Преобразование Эно Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ

УДК 514

Секованов Валерий Сергеевич

доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук, профессор Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

[email protected]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНО

В статье рассматривается преобразование Эно, исследуется характер его неподвижных точек. Рассмотрены аттракторы отображения Эно при различных значениях параметров. Указаны методические приемы изучения преобразования Эно.

Ключевые слова: нелинейность, аттрактор, неподвижные точки, нелинейное преобразование.

ТТв>

Д

етодика из

"вумерное нелинейное преобразование Эно используется в различных об-.ластях человеческих знаний. Однако методика изучения данного преобразования разработана недостаточно. При изучении данного отображения бакалавры, студенты, магистры и аспиранты испытывают значительные трудности.

Следует отметить, что перед изучением отображения Эно обучаемым целесообразно познакомиться с динамикой Ферхюльста отображения фа (х) = ах - ах2, х е[0;1], а е[0;4] (см., например, [1; 2; 4; 8]).

Преобразование Эно задается формулой: 'х) - ах2 + у^

TI

чУ )

bx

0 < а < 2, |b| < 1.

Ti I

T

:о2-

(2 )■

г.

1 -1,4-02 + 2^

0,3 • 0 1 -1,4 • 22 + 0

0.3 • 2 (1 -1,4 • 02 -2 0,3 • 0

3-)

0)1

-4,6

"1 0,6

(-1

) 1 0

(1 -1,4 -(-2 )2 + 0^

0,3 -(-2)

0 1 (0

1 -1,4 • 0 + 2

0 3

( (

T

T

T

-4,6 -0,6

Аналогично найдем:

( (

TI T

T

( (

T

4,6 0,6

-4,6 -0,6

TI T

Представим преобразование Эно в виде композиции трех преобразований. Положим:

' Ьх )

T

,у) К1 - ах2 + yJ; Т= [У ); 73 IУ) = [У1,

где Т1 - представляет искривление, сохраняющее площадь; Т2 - является сжатием по направлению оси ОХ; Т1 - преобразует плоскость в себя путем поворота на 90 градусов.

Нетрудно заметить, что Т = Т3 ° Т2 ° Т1. Исследуем преобразование Эно при а=1,4, Ь=0,3.

Найдем образ круга К х2 + у2 < 4 при отображении Эно. Сначала полезно найти образы точек

(2} (2} (- 2} (0 2) двумя способами:

1) исходя из определения отображения Т;

2) с помощью формулы Т = Т3 ° Т2

° Т1

Имеем:

Сравнивая соответствующие вычисления, заключаем, что получили одни и те же результаты.

После детального исследования отображения

х ) Г1 - ах2 + у)

УJ = l ьх ), 0 < а < 2, |Ь| < 1 получаем образ данного круга (рис. 3).

Теперь рассмотрим поэтапные преобразования Т(К), Т2(К), Тз(К).

Преобразование Т1(К) - искривляет круг, сохраняя площадь (рис. 1).

Рис. 1.

Преобразование Т2(Т1(К)) сжимает Т1(К) по направлению оси ОХ (рис. 2).

Преобразование Т3(Т2(Т1(К))) преобразует плоскость в себя путем поворота на 90 градусов (рис. 3).

Замечаем, что образ круга К х2 + у2 < 4 при преобразовании Эно Т3(Т2(Т1(К))) переходит в множество, изображенное на рисунке 3.

T

T

2

© Секованов В.С., 2014

Вестник КГУ им. H.A. Некрасова № 3, 2014

13

Рис. 2.

Рис. 3.

Теперь исследуем аттрактор Эно в общем виде.

[~ = 1 - ах2 + у Положим: <{ ~ и найдем неподвижные

[ у = Ьх

точки отображения Эно.

Рассмотрим уравнение: Имеем:

- ах2 + у ^ I х

Ьх

[1 - ах2 + у = х 1 - ах2 + Ьх = х 1 ^

[Ьх = у ах2 + (1 - Ь)х-1 = 0

Решая квадратное уравнение, получим:

. =-(1 - Ь) + У(1 - Ь)2 + 4а ; . = .

