CC BY
89
ЛИТЕРАТУРА
1. Блюмин С.Л., Шмырин А.М., Шмырина О.А. Билинейные окрестностные системы. Липецк: ЛГТУ, 2006. 130 с.
2. Блюмин С.Л., Шмырин А.М., Седых И.А., Филоненко В.Ю. Окрестностное моделирование сетей Петри. Липецк: ЛЭГИ, 2010. 124 с.
3. Шмырин А.М, Седых И.А., Корниенко Н.А., Шмырина Т.А. Обобщение дискретных моделей окрестностными системами // Материалы конференции с международным участием «Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения» (УКИ 10). М.: ИПУ РАН, 2010. С. 207-208.
4. Шмырин А.М., Седых И.А. Дискретные модели в классе окрестностных систем // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2012. Т. 17. Вып. 3. С. 867-871.
Поступила в редакцию 10 ноября 2012 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11-08-97525 р-центр_а).
Shmyrin A.M., Sedykh I.A., Kavygin V.V., Tyurin V.M., Vasilyev V.B., Royenko S.S. PARAMETRICAL IDENTIFICATION OF BILINEAR NEIGHBORHOOD MODEL OF TEMPERATURE CALCULATION OF REELING OF STRIP ON CAMP
Bilinear neighbourhood models are considered. Parametrical identification of bilinear neighbourhood model of calculation of temperature of a reeling of a strip on a camp is carried out.
Key words: bilinear neighbourhood systems; parametrical identification.
УДК 519.854
ОКРЕСТНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
© А.М. Шмырин, И.А. Седых, В. М. Тюрин, В. Б. Васильев, А. П. Щербаков
Ключевые слова: окрестностные системы; динамическая система; дискретное отображение; итерационная последовательность.
Рассматриваются вопросы перехода от распределенных динамических систем к окрест-ностным системам, их моделирование билинейными окрестностными системами, показано, что динамические системы могут быть проанализированы с применением окрест-ностного подхода.
Введение
Теория систем с нелинейной динамикой представляет большой интерес, т. к. процессы нелинейные связи и закономерности были выявлены помимо технических и физических систем, также в биологических, экономических, социальных и других сферах.
Указанная теория включает такие разделы, как теория хаоса и бифуркаций, теория аттракторов и фракталов, процессы самоорганизации и катастроф. Данными проблемами одними из первых начали заниматься И. Пригожин, Г. Хакен, предложившие использовать
Si
термин «синергетика» для описания закономерностей процессов эволюции и самоорганизации нелинейных систем. Этот термин стал обозначать научную область, в которую и входят приведенные выше теории. В России вопросами динамических систем и синергетики занимались В.И. Арнольд, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий и др.
В данной работе предпринята попытка продемонстрировать факт связи нелинейных динамических систем, в частности систем с квадратичной нелинейностью, с окрестностными системами.
Рассмотрим две двумерные итерационные модели динамических систем, применяемые в экологии: двумерную модель Ферхюльста-Пирла для случая двух взаимодействующих популяций [1] и отображение Эно, учитывающее влияние на численность популяции двух предшествующих лет [2].
І. Распределенные динамические системы
Распределенные системы любой природы, как правило, описываются системами уравнений с несколькими переменными. Для случая разностных отображений систему с двумя переменными можно представить следующим образом:
Г xn+l = fl(xn,yn); (1)
\ уп+1 = f2(xn, уп) •
Двумерная модель Ферхюльста-Пирла является расширением одномерного отображения Ферхюльста-Пирла, называемого также логистическим отображением, и имеет вид:
/ yn+l - аXn(l Xn); (2)
\ xn+l = eyn+l(1 yn+l)-
Здесь xn - численность одного вида, а yn - другого в n-м году (x,y Є [0, 1]); а и в -некоторые параметры (коэффициенты) модели.
Авторы работы [І] представили аналитическое решение данной системы, представив ее в виде системы нелинейных уравнений вида:
( У = ax(1 - x); (3)
\ x = ву(1 - у).
В случае системы двух логистических отображений наблюдается зависимость поведения от параметров а и в• Если положить в = а, то система (3) будет иметь вид
Xn+l = а2Xn(1 - Xn)[1 - axn(1 - Xn)],
и является второй итерацией отображения Ферхюльста-Пирла. Как показано в [І], зависимость решения от параметра а будет следующей: для 0 ^ а ^ 1 система имеет один нулевой
корень Xl = 0, для 1 <а< 3 нулевой неустойчивый и устойчивый корень X2 = 1 - 1/а, а
0 і , lm\/(a+l)(a—3)
при а> 3 еще два корня X3^ = ^ +-------V 2a --- •
Это означает, что итерационная последовательность xn будет стремиться к нулю для
0 ^ а ^ 1 и к значению 1 - 1/а для 1 <а< 3 при любых начальных значениях xq.
