CC BY
34
Результаты численных расчетов
Исходные данные и результаты расчета чистого приведенного дохода приведены в таблице. Обозначения в таблице: ¡|, ¡2 - нижняя и верхняя границы ставки сравнения; п - срок инвестиционного процесса; - платежи, заданные интервалами, причем со знаком «-» - инвести-
ционные расходы; Wig, W2g - нижняя и верхняя границы чистого приведенного дохода, рассчитанного с помощью обобщенной интервальной арифметики. Вычисления проводились по формуле (2).
Результаты численных расчетов подтверждают возможность и перспективность использования методов интервальной математики в финансовом анализе.
Таблица1
Динамика чистого приведенного дохода при изменении границ ставки сравнения и платежей
Ставка в процентах Срок Платежи Чистый приведенный доход
»1 ¡2 п Ro R. R2 R3 R4 R$ W,g
48,64 49,36 5 -159,0 92,5 83,5 100,5 191 94,5 21,579 32,737
-155,0 96,5 85,5 102,5 194 95,5
48,68 49,32 5 -158,9 92,6 83,6 100,6 191,1 94,6 21,981 32,336
-155,1 96,4 85,4 102,4 193,9 95,4
48,72 49,28 5 -158,8 92,7 83,7 100,7 191,2 94,7 22,382 31,935
-155,2 96,3 85,3 102,3 193,8 95,3
48,76 49,24 5 -158,7 92,8 83,8 100,8 191,3 94,8 22,783 31,535
-155,3 96,2 85,2 102,2 193,7 95,2
48,8 49,2 5 -158,6 92,9 83,9 100,9 191,4 94,9 23,183 31,135
-155,4 96,1 85,1 102,1 193,6 95,1
48,84 49,16 5 -158,5 93 84 101 191,5 95 23,583 30,735
-155,5 96 85 102 193,5 95
48,88 49,12 5 -158,4 '93, Г ' 84,1' ' 101,1* 191*6' 23,983 30,336
-155,6 95,9 84,9 101,9 193,4 94,9
48,92 49,08 5 -158,3 93,2 84,2 101,2 191,7 95,2 24,382 29,937
-155,7 95,8 84,8 101,8 193,3 94,8
48,96 49,04 5 -158,2 93,3 84,3 101,3 191,8 95,3 24,780 29,538
-155,8 95,7 84,7 101,7 193,2 94,7
49 49 5 -158,1 93,4 84,4 101,4 191,9 95,4 25,179 29,140
-155,9 95,6 84,6 101,6 193,1 94,6
ЛИТЕРАТУРА
1. Четыркин ЕМ. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело ЛТД 1995.
2. Хансен Э.Р. Вычисление нулей функции при помощи обобщенной интервальной арифметики // Интервальные вычисления. 1993.
№3. С. 3-28.
3. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. |
4. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.
5. Дамбровский В.В. Интервальные методы анализа инвестиций // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной ма-
тематике (ИНПРИМ-98): Тезисы докладов. Новосибирск, 1998. Ч. III. С. 133-134.
6. Дамбровский В.В. Интервальные методы в управлении финансами // Международная конференция по проблемам управления: Те-
зисы докладов. М., 1999. Т 2. С. 213-214.
Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 22 февраля 2000 г.
УДК 519.2
Р. Т. Валеев, А. Ф. Терпугов
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕН САМУЭЛЬСОНА
ПО «ЯПОНСКИМ СВЕЧКАМ»
Находятся и исследуются оценки параметра тренда и волатильности процесса изменения цены финансового актива в модели изменения цен Самуэльсона по ценам открытия и закрытия, а также по максимальной и минимальной цене за период торговой сессии.
Введение
Технические методы анализа фондового и финансового рынков получили в настоящее время очень широкое распространение. Наряду с методами, имеющими теоретическое обоснование (например, метод скользящего среднего, метод осцилляторов), имеется целый ряд методов, для которых техническое обоснование отсутствует. К таким методам отно-
сится и популярный метод «японских свечек». Несмотря на то, что этому методу посвящены монографии [1, 2], авторам не удалось найти в научной литературе каких-либо теоретических обоснований этого метода.
В работе [3] авторами получены точные распределения вероятностей для некоторых величин, характеризующих эти «свечки». В данной работе на основании [3] строятся и исследуются оценки параметров модели изменения цен Саму-эльсона и подтверждаются результаты, содержащиеся в [3].