х1,2 ~ ; у1,2 Ьх1,2 2а

-(1 - Ь) + ^(1 - Ь)2 + 4а *

(1) х

2а

; у* = Ьх!

, -(1 - Ь) -У (1 - Ь)2 + 4 а , ,

(2) х2 = ---; у 2 = Ьх2

2а

а >

- (1 - Ь)2 4

т

х + а

- т

V у* + Рп у

( *2

1 - ах* + у1 Ьх*

1 - а(х* + ап)2 + у* + Рп

Ь( х* +ап)

/ *2 ^ * 2 * п л *2

1 - ах* - 2х1 апа - аап + у1 + рп - 1 + ах* - у 1

VЬх* + Ьап - Ьх*

- 2х'аап - аа] + Рп

Ьа

- 2х'аап + Рп

Ьа

Таким

образом,

отображение

( ( * , х. + а

т

V V■

у* +Рп

I- 2 х*а

Ь 0

То есть при достаточно малых ап, Рп в окрестности неподвижной точки приращение отображе-

ния Т:

| I х*+а т

V V

у' + Р

у I /и

I -2х* а 1 Уа^

Ь0

У V'л /у

можно считать линейным отображением. В правой части последнего приближенного равенства стоит линейное преобразование с матрицей А:

А =

Г-2х*а 1 ^ Ь0

Замечание. Элементы матрицы А =

Г- 2х*а 1Л Ь0

можно найти, используя частные произво-

I дх дх ^

дные

А=

Положим Ь=0,3. Пусть ап ^ 0, Рп ^ 0. Тогда будем иметь:

дх ду дху дху

дх ду

вычисленные в неподвиж-

. -(1 - Ь) + У (1 - Ь)2 + 4 а * * ных точках х1 =-5-; у1 = Ьх1.

2а

-(1 -Ь)-у1(1 -¿рЧ^ ^ = Ьх. отображения Т.

2а

у2

Найдем собственные значения оператора

А=

ния

(- 2х*а 1'

, Ь 0 у -2ах* - р 1

Ь

из характеристического уравне-

= 0. Имеем р2 + 2ах*р - Ь = 0. р

Iх | 11 - ах2 + у | ,,

ТI 1 = 1 ^ 1, 0 < а < 2, |Ь| < 1 в окрестности

неподвижной точки можно представить в матричном виде:

, - 2ах* ± л/4а2х2 + 4Ь * I 2 *2 ~

р =-= -ах, ±л а х, + Ь ,

2 • \ •

где 1=1, и}=\, 2. Будем считать:

р\ = -ах* +а2 х* + Ь ; *=1, У=1;

2 * 12 *2 1 рх =-аххх а х-1 + Ь ; *=1,У=2;

1 * 2 *2 1 р2 =-ах* а х* + Ь; *=2,у=1;

2 * 12 *2 1 р2 =-ах2а х2 + Ь ; 1=2,]=2.

х

х

+

Исследуем каждую из функций:

1 * 2 *2 1 2 * 12 *2 1 р1 =-ax1 a x1 + b , p1 =-ax1 a x1 + b ,

p\ = -ax* a2x*2 + b, p22 = -ax* --/a2x*2 + b .

1) Pj = -ax* +1J a2 x* + b, . -(1 -b) + д/(1 -b)2 + 4a

2а

При ¿=0,3 абсцисса первой неподвижной точки будет иметь вид:

. - 0,7 + 40,49 + 4а

Х1 =--.

