Классификация билинейных окрестностных моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.8

КЛАССИФИКАЦИЯ БИЛИНЕЙНЫХ ОКРЕСТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ

© А.М. Шмырин, И.А. Седых

Ключевые слова: билинейные окрестностные системы; динамика; переменные окрестности; недетерминированность; нечеткость.

Рассмотрены статические и динамические, детерминированные и недетерминированные, четкие и нечеткие билинейные окрестностные модели с постоянными и переменными окрестностями. Дана классификация билинейных окрестностных моделей.

Введение. Перспективным направлением в моделировании сложных систем являются окрестностные модели, основные принципы которых изложены в [1]. В [2] введены и исследованы билинейные окрестностные модели, являющиеся развитием симметричных и смешанных окрестностных систем, рассмотренных в [1], и относящиеся к классу простейших нелинейных систем.

Дадим обобщенное определение билинейных окре-стностных моделей и рассмотрим их особенности при внесении в модель динамики, переменных окрестностей, недетерминированности и нечеткости.

1. Билинейные окрестностные модели. Простейшим классом нелинейных окрестностных моделей являются рассмотренные в [2] билинейные окрестностные модели для состояния и управления:

I жДа, а]Х [а] + I жу[а, Р]У [Р] +

аєОл [а] РєОу [а]

+1 I [м'ьЛа, а, РМР,1]Х [а] +... + (1)

а^Ох [а] РєОу [а]

+ ™шух[а, а, Р ]у[Р, т]Х [а]] = 0,

где X[а] є Я" , V[а] є Ят - состояние и управление в узле системы; жх[а,а] є Ясх" , жу[а,Р] є Ясхт , м>іух[а, а] є Ясх" (г = 1,...,т) - матрицы-параметры;

Ох [а], Оу[а] - окрестности узла а по состоянию и управляющему воздействию соответственно; у[а, і] (і = 1,...,т) - координаты вектора управлений V[а]; а,а,Рє А , А = {а1,а2,...,ап} - конечное множество узлов системы, |А| = " .

Модель (1) в более короткой записи [2-3]:

I жх [а а]Х [а] + I wv[a, p]V [Р] +

аєОх [а] РєОу [а]

+ I жху[а,а, РХ[а]У[Р] = 0, (2)

аєОх[а]

РєОу[а]

где №ху[а, а, Р] е кахпхт - блочная матрица параметров.

В [4-5] введено обобщенное определение окрест-ностной модели. По аналогии, используя вышеприведенные формулы, дадим определение билинейной ок-рестностной модели.

Билинейная окрестностная модель описывается набором №в = X , V, О), где:

1) N = (А, Ох, ) - структура окрестностной мо-

дели, А = {а15а2,...,ап\ - множество узлов, Ох -окрестности связей узлов по состояниям, О - окрестности связей узлов по управлениям. Для каждого узла а е А определена своя окрестность по состояниям

Ох [аг ]с А и управлениям Оу [аг ]с А ; Ох =

п Г 1 п Г 1

= ^ Ох[а]> ° = ^ °[а];

г=1 г=1

2) X е Яп - вектор состояний окрестностной модели;

3) V е Ят - вектор управлений окрестностной модели;

4) О(х, V) = 0 - функция пересчета состояний окрестностной модели, где Х0 - множество состояний узлов, входящих в окрестность О , VО - множество управлений узлов, входящих в окрестность О , х е ХО , V е ХО . Функция О(х, V) = 0 задается

формулами (1) или (2).

