CC BY
47
А. В. Лезарев, А.Ф. Терпугов
СРЕДНЯЯ ДЛИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРИОДА ЗАНЯТОСТИ В ОДНОЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКИМ СИНХРОННЫМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ
В работе находятся условные средние длительности периода занятости однолинейной системы массового обслуживания (СМО), финальные вероятности того, что период занятости начнется при заданном значении интенсивности, условные стационарные плотности вероятностей незавершенной работы, а также безусловная плотность вероятностей незавершенной работы при дважды стохастическом синхронном входящем потоке.
Дважды стохастические потоки событий вызывают в последнее время все больший интерес, так как они являются хорошей математической моделью для многих реальных потоков событий. Однако сложность объекта делает его исследование очень трудным в аналитическом плане. В работе рассматривается и решается одна частная задача теории массового обслуживания для дважды стохастического потока с двумя состояниями интенсивности.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим дважды стохастический пуассоновский поток событий с двумя состояниями интенсивности Х и Х2. В дальнейшем для определенности будем считать, что Х1 > Х2. Переходы между этими состояниями возможны только в момент наступления нового события. Если поток находится в состоянии Хь то вероятность перехода Х1 ^ Х2 равна аь а вероятности остаться в том же состоянии 1 - а1. Если поток находится в состоянии Х2, то вероятность перехода Х1 ^ Х2 равна а2, а вероятности остаться в том же состоянии 1 - а2. Будем считать, что этот поток поступает на однолинейную СМО с бесконечным бункером. Под работой х, которую несет заявка, будем понимать то время, которое требуется для обслуживания заявки на обслуживающем приборе. Будем считать, что эта работа является случайной величиной с плотностью вероятностей
р( х)=9 ехр^-|-]) ’ (1)
так что 9 имеет смысл среднего времени обслуживания одной заявки.
Под незавершенной работой V будем понимать суммарное время обслуживания заявок, находящихся в бункере, плюс остаточное время обслуживания заявки, находящейся на приборе.
ВЫВОД
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Обозначим через V незавершенную работу в момент времени ґ. Через т(м>), і = 1, 2 обозначим среднее время до опустошения системы, если в момент времени ґ интенсивность входящего потока была равна Хі.
Выведем уравнение для ш1{^). Рассмотрим интервал времени [ґ, ґ + Дґ]. За это время может произойти:
1) с вероятностью 1 - Х1Дґ + о(Дґ) новая заявка не придет; тогда незавершенная работа уменьшится на Дґ, а среднее время до опустошения системы станет ш1(м> - Дґ);
2) с вероятностью Х1Дґ(1 - а1) + о(Дґ) придет новая заявка, требующая для своего обслуживания время х, а состояние потока останется прежним. Тогда незавершенная работа станет V + х - Дґ, а среднее время до опустошения системы станет ш1(м> + х - Дґ);
3) с вероятностью Х1Дґа1 + о(Дґ) придет новая заявка, требующая для своего обслуживания время х и изменится состояние потока. Тогда незавершенная работа
станет w + х - Д/, а среднее время до опустошения системы станет т2^ + х - Д/).
Так как прошло время Д/, то имеем выражение т1 ^) = Д/ + (1 - Х1Д/)т1 ^ - Д/) +
да
+ Х1 Д/а | т2^ + х - Д/) р(х)ёх +
0
да
+ Х1Д/(1 - а1) | т1^ + х - Д/) р( х)ёх.
0
Разложим т1(^ - Д/), сократим т^), разделим на Д/ и перейдем к пределу Д/ ^ 0. Получим
да
т[ ^) = 1 - Ххтх ^) + Х^ | т2^ + х) р( х)<^х +
0
да
+ Х1(1 -а1) | т1^ + х) р( х)ёх. (2)
о
Аналогично получим
да
т2 ^) = 1 - Х 2т2 ^) + Х 2а21 т1^ + х) р( х)^х +
о
да
+ Х2(1 -а 2)| т2^ + х) р(х)ёх. (3)
о
Систему уравнений (2), (3) надо решить при граничном условии т1(0) = т2(0) = 0.
