CC BY
35
В.А.Родин,
доктор физико-математических наук, профессор
О НОВЫХ КОНСТАНТАХ В СИСТЕМЕ УРАВНЕНИЙ ФЕРХЮЛЬСТА1
ABOUT NEW CONSTANTS IN THE SYSTEM OF VERHULST
EQUATIONS
В настоящей работе продолжены исследования результатов автора, представленных в 2009 году на Международном конгрессе «Наука, Инженерия и Технология» в г. Осло, Норвегия.
The given work is the continuation of research results presented by the authors at the
World Congress on Science, Engineering and Technology, July 29-31, 2009, Oslo, Norway
(WCSET 2009) [1].
1. Введение
Базовой дискретной моделью, описывающей изменение численности популяции, является модель Ферхюльста: xn+1 =axn (1 - xn). Эта модель является отправной
точкой исследования циклических решений в работах [2,3]. В работе [10] аналогичные циклические явления и переход к хаосу изучались в экономике и финансах.
Пусть xn число особей первого вида, а yn число особей второго вида в n -м году. Рассмотрим итерационную систему
/ Ун+\ = axn (1 — xn ) (1)
1 xn +1 =ЬУп +1(1 — Уп+1).
Определенные математические утверждения о поведении последовательностей решений данной системы можно найти в работе [9]. В работе [4] изучено полностью поведение последовательности в одномерном случае. Системы несколько другого вида изучались в работах С.П. Кузнецова [5, 6]. Теоретические основы бифуркационных явлений имеются в классических работах [7, 8].
2. Зоны различного поведения
Для изучения предельных, неподвижных точек рассмотрим систему:
Г у = ax (1 - x)
{ x = р у(1 - у) '
Решения этой системы имеют вид:
Xj = 0, x 3 = —+
2 A(-1 + /Уэ) _ (а- 3)b(1 + /У3)
3 12ра ЗА '
x = 2 + А + 2(а-3)b x = 2 A(1 + л/3) , (а-3)b(_1 + /Тз)
2 3 ьра ЗА 3 12ра ЗА
1 Работа поддержана грантом РФФИ 08-01-00226.
где А = з](36ар- 8а2 р -108 +12^)ар2 ,
g(а, р) = 81 - 54аР+ 12ар2 - 3а2р2 + 12а2р. (3)
Ь
А
¥(х) = аРх - аР(1 + а) х2 + 2а2р х3 - а2р х4 х) = а2 х(1 -х)[1 -ах(1 -х)]
¥( х 4 ) = -1
а2 - 2а- 5 = 0
Рис. 1
Рассмотрим карту параметров (а,Р). Зоны этой карты определяют различные динамические режимы поведения решений системы (1) (рис.1): зона 1, где оба вида особей со временем исчезают, зона 2, где оба вида со временем стабилизируются, зона 3, границы которой описываются уравнением g (а,р) = 0 , в этой зоне появляются циклы различного порядка, и зона 4, где происходят случайные перебросы через диагональ и возникает динамический хаос. Эта зона практически не изучена, и дальнейшие исследования посвящены ей.
4
3
2
1
у \
д(4Р>0
0
2 3 4 а
1
3. Зоны циклических решений и случайных перебросов
О «
Рис. 2. На левой карте представлены динамические режимы поведения решений
системы (1), на правой компьютерная графика границы зон представлена аналогом фрактальной границы Жулиа
Карты на рис. 2 были получены в работе [1]. Напомним:
1— зона, где оба вида исчезают со временем;
2— зона, где оба вида стабилизируют свою численность;
3 — зона, где появляются циклы 3 = 21;
4 — зона, где появляются циклы 3 = 2к к > 2.
5 — зона циклов 3 = 3к, к > 1;
6 — зона случайных перебросов между аттракторами и хаоса.
Пересечение границ зон с диагональю рисунка 2 дает нам значения известных в теории бифуркаций констант. Если а = 3, то происходит циклический переход 1 ® 2;
если а = 1 + л/б, то 2 ® 4; если а = 3,543, то 4 ® 8; для а = 3,563 имеем 8 ® 16;
для а = 3,568 получаем 16 ® 32. Уравнения границ, полученные в этой работе, позволили подтвердить известные управляющие константы и определить новые. Все двоичные циклы 2п возникают тогда, когда а » 3,575. Для а =1 +^8 имеют место два
цикла порядка 3 - один устойчивый, второй нет. Дальнейшее увеличение параметра а
дает возможность проследить появление циклов размерности: 3, 6, 12, 24..., 3х 2п.