Описание модели
«японских свечек», в которых значения А^ и А, были
Пусть торговая сессия начинается в момент времени (и^, Аг0); И^, А,(2);..., , А<'°). Для сокращения I = О й заканчивается в момент времени Г = Г. Цену дальнейших выкладок обозначим Я * 2Ати - АТ,
финансового актива в момент времени t обозначим как 5,. Величинами, определяющими «японскую свечку», являются следующие: 50 - цена открытия; 5, - иена закрытия; = шах Я, - максимальная цена за пери-
Аз А,. Так как якобиан перехода ^ = 2, то
о s/sr
од сессии; S^ = min S, -минимальная цена за период os/sr
сессии. Для теоретического исследования перейдем от
плотность вероятностей величин Я и А имеет вид:
• (4)
Выпишем область, в которой она определена.
процесса 5, к процессу А, = 1п(5,/50). Тогда «япон- Заметим, что А меняется в пределах -оо<А<+оо. екая свеча» характеризуется величинами Аг, А^ и Что касается величины Я = 2А1)|1Х - Ат, то если
А™,,так как А0 =0.
А, < 0, то А^ £ 0 (так как было А0 = 0, а А^ не
В дальнейшем для процесса А, будет использоваться может быть меньше А0) и, следовательно, Я ^ -А,. модель изменения цен Самуэльсона [4], когда считается, £сли же йх !> О, тб Ъ^ > А, к Я > Ат. ЭТй два ус-что процесс А, является диффузионным случайным ловия можно объединить в одно и записать Я>
£|АТ|. Таким образом, р(Н, А) определена в области -оо<А<+<ю,Я£|А|.
Имеется выборка (Я,,А,), / = 1 ,п. Тогда совме-- коэффициент волатильности; м>, - стандартный вине- стная плотность вероятностей этих величин есть
процессом, который записывается в виде dh, -dt + adw,, где ц0 - коэффициент сноса; а
а2 ^
ровский случайный процесс. В этих предположениях в [3] получены точные выражения для совместных плотностей вероятностей пар (А^, Ат) и (А^, Ат). Они имеют вид
ехр
.2
--- + h,ii--т
2т ' 2
я,2
, и логарифм
p(hпк Л) = J-A2h™ - )Х
этого выражения равен
« ( ч 1/2
¿=1
1 ят
In Я, -—1пт--^- +А,ц-—т '2 2т
+ const. (5)
хехр
2 Л
(2^n»x ~ К )2 . И -——-— + АТц--т
2т ' 2
0)
хехр
где параметры ц и т Ц =
. К )= \ ~~Т (Anu» ~ 2At )х V пт
i fan, -2AJ
2т
"•"Г,
+ Ахц —т
Г; т = о Г.
Найдем оценки ц и т величины ц и т методом максимального правдоподобия. Из условий
д£ " 1 " —- = 0: У А,-иц т = 0 или цт = -УА,; (6) д[1 п ы
Ы Л Зи 1 А „2 Ц л
если — = 0,то--+ —гх/ Я, -п — = 0.
дх 2т 2т 2
Учитывая предыдущее соотношение, имеем
(2)
т т2 м т п\.ы J
= 0,
откуда после упрощений получаем
т = -
1_ 3 и
Сами плотности вероятностей определены в следующих областях: -оо<А, ^ А^ ,А^
—00 < А^ ¿А,, А^ 5 0. (3) Соотношение (6) дает теперь
Оценка параметров ц и х по методу максимального правдоподобия
Рассмотрим оценку параметров ц и т по величинам А, и А^. Для пары А< и А^ результаты аналогичны. Оценки построены в предположении, что величины ц и г не меняются от сессии к сессии. Пусть мы имеем п
п 1 Г и
32>,
ц =•
IX-1
м л
Г» V
IM
\'=| у
(7)
(8)
и оценки т и ц параметров х и ц по методу максимального правдоподобия имеют вид
т = ■
3 п
Xя? --
Ы П
з±л>
( п
Ел,
u" ) ,
,=1 п\ы 1
г '
(9)
(10)
Точное распределение
Прежде чем исследовать эти оценки, выведем точную формулу для плотности вероятностей некоторых величин, которые будут указаны ниже.
Из (9) и (Ю)видно, что оценки т и ц зависят от
и я 1 Г " >
двух комбинаций: £ А, = А и £ Я,2—I £ А( = т^.
/.I 1=1 >Ч/=1 >
Выведем точную формулу для совместной плотности вероятностей этих величин.
