CC BY
15
Обозначая
am
\ + ат да +1
через 2, получим
F(z) = ——-(1 - z") + 2z'
Ш+l
m
Условие ^'(г) = 0 дает корень г = 0,5, откуда следует, что экстремум (в данном случае - минимум) функции Р(а) достигается при а = 1/да; это
минимальное значение /г(1/т) равно
т га) 2 т^ 2я/
2,0 1,8-
1,2
1,0
\да=1
т=а
!т=<х а
0О по наблюдениям над началами периодов занятости. Пусть мы имеем выборку т!,,^,...,^ интервалов времени между началами периодов занятости. Тогда мы можем построить С, и С2 величин С, и С2 по стандартным формулам:
(24)
N м N /=1
Оценку а параметра а найдем из условия
(Са/С,2) = /-(а). (25)
Решение этого уравнения неоднозначно. Как видно из предыдущего частного случая, в области
m+1 1
да
да2~ С,2
да + 1
да
это уравнение имеет два корня, и какой корень соответствует реальности, надо решать из каких-то дополнительных соображений. В области W + ^ < <2 это
да
О
уравнение имеет один корень, а в областях
да + 1 1
C,J
3
Рис. 1
Графики функции F(a) для от =1,4 приведены на рис. 1. Заметим еще, что при т-+ оо, что соответствует детерминированному потоку заявок,
и —\ > 2 является «запрещенным», в да т2я С,
них уравнение (25) не имеет решения.
Зная оценку а параметра а, можно, исполь-
* А
зуя соотношение (15), найти и оценки X и 80 исходных параметров X и 60 :
lim F(a) = 1 + е ".
/я—>00
График F (а) для да = » также приведен на рис. 1. Оценки параметров Я, и во
Полученные выше результаты дают возможность построить оценки X и 0О параметров X и
ЛИТЕРАТУРА
х =
1 "à * Q _ _
~ - , ». » "О — *
С,/0(а) X
Можно получить и явные выражения для дис-
А А
персий оценок X и б0 и их ковариации, но получающиеся формулы очень громоздки и здесь не приводятся.
1. E.V. Glukhova, A.F. Terpougov. Estimation of the intensity of Poisson point processes with presence of a «dead time» // Information theory,
statistical decision functions, random processes. Praga, 1994. P. 80-81.
2. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Поступила в научную редакцию 1 марта 2000 г.
УДК 519.2
Ф.Ф. Идрисов, Т.А. Сазонова
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СТАТИСТИК ОТ МОМЕНТОВ НАСТУПЛЕНИЯ СОБЫТИЙ РЕКУРРЕНТНОГО ПОТОКА
Доказывается сходимость почти наверное и асимгпшическая нормальность некоторых статистах от моментов наступления собьпий рекуррентного потока, наблюдаемого на фиксированном отрезке времен^ итенсивнсхль которого неофашненноувели^
Постановка задачи
системах, при анализе систем массового обслуживания и т.д.
Одной из проблем, возникающих при экспериментальном изучении этих потоков, является оценка ских систем - при изучении потоков частиц, пото- ^ параметров. обычно наблюдение за таким потоков сигналов в сетях связи и радиолокационных
С рекуррентными потоками приходится сталкиваться при изучении многих физических и техниче-
ком производится на некотором интервале времени [О,Г], и результаты измерений - это моменты наступления событий потока ,/2,..., /д,. При построении оценок эти данные превращаются в статистики вида
5 = 2] /(',). где /(•) - некоторая функция.
>»1
При исследовании получающихся оценок неизбежно встаёт вопрос об их асимптотических свойствах - сходимости по распределению, сходимости почти наверное и т.д. Он напрямую зависит от соответствующих свойств статистик указанного выше типа. Однако надо отметить, что применение известных теорем теории вероятностей здесь не проходит по следующим причинам:
1) так как число событий И, наступивших на интервале [О,Г], случайно, то и число слагаемых в исследуемых статистиках также случайно;
2) Если зафиксировать N, то величины становятся зависимыми.
