ПЕРЕНОРМИРОВАННЫЕ КООРДИНАТЫ ДЛЯ ГОМЕОМОРФИЗМОВ ОКРУЖНОСТИ С ОДНОЙ ТОЧКОЙ ИЗЛОМА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПЕРЕНОРМИРОВАННЫЕ КООРДИНАТЫ ДЛЯ ГОМЕОМОРФИЗМОВ ОКРУЖНОСТИ С ОДНОЙ ТОЧКОЙ ИЗЛОМА Каршибоев Х.К.

Каршибоев Хайрулло Киличович - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра высшей математики, Самаркандский институт экономики и сервиса, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в настоящей работе, найдены соотношение между 2, и 2. , (I,

I ]

и

? ..,), а затем показано, что 2 и ? являются почти дробно-линейными функциями от 20 и ^ соответственно, где предполагается, что определяющая функция / (X) , удовлетворяет условиям (с,) — (с4) и число вращения р = р(Т/) иррационально.

Ключевые слова: перенормированные, гомеоморфизмов окружности, ренормализация, число вращения.

Рассмотрим сохраняющий ориентацию гомеоморфизм Тf единичной окружности

/ = {/(х)}, х е £1 = [0,1) (1) где скобка {*}- обозначает дробную часть числа, а /(Х)-определяющая функция Т/ , удовлетворяет следующим условиям:

(с,) /(х)-непрерывная, строго возрастающая функция на Я1; (с2 ) /(x + 1) = /(х) + 1 для любого x е я1;

(сз ) гомеоморфизм Т/-Х в точке X = Хъ имеет излом, т.е. существуют конечные односторонние производные /'(хь ± 0) > 0 и

/'(Хь — 0) * /'(Хь + 0);

(с4) /' (х) -абсолютно непрерывная функция на [Хь, Хь + 1] и /"е Lp (£1; dl) при некотором р > 1.

. . /\хъ — 0) „ Т

Число ( = ( (х, ) =-—-- называется величиной излома 1, в точке

/Кь) Г(хъ + 0) /

X = Хь . Условие (С4 ) называется условием гладкости Кацнельсона и Орнстейна.

10

Пусть число вращения р = р(Т^) иррационально и разложение р в

непрерывную дробь имеет вид: р = ^ k2,...,kи,...].

Положим

^ = [к^ к2,...Лп ], п > 1. ЧП

Числа Я -удовлетворяют разностному уравнению:

Яп+1 = к+ч + qn-l, Яо =1 д = кl, п>1.

Обозначим особую точку Хь через Хо и рассмотрим ее итерации, т.е. x1 = т^хо, i > 1. Обозначим А^ = А^ (Хо ) -замкнутый отрезок соединяющий точки Х0 и ХЯ .

0 Чп

Обозначим через Уп = Уп (Х0 ) замкнутый интервал соединяющий точки Х„ и X . Ясно, что V = А(0п) и А(0п+1). Интервал V -называется П -ой

Чп Чп+1 " и и п

ренор-мализационной окрестностью точки Х0 . Определим отображение Пуанкаре по формуле:

Кп(х)=

т"¡п+1 х, если Х еа(0и) \{х0}, Т^х, если х еа(0и+1).

(2)

По общей схеме метода ренормализационной группы (РГ) нас интересует главным образом поведение отображения Пуанкаре Кп (х), при п —.

Поскольку длина отрезка Vn экспоненциально стремится к нулю и дп —> при

п —> &, поведение К (х) удобно изучить в новых перенормиро-ванных координатах.

Введем перенормированные координаты 2 на Vn :

X X г\

"0

Хл X

0 Чп

X £ V (3)

Хд \ Х0

Обозначим а = ——-. Очевидно, что а > 0. При X £ V ,

п ^ п г п'

Х0 - Хдп

соответствую-щие координаты 2 принимают значения от — 1 до ап. В новых координатах отображению Кп соответствует следующая пара (/п, ^ ) :

<

2

. , л /Ч"+1 (Х0 + 2(Х0 — Хдп )) — Х0 — Рп+1

}п (2) =-

Х0 ХЧп (4)

,, (Х0 + 2(Х0 — Х% )) — Х0— Рп

§п (2 ) =-^-,

Х0 ХЧп

Пара функции (}, ^) называется п -ой ренормализацией отображе-ния Кп . Положим А^ = Т. А 0 , ' > 1, п > 1 . Пусть для определенности п -нечетное число, тогда имеет место соотношение X ^ Хп ^ X .

дп+1 0 дп

Система отрезков <п = {А(;п+1), 0 < г < Чп; А^ ,0 < j < Чп+ 1} образует

разбиение окружности (см. [4]). При этом соседние два отрезки из <п пере-секаются одной лишь концевой точкой.