ВИД РЕШЕНИЙ И ИХ НАХОЖДЕНИЕ
В (2) вместо р(х) подставим (1) и в интеграле сделаем замену w + х = г, умножим обе части уравнения на е^/е и продифференцируем по w:
т['^) -1 т[^)е~^е = -9 е -Хт!^)^^ +
е е
+1Х^^^~^е - Х*а'1 т2^)е~^е +
е е
+ Х1(1е-а1) т^)е-^е. е1
Сократив множитель е^/е, получим уравнение
т'[(w) + т[ (w)(Х1 -1/ е) + m2(w) -
е
-Ь^1 т1 ^) = -1/ е.
Аналогичное уравнение получится и из (3).
Заметим, что в правой части уравнений стоит константа, а один из корней характеристического уравнения равен 0 . Поэтому решение системы (2), (3) будем искать в виде т1 ^) = Л1 w + Б1 (е~™ -1) , т2 ^) = Л2 w + Б2 (еГ™ -1) .
Слагаемые Л1w и Л2w соответствуют частному решению неоднородного уравнения, а 1 получается потому, что корень характеристического уравнения равен нулю. Коэффициенты подобраны для выполнения условия т1(0) = т2(0) = 0.
Коэффициенты Л1, Л2, Б1, Б2 и г найдем, подставляя эти решения в (2) и (3). Подстановка в (2) дает
Л1 - Б1е-™г = -Х1Л^ - Х1Б1 (е-^ -1) - Х1а1Б2 +
+ Х1а1 А2 ^ + 9) + в2 ^ +11
е~^ -Х1(1 -а1)В1 +
+ В, ^ а1) е“™ + Х1(1 -а.)А,(^ + 9) +1,
1 29 +1 1 1 1
да да да 1 х
где | хр( х)ёх = 9 , | е~2хр( х)ёх = {9 е 9 ёх =
1
29 + 1'
Приравнивая коэффициенты при слагаемых, содержащих w, получим Х1а1Л1 - Х1а^^2 = 0, откуда следует, что Л1 = Л2. Далее их будем обозначать как Л. Приравнивая свободные члены, получаем
А = 1 + А^9 + Х^ (В1 - В2) .
Из уравнения (3) получим
А = 1 + АХ29+Х2а2(В2 -В1) .
(4)
(5)
Умножая (4) на Х1а1, (5) на Х2а2 и суммируя, получим явное выражение для А:
А=
Х^! + Х 2а 2
Х^ (1 - Х 29) + Х 2а 2 (1 - Х^)
Определим знак А. Интенсивности переходов Х1 ^ Х2 и Х2 ^ Х1 равны Х1а1 и Х2а2. Значит, в состоянии Х1 поток находится в среднем 1/Х1а1, за этот интервал в среднем придет 1/а1 заявок и может быть обслужено в среднем 1/Х1а19 заявок. Аналогично для состояния Х2.
1 1 Это приводит к условию 7-----гг +
1 1 •> — + -
В1 29 - 2 ]- В2 = 0 .
29+ 1
2 29 +1'
Такая же операция над (3) даст, что
- В + В, - 2 |= 0 .
29 + 1 2
29 + 1
(6)
(7)
Относительно В1 и В2 получили систему однородных алгебраических уравнений. Для того чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо, чтобы ее детерминант был равен нулю:
Б =
Х1а1 +Х129
29+ 1
- 2
Х 2 а 2 29 +1
Х1 а 1
29+ 1
Х 2 а 2 + Х 2 29
29+ 1
- 2
= 0
2 = 0 Б =
- Х2а2
Х2а2
29+ 1
29+ 1
с другой стороны имеем выражение (4), откуда получается Л(1 - Х1е) - 1 = Б1г(ге + 1 - Х1е).