ВсС это приводит к необходимости отдельного исследования асимптотических свойств указанных выше статистик.
Описание рекуррентного потока и техники вычисления средних
Пусть начало отсчета времени приходится на момент /0 и ¿2. ■••. 'дг - моменты измерений.
Пусть'"(,-(, Г=ХК '-' йн+е|Ьвйлк>1' времени ' между |-м и (/' -1) -м измерениями. Поток моментов измерений {/,} называется рекуррентным потоком, если величины т,, I = 2, N являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами с плотностью вероятностей р{т), так что
1=2
Особую роль здесь играет величина т, = /, — так как в ней от /) отнимается не момент предыдущего измерения, а момент начала отсчета времени <Ь> поэтому плотность вероятностей р,(т,) величины Т( отлична от плотностей вероятностей других Т!. Пусть т = А/{т} =
оо
= |тр(т)А и X = 1/т - интенсивность рекуррентного о
потока моментов измерений. Тогда по общей теории [1,
(О = Е/>'(*)* =:
2] рХт) = Х
т
\-\p{u)du
. Покажем дня часто встре-
чающихся статистик, как вычисляются математические ожидания при рекуррентном потоке моментов намерений.
В дальнейшем большую роль будет играть функция п(т), определяемая следующим образом: пусть р(к) (т) есть ¿-кратная свертка функций р(т), т.е. р(4)(т) = = р(х)* р(т)*...* р(т) (к раз). Определим я(т) так:
(1)
Опишем путь аналитического нахождения я(т) по известной функцииОбозначим через p'(s) преобразование Лапласа от функции р(т): p'(s)~
ОО
= je~"p(x)ch. Тогда, по своим свойствам [3], преобра-о
зование Лапласа от функции pik)(т) есть (p'(sif • Значит, преобразование Лапласа я* (j) от функции я(т):
e_£lM_. (2)
Пользуясь свойствами и таблицами обратного преобразования Лапласа [3, 4], можно найти и л(т) в явном виде. Отметим еще, чтор' (о) = 1 и р' (о)= -т,
• / \ j
и тогда [31: lim л(т) = lim sn* (s) = lim . . = - = X,
,->«. v ' 5-0 v ' »-oi-p'^) T
где неопределенность раскрыта по правилу Лопигапя. Вычислим еще функцию я,(т) = £ pi (т)* р'*4'(т)
*=1
Учитывая свойства преобразования Лапласа и виц функции р\(х), получаем, что преобразование Лапласа
p'(s) от функции р, (т) есть р\ (s) = К - - ^ ^
s s
Таким образом, преобразование Лапласа тг|(.г) от функ-
. . . ... . . . . . .vf-M>v V ции я,(т) есть = —i— '*2,Lp WJ = —,
s *=1 s
откуда следует, что л,(т) = X.
Перейдем теперь к вычислению математических ожиданий от наиболее часто встречающихся статистик. Начнем
со статистики S, = X/(f,) и вычислим ее математиче-
i=i
ское ожидание, считая, что юмерения производятся на интервале времени [0,7], так что (0=0 и все t, е [0, Г].
Чтобы избавиться от необходимости учитывать только те значения th которые принадлежат отрезку [0, 7],
введем функцию в(х) = |q е*сши х < 0 и ПР^0"13810*
ОО
статистику S/ в виде 5, = где функ-
цияб() автоматически оставит в выражении для 5, только те слагаемые, для которых tk е [0, Г]. Тогда
Аф,} = £ JAO^-Oa^R- (3>
*=i о
Обозначим переменную tk через t без индекса: Ms,} = ]f(t)Q(T-t)tpk(t)di =
4 о
= f/tof =\f(t)nx{t)dt = x\f{i)dt.
о ' о о
Итак, А/|е /(',)} = >J f(u)du, (4)
откуда видно, что это математическое ожидание совпадает с А/^,} для стационарного пуассоновского
потока моментов измерений [7].