Отображение Эно - еще одна двумерная модель, являющаяся обобщением логистического отображения. Здесь xn+l зависит как от xn, так и от xn—l :
Xn+l = AXn(1 - Xn) - bXn—l, (4)
где b - некоторый новый коэффициент.
S2
Для того чтобы модель была двумерной, как показано в [2], вводим новое обозначение Уп+1 = хп. Тогда отображение можно переписать в виде системы:
/ Хп+1 — АХп(1 Хп) Ьуп; (5)
\ уп+1= Хп ■
Это и есть двумерное представление отображения Эно. Если использовать другое представление квадратичной функции, то это отображение можно записать в виде
/ Хп+1 = 1 — Ахт — Ьуп; (6)
\ уп+1= хп■
Покажем, как можно представить динамику данных двумерных систем с помощью окрестностного моделирования.
2. Окрестностные системы
Рассмотрим определение окрестностных моделей [3]. Окрестностная модель в общем случае описывается набором N3 = (Ж, X, V, У, Z, С, Г, X[0]) где:
1) N = (А, Ох, Оу, Оу) - структура окрестностной модели, А = {а1, а2, ■ ■ ■, ап} - множество узлов, Ох - окрестности связей узлов по состояниям, Оь - окрестности связей
узлов по управлениям, Оу - окрестности связей узлов по выходным воздействиям.
Для каждого узла ai € А определена своя окрестность по состояниям Ох[а^] С А, управлениям Оу Ц] С А и выходам Оу Ц] С А; Ох = ОхЫ; Оу = ип=1 Оу [ai];
Оу = ип=1 Оу [ai];
2) X € Кп - вектор состояний окрестностной модели в текущий момент времени;
3) V € Кт - вектор управлений окрестностной модели в текущий момент времени;
4) У € Кг - вектор выходов окрестностной модели в текущий момент времени;
5) Z € К+ - вектор временных задержек в узлах, где К+ - множество неотрицательных действительных чисел;
6) С : Хох х Vov X - функция пересчета состояний окрестностной модели (в общем случае недетерминированная), где Xox - множество состояний узлов, входящих в окрестность Ох; Vov - множество управлений узлов, входящих в окрестность Оь;
7) Г : Xox х Уог, У - функция пересчета выходов окрестностной модели (в общем случае недетерминированная);
8) X[0] - начальное состояние модели.
В частных случаях для различных дискретных моделей отдельные составляющие ок-рестностной модели могут отсутствовать.
Функции С и Г могут быть произвольными, например линейными, билинейными, квадратичными, полиномиальными и т. д. В линейном случае С и Г можно представить в виде системы линейных уравнений:
^ wx[t + 1,ai,a]x[t + 1,а]= ^ wx[t,ai,a]x[t,a] +
х€Ох[*+1,а;\ х^Ох{г,а1\ (7)
^ Wy ^ + 1^,7]у^ + 1,7]= Е wx[t,ai,a]x[t,a]+ ()
У&Оу [*+1,а;\ х£Ох[г,а1\
+ Е ш [г,йг,в Ці,в],
в&Оъ \і,аі]
+ Е Шу [Ь,см,в ]ь[Ь,в],
в&Оъ [*,а;]
где Ох[і + 1,аі], Ох[і,аі] - окрестности узла аі по х соответственно в моменты времени
і + 1 и і; Оу [і,аі] - окрестность узла аі по V в момент времени і; Оу [і + 1,аі] - окрестность узла аі по у в момент времени і + 1, аі Є А; х[і + 1,аі] Є Яп, х[і,аі] Є Яп - состояния в узле аі модели соответственно в моменты времени і + 1 и і; и[Ь,аг] Є Ят - вход в узле аі модели в момент времени і; у[і,аі] Є Я1 - выход в узле аі модели в момент времени
і + 1, Шх[і + 1,аі,а] Є Ясхп, Шх[і,аі,а] Є Ясхп, Шу [і,аі,в] Є Ясхт, Шу[і + 1,а»л] Є Ясх1 -матрицы-параметры; а, в, 7 Є А. В матричной форме модель (7) будет иметь вид:
{ Wx[і + 1] • х [і + 1]= Wx[і] • X [і] + Wv [і] • У [і],
\ Wy [і + 1] • У [і + 1] = Wx [і] • X [і] + Wv [і] • У [і]. (8)
В случае, когда функции О и Е являются нелинейными, модель (8) преобразуется к виду:
( Wx [і + 1] • X [і + 1]= О(Х [і], У [і]), (9)
\ Wy [і + 1] • У [і + 1]= Е(Х [і], У [і]). (у)
Изменяя составляющие общего описания окрестностной модели, можно получить различные классы дискретных распределенных моделей.