Подставляя выражение для Л, получим
В =
Х1а19(Х1 -Х 2)
(Х1а1 (Х 29 -1) + Х 2а 2 (Х19 -1)) 2( 29 - Х19 +1)'
Аналогично находится выражение для В2:
В2 =
Х2а29(Х2 - Х1 )
(Х1а1 (Х 29 -1) + Х 2а 2 (Х19 -1)) 2( 29 - Х19 +1)'
Период занятости начинается с прихода заявки, которая несет с собой работу, распределенную по (1). Поэтому средняя длительность периода занятости при условии, что в момент его начала интенсивность была Х1, равна
т
да 1 = |т1 (V)—е.
Подставляя сюда выражение для т1(м>), получим
т1 = А9 + В1
1
ч 29 +1
Подставим значение А и В1:
-11 = А9 + В1
29
29+ 1
1+
(29 + 2-Х19)(Х1а1 + Х 2 а 2) 29
Х1а1 (1 - Х 2 9) + Х 2 а 2 (1 — Х19 9
х-------------------.
(29+1)(29+1 -Х 2 9)
Аналогично
Х1а1е Х 2а 2е а1 а 2 После преобразований получаем следующее условие работоспособности системы: Х1а1(1-Х2е) + Х2а2(1-Х1е)>0, откуда следует, что Л > 0.
Приравнивая коэффициенты при е~™, получим, что
1 +
(29 + 2-Х 2 9)(Х1а1 + Х 2 а 2)29
Х1а1 (1 - Х 2 9) + Х 2 а 2 (1 — Х19 9 '
х
Это условие определит нам 2. Сначала отметим, что при
= 0 , т.е. 2 = 0 является корнем
характеристического уравнения. Раскрывая детерминант и сокращая г, получим характеристическое уравнение для г:
гЗе2 - г2е(Х1е + Х2е - 2) + г(1 - Х1е(а1 +1) --Х 2е(а 2 +1) +Х1Х 2е2) --Х1а1 (1 - Х 2е) - Х 2а 2 (1 - Х^) = 0.
Найдем Б1 и Б2. Из (6) имеем
Х,а, ( Х,е
1 1-(Ба -Б2) = Б1 г\ 1 - 1
(ге +1)( ге +1 -Х1е)
Найдем среднее время простоя системы т,, если в начальный момент поток находился в состоянии Х1. Пусть в момент времени / в системе нет заявок, тогда может произойти только приход новой заявки, который завершит период простоя. В среднем заявка придет через время 1/Х1. Таким образом, т^ = 1/Х1.
РАСЧЕТ БЕЗУСЛОВНОЙ СРЕДНЕЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ПЕРИОДА ЗАНЯТОСТИ
Для вычисления безусловного среднего значения периода занятости надо найти вероятности п, того, что в начале периода занятости Х = Х,, тогда т = п1т1 + п2т2.
РАСЧЕТ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Обозначим через , количество заявок в системе. Пусть , = 0, т.е. система пуста. Найдем вероятности Рд(0) того, что система перейдет в состояние Х = Х1, , = 1, не заходя в состояние Х = Х2, , = 1, если в начальный момент времени она находится в состоянии Х = Х, , = 0. Тогда, рассматривая состояние системы спустя время Д/, можно записать
Р11(0) = (1 - Х1Д/)Рп(0) + Х1Д/(1 - а1) -1 + о(Д/) ,
Р21 (0) = (1 - Х2Д/)Р21 (0) + Х2Д/а2 -1 + о(Д/) .
Отсюда получаем Р11(0) = 1 - а1, Р21(0) = а1. Аналогично Р12(0) =а1, Р22(0) = а2.