2. Динамические билинейные окрестностные модели. В предыдущем пункте рассмотрены статические билинейные окрестностные модели. Динамическая билинейная окрестностная модель описывается набором ^во = (^ X, V, О, X [0]), где:

1) X е Яп - вектор состояний окрестностной модели в текущий момент времени;

2) V е Ят - вектор управлений окрестностной модели в текущий момент времени;

3) функция О(х[/ + 1], х[/],у[/]) = 0 задается формулой:

1 ж'х [а, а]Х [ґ +1, а] + жх [а, а]Х [ґ, а] +

аєОх [а] аєОд [а]

+ I жу[а, Р]У [ґ, Р] + (3)

Рє Оу [а]

+ I жху[а,а, Р]Х[ґ, а]У[ґ, Р] = 0,

аєОх [а]

Рє Оу [а]

где X[ґ, а] є Я" , V[ґ, а] є Ят - состояние и управление в узле системы в текущий момент времени ґ ; X[ґ +1, а] є Я" - состояние в узле системы в момент времени ґ +1; жх[а, а] є Ясх" , жу[а, Р] є Ясхт , м>'х[а, а] є Ясх" - матрицы-параметры; ж у[а,а, Р] є є Ясх"хт - блочная матрица параметров; Ох[а] , Оу [а] - окрестности узла а по состоянию и управляющему воздействию соответственно; а, а, Р є А , А = {аь а2,..., ап} - конечное множество узлов системы, |А| = и;

4) X [0] - начальное состояние модели.

3. Динамические билинейные окрестностные модели с переменными окрестностями. Заметим, что в приведенных выше билинейных окрестностных моделях матрицы-параметры не зависят от времени, т. е. связи между узлами внутри окрестностей остаются постоянными.

Рассмотрим билинейную окрестностную модель с переменными связями внутри окрестности на каждом такте функционирования системы.

Динамическая билинейная окрестностная модель с переменными окрестностями описывается набором =(м, X V, О, X [0]) , где:

1) N = (а, Ох И, ОуИ) - структура окрестностной модели, А = {а1,а2,...,ап} - множество узлов, Ох[ґ] -окрестности связей узлов по состояниям в момент времени ґ , О [ґ] - окрестности связей узлов по управлениям в момент времени ґ . Для каждого узла аг є А в момент времени ґ определена своя окрестность по состояниям Ох [г, а, ] с А и управлениям Оу [г, а, ] с А;

Ох И = '^Ох [ґ, аг], Оу [ґ] = иОу [ґ, а, ];

І=1 І=1

2) функция О(ґ,х[ґ], у[ґ ]) = 0 задается формулой:

I ж'х [ґ +1, а, а^ [ґ +1, а] +

аєОд [ґ+1,а]

+ I жх [ґ, а, а^ [ґ, а] + (4)

аєОх [ґ, а]

+ X а, Р]V[:, Р] +

Ре Оv [:, а]

+ X ^ a, а, №[^ а] VР] = 0,

аеОх [:,а]

Ре Оv [:, а]

где №х[:, а,а] е Ясхп , №„[:, а, Р] е Ясхт, [: +1,а,

1 Г)Охп

а] е Я - матрицы-параметры в моменты времени : и : +1; №от[/, а, а, Р] е Ясхпхт - блочная матрица параметров в момент времени t; Ох [:, а], Оу [:, а] -окрестности узла а в момент времени : по состоянию и управляющему воздействию соответственно; Ох [: +1, а] - окрестность узла а в момент времени : +1.

4. Недетерминированные динамические билинейные окрестностные модели. В рассмотренных ранее билинейных окрестностных моделях в текущий момент времени : матрицы-параметры являются детерминированными, т. е. не зависят от случайных факторов. В [3] были показаны динамические недетерминированные окрестностные модели сетей Петри, недетерминированность которых проявляется в выборе в каждый текущий момент времени случайным образом матриц-параметров из некоторого заранее заданного множества.

