Стационарный режим в сети, управляемой динамическим протоколом доступа с оповещением о конфликте Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для ——j точка г = 0 является особой. Разло-

жим эту функцию в ряд Тейлора в нуле до степени е: 1 1

хо-И)

В• (О I+|о(е)|

5-(0)| + i~Ä'(0)| + |O(6)|

Отбросив бесконечно малое слагаемое, получаем неравенство

1

имеет в области |х| £ 1 ровно т корней. В выражент (13) при обращении в ноль знаменателя числитель такие должен обращаться в ноль, т.е. в области |х| < 1 корт

знаменателя полностью совпадают с корнями числиге/я. Рассмотрим числитель выражения (12):

В' (>.(1 - х)Хс(х, у)- Ля {т -1)) = 0

или

1 Чи)х'> IЧкх1 -Хп{т-1) = 0. (21)

Подставим в выражение (22) т корней знамгщ-теля (18). Добавим равенство (18). В результате получается система т +1 уравнения для нахождены всех неизвестных констант выражения (13):

Разложим функцию (1 - ъ)] в ряд Тейлора до степени е, умножим правое выражение на знаменатель левого и, оставляя только члены порядка е, получим

1 > (о)| + | В'' (01 -\в* (0)\грд(Л

После несложных преобразований с учетом того, что Л?"(о)=1, получаем

7=1

А=0

*=0 Ц

(23)

где

*''(о)|<£ж/),

I о

В' (а) = $ (~х)е~ахdB(x).

(21)

Неравенство (21) является условием существования стационарного режима в рассматриваемой СМО в случае рекуррентного времени обслуживания. Таким образом, если выполняется неравенство (21), то выражение (18)

Здесь х,, хя- корни уравнения (18) из обгасти

11 — т

|х| < 1; ^(у) -известныеконстанты;0 = X м(Л> ^ и 6

7=0

- задаваемые параметры системы^ & у,^ „ч п(т-1) - неизвестные константы в выражении 13), определяемые системой (23).

Заключение

Выражение (13) для функции Г(х) нам полностью

известно, известна и производящая функция для финальных вероятностей Ф(х), с помощью копрой

можно искать любые характеристики функционфо-вания рассматриваемого элемента сети связи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Назаров A.A., Туренова Е.Л. Исследование протокола канального уровня сети передачи данных // Математическое моделирован».

Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Том. Ун-та, 1999. С. 109-114.

2. Бертсекас Д., Галлагер Р. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989. 540 с.

3. Аничкин С.А. и др. Протоколы информационно-вычислительных сетей: Справочник. М.: Радио и связь, 1990. 502 с.

4. КлейнрокЛ. Коммуникационные сети. М.: Наука, 1970.250 с.

5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1981. 687 с.

6. Степанов С.Н. Численные методы расчета систем с повторными вызовами. М.: Наука, 1983.230 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 25 февраля 2000 г.

УДК 621.394/395.74-503.5

A.A. Назаров, СЛ. Шохор

СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ В СЕТИ, УПРАВЛЯЕМОЙ ДИНАМИЧЕСКИМ ПРОТОКОЛОМ ДОСТУПА С ОПОВЕЩЕНИЕМ О КОНФЛИКТЕ

Описаны исследования математических моделей спутниковых сетей связи с динамическим протоколом случайного множественного доступа с оповещением о конфликте. Рассмотрены марковская и немарковская модели. Найдены условия, при которых в системах существует стационарный режим.

Эта работа продолжает исследования, посвященные сетям связи с протоколами случайного множественного дступа [1]. Известно, что такие сети часто не отличаются стабильным функционированием [2]. При небольшом количетве абонентских станций (АС) возможно возникновение явления бистабильности [3], а при большом числе узлов - отсуст-

вие стационарного режима [4]. В данной работе находятся условия, при которых в сети связи с оповещением о конфликте и динамическом протоколе случайного множественного доступа [5] существует стационарный режим.

