CC BY
42
УДК 519.2
Р. Т. Валеев, А. Ф. Терпугов
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ТОРГОВОЙ СЕССИИ НА ФОНДОВОЙ БИРЖЕ (К МЕТОДУ «ЯПОНСКИХ СВЕЧЕК»)
Находятся соотношения между ценой открытия, ценой закрытия, максимальной и минимальной ценами сделок на фондовой бирже за период торговой сессии при пуассоновском потоке сделок.
Развитие фондового и финансового рынка в России привело к необходимости использования математических методов технического анализа рынка для выяснения тенденций изменения цен на финансовые активы и валюту, прогнозирование этих цен. Математической основой этих методов является анализ временных рядов в сочетании с математическими моделями изменения цен на финансовые активы.
Среди технических средств анализа фондового рынка есть ряд эмпирических методов и приемов, еще не имевших своего теоретического обоснования. К числу таких методов можно отнести метод так называемых «японских свечек», который дает достаточно Хорошие результаты на практике, но теория которого совершенно неразработана [1, 2]. В этом методе для анализа поведения цен используются следующие четыре характеристики: цена открытия, цена закрытия, минимальная и максимальная цены за время одной сессии. По этим четырем величинам и строится так называемая «свечка», по которой и определяется характер рынка
Полная теория свечек еще ждет своего исследования. В данной работе делается попытка рассчитать характеристики такой свечки в случае рынка, находящегося в равновесии.
Модель изменения цен финансовых активов
При исследовании мы применим следующую модель изменения цены S на какую-то бумагу, основой которой является модель, изложенная в [3]. Пусть 0 -момент открытия сессии и Т - момент ее закрытия, так что мы рассматриваем сделки, совершенные на интервале [0,7]. Пусть th t2,tN- моменты этих сделок, a S0 - цена актива в момент начала сессии (цена открытия). Мы будем предполагать, что цена актива меняется от сделки к сделке так, что в момент t„ п-й сделки
5„=50exp(A1+A2+...+AJ, (1)
где h„ - независимые одинаково распределенные случайные величины с плотностью вероятностей p(h). При конкретизации полученных результатов мы будем считать h нормальной случайной величиной с математическим ожиданием А7{А}=ц и дисперсией D{A}=a2. Отличие этой модели от предложенной в [3] состоит в том, что в модели [3] считается, что цена на актив меняется в дискретные моменты времени, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга. Мы же считаем, что цена актива меняется от сделки к сделке, т.е. ее изменение происходит в момент акта купли-продажи актива, а не само по себе. В этом случае цена закрытия
SA,=S0exp(A,+A2+...+A/A (2)
где N - число сделок за сессию.
Вторым предположением является то, что моменты сделок считаются пуассоновским потоком с постоянной интенсивностью Х<>. Это предположение достаточно адекватно описывает реальность в спокойные периоды финансовой жизни. В силу этого предположения число сделок N является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона
80
где к = к0Т.
2*
p(N)=—e~x,
N\
(3)
Соотношение цен открытия и закрытия
В силу (2) для нахождения соотношения величин SN и So надо найти плотность вероятностей величины
Яаг=А,+А2+...+Ааг, (4)
так как
ln(SJS0)=HN. (5)
Пусть p(h) есть плотность вероятностей величин Аь а gh(со) есть характеристическая функция для p(h):
gh(m)=M\eM}=)p(hyahdh,
т.е. gi,(со) - преобразование Фурье от р(И). Тогда характеристическая функция величины HN при фиксированном N равна [4]:
«лДюМ&кИГ- (6)
Но число сделок N у нас есть случайная величина, распределенная по закону (3). Поэтому, усредняя (6) по N и обозначая через Я сумму h\+h2+...+hn при случайном числе слагаемых N, получим
Zh (ю)=|Ы®)Г ^ге~х =е~х+хМ, (7)
и=0 М
и кумулянтная функция величины Н есть
Ун (®)=lngw (co)=X[g* (ю)-1]. (8)
Найдем вероятностные характеристики величин Я. Имеем ц/'н (со) = XgJ,(co), так что [4]
М{Н} = \у'„ (0)=xJg;(0).