РАСЧЕТ ОСНОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Найдем теперь основные для дальнейшего вероятности Р_д(0 и Р,2(/). Здесь Р^О) есть вероятность перехода из состояния Х = Х,,, = , в состояние Х = Х1, , = 1 с
т, =
х
т
х
заходом в состояние , = 0, т,е. при условии, что будет опустошение системы. Тогда, рассматривая состояние системы спустя время Д/ при , > 1, можно записать
= (1 -Х1Д/ - еД/1) +Х1Д/а1 P21 ( + 1) +
е
+ Х1 Д/(1 - а1 )P[1 (, +1) +— ДtPи (, -1) + о(Д/),
е
P>21 (^) = (1 - Х 2 Д/-Д/)P21 (О + Х 2 Д/а 2 ^ 1(^ + 1) +
е
+ Х 2 Д/(1 - а 2)P21 (, +1) +— Д/P21 (, -1) + о(Д/).
е
Это приводит к системе (обозначим /, = Х,е, а, = а,е)
¡1^1 P2l(, +1) + /1 (е — а1 )P[1 (, +1) +
+ е^ (, -1) - (/^ + е)PH (,) = 0,
/2 а 2 PH (, + 1) + /2 (е — а 2 )P21 (, +1) +
+ еp21 (, -1) - (/2 е + е) P21 (,) = 0.
Как это следует из общей теории, будем искать решение в виде P11(0 = С -кг-1; Pп(/) = (С - К) -кг-1. Это приводит к системе
/1а1(СК)к2 + С(/1(е-а1)к2 +е-(/10 + 0)^) = 0; (8) /2а2Ск 2 + (СК )(/2(е-а2)к2 +е-(/2е+е)к) = 0. (9)
Чтобы система имела не нулевое решение относительно С и (С-К), надо, чтобы ее детерминант был равен 0, т.е.
/1(9- а1)к2 +9(1- (/ +1))к ¡2^2
11а1
/2(9- а2)к2 +9(1- (/2 +1)к
= 0.
Один корень этого уравнения очевиден - это к = 1, так как при этом определитель принимает вид
¡а ¡а
/2а2
- ¡2а2
= 0.
а из (9)
1 - К 9(1 - к)(1- к/1) 11а1к2
К -1 _ 9(1 - к)(1 - к/2)
К
/2а2к2
(10)
(11)
Из (10) и (11) получаем выражение для К, соответ-
ствующее корню к : К = -
(1 - к/1 )/2а2
(1 - к/2 )/1 а1
С учетом полученных результатов мы можем написать Р11(і) = С + Б •кіЧ1,
Р21(і) = С + Б • Кк .
Для нахождения констант С и Б надо выписать уравнения для P11(1) и P21(1) с учетом того, что мы обязательно должны пройти через состояние , = 0. Тогда имеем
^(1) = (1 - Х1Д/ -1Д/^ 1 (1) + ХlДtаfll (2) +
+ Х1Д/(1 - а1) ^(2) + е ДtP11 (0) + о(Д/),
P (1) = (1 - Х 2Д/ -1Д/)P21 (1) + Х 2 Д/а 2P11 (2) + е
+ Х2Дґ(1 - а2)Р21 (2) + — ДґР21 (0) + о(Дґ),
где P11(0) и P21(0) были найдены ранее. Отсюда обычным образом получаем систему
Pll(1)(Хl + 9) = ХlаlP2l(2) + Х1С1 -аl)Pll(2) +1Pll(0) ,
1,
1
Р21(1)(Х 2 +'9) = Х 2а 2 Р11(2) + Х 2 (1 - а 2 )Р21 (2) + ^ 21(0) ■ Подставим сюда (12) и получим
9(С + Б) + Х1Б(1 - к) + Х1а1Бк(1 - К) =1 Р11(0) ,
9 9
1
Заметим, что величина К, соответствующая этому корню, равна 1 .
Для нахождения уравнения, определяющего остальные корни, раскроем детерминант и получившийся многочлен четвертой степени поделим на двучлен к -1. Тогда получим относительно к уравнение третьей степени: к 3/1/2(е-а1 - а 2) + к 2(/1а1 + /2 а2 -
-е(/1 + /2 + /1/2)) + ке(/1 + /2 +1)-е = 0.