Для исследования построим математическую модель в виде однолинейной системы массового обслуживания, на вход которой поступает простейший с параметром Л поток заявок, с функцией распределения времени обслуживания В(1'), источником повторных вызовов (ИПВ), из которого заявки обращаются к прибору после случайной задержки, распределенной экспоненциально с параметром о//, где / - число заявок в ИПВ. При возникновении конфликта в системе реализуется интервал оповещения о конфликте с функцией распределения А(1). Заявки, попавшие в конфликт, а также пришедшие на интервале оповещения, переходят в ИПВ.

Условие

существования стационарного режима.

Марковская модель

Пусть время обслуживания и оповещения о конфликте распределено экспоненциально с параметрами ц, и ц2 соответственно. Рассмотрим случайный двумерный марковский процесс {i(t), k(t)}, где i(t) - число заявок в ИПВ, a k(t) - случайный процесс, принимающий 3 значения: k(t) = 0 - прибор свободен, k(t) = 1 - занят обслуживанием заявки, к(1) «= 2 идет интервал оповещения о конфликте.

Обозначим вероятности переходов

Ли.,к./2(Д>) = = P{/(f + At) = /2, k(t + At) = k2 //(/) = i,, k(t) = *,}.

Для исследования условий существования стационарного режима воспользуемся следствием 1 из предельной теоремы для цепи Маркова [б, §45], которая для рассмотренной модели выглядит следующим образом.

Для того чтобы неприводимая непериодическая цепь Маркова имела стационарное распределение {%(/')} такое, что я ^(/) > 0, к = 0,3, i > 0, необходимо и достаточно, чтобы система уравнений 2

к=0 J20

ji о

2

i=0jiО

имела ограниченное ненулевое неотрицательное решение. Здесь

= lim -д/-»о

ri!,/U2^2

(At)

> ^ kj у ¡2

At

Я o(0 = *>(')

1

1 + р + у

+ Я2(0

1

1t2(/) = 7l2(/-l)

р+у ар

1 + ар У

р + у' Р

+ я,(/-2)-1 + ар 1 + р + у

+1, (/-1)-

(2)

(3)

1 + р + у

Будем искать решение системы (2) в виде *4(0 = С„г'.

Цодстащм (3) в (?), режр^щач г^ввце р ^[ещл? ^ас^ц полученной системы на г', получим систему трех уравнений относительно неизвестных Ск. Эта система имеет решение, если ранг расширенной матрицы равен рангу исходной Запишем матрицу системы и найдем определитель:

1

1 + ар О

-1 1

1 + Р + У

p + yz -1

р + у

0 p + yz

ар

1 + р+у 1

z—z

Z-2 +-

ар

1 + ар (p + yz)2

1 + ар p + yz

op (Р+У)(1 + Р + У) ар

(р+у)(1 + р+у)

1 + ар

Уравнение Р(г) = 0 имеет три корня. Для выполнения условия следствия необходимо, чтобы существовал корень г :| г |< 1. Исследуем поведение Р(г):

Р

1) Vp, а, у: Р(0) = ■

>0,

Запишем интенсивности переходов:

Все остальные интенсивности переходов равны 0.

^ а II, 1 ф Обозначим — = р, — = у, — = —. Тогда можем П. Щ а записать требуемую систему (1):

(1 + ар)(р + у)(1 + Р + у) 2) Р(1) = 0.

Таким образом, для того чтобы в системе существовал стационарный режим, необходимо, чтобы выполнялось условие У >0:

Р.(2)| =_?е__2+-2л-+

1 + ар (1 + ар)(1 + р+у)

1

(р + у)(1 + р + у) 1 + ар

1

1+р+у

2-

др

1 + ар

>0.

(4)

Обозначая р+у = б, из (4) будем иметь условие для существования стационарного режима: рквКав1 +Ю+1).

Условие

существования стационарного режима.

Немарковская модель

Пусть функции £(/) и А(() неэкспоненциальны. В этом случае для нахождения условий существования стационарного режима воспользуемся следствием 2 предельной теоремы для цепи Маркова [6, §45]. Формулировка этого следствия для немарковской модели сета связи будет выглядеть следующим образом.

