Научная статья на тему 'Моделирование 3D графиков поверхностей билинейных окрестностных систем'

Моделирование 3D графиков поверхностей билинейных окрестностных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
449
67
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
GEOMETRIC MODELING / SURFACE PLOT / BILINEAR BORDER SYSTEMS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шмырин Анатолий Михайлович, Роенко Сергей Сергеевич

Рассматривается алгоритм построения графиков поверхностей билинейных окрестностных систем, раскрываются новые возможности в изучении поведения билинейных окрестностных систем с помощью графиков поверхностей, приводится пример построения 3D графика поверхности и анализа поведения системы на основе графика ее поверхности.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Шмырин Анатолий Михайлович, Роенко Сергей Сергеевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

MODELING OF 3D GRAPHICS OF SURFACES OF BILINEAR BORDER SYSTEMS

An algorithm for construction of surfaces bilinear border systems is considered; new possibilities for studying the behavior of bilinear neighborhood systems with plots of surfaces is opened; an example of building 3D graphics surface, and behavior analysis system based on the schedule of its surface is given.

Текст научной работы на тему «Моделирование 3D графиков поверхностей билинейных окрестностных систем»

УДК 512.8

МОДЕЛИРОВАНИЕ 3Б ГРАФИКОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ БИЛИНЕЙНЫХ ОКРЕСТНОСТНЫХ СИСТЕМ

© А.М. Шмырин, С.С. Роенко

Ключевые слова: геометрическое моделирование; график поверхности; билинейная окрестностная система. Рассматривается алгоритм построения графиков поверхностей билинейных окрестностных систем, раскрываются новые возможности в изучении поведения билинейных окрестностных систем с помощью графиков поверхностей, приводится пример построения 3D графика поверхности и анализа поведения системы на основе графика ее поверхности.

Введение. Геометрическое моделирование - это математическое моделирование объектов, заданных в пространстве своими формой, составом и размерами [1].

Построение графиков поверхностей билинейных окрестностных систем и изучение на их основе поведения таких систем является новым направлением в работе с этим видом сложных систем.

Для построения графиков поверхностей билинейных окрестностных систем применяется аналитическое описание модели - аналитические выражения - функции - для каждого из узлов системы.

Построение моделей производится в системе компьютерной алгебры класса систем автоматизированного проектирования Mathcad.

1. Алгоритм построения графиков поверхностей билинейных окрестностных систем. Билинейная ок-рестностная система:

^ [а, а]х[а] + ^ wv [а, р] +

сє°х[а] рЄ(%[а]

I- ^ ^Н„[а,а,РМР, 1]х[а]] +... +

(1)

ає°х[а] Рє,°>[а|

+ wmxv[а, а, РМР, ш]х[а]] = 0,

где у[а] е Ят - вход в узле а системы; х[а] е Я" -состояние в узле а системы; ^х [а, а], wv [а,Р] , w1xv [а, а, Р], wmxv[а, а,Р] - некоторые матрицы-параметры; 0„[а], Ох[а] - окрестности по входу и состоянию [2], является поверхностью второго порядка, и для ее описания используются криволинейноповерхностные аналитические модели в виде уравнений второй степени.

При построении графика поверхности для узла системы необходимо учитывать окрестности узла.

Матрицы инцидентностей, описывающие окрестности, имеют вид:

О [«] =

а [а] =

все элементы которых в случае четких окрестностей равны единице, в случае нечетких - дробным положительным числам.

Матрицы-параметры wx, и имеют следующий

вид:

А =

А =

wr

w„

w„

w„

wr

w„

w„

w„

А. =

w,

w„

wr

х1( п+ш)

wr

Для того чтобы произвести учет окрестностей, необходимо поэлементно умножить соответствующие коэффициенты матриц-параметров wx, и wxv на ко-

эффициенты из матриц окрестностей 0„[а], 0х[а] и таким образом получить результирующие уравнения для каждого узла. Пример получения результирующего вида по состоянию приведен в (2):

X

X

п1

5

5

V

V

її

1п

5

5

V

п1

п 1

11

11

(п+ш)1

(п+ш)(п+ш)

Mo =

w„

wx

xn1 xn1

w„

sx wx

nn nn

(2)

Используя полученные после учета окрестностей результирующие уравнения для каждого из узлов системы, составляем систему уравнений билинейной окре-стностной системы, которая далее будет использоваться для построения графиков поверхностей.