Рассмотрим математическое ожидание статистик
вида
(5)
Для этого вычислим сначала математическое ожи-
ЛМ N / ч
дание статистики вида = Е I /(/,,/.). Чтобы избавиться от пределов суммирования до ^ представим в виде =
Заметим,что ^ =т, + т2 + ...+т(, ^ = + т,+1 + т,+2 + +...+т;. Обозначим комбинацию т(+1+т/+2+...+Ту через А/,Тогда, в силу независимости значений т,, величина Д/у н не зависит от //.
Обозначая у'-/' через к, представим 52 в виде
Я +ДС.4)Э(7'-/,ХГ-Г, -М.*) И Т9-
/«I
гда, после усреднения, получим
40 00 во 00
ж6(7--г, -д/м]л, ■ .
В силу сказанного выше
так что
= Ц/(и, и + м>)д(т - и)е(Г - и - и/)х о о
Вспоминая выражения для я,() и я(), получим
«О 00
- и)э(г -и- \?)Хп(м>)с1и4нг =
о о
Т Т-ш
т т
= X |/(и, и + =Х |</и |/(и, у)я(у - и)сЬ/.
0 0 о «
Отсюда для статистики
¿/с,.',)*! £/('-.',).
/*/ >=;+1 7=1
Г Г
и)]я(у - и)(/у
о *
или, после некоторых преобразований, т т
= Х\ <1и\ /(и, у)я(|и - (6)
о о
Так как 52 = 52 + ^ /(г,, ), то окончательно »=1
» ) о о
+ Х|/(и,и>Л/. о
(7)
Формула (7) позволяет вычислить дисперсию статистики 5, = £/(',)• В этом случае
т тт
и -
О 00
так что £»{5,} = А/(у12)-Л/{51}2 =
=ь Я/(«)/М- М» - у1)- Ф«*+А?2 (и Vй-
0 0 о
Аналогичным образом можно получать математические ожидания и более сложных статистик, надо лишь разбивать область изменения всех аргументов на упорядоченные подобласти. Например,
= Х|/(м, и,и)с!и +
[(ж1>=1*=1 J О
т т
и - у|)/(и, И, у)+ /(и, V, «)+
О О
4- /(V, и, и) |¿ЫЫ +
ттт
+ X111/(«, V, н») • я з (и, V, м/)с1и(1ч<Ьл>,
ООО
где я3 (и,\,м>) проще всего определить так. Пусть «(,) = пип(м, V, м>), и(3) = тах(и, V, м>), и^ - второе по
рангу значение переменных и, V, и». Другими словами, значения переменных интегрирования ранжированы по возрастанию, так что м^ < и^ < и^, как это делается в порядковых статистиках. Тогда яз (и, V, н-) = я3 (и(3) - И(2) )• я(«(2) - М(,)) Можно расписать это подробно, но тогда будет 8 различных областей и запись станет очень громоздкой.
Асимптотическое поведение статистик
Рассмотрим теперь асимптотическое поведение 1 ^
статистик типа — £ /(/,) при Х-> оо. Но что пони-ХТ
мать под термином «асимптотическое поведение»? Как правило, под этим понимают свойства статистик, когда объбм выборки неограниченно возрастает. В нашем случае, для рекуррентного потока моментов измерений, объём выборки N - случайная величина с М{Щ-ХТ, и тогда асимптотическое поведение получается при ХТ—> ->+оо. Но это может быть достигнуто двумя путями: либо 7—Н-оо, либо X—Н-оо. Асимптотика при 74» со сложна и неудобна для изучения, так как при этом расширяется область задания функции /(О, О <£<Г и приходится накладывал» какие-то достаточно сильные ограничения на поведение функции /(/) при г—ко. Поэтому в данной работе будем фиксировать Т и изучать асимптотическое поведение статистик при X—> +оо.
Но как представить себе эту асимптотику? Возникающую ситуацию можно представить себе по аналогии со схемой серий в центральной предельной проблеме теории вероятности [8,9].
Например, мы имеем последовательность значений Х,,Х2,Х3,... такую, что Xi<X2<X3<.....