i I
Но по свойствам характеристической функции
jg;(o)=M{A} = p,
так что
М{Н} = кц. (9)
Далее, ц/Дсо) = Xg^co), так что [4]
D{H} = -y'k(0h-kg-h{0). Ho-gA'(0)=A/{A2)=pJ -Кг2, так что
D{H}=k( ц2 + ст2). (10)
Перейдем теперь от величины Я к величине т*т_Я~А/{Я} Я___________кя пп
JD{H} Щ
ц2+о 2 ) у1к(я2 +а2 )
т.е. мы центрируем Я и нормируем ее дисперсию на 1,
так что М-
Тогда по свойствам ку-
мулянтных функций
Ч>. (“)=-Н=т==л+Ч'*
со
Найдем асимптотику \j/. (со) при Я-*», т.е. в случае, и
когда число сделок за сессию достаточно велико. Для этого разложим gA(co) в ряд Тейлора gh (ю)=1+/гац -
- ^—( р2 +ст2 )+о(св3). Тогда V я (ю) = Я/юц-
2
Яга2,
р2 + а2)+Я0(ш3) и для V}/. (со) получаем
Яц
-нЗ. li-
ra
vp. (га)=-/-—----------.-г- --------
" yjx( pJ+CTJ ) yjx( |i2+CTJ )
Яш2 (pJ+aJ) ( со3 га2 n( га3 ^
О)2
Поэтому при Я—><» vp. (га) —>----, откуда следует,
н 2
что при Я -> <ю величина Н сходится по распределению к нормальной случайной величине N(0, 1).
Обозначая Нт величину Я, соответствующую последней сделке, можно считать, что при Хо7Ъ»>1 величина Я является приближенно нормальной с
М{я}=Яр,£>{я}=я(р2+ст2). (13)
Цена закрытия ST , определяется соотношением
1п5г=1п50+Я (14)
И имеет при ЯоИ»1 логарифмически нормальное распределение
P(ST/S0 )=
1
_ ____________CXD
ST л/2лЯ( ц2+а2 ) I 2Х( ц2+ст2 ) что и определяет соотношение между ценой открытия S0 и ценой закрытия ST. В частности,
( Яр 4
(InSj. -lnS0 -Яр )
2 \
(15)
Р(5г>5о)=Р{Я>0}=Ф
Л/я(ц2+ст2)>
(16)
где Ф( ) - функция Лапласа.
Распределение максимальной цены
Другим набором параметров, характеризирующим японскую свечу, являются максимальная и минимальная цены сделок за период торговой сессии, т.е. величины
SjW=max(Si, S2..SN), Sm=min(Si, S2,SN). (17)
При этом следует иметь в виду, что число сделок N является случайной величиной.
Для нахождения плотностей вероятностей величин SM и Sm достаточно найти плотность вероятностей величин ЯАг=тах(й,, й2, К), Яж=тт(А,, Л2, •••, hN). (18)
Пусть, как и выше, А, являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с плотностью вероятностей />а(А), функцией распределения Fh(h), математическим ожиданием А/{А}=ц и дисперсией Z>{A}=cr2. Для упрощения выкладок перейдем к величинам Х/=(А,-р)/а, так что M{x,}=0, £>{х,}=1, и будем искать плотность вероятностей величин
хлгчпах^!,х2, ...,xN),xm=mm(xi,x2, ...,xN). (19)
Очевидно, что
Р Л * )=Р* ( Р+ах ), F, ( х )=Fh (ц+ах ) (20)
и НьгХмО+ц, Hm=xmc+\i, так что, зная характеристики величин хм и х„, можно найти характеристики величин Нм и Н„, и далее SM и Sm.
Выведем сначала асимптотическую плотность вероятностей величины хм при Я=Яю7’->оо. Пусть число сделок N фиксировано. Тогда функция распределения FJjc) величины хм имеет вид [5] FM(x}=Fx(xf. Усредняя по N, получим
(^>=£^x(JC)JV^77«'X=exp(XFx (х)-Я), (21)
так что плотность вероятностей рЖх) величины хм есть Рм {x) = F’u (х)=Хрх (х)ехр(Я/гж (х)-Я). (22) Найдем точку хх, в которой плотность вероятностей рм(х) принимает свое максимальное значение. Логарифмируя (22), получим
я* (*)=1п/>а* (х)=1пЯ + 1п/>, (х)+ЯЯх (х)-Я. (23) Для нахождения хх приравняем к нулю п'м (х), то-
гда получим уравнение
(24)
Рх )
которое и определяет точку хх максимума рм(х).