Введем относительные координаты 2., 0 < ' < чп+1, внутри отрезков А(ги) и

tj ,0 < у < Чп, внутри отрезков А(^по формулам: 2. = Х'—Х , X £ А(п),

Хг — Хг+Чп

t = Хдп+1+у — Х , X £ А( й+1)

3 V _ V 3

»Л- • , .л

у+Чп+1 у

Лемма 1. Имеют место следующие равенства:

Хг—Т. (Х0 + 2(Х0 —ХЧ„ )) Г , т

=--- —, 2 £[—1;0]

Хг — Хг+Чп

х,+а — Т/ (х0 + 2(х0 — Хд ))

tj = уп+1-^-^-^, 2 £[0;ап]

Хз+Чп+1 — Хз

Х—Х Хг —Т. (Т—х) Хг — Т (Х0 + 2(Х0 — Хд ))

_г_= г } } 7 = г } 0 0 ; Точно также,

Доказательство леммы 1. Лемма 1 доказывается прямым вычислением. Если X £ А(ги), тогда Т— 'х £А(п). Используя равенство (3) получаем:

Т—гХ = х0 + 2(х0 — Хд ) и 2 £ [—1;0]. Из этого

2г = 2г(2) = _ _ _

Хг Хг+дп Хг Х'+Чп Хг Х'+Чп

если X £ А(уг+1), тогда Т— X £ А(0п+1) и Т}3X = Х0 + 2(Х0 — Хд ) ;

2 £[0; ап].

Учитывая это получаем

Х3+Чп+1 - Х _ Ху+Чп+1 — Т} (Т}3 X) _ Ху+Чп+1 — Т} (Х0 + 2(Х0 — хь))

t, = t, (2) =

Х3+Чп+1 Хз Х3+Чп+1 Хз Х3+Чп+1 Хз

Лемма 1 доказана.

В настоящем параграфе, мы найдем соотношение между Zi и х, (I ■ и ?1), а затем покажем, что 2 и ^ являются почти дробно-линейными функциями от

Уп+1 Чп

20 и ?0 соответственно. Ниже мы всюду предполагаем, что определяющая функция /(X) , удовлетворяет условиям (с) — (С4) и число вращения р = р(Т/)

иррационально.

Введем следующие обозначения:

(п)

что

«г = Х.+чп, Гг = Хг, р = Т.Х Х еА(0 .

Рг е[«г ] 0 ^ . < Чn+1,

1 1 Гг

ГЧ V а-Г |/"(У)(У — «г)аУ + ,и V-^ |/"(У)(Г — У^У

Л = / («г)( Р — «г) «_/ «г)( Гг — Р ) Р_=

г 1 Г

1 + ги Ч,-7 I/"(У)(Гг — У^У

/ («г)( Гг — «г) «

/"(У) [ Чп+1—1 I

В =12/^ тп+1 = НЕ^

Г 1 + Л.г. Л

Чп+1—1

У г = —Вг — 1П --' ' , Гп+1 (20) = ЕУг'

1.1+а (г,—1) ^ 1=0

Теорема 1. Справедливо следующее равенство:

20 тп+1еХР(7п+1( 20))

2 =-V—„+-' - - " ---(7)

чп+1 1 + 20к+1ехр(гп+1( 20)) — 1) Доказательств. Теорема 1 доказывается прямым вычислением. Ясно, что

2 Г г — Р 2 Гг+1 — Р+1

г =-> 2г+1 =-,

Г г — « Гг+1 — «г+1

где

«г+1 = /(«г X

Рг

Р+1 = /(Р ) = /(«г ) + /'(«г )(Р «г ) + I/"(У)(Р — УШ

«г

Гг

Гг+1 = /(Гг ) = /(«г ) + /' («г )(Г, " «г ) + |/" (У)(Г " У)Ф-

«г

Подставляя в выражение для 2г+1, получаем:

ос

f '(«,■ )(г, - Л) + J f"(y)(yl - y)dy - J f "(у)(Л - y)dy

/1

f '(а,)(г, - а,-) + J f"(y)(y, - y)dy

а

г, Л

(Л - К) Jf "(y)(r,- - y)dy - (г,- - а,-) Jf "(у)(Л - y)dy

_а_5_

г,

f '(а)(г - а)(г - Л) + (г,- - Л) + Jf "(у)(г,- - y)dy

а

= z, (1 + Л, (z,-1)).

1 + A.z. 1- z

Y< -Л г,- а

1+

Из это вытекает что

1- z.^ 1- z. -(z. -1)A.z. 1- z

z,+1 z, (1 + A (z,-1)) z, 1 + A (z,-1) z

Используя это равенство получим:

1 - z 1 - 7 Г г»+1-1 1 Г q»+1-1 1 1 - 7 -- = ^. exp]-^5,l. expj-£ Л = 1 z°

*- exp(-B,) • exp(-^,).

1

(8)

..... z0 mn+1exP(Tn+1(. z0))

Решая уравнение (8) относительно z q получим доказательство теоремы 1

qn+1

Теорема 1 доказана.

а

а

z+1 =

Список литературы

1. Вул Е.Б., Ханин К.М. Гомеоморфизмы окружности с особенностями типа излома // Успехи математических наук, 1990. Т. 45. Вып. 3(273). С. 189-190.

2. Katznelson Y., Ornstem D. The differentiability of the conjugation of certain diffeomorphisms of the circle // Ergodic Theory Dynam.Systems, 1989. № 9 (4). P. 643-680.

3. Джалилов А.А., Каршибоев Х.К. Предельные теоремы для времени попаданий отображений окружности с одной точкой излома // Успехи математических наук. Москва, 2004. Т. 59. Вып. 1(355). С. 185-186.

4. Каршибоев Х.К. Поведение ренормализаций эргодических отображений окружности с изломом // Узб. матем. журнал. Ташкент, 2009. № 4. С. 82-95.