Х„ —^—>+оо. Тогда можно представить себе, что
на интервале [0,7] производятся серии измерений, причем в первой серии интенсивность потока измерений есть X,, во второй - Х2, в третьей - А., и так далее, и в л-й серии, где интенсивность потока измерений равна Хя, значение статистики S равно
1 N" it \
S„ = -— /(', Ji где N„ - объём выборки в л-й
Х„Т ы 1
серии и {tf")} - моменты измерений в л-й серии. Под термином «асимптотическое поведение» будут пониматься асимптотические свойства статистик Sn
при л—>оо.
Для такого рассмотрения необходимо иметь асимптотическое поведение плотности вероятностей р(т) при изменении X. Мы рассмотрим ситуацию, когда р(т) может быть записана в виде р(т) = X • р0(кх), где р0{т) обладает следующими свойствами:
а) р0(т) > 0 при т>0 и р0(т) еО при т<0;
б) J Р0{т)А-1;в) ]тр0(т)Л = 1....
О о
В этом случае Л/{т} = 1/Х и при увеличении X р(х) как бы «сжимается», не меняя своей формы.
оо
Введем обозначение mk = J тkp0U)ài.
о
Особую роль в дальнейшем будет играть величина тъ которую мы представим в виде т^ = 1 + с2. Величина ê имеет смысл дисперсии случайной величины с плотностью вероятностей р0(т). Заметим, что для пуас-соновского потока с =1.
Пусть есть преобразование Лапласа от функ-00
ции р0(т), т.е. p'0(s)= |е"лр0(т)л. Тогда p'(s) -о
преобразование Лапласа от р(т) - имеет вид p'{s)= pl(s/k). Используя связь начальных моментов тк с производными от [3,4], можно записать
• / \ . mi г и, , т, 4
о0Ы = 1-$ + —--—5 +—— J Т... .
2! 3! 4!
Тогда для я* (î) :
"'М-т^гг
1 -р (s) j S+mi S! Mj J3 ^ от4 S*
где
от, m, 1
I тг 2
от,
ч - / f
ТПj от2 ~6 4
2\
m2, (9)
' 2 6 2
от, от4 1 (. тЛ 1
а2 =--+ + - 1--- \Щ —
б 24 2
поэтому для п(и) получается разложение
я(и) = X + \(г - 1)5(И) + ^б'(и) + .(10)
Однако при этом следует иметь в виду, что здесь 8(и) и ее производные - это немного «не те» функции, которые обычно употребляются, когда речь идет об обобщенных функциях[5, б]. Так как в операционном исчислении все функции определены лишь для положительных значений аргумента, то и появившаяся в (10) 8-функция и ее производные «работают» по правилу
]/(*>/« = До*]/(и)5<>Ч«уы = (-1)к/(кЩ
о о
Кроме того, в формулах для математических ожиданий функция я() имеет аргумент | и- V , что приводит к некоторым особенностям. Рассмотрим их.
оо
Запишем | /(у)б(| и - V |)</у. Представим это так:
s от2 i от3 s
3 ^L il
4! X4
Разлагая это выражение в ряд Тейлора по степеням i/X, получим (разложение проведено с помощью MathCAD v. 6.0 PLUS):
' J/(VMM " = f/(v J5(m - v)ûV+J/(v)8(v - и Jrfv.
-œ -eo ■
После замены переменных u-v = x в первом интеграле и v-u = x во втором, получим
] /(v)5(|и-v|)î/v = //(«-*)5(х)Л +
-оо О
+ ]f{u + xp{x)dx = 2f{u). о
Аналогично
]/(v)5'(« - v|)rfv = ]/(и - +
-оо О
+ ]/(" + х£'{х}Ь = [/"(" -*)-/'(« + *)],„, - 0.