Разложим Пм(х) в ряд Тейлора около точки хх и получим
(х)=пм (хх )~2D^x )* + •••> (25)
1
(*л )
где
Р’(хх ) Р,(хх )'
Возвращаясь к рм(х), получим, что при Я»1
( (х-хх)2'
=ехр
D{xx}
■ir.
(хх )
Рм (*)=
1
ртф{хх)
2 Я{*х}
(26)
(27)
т.е. минимальное значение хм распределено асимптотически нормально с математическим ожиданием хх и дисперсией £>{хх}. Отсюда следует, что при Я»1 величина hM также распределена асимптотически нормально с А/{йм}=|д+ахх и дисперсией ст2£>{хх}, a SM имеет логарифмически нормальное распределение.
Конкретизируем полученные формулы для случая, когда hj являются нормальными случайными величинами, как это принято в стандартной модели [3]. Тогда
2 X
Рх (*)=-р=ехр
/2тГ’Ч 2
и уравнение (24) для хх принимает вид
, М*)»Ф(х) (28)
( г2 \
ехр
Ч
или после логарифмирования
^-+1п(хх л/2л)=1пЯ.
(29)
(30)
Из вида графиков функций, стоящих в уравнении (29), очевидно, что оно имеет единственный корень и хх монотонно возрастает с ростом Я.
Уравнение(26) дает
81
"ЬЬйГ (31>
что и определяет асимптотическую дисперсию хи. Z){x>.} монотонно убывает с ростом X, т.е. с увеличением А. флуктуации хм становятся все меньше и меньше.
Совместное распределение максимальной и минимальной цен
Найдем теперь совместную плотность вероятностей величин хт и хм в асимптотическом случае А»1. Если число сделок N фиксировано, то согласно [5]
Р(хт,хи\N) = N{N-\)Pl{xM)[Fx{xM) -Fx(xm)f-\(n) Усредняя по N, получим
Р(хя , хи )=Хгр, (хт )рх (хм )х
хехр[X(F, (хи УР, (х„ )-1)]. (33)
Найдем точку хтд, хдл в которой р(хт, хм) принимает свое минимальное значение. Логарифмируя *(хт>хм)=]пр(хя,хи)=
= 21пА + )прх (хм )+1прх (хи )+
+ XFx(xM)-XFx(xm)-X (34)
и приравнивая нулю производные от п(х„, хм) по хт и хм, получим систему уравнений
^N + V(**a)=0, 1р±}-Хр(хя1) = 0. (35) Р\ХМХ ) P(XmlI )
Первое уравнение этой системы совпадает с уравнением (24), второе отличается от него лишь знаком перед вторым слагаемым. Разложим л(хт, хм) в ряд Тейлора около точки хтХ, хал- В выражении (34) нет
«перекрестных» членов, т.е. членов, содержащих и хя, и хм. Поэтому это разложение имеет вид
*(*..*«)=*(*.*
2 D{XtA)
(хм ~ХМХ )
2Wlf
(Хш~ХтХ )2 + -.
где D{xM)) и Z){x„x} имеют однотипные представления
Д{*х}»2
'р'(хх У . Р(хх).
Р'(хх ) Р(хх ) ’
(36)
в которые надо подставить либо хм, либо хтХ. Это выражение совпадает с (26).
Таким образом, асимптотически при А»1
. Г (*«—>*'
Р(Хт’ХМ ) =
у]2яД{*лл }
™{хяХ)
V 2я£»{хмХ}
/ (Хт~ХтХУ 4 2D{xa) j
exp -■
(37)
1
т.е. при А»1 хт и хм асимптотически нормальны и независимы. Заметим, что в случае нормального распределения величин х хтХ= - Хдл, что вполне естественно.
Возвращаясь к минимальной Sm и максимальной SM ценам за период сессии, легко получить, что они имеют логарифмически нормальное распределение, явный вид которого можно выписать.
Полученные в данной работе соотношения можно использовать для анализа тенденций фондового и финансового рынков.
ЛИТЕРАТУРА
1. Nison S. Japanese candlestick charting techniques. New York institute of finance New York, 1991. 315 p.
2. Nison S. Beyond Candlesticks. John Wiley, New York, 1994. 280 p.
3. Ширяев A.H. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты н модели. М.: Фазис, 1998. 489 с.
4. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика. Томск: Изд-воТом. ун-та, 1976. 292 с.
5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 447 с.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика и информатика» 15 декабря 1999 г.
82
