в рамках ММИЗ студентам предлагается спроектировать учебные действия, развивающие их креативные качества, профессиональные и общекультурные компетенции. Работа студентов проходит в несколько этапов. Схема ММИЗ представлена на рисунке 1. Опишем каждый из этапов.
В самом общем виде под аттрактором мы будем понимать ограниченное предельное множество, полученное в результате итерационного процесса нелинейного отображения. Под странным аттрактором мы будем понимать аттрактор, фрактальная размерность которого является дробным числом.
1 этап: определение аффинного преобразования, задание аффинного преобразования в виде матрицы, построение фракталов с помощью аффинных преобразований, вычисление размерности самоподобия и размерности Минковского аттракторов аффинных преобразований.
2 этап: определение множества Жюлиа, определение множеств Мандельброта. Множество Жюлиа для полинома комплексного переменного,
У(г) = ^ + c, р > 2, обозначаемое J(^), определяется как J (f) = д^: f (п)( z) ^ да, п ^ да}, где д -граница области притяжения бесконечности, а f (п)( z) = f (f (-1)( z)), п = 2,3,... .
Множество Мандельброта для функции комплексного переменного ^>(г) = zp + C , p > 2, обозначаемое М , определяется как множество c комп-
лексных точек (с е С), орбиты нуля которых ограничены. То есть точка с принадлежит множеству Мандельброта M , если последовательность
ограничена на комплексной плоскости.
Разработка алгоритма построения множеств Жюлиа, разработка алгоритма построения множеств Мандельброта, обрамления множеств Мандельброта, симметрия множеств Жюлиа и множеств Мандельброта, признаки хаотичности комплексных полиномов на своих множествах Жюлиа.
3 этап: определение классического преобразования пекаря.
Классическое определение преобразования пекаря, определенное на квадрате стороны которого направлены по осям OX и OY, а центр расположен
(1 1 'l
в точке \ —I, имеет вид:
12 2 У ^
( 2х modi
У ,0 < x <1
1 + У ,1 < x < 1
2 2 2
Разработка алгоритма построения преобразования пекаря, структура циклических точек классического преобразования пекаря, вычисление размерности Минковского преобразования пекаря, определение модифицированных преобразований пекаря, исследование математических свойств и разработка алгоритма их построения, признаки хаотичности преобразования пекаря.
4 этап: определение преобразования Эно.
T
(
1 - ax2 + у bx
Л
0 < a < 1,5, |b| < 1 . Анализ не-
подвижных точек преобразования Эно, разработка алгоритма построения аттрактора Эно, удвоение периода преобразования Эно, признаки хаотичности преобразования Эно.
5 этап: определение преобразования Чирикова, исследование устойчивости неподвижных точек преобразования Чирикова, разработка алгоритма построения преобразования Чирикова, анализ орбит точек преобразования Чирикова, признаки хаотичности преобразования Чирикова.
6 этап: преобразование кошка Арнольда. Под отображением «кошка Арнольда» T мы будем понимать суперпозицию отображений A (линейное отображение) и ф (перекладывание или взятие mod 1). То есть T = ср° A.
Исследование циклических точек преобразования кошка Арнольда. Цикличность точек с рациональными координатами. Преобразование кошка Арнольда и числа Фибоначчи.
x
2
2
x
156
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 5, 2013
Рис. 2. График тентообразной функции при n=3
7 этап: преобразование Ферхюльста и универсальность Фейгенбаума.
Рассмотрим функцию f (x) = ax(1 - x), заданную на отрезке [0; 1]. Укажем те значения а, при которых f (x) е[0;1]. Найдем наибольшее значение функции f (x) на отрезке [0; 1]:
\ А11 а а а ^ max f (x ) = f \ —I= — —- = —. Таким образом,
xe[o,1^J w 2) 244
0 < a < 1. Откуда следует, что а е [0; 4] и
f ([0;1]) с [0;1]. Следовательно, если x е[0; 1], то
(x, f (x))e[0;1]x[0;1]. Данное отображение впервые использовалось Ферхюльстом при исследовании роста популяций.
Константа Фейгенбаума (предсказатель хаоса)
S = lim an+1 an
= 4,669201609... вошла в десятку
знаменитых констант.
8 этап: тентообразная функция:
fn (x) =
1
n • x, x < —
2
n - n • x, x > —
2
При п = 3 будем иметь график функции (см. рис. 2).
При выполнении ММИЗ «Странные аттракторы» студенты знакомятся с новыми идеями современной
математики (включая теорию хаоса) и программирования (включая параллельное программирование), устанавливают неочевидные связи между математическими объектами, преодолевают стереотипы мышления, формируют толерантность к новизне, повышают уровень и глубину своих знаний, что является эффективным средством формирования их креативности и компетентности, востребованных современным информационным обществом.
Библиографический список
1. Клякля М. Формирование творческой математической деятельности учащихся в классах с углубленным изучением математики в школах Польши: Дис. ... д-ра пед. наук. - М., 2003. - 285 с.
2. Секованов В.С. Обучение фрактальной геометрии как средство формирования креативности студентов физико-математических специальностей университетов: Дис. . д-ра пед. наук. - М., 2007. -393 с.
3. Секованов В.С. О множествах Жюлиа некоторых рациональных функций // Вестник Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова. - 2012. - № 2. - С. 23-28.
4. Секованов В.С. Вклад А.Н. Колмогорова в становление и преподавание фрактальной геометрии // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе. - М.: Mill У 2012.
5. Хамов Г.Г., Тимофеева Л.Н. Использование диофантовых уравнений как средства совершенствования учебной деятельности студентов по математике // Вестник Поморского университета. -2011. - № 6. - С. 151-156.
ап+2 - an+1
1
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 5, 2013
157