График поверхности системы и исходные данные (состояния и управления) зависят от рассматриваемой точки.

Наборы значений состояний и управлений задаются либо в виде определенных значений, либо с помощью итерационных формул, с конкретным шагом изменения на каждой итерации. Если имеются уже полученные экспериментально наборы таких значений, то целесообразно задавать эти наборы в виде имеющихся значений. Иначе задаются максимальные и минимальные значения состояния и управления и их итерационные формулы.

Итак, алгоритм построения графика поверхности билинейной окрестностной системы имеет следующий вид.

1. Получить билинейную окрестностную систему в виде уравнений для каждого узла - систему уравнений.

2. Произвести учет окрестностей с помощью умножения соответствующих коэффициентов матриц инцидентностей, описывающих окрестности, на соответствующие коэффициенты матриц-параметров.

3. Построение графика поверхности для узла: Составить для узла функцию вида z = f (х1г-,..., xmi,v1j,...,vnj) от количества аргументов n + m, равного количеству состояний n и управлений m.

Построение графика поверхности для системы в целом: Составить для каждого узла системы функцию вида z = f (x1i,...,xmi,v1 j,...,vnj) от количества аргументов n + m, равного количеству состояний n и управлений m. (При необходимости произвести свертку функций. Получить функцию для системы).

4. Задать количество наборов данных (итераций) N состояний и управлений.

5. Задать наборы значений состояний и управлений или задать максимальные и минимальные значения состояния и управления и их итерационные формулы.

6. Инициализировать полученные данные в специальном блоке 3D-Plot меню Graph в системе компьютерной алгебры класса систем автоматизированного проектирования Mathcad.

Блок-схема алгоритма построения графиков поверхностей билинейной окрестностной системы представлена на рис. 1.

2. Пример построения графика поверхности билинейной окрестностной системы. Рассмотрим пример создания графика поверхности скалярной билинейной окрестностной системы с четкими окрестностями.

Итак, требуется получить график поверхности билинейной окрестностной системы, состоящей из двух узлов, для первого узла.

Окрестности по состоянию и управлению:

Ox И ] = a2 }; Ox [a2 ] = {a1 > a2 };

Ov [a2 ] = {a2}.

Матрицы инцидентностей, описывающие окрестно-

Ox [a1> a2] =

Ov [a1> a2] =

1 1 1 1^

1 0' 0 1

Уравнение билинейной окрестностной системы для каждого из узлов имеет следующий вид.

Для узла а1:

Wx [1,1]х[1] + Wx [1,2]х[2] + Wv [1,1М1] + Wv [1,2М2] +

+ Wxv [1,1,1]х[1М1] + Wxv[1,1,2]x[1]v[2] +

+ Wxv [1,2,1]х[2М1] + Wxv [1,2,2]х[2М2] = 0.

Для узла а2:

Wx [ 2,1]х[1] + Wx [2,2]х[2] + Wv [2,1]v[1] + Wv [2,2]v[2] + + Wxv [2,1,1]х[1М1] + Wxv [2,1,2]х[1М2] +

+ Wxv [2,2,1]x[2]v[1] + Wxv [2,2,2]x[2]v[2] = 0.

В первом уравнении системы Wx[1,1] = 5; Wx[1,2] = -3; Wv[1,1] = 7,8;

Wv[1,2] = 0; Wxv [1,1,1] = 3,6; WxV[1,1,2] = 0;

Wxv [1,2,1] = 8; Wxv [1,2,2] = 0.

Во втором уравнении системы Wx [ 2,1] = -4; Wx [2,2] = 6; Wv [2,1] = 0;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Wv [2,2] = -2; Wxv [2,1,1] = 0; Wxv[2,1,2] = 3,4;

Wxv [2,2,1] = 0; Wxv[2,2,2] = -5.