Как уже указывалось выше, для отдельной свеч-
ки
Найдем g(s,со) = } (11)
представляющие собой преобразование Фурье по переменной А и преобразование Лапласа по комбинации ti2 qt Имеем,
g(s,<o)= lemk'dh le""' JL^e'^'^dH
■ггегралы g(¿,co) =
N
Вычисляя эти интегралы, получим
1
хехр
(l + 2xsy
i»--ш2 T (12)
1 + 2ts 2(1 + 2ts) 1 + 2xs J
Обозначим P = ¿ #2, A = £ A, . Тогда по свой-
í=I /=i
ствам преобразований Лапласа и Фурье
ЦТЛ ,
xexpl /со ——--со
m
(l + 2т s)j
2 г N ЦТ 5
1 + 2tí 2(l + 2xs) 1 + 2тS; Обратное преобразование Фурье по переменной
ô(s,h)=
а дает
хехр
(i + 2tí) 2 -Ля/я
(А-цт/7)2 А2/ 2хп п
p{P,h)=
1
V2
гехр
Г (А-ЦТ,)2
пт
Р-
п
Зи-З
А2 ^ »
ехр
p-í
_п_
2т
(14)
п \( " х А2
Переходя к величине л = Х#,2— X А, = Р--,
/=1 /iv,=i ) п
получим окончательно совместную плотность вероятностей величин А и г) :
/ (А-Н1)
2т п
рМ=~т=Ы Р
v2 пит
з»-з , 2
ехр
-¿Ц.5,
откуда, в частности, видно, что т| и А есть независимые случайные величины, причем А распределена нормально с математическим ожиданием лцт и дисперсией от.
Корректировка оценок и вычисление их характеристик
Выражение для р{А, т]) позволяет найти характеристики оценок и скорректировать их. Начнем с т, которая, в новых обозначениях, будет иметь вид т = г\/3п.
Вычисляя математическое ожидание, получим'
з»-з
"й-5 i
1 " TI 2
•Wf-r)
ехр
З/i-l 3 п
■t,
(16)
откуда видно, что полученнае оценка является смещенной. Чтобы оценка т параметра т была несмещенной, ее следует взять в виде
ч 2 "
Т = -
1
Зи-1 Зи-1
í"2-if¿A,1 | )
(17)
ijf'X (Зи + 1)(Зи-1) г Зи + 1 2 Так как Л/{т} = -— ,,—-х = -—7Т ,то
(13)
(з«-1)г
D{î} =
Зи-1
2т2 3 и-Г
(18)
Найдем обратное преобразование Лапласа и получим плотность вероятностей величин Р и А:
Перейдем к оценке ц параметра ц, которая в новых переменных имеет вид ц = ЗА /т|. Для нее имеем
мЩ- ЗМ {и}М= —ц, (19)
откуда видно, что оценка также смещена. Скорректированная оценка ц параметра ц
« .п-1 А „ я-1 ц = 3--= 3
2хп
" Л я « , i/« У
5я'"М
(20)
является уже несмещенной оценкой. Далее
Зл-З 2 Зл-З 1
-Ц +-7-
Зл-5 л(3л-5;т
т| = (дг л/б« + Зи)с,
(26) (27)
так что
_)f.i__2_ 2 Зи-3 1 Зи - 5 ^ + и(3л - 5) т
(21)
Наконец, так как
Для этого перехода
(28)
дх дуЗ/п
Рассмотрим сначала сомножитель, зависящий только от т| в выражении для р{А, т]). После умножения на дг| /дх
то
COV
(М)~
Зл-1
ЦТ.
(22)
/, = Тт/б» -
1я-3 г
~2х
(29)
Отсюда видно, что оценки ц и т коррелированны с коэффициентом корреляции
г(М)«~ 2Ц
corn
/2|23^ 2 + зИМ1
Зл-5 л(3л - 5) т
,(23)
который при п-¥ оо сходится к предельному значению согг(й, т) = —, ^ (24)
I -г
Логарифмируя и подставляя вместо Г| его выражение через х, получим
1п/2 =Ьт + ^-1п(би)+^^-^1п(хГ'\/бл+Злт)-
Л +3«г
2т
2ц т
Сходимость оценок почти наверное
Заметим, что А, есть независимые одинаково распределенные случайные величины, так же как и Я,. Поэтому, по теореме Хинчина, при и—»оо почти наверное
2> } = - £ Я,2 Л/ (я2} = ц V + Зт.
Далее имеем
^ 1п(гг ^ + Зт) = ^ 1п(3яг)+ г
Зл-З. +-In
1 +
ку[бп\ Зл-З
Зл
Зи-З
X 6л ~3л У +
ln(3m)+ \
И ml
П
Представляя оценку т =
Зл-1
П /=1 ) _ ^ 2 J 2
Поэтому
1п/2Л1п(бИ)+^1п(3.)-^1т(2)-
мы видим, что при л оо имеет место сходимость почти наверное т—!2;-»т. Аналогично, представляя
. Зл-З. Зи-1.