Дадим определение недетерминированной динамической билинейной окрестностной модели, которая описывается набором N^^^1 = (^ XV, О, X[0]) . Функция О(х[: ], v[t], d) = 0 задается формулой:

X к'х [а, а, d ^ [: +1, а] +

ае Ох [а]

+ X №х [а, а, d ^ [:, а] +

аеО [ а]

^ ] (5)

+ X ^^, Рd ]V [:, Р]+

Ре Оv [а]

+ X к х\>[а,а, Р, dIX[:,а]V[:, Р] = 0,

ае Ох [а]

Ре Оv [а]

где кх[а, а, d] е Ясхп , ^[а, Р, d] е Ясхт , м>\[а, а,

d] е Ясхп , №„[а, а, Р, d] е Ясхпхт - матрицы-параметры, изменяющиеся в соответствии от значения случайной величины d, распределенной по закону pt (d) , зависящему от момента времени : .

5. Недетерминированные динамические билинейные окрестностные модели с переменными окрестностями. Объединим свойства динамических билинейных окрестностных моделей и моделей с переменными окрестностями.

Недетерминированная динамическая билинейная окрестностная модель с переменными окрестностями

описывается набором Жвош = (^ X, V, О, X[0]). Функция О(:, х[:], v[t ], d) = 0 задается формулой:

X к'х [: +1, а, а, d ^ [: +1, а] +

аеОд [: +1,а]

+ X кх [:, а, а, d ^ [:, а] +

аеО [: ,а]

^ ] (6) + X ^ [:, а, Р, d ] V [:, Р] +

Ре Оv [:, а]

+ X wxv[t, а, а, Р, dIX[:, а]V[:, Р] = 0,

аеОд [: ,а] pеОv[t,a]

где [:, а, а, d] е Ясхп , ^[:, а, Р, d] е Ясхт,

<[: +1, а, а, d] е Ясхп , ^[:, а, а, Р, d] е Ясхпхт -матрицы-параметры в моменты времени : и : +1, изменяющиеся в соответствии от значения случайной величины d , распределенной по закону р: (d) , зависящему от момента времени : .

6. Классификация билинейных окрестностных моделей. Представим схему связи классов рассмотренных выше билинейных окрестностных моделей (рис. 1).

7. Нечеткие динамические билинейные окрест-ностные модели. Классификация билинейных окре-стностных моделей с учетом нечеткости. Приведенные выше билинейные окрестностные модели являются четкими. Рассмотрим особенности нечетких динамических билинейных окрестностных моделей.

Рис. 1. Схема связи классов билинейных окрестностных моделей

Нечеткая динамическая билинейная окрестностная модель описывается набором N5^ (ю) =

= ^ (ю), X (ю), V (ю), О(ю), X (ю)[0], х(ю)) (здесь и далее ю - признак нечеткости), где:

1) N(ю)=(А(ю), Ох (ю), Оу (ю)) - нечеткая структура окрестностной модели, А(ю) = {а1(ю),а2(ю),..., ап (ю)}- нечеткое множество узлов, заданных функциями принадлежности ца , Ох (ю) - нечеткие окрестности связей узлов по состояниям, заданные функциями принадлежности цх , Оу (ю) - нечеткие окрестности связей узлов по управлениям, заданные функциями принадлежности цу. Для каждого узла а, (ю)є А(ю) определена своя нечеткая окрестность по состояниям Ох (ю)[а, (ю)]с А(ю) и управлениям Оу (ю)[а, (ю)]с

" "

с А(ю); Ох (ю) = ^ Ох(ю)[а,(ю)], Оу (ю) = ^ Оу(ю)

І=1 І=1

[аг(ю)];

2) X(ю) = (х1(ю),...,хп(ю)) - вектор нечетких состояний окрестностной модели в текущий момент времени, заданных функциями принадлежности ^х ;

3) V(ю) = (^(ю),...,ут (ю)) - вектор нечетких

управлений модели в текущий момент времени, заданных функциями принадлежности ;

4) функция О(х(ю)[х'], х(ю)[т],у(ю)[х]) = 0 задается формулой:

Iж' (ю)[а(ю), а(ю)] • -X(ю)[х'(ю), а(ю)] +

а(ю)єОх (ю)[а(ю)]