Теперь произведем учет окрестностей и составим функцию вида 2 = /(х1,...,хт,v1,...,vn) от количества аргументов п + т, равного количеству состояний и управлений.

Получаем для узла а{.

/] (х, х2, ) = 1' 5х -1' 3х2 +1 • 7,8У] +

+1 • 1 • 3,6х1У1 +1 • 1 • 8х2у1 .

11 -41

Рис. 1. Алгоритм построения графиков поверхностей билинейных окрестностных систем

Получаем для узла а2:

/2 (х, х2, У], у2 ) = 1 • (-4)х -1 • 6х2 +1 • (-2)у2 +

+1 • 1 • 3,4x1 v2 +1 1 • (—5) x2v2.

Итак, рассмотрим случай, когда состояния и управления заданы с определенным шагом изменения.

Пусть количество итераций N = 20. Зададим набор значений состояний и управлений на каждой итерации для обоих узлов системы. Определим минимальные и максимальные значения состояний и управлений для узлов, а также итерационные формулы определения возможных состояний и управлений в окрестности узлов. Таким образом, задаются узловые точки, в которых будут определены значения функции г:

xmin 5; vmin 5; Xmax 5; vmax 5;

! i Л 1

x2 = 1 + xmin +~ і v2j = 1 + vmin +~

Наборы значений состояний и управлений на каждой итерации представлены на рис. 2.

Проинициализируем данные в блоке 3D-Plot меню Graph в системе компьютерной алгебры класса систем автоматизированного проектирования Mathcad.

График поверхности для первого узла рассматриваемой системы выглядит следующим образом (рис. 3).

Итак, построен график поверхности системы с точки зрения управления первым узлом системы.

Для построения графика поверхности всей системы в целом в рамках данного подхода необходимо (как возможный вариант) получить отдельную функцию всей системы из функций узлов системы.

3. Возможности в изучении поведения билинейных окрестностных систем на основе графиков их поверхностей. Визуализация билинейных окрестност-ных систем дает новые возможности анализа и прогнозирования процессов, описываемых с помощью таких систем.

Рассмотрим график поверхности из предыдущего примера более подробно.

Осуществим проецирование на оси i и j. С помощью проекций на оси можно определить, на каких итерациях график поверхности близок к нулю, т. е. значение невязок между левой и правой частями уравнения,

Х1

0

0 -5

1 -4,5

2 -4

3 -3,5

4 -3

5 -2,5

6 -2

7 -1,5

8 -1

9 -0,5

10 0

11 0,5

12 1

13 1,5

14 2

15 2,5

16 3

17 3,5

18 4

19 4,5

20 5

Х2

0

0 -4

1 -3,5

2 -3

3 -2,5

4 -2

5 -1,5

6 -1

7 -0,5

8 0

9 0,5

10 1

11 1,5

12 2

13 2,5

14 3

15 3,5

16 4

17 4,5

18 5

19 5,5

20 6

V!

0

0 -5

1 -4,5

2 -4

3 -3,5

4 -3

5 -2,5

6 -2

7 -1,5

8 -1

9 -0,5

10 0

11 0,5

12 1

13 1,5

14 2

15 2,5

16 3

17 3,5

18 4

19 4,5

20 5

0

0 -4

1 -3,5

2 -3

3 -2,5

4 -2

5 -1,5

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

6 -1

7 -0,5

8 0

9 0,5

10 1

11 1,5

12 2

13 2,5

14 3

15 3,5

16 4

17 4,5

18 5

19 5,5

20 6

Рис. 2. Наборы значений состояний и управлений на каждой итерации

Рис. 3. Г рафик поверхности для первого узла системы

описывающего функцию /ь будут минимальными для заданных состояний и управлений.

Как видно из рис. 4 и 5, график поверхности проходит близко к нулю при наборах значений состояний и управлений с шестого по одиннадцатый.

Это значит, что при подстановке этих наборов значений состояний и управлений в уравнение функции для первого узла значения функции

/1(х1, x2,v1, v2) = 5х1 - 3х2 + 7,8^ + 3,6х^ + 8х2^

будут близки к нулю.