Это уравнение имеет три разных вещественных корня. Из них только один корень, лежащий на отрезке (0, 1), соответствует стационарному режиму. В дальнейшем через к обозначен именно этот корень.
Выведем еще выражение для константы К, соответствующее этому корню. Из уравнения (8) получаем
-(С + БК) + Х2БК(1 - к) + Х2а2Бк(1 - К) = -Р21 (0) .
9 2 2 2 9 21
Отсюда находится С и Б. Явное выражение не выписано из-за громоздкости.
Для дальнейшего нам нужна лишь вероятность Р21(1), которую мы будем обозначать как п21. Так как всякий период занятости начинается из состояния 1, то, по смыслу, Р21(1) есть вероятность того, что следующий период занятости начнется при Х = Х1, если текущий период занятости начался при Х = Х2.
Аналогичными рассуждениями находится п12.
Пусть п„ і = 1, 2 есть финальные (стационарные) вероятности того, что период занятости начнется из состояния Х = Хі. Поэтому для определения п1 и п2 мы имеем обычную систему
П1 •^12 + По П 22 —П2,
П1 + П2 — 1,
откуда п1 =-
П2 — ■
СТАЦИОНАРНАЯ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕЗАВЕРШЕННОЙ РАБОТЫ
Обозначим через п^), і = 1, 2 стационарную плотность вероятностей незавершенной работы при условии, что интенсивность потока Х = Х1. Выведем уравнение для П1(^).
Пусть в некоторый момент времени ґ величина незавершенной работы равна V. Рассмотрим момент времени ґ - Дґ. Тогда попасть в состояние V можно различными путями.
1. С вероятностью 1 - Х1Дґ + о(Дґ) за время Дґ не наступило события потока. Тогда незавершенная работа была V + Дґ.
2. С вероятностью Х1Дґ(1 - а1) + о(Дґ) за время Дґ пришла новая заявка, но состояние потока не изменилось. Тогда незавершенная работа была п01це~Ц№+
+ |п1(х)це ц(* Х)йх, где п01 - вероятность
того, что в
П1 • П11 + П2П21 —П1
71
71
21
12
П12 +П21
момент времени ґ - Дґ система была пуста, а ц = 1/9 -интенсивность обслуживания.
3. С вероятностью Х2а2Дґ пришла новая заявка и изменилось состояние потока. Тогда незавершенная работа была тс02це~цм' +1 п2 (х)це~ц( х)ёх.
0
В итоге получим уравнение для п1 (і^) :
пі (V) - Х1п1 (V) + Х1(1 - а1 )(п01це_ц№ +
= (П1(°)- Ц(Х1(1 - а1>П01 + Х 2а 2П02 »(^2 + т(Ц - Х 2)--Х 2а 2ц) -Х 2а 2ц(п 2(0) -
-Ц(Х 2 (1 -а 2)П02 +Х1а1П01)) = Б
Поэтому
П1 (т ) = -
Б1
-1 п1(х)це
ёх) + Х2а2(п02це ^ +
-1 п2(х)це
ёх) = 0 .
(13)
Аналогично получим уравнение для п2(^): п',^) -Х2п2(^) + Х2(1 - а2)(п02це-Ц№ +
+ | п2( х)це_ц(w—х)ёх) + Х1а1(п(ице~Цм +
(14)
+1 п1 (х)це ^ х)ёх) = 0 .
0
Для решения этой системы уравнений перейдем к пре-
да
образованиям Лапласа Пі(т)=|п;(т^) е^ём! , і = 1, 2. разложить на простейшие п
5(5 - г0 )( + г1 )( + г2 ) . (15)
Заметим, что Я, (5) определена для всех 5 > 0, а у ф°р-мулы (15) имеется две особые точки - 5 = 0 и 5 = г0, когда происходит деление на нуль. Чтобы не было особенностей, надо чтобы при 5 = 0 и 5 = г0 обращался в нуль также и числитель. Это приводит к следующей системе уравнений: точка 5 = 0: п, (0)+ п 2 (0) = Х,цтс01 +Х 2цп02 , точка 5 = г0:
(я,(0)-ц(Х1(1-а1)п01 + Х 2а 2 п02)) х х (г2 + г2 (ц-Х 2)-Х 2 а 2^) =
= Х 2 а 2Ц(п 2(0)-ц(Х 2 (1-а 2К2 +Х1а1п01)), что и дает систему уравнений, определяющую п,(0) и п2(0) через п01 и п02.