Билинейная окрестностная модель в общем виде описывается уравнением [4]:
Г
Е Е шг[а, а]иг[а] + Е Е шг[а, а, в]щ[а] ■ ^г[в] = 0, (10)
г=1 аеои; [й] г=1 а е ои. [а]
в € 0ц[а]
где Ои1 [а], Оъ [а] - окрестности по иг, элемента , а € А = {а1 ,...,ап} , иг, € и;
шг[а, а], шг[а, а, в] (г = 1, г) - некоторые матрицы.
В частности, можно положить и = х, 7 = V.
Например, для одного узла уравнение билинейной окрестностной системы будет выглядеть следующим образом:
•ш^Х! + -ш(и1^1 + ■т{'Х^11х^1 = 0. (11)
Для двух узлов модель принимает вид:
(1) , (1) , (1) , (1) , (1) , (1) , (1) , (1) п
шЦХ1 + Х2 + шЦVl + ш;2 V2 + шХ;11Х^1 + шХ;12Х^2 + wXv21Х2Vl + wХv22Х2V2 = 0;
(2) , (2) . (2) . (2) . (2) . (2) . (2) . (2) „ ,10ч
шкХ{Х1 + Х2 + шЦVl + ш;2V2 + шХ;11Х^1 + wХv12ХlV2 + wХv21Х2Vl + wХV22Х2V2 = 0. (12)
И т. д. для большего количества узлов системы.
3. Моделирование распределенных динамических систем
В работе [5] мы описывали, как можно перейти от итерационной модели динамической системы к окрестностной модели. Используя эту методику, приведем систему (2) к окрест-ностному виду.
Строим окрестностную билинейную распределенную систему из 3 узлов:
(1) , (1) , (1) , (1) , (1) , (1) , (1) , (1) , (1)
шХ1 Х1 + шХ2 Х2 + шХз Хз + Vl + ш;2V2 + ш;3Vз + шХ;11Х^1 + шХ;12Х1 V2 + шХ;13Х^з +
, (1) , (1) , (1) , (1) , (1) , (1) п
+wХv21Х2Vl + wХV22Х2V2 + шХv23Х2Vз + wХv31ХзVl + wХv32xзV2 + wХv33xзVз = 0.;
(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) шХ1 Х1 + шХ2Х2 + шХз Хз + ш;!Vl + V2 + Vз + шХ;11Х^1 + шХ;12Х1 V2 + шХ;13Х^з +
(2) (2) (2) (2) (2) (2)
+wХv21Х2Vl + wХV22Х2V2 + wХV23Х2Vз + шХv31ХзVl + шХv32xзV2 + шХv33xзVз = 0;
(13)
(з) (з) (з) (з) (з) (з) (з) (з) (з)
шХ!Х1 + шХ2Х2 + шХз Хз + ш;!V! + V2 + ш;з Vз + шХ;11Х^1 + шХ;12Х1 V2 + шХ;13Х^з +
(з) (з) (з) (з) (з) (з)
+wХv21Х2Vl + wХv22Х2V2 + wХv23Х2Vз + шХv31ХзVl + шХv32ХзV2 + шХv33ХзVз = 0.
Проводим следующие преобразования:
Х1 — Хп; v1 — Хп; Х2 — Уп+1; "^2 — Уп+1; v3 — Хп+1.
Коэффициенты для первого узла:
(1) (1) (1) шх1 = а; шХ 2 =0; шХз =0;
ш;!) =0; ш$ = -1; ш$ = 0;
(1) (1) (1) шх;11 = -а; шх;12 - шх;33 = 0
Коэффициенты для второго узла:
ш(2) — 0; ш(22) — 0; ш(2з) — 0;
ш;2) = 0; ш^ = а; ш^ = -1;
(2) (2) (2) (2) (2)
шх;11 - шх;21 = 0; шх;22 = -а; шх;23 - шх;33 = 0
Коэффициенты для третьего узла:
ш(з) ш(з) = 0. шх 1 - шх;33 = °-
Получаем:
аХ1 - v2 - аХ^-\^ = 0; аv2 - v3 - аx2v2 = 0;
0=0
или
' v2 = аХ1 - аХ1 VI; vз = аv2 - аx2V2; (14)
0 = 0.
