Совместная плотность вероятностей длительности интервалов обобщенного асинхронного потока событий при непродлевающемся мертвом времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

2012

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 4(21)

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 519.21

А.М. Горцев, М. А. Леонова, Л. А. Нежельская

СОВМЕСТНАЯ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ИНТЕРВАЛОВ ОБОБЩЕННОГО АСИНХРОННОГО ПОТОКА СОБЫТИЙ ПРИ НЕПРОДЛЕВАЮЩЕМСЯ МЕРТВОМ ВРЕМЕНИ

Изучается обобщенный асинхронный поток событий, являющийся одной из адекватных математических моделей информационных потоков заявок в цифровых сетях интегрального обслуживания (ЦСИО). Поток функционирует в условиях непродлевающегося мертвого времени. Приводятся явные выражения плотности вероятностей значений длительности интервала между моментами наступления соседних событий наблюдаемого потока и совместной плотности вероятностей значений длительности двух соседних интервалов, учитывающие эффект непродлевающегося мертвого времени. Формулируются условия рекуррентности наблюдаемого потока событий.

Ключевые слова: обобщенный асинхронный поток событий, непродле-вающееся мертвое время, плотность вероятностей, совместная плотность вероятностей, рекуррентность потока событий.

В настоящей работе проводится дальнейшее исследование обобщенного асинхронного потока событий, начатое в статьях [1-3]. Обобщенный асинхронный поток событий (далее - поток) относится к классу дважды стохастических потоков и является одной из адекватных математических моделей информационных потоков заявок, функционирующих в ЦСИО [4]. В реальных ситуациях параметры, задающие входящий поток событий, известны либо частично, либо вообще неизвестны, либо (что ещё более ухудшает ситуацию) изменяются со временем. Вследствие этого возникают задачи: 1) оценки состояний потока (задача фильтрации интенсивности потока) по наблюдениям за моментами наступления событий [2, 3]; 2) оценки параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий [5].

Одним из искажающих факторов при оценке состояний и параметров потока событий выступает мертвое время регистрирующих приборов [6], которое порождается зарегистрированным событием. Другие же события, наступившие в течение периода мертвого времени, недоступны наблюдению (теряются). Можно считать, что этот период продолжается некоторое фиксированное время (непродле-вающееся мертвое время). В качестве примера приведем протокол С8МЛ/СБ -протокол случайного множественного доступа с обнаружением конфликта, широко используемого в компьютерных сетях. В момент регистрации (обнаружения) конфликта на входе некоторого узла сети по сети рассылается сигнал «заглушки» («пробки»); в течение времени рассылки сигнала «заглушки» заявки, поступившие в данный узел сети, получают отказ в обслуживании и направляются в источник повторных вызовов. Здесь время, в течение которого узел сети закрыт для об-

служивания заявок, поступающих в него после обнаружения конфликта, можно трактовать как мертвое время прибора, регистрирующего конфликт в узле сети.

Для решения задачи оценивания (тем или иным статистическим методом) параметров потока в первую очередь необходимо знание вероятностных свойств потока. В настоящей работе находятся явные виды плотности вероятностей значений длительности интервала между моментами наступления соседних событий потока и совместной плотности вероятностей значений длительности двух соседних интервалов, учитывающие эффект непродлевающегося мертвого времени.

1. Постановка задачи

Рассматривается обобщенный асинхронный дважды стохастический поток событий, интенсивность которого есть кусочно-постоянный стационарный случайный процесс Х(/) с двумя состояниями Х1 и Х2 (Х1 > Х2). В течение временного интервала, когда Х(/) = X, , имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью X, , , = 1,2. Переход из первого состояния процесса Х(/) во второе (из второго в первое) может осуществляться в произвольный момент времени. При этом длительность пребывания процесса Х(/) в ,-м состоянии распределена по экспонен-цильному закону с параметром а, , , = 1,2. При переходе процесса Х(/) из первого состояния во второе инициируется с вероятностью р (0< р <1) дополнительное событие во втором состоянии (т.е. сначала осуществляется переход, а затем инициируется дополнительное событие). Наоборот, при переходе процесса Х(/) из второго состояния в первое инициируется с вероятностью q (0< q <1) дополнительное событие в первом состоянии. При этом блочная матрица инфинитези-мальных коэффициентов примет вид

-(^1 +«:) (1 - р)а1 ра1

(1 - q) а2 —(X 2 + а 2) qа 2 X 2

Элементами матрицы Б1 являются интенсивности переходов процесса Х(/) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы Б0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы Б0 - интенсивности выхода процесса Х(/) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. В сделанных предположениях Х(0 - марковский процесс. После каждого зарегистрированного в момент времени и события наступает время фиксированной длительности Т (мертвое время), в течение которого другие события исходного потока недоступны наблюдению. События, наступившие в течение мертвого времени, не вызывают продления его периода (непродлевающееся мертвое время). По окончании мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени Т и т.д. Вариант возникающей ситуации показан на рис. 1, где 1,2 - состояния случайного процесса Х(0; дополнительные события, которые могут наступать в момент перехода процесса Х(/) из состояния в состояние, помечены буквами р либо q; штриховка - периоды мертвого времени длительности Т; /ь /2,... - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке.

