Расчет характеристик периода занятости в однолинейной СМО с вытеснением заявок Текст научной статьи по специальности «Математика»

В предложенном алгоритме не используется никакой информации о распознаваемом потоке, кроме времен наступления событий. При усовершенствовании процедуры принятия решений этот алгоритм позволит распознавать МС-погоки с различным числом состояний; оцени-

вать их интенсивности и длительности нахождения потока в каждом интервале стационарности, что при большем числе событий, нежели в приведенном примере, поможет оценить интенсивности перехода из одного состояния в другое.

ЛИТЕРАТУРА

1. Терпугов А.Ф. Математическая статистика Томск: Изд-во ТГУ, 1974.

2. Катаева С. С. Об одном подходе к распознаванию MC-потока событий // Массовое обслуживание. Потоки, системы, сети: Материа-

лы международной конференции «Математические методы исследования телекоммуникационных сетей». Минск, 1997. С. 43. 3 Беккермаи E.H., Катаева С.С. Эвристический способ обнаружения информационного признака MC-потока и его исследование // Массовое обслуживание. Потоки, системы, сети: Материалы международной конференции «Математические методы исследования систем и сетей массового обслуживания». Минск, 1998. С. 5-9. 4. Шеннон К. Математическая теория связи // Работы по теории информации и кибернетике. М.: ИЛ, 1963.

Статья представлена кафедрой исследования операций факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 19 февраля 2000 г.

УДК 519.8

Е.В. Глухова, А. С. Шкуркин

РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ПЕРИОДА ЗАНЯТОСТИ В ОДНОЛИНЕЙНОЙ СМО С ВЫТЕСНЕНИЕМ ЗАЯВОК

Находится преобразование Лапласа от плотности вероятностей длительности периода занятости в однолинейной СМО с вытеснением заявок, а также математическое ожидание и дисперсия длительности период а занятости. Сфоятся оценки интенсивности входящего потока заявок и среднего времени обслуживания по наблюдениям над моментами начала периодов занятости.

вычислить можно. Йусть р^) и рп(ц)

сти вероятностей £ и т|, а

постановка задачи

плотно-

Однолинейные СМО с вытеснением заявок встречаются при описании так называемого продлевающегося мертвого времени [1]. Математическая модель таких систем СМО выглядит следующим образом. Имеется однолинейная СМО, на которую поступает рекуррентный поток заявок с плотностью вероятностей для интервалов времени х между заявками вида рх(т) = Хр^Хх), где рх (г) - функция, обладающая свойствами:

а) />,(*):► 0,

б)//>,(*)* = 1, ]2рх(г)сЬ = \. (1) о о

Тогда X имеет смысл интенсивности потока заявок.

Если каждая заявка обслуживается независимо от остальных, то время её обслуживания / имеет плотность

о

(2)

вероятностей вида рх (0 = — р0

0п

где функция

р0(г) имеет те же свойства, что и функция /?,(г). В этом случае параметр 0О -среднее время обслуживания заявки. Термин «вытеснение заявок» означает следующее: если в период обслуживания какой-то заявки придет следующая заявка, то она вытесняет с обслуживающего прибора находящуюся там заявку и сама занимает её место. Вытесненная заявка теряется и на обслуживание не возвращается. Обозначим через £ длительность периода занятости в такой системе и через т) - интервал времени, проходящий между началами периодов занятости. Нас будет интересовать распределение вероятностей этих величин. В частном случае пуассоновского входящего потока эта задача решена в [1].

Распределение вероятностей величин £ и ц

Найти плотности вероятностей величин ^ и т] затруднительно, а преобразование Лапласа от них

- их преобразования Лапласа. Найдём выражение для gr|(s). Пусть в пустую СМО поступила заявка, требующая для своего обслуживания времени Г. Тогда возможны два варианта.

1. За время обслуживания этой заявки не поступит никакой другой заявки, т.е. наступит событие / > т. В этом случае г] = т, так как через время I период занятости окончится и следующий период начнётся в момент х.

2. За время обслуживания этой заявки в систему поступит новая заявка, т.е. наступит событие т < В этом случае т] = т + т)', где т|' - интервал времени до начала нового периода занятости, отсчитываемый от поступления этой новой заявки, л и т|' имеют одно и то же распределение вероятностей, так как новая заявка вытесняет старую. Получившаяся ситуация ничем не отличается от исходной и имеет место соотношение:

*„(*) = ^ V, (^)Л +

+ М{е-« р(±)л)е-ХР1 (Хх )А. о"о о

Но, по сказанному выше, м{ё~п<} = gц{s) и о у"о) °о I_

о 4öo )"оо

(3)

'А

что и даёт явное выражение для gqC?) ■

Аналогичные рассуждения для величины % отличаются от приведенных выше только в одном пункте: в случае 1 £ = /, а не т, как для величины т). Поэтому

(5)=/г (хт)А +м{е~* )х

о °о о

и так как | снова равно gl ($), то

+ 2(f,W[I-ВДед)^)]. (12)

Подставляя s = 0, получим Сх = -g'(0) = - +

<W¡¡(0)-

1

Р-лмГ •<13)

(4)

что и даёт явное выражение для g^(s).

Начальные моменты величины т)

Вычислим в явном виде величины Ск = А/{т]*} для к = 1 и 2. Они выражаются через производные от £п(5) следующим образом [2]: Ск = (-1)* (0). Обозначим

1к{а) = ]-р1-\ь\2крх{1)ск, (5) ов \а) /

°° 1 ({\ ' Л (а) = ¡-Ро - И гкр№<Ь,

о а \а) I

УЛе 'а = 10оОтменим,' что'.............