Аналогично определяем ~2 (5) .
Будем считать, что п01 и п02 заданы и п,(0) и п2(0) выражены через них. Тогда выражения для Я, (5) можно
д
так что
Тогда п[ (н>)^ 57т,. (5)-п,. (0), ц е-^ ^ц/(ц + 5), и поэтому система (13), (14) принимает вид
~1(5)(52 + 5(ц- Х,) -Х1а1ц) + ~2(5)Х2а2ц =
= п,(0) -ц(Х,(1 -а,)п01 + Х 2а2 п02) ,
~2(5)(52 + 5(ц- Х2) -Х2а2ц) + п1(5)Х1а1ц =
= п2 (0) - ц(Х2 (1 - а2 )п02 + Х1а1п01) . Рассмотрим детерминант этой системы:
явный вид п,М следующий: п, (w)= С1е + Б1е
явный вид С, и Б, не выписан из-за громоздкости. Аналогично, п2 (5) можно представить в виде
П2 () = - С'
Б.
2
2
Б =
т2 + т(ц-Х1)-Х1а1ц Х1а1ц
Х 2а 2ц т + т(ц— Х 2) — Х ,а ,ц
= т[т + т (2ц-Х1 -Х2) + т(ц -Х^-Х2Ц + Х1Х2)-- Х^^ +Х1а1Х ,Ц-Х ,а ,ц +Х1а ,Х,ц] .
Нам нужны корни уравнения Б = 0. Один из них очевиден - т = 0. Остальные три определяются из уравнения т + т (2ц-Х1 -Х,) + т(ц -Х^-Х2Ц + Х1Х,)-
- Х^^ +Х1а1Х ,Ц - Х ,а ,ц +Х1а ,Х ,Ц = 0 , которое имеет один положительный и два отрицательных корня. Положительный корень мы обозначим через 20, а отрицательные - как -21 и -22, так что 21 > 0, 22 > 0; 20, 21 и
2, можно найти лишь численно. Тогда можно записать Б = т ( - 20) (.5 + 21) (.5 + 2 2), и именно этим выражением мы будем пользоваться в дальнейшем.
Найдем теперь вид П1 (т) и п1 (т) . Имеем
Явный вид я2У) следующий: п2(w) = С2е + Б2е г2™.
Теперь можно найти и недостающие константы п01 и п02 из условия нормировки
1 да ( ^ 1 С, Б,
п01 = 1 -]п1 = 1 - ~Г + Г±,
0 г1 г2
п02 = 1 -1Я2 (w)dw = 1 - + ББ^.
0 г1 г2
Финальные вероятности значений интенсивности потока
p {х (/) = х,}= а2Х 2
П1(0) - Ц(Х1 (1 -а1)п01 +Х2а2п02)
Х2а2ц
п2(0)-ц(Х 2(1 -а 2)п02 +Х1а1п01) т + т(ц-Х 2)-Х2а 2ц
p {х (/) = х 2}= ,а,Х‘
а1Х1 +а 2Х 2
для безусловной плотности вероятностей п^) незавершенной работы w можно записать
/ ч а 2Х 2п, (w) + а[Х[п2 (w)
п (w ) = —2 2 1ЧЛ 7-----1 ‘ 24 .
а1Х1 + а 2Х 2
Выведенные выше формулы могут быть реализованы программно, что позволит численно найти все полученные выше характеристики СМО.
ЛИТЕРАТУРА
1. ГнеденкоБ.В. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987. 336 с.
Статья представлена кафедрой прикладной информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Информатика» 25 мая 2004 г.
VI/