Здесь третий узел является фиктивным, он дает нам необходимое значение Хп+1 = из. Полученная окрестностная система (14) полностью соответствует системе (2) для случая в = а, является частным случаем общей модели окрестностной распределенной системы.
Для анализа поведения различных дискретных динамических систем с помощью окрест-ностного подхода была разработана итерационная программа, позволяющая считать значения переменных на любом шаге итерационной последовательности. Программа предусматривает параметрическую идентификацию шг, позволяет рассчитывать значения переменных (управления) для нескольких узлов.
Проведя расчеты по этой программе, получаем следующие результаты (см. табл. 1). Для исследования мы взяли начальное значение Хо = 0, 85, для первого случая (0 ^ а ^ 1) можно положить, например, а = 0, 5, а для второго (1 <а< 3) а = 2, 3, п = 31.
Отдельно мы исследуем поведение системы при а = 4. Как известно, при данном значении параметра отображение Ферхюльста-Пирла не стремится при п к какому-либо стационарному или периодическому значению, выдавая с каждой итерацией различные значения Хп. Такое поведение называется динамическим (или детерминированным) хаосом [6].
Расчеты показывают, что итерационная последовательность системы (14) окрестност-ного моделирования системы динамических уравнений (3) сходится к своим стационарным значениям, причем при а = 2, 3 система достигает своего стационарного состояния f (ж) = хп = 0, 565217391 на 18 итерации, а при а = 0, 5 последовательность, как видно из табл. 1, стремится к нулю при возрастании п.
Таблица 1
Значения хп системы (14) для параметров а = 0, 5 и а = 2, 3; жо = 0, 85
а = 0,5 а = 2,3
п хп п хп п хп п хп
0 0,85 9 0,000219862 0 0,85 9 0,56522391
1 0,06375 10 0,000109907 1 0,29325 10 0,565215436
2 0,029842969 11 5,49475Е-05 2 0,476685206 11 0,565217978
3 0,014476183 12 2,74722Е-05 3 0,573749767 12 0,565217215
4 0,007133312 13 1,37357Е-05 4 0,562490235 13 0,565217444
5 0,003541214 14 6,86777Е-06 5 0,566018432 14 0,565217375
6 0,001764337 15 3,43386Е-06 6 0,564975603 15 0,565217396
7 0,000880612 16 1,71693Е-06 7 0,565289793 16 0,56521739
8 0,000439918 17 8,58461Е-07 8 0,565195659 17 0,565217392
Аналогичные результаты получаются методами математического моделирования системы (2) без применения окрестностного подхода.
Помимо этого были рассчитаны результаты моделирования системы (2) для случая а = 4. Как и предполагалось, последовательность оказалась непериодической, на рис. 1 показана последовательность значений первых 55 итераций. Дальнейшие итерации также не приводят к стационарному или периодическому решению.
Рис. 1. Хаотический сценарий поведения системы (14) при а = 4 и хо = 0,85
Таким образом, система (14) является частным случаем общей модели окрестностной распределенной системы.
Теперь рассмотрим преобразование системы (6) к окрестностному виду. Также строим окрест-ностную билинейную распределенную систему из 3 узлов (см. (13)). Затем проводим следующие преобразования:
х1 хп; хп; х2 уп; ^2 хп+1; ^3 Уи+1; х3 1
Коэффициенты для первого узла:
= 0; ^ = Ь; -ш^З = -1;
ш(1 = 0; =1; ш(,з =0;
ш(1) = л- ш(1) -ш(1) =0
шху\\ = л; шху12 шху33 = 0*
Коэффициенты для второго узла:
и(2) = — 1; и(2) =0; и(2) =0; их1 1 их2 0; их3 0;
и(2) = 0; и(2) = 0; и(2) = 1; и-и1 = 0; иу2 = 0; иу3 = 1 и(2) -и(2) =0 иху11 иху33 =0'
Коэффициенты для третьего узла:
и(3) _ и(3) = 0 их1 иху33 = 0
Получаем:
Ьх2 — хз + V2 — \xivi = 0;
-Ж1 + vз = 0;
0=0
или
V2 = хз — ЛxlVl — Ьх2;
vз = х1; (15)
0 = 0.
Рассчитывая по программе первые 16 итераций для значений Л = 0, 5 и Л =1, 5 (при Ь = 0, 3, хо = 0, 7 ) получаем результаты, представленные в табл. 2.
