CC BY
163
В.Н. Думачев, В.А. Родин,
кандидат физико-математических наук, доктор физико-математических наук,
доцент профессор
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ НА БАЗЕ МОДЕЛИ ФЕРХЮЛЬСТА — ПИРЛА
BEHAVIOUR OF SOLUTIONS OF THE SISTEM OF RECURRENCE EQUATIONS BASED ON VERHULST — PEARL MODEL
Определены области изменения управляющих параметров, гарантирующие реализацию определённой эволюционной ситуации: зоны устойчивых решений, зоны появления бифуркации и циклов, зона хаоса и неопределённости. Построена бифуркационная диаграмма двумерного отображения Ферхюльста — Пирла (фрактальная «капуста»). Сечение полученной диаграммы при a = b даёт хорошо известное дерево Фейгенбаума.
The behaviour of solutions of the sistem of recurrence equations based on Verhulst-Pearl model is considered.
Базовой моделью, описывающей ограниченный рост и переход через удвоение к хаосу является модель Ферхюльста — Пирла: xn+1 = axn (1 - xn). Эта модель послужила началом целому циклу работ [1—2]. Пусть xn — численность одного вида, а yn — другого в n -м году. Рассмотрим систему, состоящую из двух итерационных уравнений
Относительная численность в п+1-м году популяции уп+\ зависит от численности xn в п -м году (0 < xn, уп < 1). В свою очередь, xn+l зависит от уп+1 . Параболы в
правой части каждого из уравнений имеют максимум в точке 1/2, который равен а/4 или Ь /4 соответственно. Поэтому, в силу нормировки численности, управляющие параметры удовлетворяют неравенствам 0 < а, Ь < 4 .
В монографии [2] главы 4—7 посвящены изучению динамики численности конкурирующих видов. Однако общая теория, рассматриваемая там, так же как и частные случаи, относится к уравнениям другого вида: xn+1 = xnf(xn,уп), а функция (т,0),
связанная с «запасами» должна быть монотонно возрастающей. Наиболее близкой к системе (1) можно считать систему двух связанных популяций с признаками каннибализма, рассмотренную в [2], однако второе уравнение в (1) в указанной работе имеет принципиально другой вид. Отметим также работу [3], в которой рассматривались вопросы самоуничтожения одного вида. Наиболее близкой по тематике к настоящей работе, по мнению авторов, являются классические работы С.П. Кузнецова [5,6].Типичные сценарии перехода к хаосу через каскад удвоения периода в различных нелинейных системах хорошо изучен [4, 7, 8].Теоретические основы явлений можно найти в классических работах [9,10].
y n+1 axn (1 xn )
xn +1 =ЬУп +1(1 - yn+1)
(1)
Исследование задачи значительно облегчается, если заметить, что разностная система (1), по существу, является простой итерационной схемой отыскания корней системы нелинейных уравнений
Г у = ax (1 - x)
{ x = Ру(1 - y),
(2)
решение которой имеет вид
х1 = 0,
2 A(-1 + іл/3) (а-3)/(1 + ^^л/э)
3 A
x<^
2 + _+ 2(а- 3)/
3 6/а 3A :
x/1
12/а
2 - A(1 + і43) (а-3)/(-1 + іУ3)
3 12/а 3 A :
где
A = ^(36а/ - 8а2/ -108 +12^ а/2 £(а, /) = 81 - 54а/+12а/?2 - 3а2/2 + 12а2 / п2
(3)
Точку (x, у)е [0,1] , как обычно, будем называть стационарной или точкой положения равновесия, если она удовлетворяет системе (2). В этом пункте мы определим зоны
изменения параметров (а, Ь) е [0,4] , точно гарантирующие определённое количество стационарных точек. Основным инструментом для определения этих зон будет анализ взаимного расположения графиков парабол с перпендикулярными осями симметрии (рис. 1).
Рис.1. Пересечение графиков функции системы (2), имеющей 1 и 2 корня (а),
3 и 4 корня (б)
В зависимости от значений а и / данная система будет иметь от 1 до 4 вещественных корней. На рис. 2 и 3 показаны «карты» этих зон.
1 ■ 2
3 ■
4 ■
5 ■
6 ■
Рис. 2. Слева карта динамического режима системы (1). Справа аналоги фракталов Жулиа на границе зон разной цикличности:
область, где оба вида вырождаются;
область, где численность обоих видов стабилизируется;
область, где появляются циклы Б=21 ;
область, где появляются циклы Б=22 и более;
область, где появляются циклы Б=31 и более;
области переброса между циклами и развития динамического хаоса
Рис. 3. Области существования корней и карта динамического режима системы (1):
1 — области переброса между циклами и развития динамического хаоса;
2 — область, где появляются циклы Б=21 ;
3 — область, где появляются циклы Б=22 ;
4 — область, где появляются циклы Б=23 и более;
5 — область, где появляются циклы Б=31 ;
6 — область, где появляются циклы Б=32 и более
Полная бифуркационная диаграмма отображения Ферхюльста — Пирла при некоторых значениях параметров а, /3 изображена на рис. 4.
Рис. 4
Увеличение определённых частей рис. 4 позволяет обнаружить известные явления: слоистые аттракторы с дробной величиной хаусдорфовой размерности, бесконечное число уменьшающихся в размере «окон» периодических режимов, образующие в сечениях итерации аналогов ковра Серпинского и др. Диагональное сечение при а = 0 содержит классическую диаграмму дерева Фейгенбаума (рис. 5).
Рис. 5. Бифуркационное дерево для отображения Ферхюльста — Пирла при а = 0
ЛИТЕРАТУРА
1. Компьютеры и нелинейные явления.— М.: Наука, 1988.
2. Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я., Шапиро А.П.. Дискретные модели динамики численности популяций и оптимизация промысла.— М.: Наука, 1979.
3. Шапиро А. П.. Об устойчивости популяции каннибалов Матем. моделирование популяционных экологических процессов.— Владивосток, 1987.— С. 106—112.
4. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П.. Критическая динамика одномерных отображений // Изв. вузов. ПНД.— 1993.— Т.1.— № 1, 2.
5. Кузнецов С.П. Динамика двух однонаправлено-связанных систем Фейген-баума у порога гиперхаоса. Ренормгрупповой анализ // Изв. вузов. Радиофизика.— 1990.— Т.33.— № 7.
6. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума // Изв.вузов. Радиофизика.— 1985.— Т.28.— № 6.
7. Кузнецов С.П. Хаос: сценарий Фейгенбаума и его обобщения // Империя ма-тем.— 2000.— № 1.
8. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Воздействие фрактального сигнала на систему Фейгенбаума и бифуркация в уравнении ренормгруппы // Изв. вузов. Радиофизика.— 1990.— Т.34.— № 6.
9. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек каустик и волновых фронтов.— М.: Наука, 1982.— 304 с.
10. Брекер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы.— М.: Мир, 1984.— Т.1.— 350 с.; Т.2.— 285 с.