2а

Подставляя значения параметров а и Ь, получим:

р\ (a) = -a +1

(

- 0,7 + -7 0,49 + 4a

2a

+

- 0,7 + V 0,49 + 4a

2a

0,7 0,49 + 4a 2

+ 0,3 =

0,49 -1,4^0,49 + 4a + 0,49 + 4a

i

0,7 -40,49 + 4a

4a2

+ 0,3 =

0,49 -1,4^0,49 + 4a + 0,49 + 4a +1,2

0,7 -40,49 + 4a + /2,18 -1,4^0,49 + 4a + 4a

0,7 -40,49 + 4a 1 / n „ /—^ „ „ —-^-+ - -^2,18 -1,4^/0,49 + 4a + 4a

Далее найдем производную функции р\ (a): (P1(a))' = - 1

д/0,49 + 4a 1

л/2,18 -1,4Д49 + 4a + 4a l л/0,49 + 4a

1-

0,7

V0,49 + 4a ^2,18 - 1,4 Д49 + 4a + 4a

( 40,49 + 4a - 0,7 l = 1 ^0,49 + 4a J ^0,49 + 4a

4

^0,49 + 4a - 0,7 л/2,18 -1,4/0,49 + 4a + 4a

-1

< 0.

Далее найдем предел: lim pp (a)« 0,5 .

Пусть теперь а=1, b=0,3. Тогда: pp (1)« 0,20. При а=2, b=0,3 получим: p1 (2)« 0,13 (см. рис. 4).

Заметим, что p1 (a) не превосходит единицы на отрезке [0; 2].

p\(a)

0,54

0,2

Рис. 4.

2) p12 = -ax* a2x* + b,

. - (1 - b) + 4 (1 - b)2 + 4a

x* =---

2a

. _ - 0,7 + 40,49 + 4a

pf (a) = -a

2a

(-0,7 + V 0,49 + 4a ^ 2a

V

-0,7 + V 0,49 + 4a

2a

0,7 -л/ 0,49 + 4a 2

+ 0,3 =

0,49 -1,4^/0,49 + 4a + 0,49 + 4a

i

0,7 -40,49 + 4a

4a2

+ 0,3 =

0,49 -1,4^0,49 + 4a + 0,49 + 4a +1,2

0,7 -40,49 + 4a + /2,18 -1,4^0,49 + 4a + 4a

( P2(a))' = -

1

^0,49 + 4a 1

1-

0,7

л/2,18 -1,4Д49 + 4a + 4a l л/0,49 + 4a

- 1___1_

л/0,49 + 4a д/2,18 - 1,4 Д49 + 4a + 4a

.70,49 + 4a - 0,7 1

-70,49 + 4a J .70,49 + 4a

V0,49 + 4a - 0,7 д/2,18 -1,4^3,49 + 4a + 4a

+1

< 0.

Найдем такое значение а, чтобы выполнялось:

P12(a) = -1.

То есть -1 = ax* = a2 x* + b .

Или же 1 - 2ar1 + a2 x^ = a2 x^ + b. Далее имеем:

2

+

2

+

2

2

+

4

2

2

4

4

2

4

1

1

Рис. 5.

1 - 2« .-О - b) W 0 - b)2 + 4 ^ = b;

2а

1 + (1 -Ъ) -у/(1 -Ъ)2 + 4а = Ъ;

1 + 0,7 (1 - 0,3)2 + 4а = 0,3

1,4 = 4 0,49 + 4а 0,49 + 4а = 1,96; 4 а = 1,47 а = 0,3675.

На рисунке 5 мы видим, что при а > 0,3675 |л2(а)| > 1.

3) р2 = -ах* +^ а2 х* + Ъ,

. = -(1 - Ъ)-V (1 - Ъ)2 + 4 а Х2 . 2а

. _ - 0,7 0,49 + 4а

Р (а) = -а +

i

2а

( - 0,7 -V 0,49 + 4а ^ 2а

0,49 +1,4^0,49 + 4а + 0,49 + 4а

4а2

+ 0,3 =

= 0,7 + 40,49 + 4а = 2

0,49 +1,4/0,49 + 4а + 0,49 + 4а +1,2

lim Р (а) = lim

а^0 2 а^0

0,7 + 4 0,49 + 4а

(0,7 + 4 0,49 + 4а )2 +1,2

= 0,7 0,7 У(0,7 + 0,7)2 +1,2 = = 2 2 2 =

= и + Уйб7й ж 0,7 + 0,89 = 1,59. 2 2

Таким образом, при каждом значении а е [0; 2], значение функции р1 (а) > 1.