Чтобы неприводимая непериодическая цепь Маркова имела стационарное распределение, достаточно существования £>0, натурального числа /0 и

набора неотрицательных чисел хк (/'), к = 0,2, /£0, таких, что выполняются условия:

0 £ **2 ('2 ) * **1 («I ). > 'о .

ji о

(5)

2) Z ХП ('2 ) < +*. »1 < 'О •

т

Для применения этого следствия построим вложенную цепь Маркова по моментам, непосредственно следующим за моментом г„, т.е. за моментом изменения состояния k(t). Запишем вероятности переходов из состояния в состояние за один шаг:

' ^одо = =г-тз;.' (6)'

о

Все остальные вероятности переходов равны нулю.

Запишем первую систему неравенств из (5) с учетом (6): х0 (/) - е 2:8х, (/)+(1 - 5)х, (/ -1),

х, (/) - е £ р0х0 (0 + Р2*2 («'+О + Р|*а 0 + 2),

x2(0-ez£ajx0(i + j).

)=о

Будем искать решение системы в виде:

(7)

х,(0 = В1+А1, (8)

где положительные Вк и А не зависят от /.

да

Заметим, что £ уа 7 = А, а,, (9)

где а\ - средняя длительность интервала оповещения о конфликте.

Перепишем систему (7) с учетом (8) и (9):

В1-Мо-0-Ро)52-е>(Р2+2р1К

В2-В0-е>\а1А. (10)

Умножим первое и второе неравенства системы (10) на 1/(2 + р, +р2), а третье - на (Р,+Р2)/

/(2+Р, +Р2) и просуммируем. Слагаемые с Вк сокращаются, и мы получаем неравенство Г.(1.5)+рг+2р1+Я.а1(р|+рг)1

2 + Р,+Р2 /

-(1-5) + р2+2р|+Х.а1(р,+р2)

Если

<0, (12)

2+р,+р2

то существует такое положительное А, что неравенство (11) выполняется. Подставим в (12) выражения для 6,р,,р2 из (6), обозначим р = \Ь,Ь -среднее время обслуживания, а, = ¿Г,, у = а Ь, р + +у = б и получим условие:

• № • • •

р<-

(13)

1+0-р оХ^с)' где р имеет смысл загрузки системы. Если выполняется условие (13), то система неравенств (10) линейно зависима, поэтому имеет решение с точностью до аддитивной постоянной, значение которой выберем так, чтобы Вк> 0. Тогда хк (0 = Вк + Аг' > 0 и для них выполняется система неравенств (7). Следовательно, при выполнении условия (13) в системе существует стационарный режим.

ЛИТЕРАТУРА

1. Флинт Д. Локальные сети ЭВМ. М.: Финансы и статистика, 1986.

2. Бертсекас Д., Галагер Р. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989.

3. Назаров A.A., Юревич Н.М. Исследование явления бистабильности в сети с протоколом АЛОХА для конечного числа станций //Автоматика и телемеханика. 1996. № 9. С. 91-100.

4. Фалин Г.И. О неустойчивости сета АЛОХА //Проблемы передачи информации. 1990. № 1. С. 79-82.

5. Назаров A.A., Шохор С.Л. Сравнение асимптотической и допредельной моделей сети связи с динамическим протоколом случайного

множественного доступа //Математическое моделирование и теория вероятностей. Томск: Изд-во «Пеленг». 1998. С. 233-242.

6. Климов Стохастические системы массового обслуживания.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 26 мая 2000 г.

УДК 519.872: 681.03

Ю.Д. Одышев

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ДОСТАВКИ СООБЩЕНИЯ В СЕТИ СВЯЗИ С ПРОТОКОЛОМ «СИНХРОННАЯ АДАПТИВНАЯ АЛОХА» ДЛЯ СЛУЧАЯ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА СТАНЦИЙ

Рассмотрен класс адаптивных протоколов случайного множественного доступа, стабилизирующих неустойчивые сети связи, управляемые протоколом Алоха, в которых адаптация реализуется автоматом с целесообразным поведением (адаптером). Найдено асимптотическое распределение вероятностей времени доставки сообщения.

Протокол случайного множественного доступа «синхронная Алоха» является одной из модификаций известного протокола «Алоха», предназначенного для передачи сообщений через спутниковую сеть связи [lj. Он, как и многие протоколы данного класса, не отличается стабильным функционированием [2]. В [3] показано отсутствие стационарно-