Таблица 2
Значения хп системы (15) для параметров Л = 0, 5 и Л =1, 5; Ь = 0, 3; хо =0, 7
Л = 0,5 Л = 1,5
п хп п хп п хп п хп
0 0,7 9 0,622257645193105 0 0,7 9 0,108625645423006
1 0,755 10 0,621040516805360 1 0,265 10 0,755461203425350
2 0,50498750000 11 0,620477044685134 2 0,68466250000 11 0,111329861551782
3 0,645993812421875 12 0,621191963467793 3 0,217355891640625 12 0,754770131862687
4 0,639849747156326 13 0,620917158855974 4 0,723735874553663 13 0,112084113606439
5 0,601498006805431 14 0,620873351878775 5 0,149102808333879 14 0,754724687656782
6 0,62714514975765 15 0,620982992806615 6 0,74953176645433 15 0,111960734680127
7 0,622895078526099 16 0,620928055758837 7 0,112572354113621 16 0,754779784537795
8 0,617857315646688 17 0,622257645193105 8 0,756131667697678 17 0,108625645423006
Видно, что при Л = 0, 5 последовательность стремится к своей неподвижной точке, в то время как при Л = 1, 5 она стремится к циклу периода 2. Это подтверждается и графиком бифуркационной диаграммы, представленной авторами [7] для отображения Эно.
Заключение.
Основываясь на результатах расчетов, можно сделать вывод, что окрестностное моделирование обобщает рассмотрение дискретных динамических систем. В работах [7] и [8] было рассмотрено применение окрестностых систем к моделированию транспортных систем, систем Петри.
Распределенные итерационные динамические системы с нелинейной динамикой обладают интересными свойствами, например, наличием различного поведения в зависимости от значения параметров. Окрестностное моделирование позволяет реализовывать задачу построения таких сложных систем, нахождения параметров, при которых система меняет свое поведение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Думачев В.Н., Родин В.А. Эволюция антагонистически-взимодействующих популяций на базе двумерной модели Ферхюльста-Пирла // Математическое моделирование. 2005. Т. 17. № 7. С. 11-22.
2. Кузнецов А.П., Савин А.В., Тюрюкина Л.В Введение в физику нелинейных отображений. Саратов: Изд-во «Научная книга», 2010. 134 с.
3. Блюмин С.Л., Шмырин А.М. Окрестностные системы. Липецк: ЛЭГИ, 2005. 132 с.
4. Блюмин С.Л, Шмырин А.М., Шмырина О.А. Билинейные окрестностные системы: моногра-
фия. Липецк: ЛГТУ, 2006. 131 с.
5. Щербаков А.П., Шмырин А.М. Моделирование логистических отображений билинейными окрестностными системами // Современные проблемы информатизации в экономике и обеспечении безопасности: сб. трудов. Вып. 17. Воронеж: Издательство «Научная книга», 2012. С. 119-123.
6. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. 296 с.
7. Корчагин В.А., Шмырин А.М., Ризаева Ю.Н., Митина О.А. Окрестностное моделирование транспортных систем // Успехи современного естествознания. 2011. № 4. С. 94-100.
8. Блюмин С.Л, Шмырин А.М., Седых И.А., Филоненко В.Ю. Окрестностное моделирование
сетей Петри. Липецк: ЛЭГИ, 2010. 124 с.
Поступила в редакцию 10 ноября 2012 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11-08-97525 р-центр_а).
Shmyrin A.M., Sedykh I.A., Tyurin V.M., Vasilyev V.B., Shcherbakov A.P. NEIGHBORHOOD MODELING OF TWO-DIMENSIONAL NONLINEAR DYNAMIC SYSTEMS
Transition questions from the distributed dynamic systems to neighborhood systems, their modeling by bilinear neighborhood systems are considered, it is shown that dynamic systems can be analyzed with application of neighborhood systems approach.
Key words: neighborhood systems; dynamic system; discrete display; iterative sequence.
УДК 378.51
К ВОПРОСУ О ВНЕДРЕНИИ ИНТЕРАКТИВНЫХ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ В ВУЗЕ
© А. В. Щербакова, Е. А. Петрова
Ключевые слова: интерактивная форма обучения; лекция; тренинг; анализ конкретных ситуаций; кейс-метод; сетевой информационный образовательный ресурс.
Рассматриваются особенности интерактивного обучения и выбор интерактивных форм при изучении математики в вузе.
Стратегия российского высшего образования в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами (ФГОС) требует от преподавателя неизбежного перехода к активному использованию интерактивных форм обучения.
Прежде чем рассматривать интерактивные формы обучения (выделенные в ФГОС ВПО), которые возможно (на наш взгляд) использовать в учебном процессе вуза при обучении