4) р2 = -ах* а'2х* + Ъ,

. -(1 - Ъ) -4 (1 - Ъ)2 + 4 а

х* =-*-.

2а

. - 0,7 -Л 0,49 + 4а

х* =---.

2а

Г-0,7 0,49 + 4а ^

р\(а) = -а

2а

II

0,49 +1,4^/0,49 + 4а + 0,49 + 4а

4а2

+ 0,3 =

7 + 40,49 + 4а д/(0,7 + VÖ49T4« )2 +1,2

0,7 + V 0,49 +

2 2 limр22 (а) « 0,7 - 0,89 = -0,19.

Р22(1)« -0,1. Аналогично пунктам 1) - 3) находим:

2 1

(Р (а))' = -

(

1 -

40,49 + 4а 0,7 + V 0,49 + 4а

^0,7 +

0,49 + 4а)2 +1,2

> 0.

Таким образом, при ап ^ 0, Рп ^ 0 приращение значений отображения Т в окрестности неподвижной точки выражается соотношением:

, ~ ) ) , ~ ) ) л

г

x +а x x +а xi

- т =т -

v у*+в ч У* ) ч У* +в ч У* ,

в

_ 0,7 + ^0,49 + 4а (0,7 + 40,49 + 4а)2 +1,2 _

= 2 1 4 =

= 0,7 + 40,49 + 4а ^2,18 +1,4^0,49 + 4а + 4а = 2 2 . Заметим, что функция р\(а) монотонно возрастает, поскольку возрастает каждое слагаемое. То есть:

0 < а1 < а2, р^(а1) < р\(а2)^р^(а1) > 1, Уа1 е [0; 2].

. - (1 -Ъ) -4(1 -Ъ)2 + 4а

х* =---

2а

Линейное отображение А имеет четыре собственных вектора Р1, Р2, Р3, Р4 , в направлении которых оно представимо в виде:

аа-р• .г, 4х

Заметим, что р1 (а) не превосходит единицы

на отрезке [0; 2]. При 0 < а < 0,3675 |р2(а)| < 1. Таким образом, при а е (0,0,3675) система устойчива в неподвижной точке х* (оба направления притягивающие, см. рис. 6).

2

а

2

Рис. 6.

В неподвижной точке

. -0,7 -J 0,49 + 4a x* =— v

2a

одно направление притягивает, а другое - отталкивает (см. рис. 7) - система неустойчива.

Следует отметить, что изучение преобразования Эно продолжает исследования нелинейных отображений, рассмотренных в [3; 6; 7] и дает возможность формировать креативность студентов (см. [5]) и формировать их исследовательские компетенции (см. [9]).

Библиографический список

1. Гринченко В.Т., Мацибура В.Т., Снарский А.А. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы. Изд. 2-е. - М.: Изд-во ЛКИ, 2007. - 264 с.

2. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. - М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

3. Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. Изд. 4-е, сущ. перераб. и доп. - М.: КомКнига, 2005. - 312 с.

4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.; Ижевск: Институт компьютерных

Рис. 7.

исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. - 656 с.

5. Секованов В.С. Миронкин Д.П. Изучение преобразования пекаря как средство формирования креативности студентов и школьников с использованием дистанционного обучения // Вестник Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова. - 2013. - № 1. - С. 190-195.

6. Секованов В.С. О множествах Жюлиа некоторых рациональных функций // Вестник Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова. - 2012. - № 2. - С. 23-28.

7. Секованов В.С. Отображение «Кошка Арнольда» и методика его изучения // Вестник Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова. - 2013. - № 2. - С. 143-149.

8. Секованов В.С. Элементы теории фрактальных множеств. Изд. 5-е, перераб. и доп. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013. - 248 с.

9. Хамов Г.Г., Тимофеева Л.Н. Формирование исследовательских компетенций будущих учителей математики // Ярославский педагогический вестник. Серия: Психолого-педагогические науки. - 2013. - Т. 2. - № 3. - С. 141-146.