Изучение поведения решений системы (1) позволило обнаружить и принципиально новые , неизвестные ранее константы управления.
Рис.3 Рис. 4
На рис. 3 пунктирная линия определяет наименьший размер аттрактора, при котором он начинает перекрывать часть второго аттрактора. Развитие цикла 0 ® 1 ® 2 ® 3 приводит к тому, что он попадает в цикл 0' ® 1' ® 2' ® 3'. Попадая ниже точки A, траектория захватывается аттрактором нижней точки пересечения парабол.
Попадая в зону пересечения (рис. 4), траектория решения перебрасывается от одного аттрактора в зону другого. Это происходит случайным образом (в случайную итерацию). Определена зона значений параметров а и b, для которых это явление имеет место (рис. 4, зона “overthrown”). Область переброса симметрична.
Найдем неизвестную ранее точку. Пусть х2 = х3. По соображениям симметрии x3 = 1 - x1 и аналогично: x2 = 1 — x1. Учитывая эти равенства, получаем уравнение границы зоны перебросов:
ab
i—Ь —I
4 I 4
=1 -ab(1—a
4 i 4
Если a=b, то имеем уравнение
вен
2
a = — 3
л/19+3/33
+
V19+3/33
a
4
+1
a
4
1 — I — 1 = 0, вещественный корень которого ра-
а» 3,678. Это неизвестная ранее управ-
ляющая константа. Это — по сути новая точка, которая не существует в одномерном случае. Это — точка случайного перемещения решений от одной зоны аттрактора к другой (рис. 4). Получены аналитические формулы границ этой зоны: а@(4 — а) = 8,
аЬ(4—Ь) = 8. Если а = Ь, имеем уравнение для определения точки на биссектрисе
а2 (4 — а) = 8 и а = Ь = 1+ У5.
Уравнение границ зоны хаоса автору неизвестно, и граница получена с помощью компьютерной графики (рис. 4). Для приближенно вычисленных значений а,Ь > 3,678 происходит динамическое формирование хаоса. Причина сложного поведения состоит в том, что один аттрактор накладывается на другой, и перемещение из одной зоны в другую происходит случайным образом. При этом удивительным остается тот факт (компьютерные рисунки), что и при больших значениях параметров а,Ь в зоне хаоса возникают циклы любого порядка с уменьшающейся площадью, образуя подобие
4
обобщенного ковра Серпинского, например 3 = 31 для а = Ь = 1+ У8, или 3 = 51 для а = Ь = 3,7389.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dumachev V.N., Rodin V.A. Behavior of Solutions of the System of Recurrence Equations Based on the Ferhulst-Pearl Model // WACET Congress. Oslo, Norway 55, 2009. Part III. P.517-519.
2. Компьютеры и нелинейные явления / под ред. А. А. Самарского.— М.:Наука,
1988.
3. Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я., Шапиро А.П. Дискретные модели динамики численности популяций и оптимизация промысла. М.: Наука, 1979. 168 с.
4. Шапиро А. П. О стабильности популяции каннибалов // Математическое моделирование популяций - экологические процессы.— Владивосток, 1987.
5. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть I. Сценарий Фейгенбаума // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика.— 1993.— 1.— №1.— С. 15—32.
6. Кузнецов С.П. Динамика двух однонаправленно связанных систем Фейгенбаума у порога гиперхаоса // Известия вузов. Радиофизика.— 1990.— 33.— №7.— С.788—792.
7. Арнольд В. И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений.— 2-е изд., испр.— М.: МЦНМО, 2004.— 672 с.
8. Брекер T., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы.— М.: Мир,
1984.
9. Думачев В.Н., Родин В.А. Эволюция антагонистически-взаимодействующих популяций на базе двумерной модели Ферхюльста — Пирла // Матем. моделирование, 17:7 (2005).— С. 11—22.
10. Царьков В.А. О динамике Ферхюльста и динамике роста капитала в экономике // Экономика и математические методы.— 2008.— Т.44.— №3.— С. 92—97.