«О

/Да) + Jk(a) = ¡гкр1(г)ск = тк. о

п /0(а) + 70(а) = щ, — 1,

В частности, . Л ' , /,(а) + У1(а) = т1 = 1

по свойствам функции (г) .

A,2 [l-/,(e)J

+I0(a)J2(a) +

+2У,(вХ/,И1" ^(а)] + 4,W(«))] • (14)

Упростим эти выражения. Так как 1 - J0 (а) = 10 (а),

¡¡(а) Ща)' П5,

- _ 1 /0(аН+2У,(fl) 1 ' 4" /02(а) ' что и дает явное выражение для первых двух начальных моментов величины т]. Ввёдем функцию

с,г

которая будет нужна нам для построения оценок параметров X и 0О по выборке величин г|,. Представляя 1к(а) и Jk(a) в виде

(16)

(6) (7)

.... ^ .... i J . ► .у .

Л(а)= jzkp,(z)dz [-РЛ - dx, S i a \aj

легко получить, что

Пусть

(8)

F2(s)

Отсюда следует, что

Ft (s) = } 1 ii-Uj )А,

о о0 Vö0>' < о °о vöo/ о

', что

f'М = (-0*1 г Aí .

F}l\s) = (-1)* J1 е-пхкХр^)ск

О »0 о

и, после замен переменных Хт = г, Xt = x,

0) = ; F2W(0) = ^ Jk(a). (9)

(17)

(18) (19)

Так как gJs) =

_ • i

1-F2(Í)

(10)

то gi(s)=

[i-од]

[(l-F2(S))(F,rS)[l-F2(í)]+

(П)

lim (a) = /wt,limyt(а) = 0,

а-*-*О а->0

lim /4 (а) = 0, lim Jk (а) = тк,

а-«« а-»«о

поэтому F(0) = т2, lim F(á) = 2.

а-»-но

Частный случай

Рассмотрим частный случай, когда

= , (20) (от-1)!

что соответствует эрланговскому потоку порядка т на входе СМО и длительности обслуживания, распределённой по экспоненциальному закону. Тогда

"h = ]z2pl(z)dz = , о т

lt ч ■fmV _„IJíl -í . , f am V

/0(a)=í-e ""dz\-e "dx = 1- - ,

oV ' ¿Си-l)! ía Vam+V

OO „"."-I ® 1 * /

,W ¿(w-l)! í a lam+lJ

так что в этом случае

F(a) = В частности,

т

1-í-^-T +2Í^r.(2L)

vawi + l/ \ат + V

[i -F2(s)Y

+f¿s)F;(S))+

F(0) = ; lim F(a) = 2 . (22)

m

Обозначая

am

\ + ат да +1

через 2, получим

F(z) = ——-(1 - z") + 2z'

Ш+l

m

Условие ^'(г) = 0 дает корень г = 0,5, откуда следует, что экстремум (в данном случае - минимум) функции Р(а) достигается при а = 1/да; это

минимальное значение /г(1/т) равно

т га) 2 т^ 2я/

2,0 1,8-

1,2

1,0

\да=1

т=а

!т=<х а

0О по наблюдениям над началами периодов занятости. Пусть мы имеем выборку т!,,^,...,^ интервалов времени между началами периодов занятости. Тогда мы можем построить С, и С2 величин С, и С2 по стандартным формулам:

(24)

N м N /=1

Оценку а параметра а найдем из условия

(Са/С,2) = /-(а). (25)

Решение этого уравнения неоднозначно. Как видно из предыдущего частного случая, в области

m+1 1

да

да2~ С,2

да + 1

да

это уравнение имеет два корня, и какой корень соответствует реальности, надо решать из каких-то дополнительных соображений. В области W + ^ < <2 это

да

О

уравнение имеет один корень, а в областях

да + 1 1

C,J

3

Рис. 1

Графики функции F(a) для от =1,4 приведены на рис. 1. Заметим еще, что при т-+ оо, что соответствует детерминированному потоку заявок,

и —\ > 2 является «запрещенным», в да т2я С,

них уравнение (25) не имеет решения.

Зная оценку а параметра а, можно, исполь-

* А

зуя соотношение (15), найти и оценки X и 80 исходных параметров к и 60 :

lim F(a) = 1 + е ".

/я—>00

График F (а) для да = » также приведен на рис. 1. Оценки параметров Я, и во

Полученные выше результаты дают возможность построить оценки X и 0О параметров X и

ЛИТЕРАТУРА

х =

1 "à * Q _ _

~ - , ». » "О — *

С,/0(а) X

Можно получить и явные выражения для дис-

А А

персий оценок X и б0 и их ковариации, но получающиеся формулы очень громоздки и здесь не приводятся.

1. E.V. Glukhova, A.F. Terpougov. Estimation of the intensity of Poisson point processes with presence of a «dead time» // Information theory,

statistical decision functions, random processes. Praga, 1994. P. 80-81.

2. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Поступила в научную редакцию 1 марта 2000 г.

УДК 519.2

Ф.Ф. Идрисов, Т.А. Сазонова

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СТАТИСТИК ОТ МОМЕНТОВ НАСТУПЛЕНИЯ СОБЫТИЙ РЕКУРРЕНТНОГО ПОТОКА

Доказывается сходимость почти наверное и асимгпшическая нормальность некоторых статистик от моментов наступления собьпий рекуррентного потока, наблюдаемого на фиксированном отрезке времени, ишенсивжхл^ которого неограниченно увеличивается.

Постановка задачи

системах, при анализе систем массового обслуживания и т.д.

Одной из проблем, возникающих при экспериментальном изучении этих потоков, является оценка ских систем - при изучении потоков частиц, пото- ^ параметров. обычно наблюдение за таким потоков сигналов в сетях связи и радиолокационных

С рекуррентными потоками приходится сталкиваться при изучении многих физических и техниче-