Рис. 4. Проекция графика поверхности на ось і

Рис. 5. Проекция графика поверхности на ось j

Действительно, подставив значения состояний и управлений в функцию для данного узла, видим, что при наборах значений с шестого по одиннадцатый значения функции /1(х1, х2, v1, V2) близки к нулю, и наиболее близкое к нулю значение достигается на десятом наборе.

Значения функции /1(х1, х2, v1, V2) на наборах значений состояний и управлений с шестого по одиннадцатый представлены в табл. 1.

На этих наборах исходных значений состояний и управлений наиболее близкое к нулю значение функции /1( х1, х2, V!, V2) составляет -3 при х1 = 0, х2 = 1,

VI = 0, у2 = 1.

Итак, функция /1 принимает наиболее близкое к нулю значение на десятой итерации. График поверхности можно рассматривать и как изменение процесса при разных наборах исходных данных. При осуществлении смешанного управлении стоит задача получить такие состояния и управления, при которых значение невязок между левой и правой частями уравнения, описываю-

щего функцию /ь будут минимальными для заданных состояний и управлений. И свое минимальное значение функция / может принять при значениях состояний и управлений из разных наборов возможных состояний и управлений. Функционал геометрического моделирования позволяет скомпилировать значения функции / при разных исходных наборах. Поэтому рассмотрим оси I и ] в этом случае как номера наборов исходных состояний и управлений соответственно. Получим значения функции / для комбинаций всех имеющихся наборов. Фрагмент значений функции/ представлен на рис. 6.

Как видно на рис. 6, нулевое значение функция / принимает при значениях состояний и управлений при I = 13 и ] = 10, что соответствует 13-му набору состояний и 10-му набору управлений.

Итак, функция /1(х1,х2,у1,у2) = 5х1 -3х2 +

+7,8у1 + 3,6х1У1 + 8х2у1 принимает нулевое значение при значениях х1 = 1,5, х2 = 2,5, V! = 0, у2 = 1.

Таблица 1

Значения функции /

Номер набора исходных данных Х1 *2 у\ У2

6 -2 -1 -2 -1 7,8

7 -1,5 -0,5 -1,5 -0,5 -3,6

8 -1 0 -1 0 -9,2

9 -0,5 0,5 -0,5 0,5 -9

10 0 1 0 1 -3

11 0,5 1,5 0,5 1,5 8,8

Рис. 6. Фрагмент значений функции /1

Таким образом, исходя из полученной информации, можно делать выводы о дальнейшем управлении системой, т. е. какие входные воздействия из возможных следует задавать для достижения определенной цели.

Геометрическое моделирование билинейных окре-стностных систем позволяет решать несколько задач, а именно, осуществлять визуальный анализ процесса, описываемый с помощью билинейной окрестностной системы, осуществлять управление системой, используя наиболее подходящие значения состояний и управлений, которые могут быть установлены или поданы на вход системы.

Заключение. Рассмотрен алгоритм построения графиков поверхностей билинейных окрестностных систем. Использование 3Б моделирования графиков поверхностей билинейных окрестностных систем показывает хорошие результаты в прогнозировании процессов, описываемых с помощью окрестностных систем, и открывает дополнительные возможности в управлении такими системами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Косников Ю.Н. Поверхностные модели в системах трехмерной компьютерной графики. Пенза, 2007. С. 4.

2. Блюмин С.Л., Шмырин А.М., Шмырина О.А. Билинейные окрест-ностные системы. Липецк, 2006. С. 64.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 11-08-97525 р-центр_а).

Поступила в редакцию 19 апреля 2013 г.

Shmyrin A.M., Roenko S.S. MODELING OF 3D GRAPHICS OF SURFACES OF BILINEAR BORDER SYSTEMS

An algorithm for construction of surfaces bilinear border systems is considered; new possibilities for studying the behavior of bilinear neighborhood systems with plots of surfaces is opened; an example of building 3D graphics surface, and behavior analysis system based on the schedule of its surface is given.

Key words: geometric modeling; surface plot; bilinear border systems.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.