In т +-In х--In т
2 2
Зл-З х2 6л x-Jfai
£= 3
1 "
л 1
я-*__
л 1 JL (1 "
л ^Л ,=1
3и"3 ЛГ -х>/6я-
2-Зл 2 2 9л2 2
Слагаемые, содержащие т, сокращаются. Группа слагаемых, содержащая х, при и оо стремится к - хг/2. Наконец, используя асимптотическое вы-
ражение для
, можно показать, что пер-
видим, что при л чти наверное ц —'■
оо имеет место сходимость по-
Асимптотическая нормальность оценок
Докажем, что построенные нами оценки являются асимптотическими нормальными. Имея в виду их несмещенность и выражения для дисперсий, перейдем к их величинам
х =
fjL-xl/^I__D__IE
13л Л 2т2 xVi^ V 2 ' у = |3--ц U/л,
I Л J
V. 2
вая группа слагаемых, зависящая только от л, при л -> оо стремится к -1пл/2л . Поэтому при Л оо
1п/2 —-1п Ля, /2 ->-р^е"*2'2. (30) 2 >/2я
Рассмотрим теперь предельный переход в том
сомножителе р(И,у\), который зависит лишь от А.
Умноженный на дИ/ду он имеет вид
. Хл/бл+Злт /, =--х
(25)
3VW2
ятл
хехр
так что
1
2лт
-^г + Ц |(д:л/бй + Зл)г - лцт
W" ;
2 л
(31) 129
(
v
„ ,. х4бп + 3т т Но lim
1
_-_ и lim
Unyjlnm -Jin 2т
W"
p{z<Ct(f.a)}~±, />{z>C2(/,a)} = |. (36)
Сами значения С,(/, а) и С2(/, а) могут быть най-
х[*>/бй + 3и)т-ицт]2 = -[/+-луц7бй + -ц2х2) дены, например, из таблиц. Тогда с вероятностью ^ 2^3 3 (1-а) верно неравенство С,(/,а)< г< С2(/,а). Так
т = Г| /(3п -1) и г - — = (Зи -1) -, то с вероятно-
так что lim /
3
ц'х' + —хуцл/б
(32)
Объединяя все, получаем, что для плотности вероятностей р(х, у) величин (х,^) в пределе и-»«>
lim р(х,у) = -^-х я-ю> 2я
как
стью (1-2а) С, (/, а) £ (3л -1)- ^ С2 (/, а), откуда
т
получается доверительный интервал для параметра т:
(37)
« Зл-1 ^ . Зл-1
Т-7--7-г.
С2(/, а) С, (/, а)
хехр
' l'
-ц2т + 1 3
х2 + jXynV6t + ^*T
При больших т| можно воспользоваться норма-(33) льной аппроксимацией; тогда доверительный интервал для параметра -с можно найти следующим об-
чго говорит об асимптотической нормальности величин разом: определить ga как решение уравнения х, у и об асимптотической нормальности оценок т и ц.
Отметим еще, что для ковариационной матрицы Я величин х и у при л -» да имеем
4= ¡e~^dx=*.
I 2
(38)
2 2 у[б
—ц Т + 1 -ЦТ
3 3
Я
-ЦТ
,R =
' -4
¡2 2 2 1
Тогда с вероятностью ((1-а)
т-т
что полностью соответствует ковариации и дисперсиям оценок т и у.
Доверительные интервалы для неизвестных параметров
получаем доверительный интервал для т: т . . х
1 + S,
'][зп
откуда
(39)
При нахождении доверительного интервала для параметра ц можно воспользоваться нормальной Рассмотрим вопрос о доверительных границах для не- аппроксимацией. Так как при и »1
1
известных параметров. Проще всего это сделать для параметра т. Величина г=тут имеет плотность вероятностей
Зж-1 ,
2 2 П
3 т
(40)
2 J
(35)
и имеет место сходимость оценок почти наверное, то доверительный интервал для параметра ц имеет вид
т.е. г имеет % распределение с числом степеней свободы / = Зл-1.
Пусть а есть доверительный уровень. Найдем шенно аналогичны полученным выше. С,(/,а) и С2(/, а) из условия
1) .о
Все результаты для оценок по At и hmn совер-
ЛИТЕРАТУРА
1. S. Nison. Japanese candlestick charting techniques // New York: Institute of Finance, 1991. 315 p.
2. S. Nison. Beyond candlesticks // New York: John Wiley, 1994.280 p.
3. Валеев P. Т., Терпугов А.Ф. I/ Изв. вузов. Физика. 2000. № 4.
4. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том I. Факты и модели. М.: Фазис, 1998.489 с.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 1 марта 2000 г.