+ I ж [а(ю), а(ю)] --X(ю)[х(ю), а(ю)] +

а(ю)єОх (ю)[а(ю)]

+ I ж[a(ю), Р(ю)] •V М'ВХР(ю)] + (7)

Р(ю)єО, (ш)[а(ш)]

+ I wxу[a(ю), а(ю), Р(ю)] х

а(ю)єОх (ю)[а(ю)]

Р(ш)єО,(ш)[а(ш)]

х X[т(ю), а(ю)] • V[т(ю), Р(ю)] = 0,

где X(ю)[х(ю), а(ю)], V[х(ю), Р(ю)] - нечеткие состояние и управление в узле системы в текущий нечеткий момент времени т(ю) ; X(ю)[х'(ю),а(ю)] - нечеткое состояние в узле системы в следующий нечеткий момент времени т'(ю) ; жх(ю)[а(ю),а(ю)],

м>у (ю)[а(ю), Р(ю)], м>'х(ю)[а(ю),а(ю)] - нечеткие

матрицы-параметры; жху(ю)[а(ю),а(ю), Р(ю)] - нечеткая блочная матрица параметров;

5) X (ю)[0] - нечеткое начальное состояние модели;

6) х(ю) - нечеткое время функционирования системы.

Рис. 2. Сxема связи четкиx и нечетки^ статическиx и дина-мическиx классов билинейныx окрестностньк моделей

моделей: 1) билинейные окрестностные модели,

2) динамические билинейные окрестностные модели,

3) динамические билинейные окрестностные модели с переменными окрестностями, 4) недетерминированные динамические билинейные окрестностные модели,

5) недетерминированные динамические билинейные окрестностные модели с переменными окрестностями.

Приведена классификация четкий билинейный ок-рестностн^ій моделей с учетом динамики, переменный окрестностей и недетерминированности.

В работе также дано определение нечетаю дина-мическик билинейныи окрестностныи моделей и приведена сxема связи четкиx и нечетаю, статическиx и динамически* классов билинейныи окрестностныx моделей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Блюмин С.Л., Шмырин A.M. Окрестностные системы. Липецк: Липецкий эколого-гуманитарный институт, 2005. 1З2 с.

2. Блюмин С.Л., Шмырин Ä.M., Шмырина O.Ä. Билинейные окрест-ностные системы. Липецк: ЛГТУ, 2006. 1З0 с.

3. Блюмин С.Л., Шмырин Ä.M., Седых И.А., Филоненко В.Ю. Окрест-ностное моделирование сетей Петри. Липецк: ЛЭГИ, 2010. 124 с.

4. Шмырин Ä.M., Седых И.А. Дискретные модели в классе окрестно-стныгс систем // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и теxнические науки. Тамбов, 2012. Т. 17. Вып. З. С. 867-871.

5. Шмырин Ä.M., Седыых И.А., Корниенко H.Ä., Шмырина T.Ä. Обобщение дискретные моделей окрестностными системами // Tеxни-ческие и программные средства систем управления, контроля и измерения» (УКИ-10): материалы конференции с международным участием. М.: ИПУ РАН, 2010. С. 207-208.

Поступила в редакцию 25 сентября 2012 г.

С учетом введенной нечеткости, на рис. 2 представлена схема связи четких и нечетких, статических и динамических классов билинейных окрестно-стных моделей.

Заключение. Таким образом, в работе дано обобщенное определение билинейных окрестностных моделей. Рассмотрены основные классы четких билинейных

Shmyrin A.M., Sedykh I.A. CLASSIFICATION OF BILINEAR NEIGHBORHOOD MODELS

Static and dynamic, determined and nondeterministic, clear and fuzziness bilinear neighborhood models with permanent and variable neighborhoods are considered. Classification of bilinear neighborhood models is given.

Key words: bilinear neighborhood systems; dynamics; variable neighborhoods; non-determination; fuzziness.

13б9