о
]/(у)8"(И-У|)^ =
Перейдем теперь к рассмотрению асимптотик от 1 N
статистик вида 5, = — /(/, ). Имеем ХГ /=1
M{S,} = ± X |/(«V" = ~ ) f(u)du = /,,
А/ 0 о
м 1=Т^лГ - vl +
\ХТ) о о
Но, согласно написанному выше,
\\\f{u)f{v)4u-v\friucN = У}[ J/(«>/«
0 0 U
+ kUc1 - I)JJ/M/(V)6|« - +
- a, J|/(")/(v)5'(¡u - v|}iudv +
00 TT
00
Принимая во внимание (6) и (7), получаем
(хт)2
Jx XTJ 2 .
ту
С точностью до членов порядка l/(X7")3
di)
откуда следует, что при оо статистика 5/ сходится в среднеквадратичном к величине /]. Аналогично можно получить, что
"М- /¡4+3/>2+3(с2 - +
+ Чсг-\?/г/х + \2{сг-\)Ш,
поэтому
М
[(■w,r)=
Зс2
м
W)
(12)
Дня доказательства сходимости почт наверное воспользуемся теоремой из [10], гласящей, что га сходимости
ряда £ А/||£п - с некоторым цХ) следует сходимость £,„ к£ почта наемное при п-ко для произвольных случайных величин • Так как - /, )4} убывает
1 ^ 1 как —, а рад У,-т является сходящимся, то можно
утверждать, что при А,-* да 5, /, почта наверное, по крайней мере, для последовательности Х„ = пкй.
Асимптотическая нормальность статистик
Покажем теперь асимптотическую нормальность статистики л/ХТ (5, -/,). Для этого рассмотрим статистику
£ /(0-}/("УЛ (13)
только в качестве моментов времени t возьмем не произвольные моменты времени, а лишь моменты наступления событий потока.
Пусть g{(ü,t) = A/fe*"5'} и / соответствует момешу наступления события. Пусть следующее событие наступило в момент времени н-т. Плотность вероятностей величины т есть /?(т) = Хр0(Хх), и соотношение между функциями S, и имеет вид
S, = Sl+X +j=f(t + x)~ Jxffr. (14)
Для характеристической функции g((0,t) получается соотношение
оа
g(co, /) = ¡Xp0 (Xz)g(m, t + т)х
xexp ко —= f(t + x)-JXf{j)i А.
После замены Xt=z это соотношение примет вид =]p0(z) ■ ¿VJ +
При X -» +ао имеют место следующие разложения в ряд Тейлора:
g^ij^M+^.iu..,
Экспонента, стоящая под знаком интеграла в (15):
Подставляя все эти разложения в (15), получим
1 00
g(CD, 0 = g(<D, t) + /Cú/(Og(0), 0 -¡= J(1 - Z)p0 {z)dz +
\X o
'dgM)ZPo(Z)ct-
(15)
1
+— X
dt
- *(«, Оу /2 (о]о+о^).
Но ]гр0{2)ск = 1, \\-гУрй{г)<к = сг.
О О
Сокращая ¿(ш,/), умножая оставшееся выражение на X и делая предельный переход Х-><х>, получим для
dg((ú,t)
dt = Об-
g(co,/) уравнение щее решение этого уравнения имеет вид
Очевидно, что 5т«0, и поэтому ^со,7)э1. Отсюда находится константа С:
2 2 Г ЮС
( Jc!r
С =---— J/2 (u)du и окончательно In g(w, t)- В частности, g(co,0) = exp--j/2 (u)du
2 о l 2 о
2 2 T
О С
f <öVr
т.е. статистика S0 асимптотически нормальная.
- I у
ЛИТЕРАТУРА
1 .Гнеденко Б.В., Коваленко И.А. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966.431 С.
2. Кокс Док. Р., Слот В. Теория восстановления. М.: Сов. радио, 1967.299 с.
3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 196S. 716 с.
4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974.
5. Колмогоров А Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
6. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.
7. Марголис Н.Ю. Оценка интенсивности флуктуирующего пуассоновского потока методом полиномиальной аппроксимации Ч Управляемые системы массового обслуживания. Томск: Изд-во Том. ун-та,1984. Вып. 3. С. 73-91.
8. ЛоэвМ. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962. 719 с.
9. Хеннекен П.А., ТортраА. Теория вероятностей и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1974.472 с.
10. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 447 с.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики
Томского государственного университете, поступила в научную редакцию 1 марта 2000 г.
УДК 519.872: 681.03
Д.Ю. Кузнецов, A.A. Назаров
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ СЕТЕЙ СВЯЗИ С АДАПТИВНЫМИ ПРОТОКОЛАМИ СЛУЧАЙНОГО МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА СТАНЦИЙ
Рассматривается спутниковая сеть связи с большим числом абонентских станций (АС), распределенных на значительной территории. Так как спутниковый канал имеет ограниченную пропускную способность и используется одновременно всеми АС, такую сеть можно смоделировать, используя протоколы случайного множественного доступа (СМД). Из [1,2] известно, что сети связи с протоколом СМД функционируют достаточно нестабильно. В сетах с конечным числом АС в них может возникать явление бисгабильности [2], а в сетях с бесконечным числом АС в них отсутствует стационарный режим, то есть пропускная способность таких сетей равна нулю, а средняя задержка пакета растет неограниченно по мере продолжительности работы системы. Проблему стабилизации таких систем можно решить использованием адаптивных протоколов доступа, в которых адаптация реализуется автоматом с целесообразным поведением [3], названным зд есь адаптером.
Попробуем описать функционирование рассматриваемой здесь сети следующим образом: спутник-ретранслятор может находиться в одном из трех состояний: либо он ждет прихода сообщения от АС, либо занят его передачей, либо, если он получил сообщение от одной АС в момент обслуживания сообщения от другой, он находится в режиме отове-щения о конфликте. Те АС, сообщения которых не были успешно переданы, будут пытаться передавать свои сосбще-ния снова, пока не получат уведомление об их успешной передаче.
Математическую модель такой сети можно построить в виде однолинейной системы массового обслужишния (СМО), на вход которой поступает простейший с параметром А. поток требований, и с обслуживающим прибором, который может находиться в одном из трех состояний: А=0, если он свободен; £=1, когда он занят обслуживанием затки; А=2, когда на приборе реализуется этап оповещения о конфликте. Заявка, заставшая в момент поступления прибор свободным, начинает немедленно обслуживаться. Если за это время другие требования не поступали, то исходная зшвка по завершении обслуживания покидает систему. Если во время обслуживания одной заявки поступает другая, те они вступают в конфликт. От этого момента начинается этап оповещения о конфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а также поступившие на интервале оповещения о конфликте, переходят в источник повторных вызовов, из которого вновь обращаются к прибору с попыткой повторного обслуживания. Повторное обращение происходит после случайной задержки, имеющей экспоненциальное распределение с параметром о. Число заявок в ИПВ обозначим /.
Время обслуживания заявок рекуррентное с функцией распределения B(s). Длины интервалов оповещения о конфликте имеют функцию распределения
Для стабилизации неустойчивых сетей интенсивность о повторного обращения будет возрастать непрерывна при любом состоянии канала и убывать дискретно в момент окончания в канале сигнала оповещения о конфликте. Для такого изменения о, положив а=1/Т, конструкцию адаптера выберем так, чтобы его состояние 1\1) с течением врекени t менялось следующим образом: в любой момент времени 71(<+Д/)=7(/У^аД/ за исключением момента окончания рашро-странения сигнала оповещения о конфликте, когда 7T(/+A/)=71(/)-ß. Здесь а и ß - параметры адаптера, которые (удут определены ниже. Если при убывании T\t) достигает заданного значения то состояние адаптера остается разным этому значению до момента его увеличения на ß. Можно предложить и другие конструкции адаптеров.
Состояние рассматриваемой системы определим вектором (k, i, Т). Введем переменную z(l), имеющую смысл длины интервала времени, который остался до момента смены текущего состояния прибора. Процесс {k(t), i{t),z(t), 7'/)} -марковский. Проведем исследование этого процесса.