Процесс Х(0 и типы событий (события пуассоновских потоков и дополнительные события) являются принципиально ненаблюдаемыми, а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий ^, /2,. наблюдаемого потока. Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования наблюдаемого потока событий. В силу предпосылок последовательность

моментов наступления событий 4, 4,---, 4, ••• образует вложенную цепь Маркова, т.е. наблюдаемый поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать с момента 4 (момента наступления события), к = 1,2,... . Обозначим тк = 4+1 - 4, к = 1,2,., - значение длительности к-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока. Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятностей значений длительности к-го интервала рт(тк) = рт(т), т > 0, для любого к (индекс Т подчеркивает, что плотность вероятностей зависит от длительности мертвого времени). В силу этого момент гк без потери общности можно положить равным нулю, или, что то же самое, момент наступления события наблюдаемого потока есть т = 0. Пусть теперь (4, 4+1), (4+1, 4+2) - два смежных интервала с соответствующими значениями длительностей: тк = 4+1 - 4, тк+1 = = 4+2 - 4+1; их расположение на временной оси, в силу стационарности потока, произвольно. Тогда можно положить к = 1 и рассматривать соседние интервалы (4, 4), (4, 4) с соответствующими значениями длительностей: т1 = 4 - 4, т2 = 4 - 4; т1 > 0, т2 > 0. При этом т1 = 0 соответствует моменту 4 наступления события наблюдаемого потока; т2 = 0 - моменту /2 наступления следующего события наблюдаемого потока. Соответствующая совместная плотность вероятностей при этом есть рт (т1, т2), т1>0, т2>0.

2 И

а1

а2

а1

Па

02 А ■№

а2

а1

Процесс Х(г) ''Я \

Обобщенный асинхронный поток

Т Т Т Т

Схема создания непродлевающегося мертвого времени

-----------©-------------©-------------------©----------

4 /3 /4

Наблюдаемый поток событий

Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий

г

г

Задача заключается в нахождении явного вида рт (т) и явного вида рт (т1, т2), а также в установлении условий рекуррентности наблюдаемого потока событий и при Т = 0 условий рекуррентности обобщенного асинхронного потока событий.

2. Вывод плотности вероятностей рт (т)

Рассмотрим интервал времени (0, т) между соседними событиями в наблюдаемом потоке. С другой стороны, значение длительности этого интервала есть т = Т+/, где г - значение длительности интервала между моментом окончания мертвого времени и следующим событием наблюдаемого потока (/ > 0). Пусть Р}к(Р) - условная вероятность того, что на интервале (0,/) нет событий наблюдаемого потока и Х(/) = Хк при условии, что в момент / = 0 имеет место Х(0) = Х)-, ],к = 1,2. Соответствующую этой вероятности плотность вероятностей обозначим р]к (/), ], к = 1,2. Введем переходную вероятность (Т) - вероятность того, что за

мертвое время длительности Т процесс Х(т) перейдет из состояния I (момент вре-

мени т = 0) в состояние у (момент времени т = Т), /,/' = 1,2, и вероятность П (0|Т) -условная (финальная) вероятность того, что процесс Х(т) в момент времени т = 0 находится в состоянии / (/ = 1, 2) при условии, что в этот момент времени наступило событие наблюдаемого потока и наступило мертвое время длительности Т. Тогда искомую плотность вероятностей рт (т) можно записать в виде

Найдем явные выражения для р]к (т- Т), (Т), п (01 Т), /, у, к = 1,2 .

В соответствии с определением обобщенного асинхронного потока введем вероятность р11(/)Х1Д/ + о(Д/) - совместную вероятность того, что без наступления

событий наблюдаемого потока процесс Х(/) перешел на интервале (0, /), / = т -Т , из первого состояния в первое и на полуинтервале [/, /+Д/) произошло событие пуассоновского потока интенсивности Хь Аналогичные совместные вероятности для различных у и к (у, к = 1, 2) примут вид

р11(/) ра1Д/ + о(Д/); р12(/)Х2Д/ + о(Д/); р12(/)да2Д/ + о(Д/); р21(/ )Х1Д/ + о(Д/); р21(/) ра1Д/ + о(Д/); р22(/ )Х 2Д/ + о(Д/); р22(/ )да2Д/ + о(Д/).

Соответствующие плотности вероятностей запишутся в виде

рп(0 = Х1^11(/); ^(Г) = да2р12(/); ^ (0 = ра1р11(/); = Х2р12(/);

Р211) (0 = ^1Р21 ^); Р22) ^) = ?а2Р22 (?); Р22 (0 = Ра1 Р21 (1)'; Р22 (*) = Х2Р22 (0.

Тогда плотности вероятностей рук (/) того, что без наступления событий наблюдаемого потока на интервале (0, г) и наступления события наблюдаемого потока в момент времени / процесс Х(/) перейдет на этом интервале из состояния у в состояние к (у, к = 1, 2), запишутся для разных у и к как

Для вероятностей рук (/) справедливы следующие системы дифференциальных уравнений:

Р11 (/) = -(^1 + а1) рп (/) + (1 - д)а 2 р12 (/), р{2 (/) = -(X 2 + а 2) р12 (/) + (1 - р)ах р1 1 (/); Р2 2 (/) = -(X 2 + а 2) Р22 (/) + (: - Р)а1 Р21 (/), Р21 (/) = -(^1 + а1) Р21 (/) + (1 - д)а 2 Р22 (/), с граничными условиями: р11(0) = р22(0) = 1, р12(0) = р21(0) = 0 , решая которые

0, 0 < т < Т,

Рт (т) п (0 | Т )£ д1} (Т )£ Р # (т- Т), т> Т.

(1)

) = ^1 Р11 (^) + ?а2Р12 ^); .^12(?) = Ра1 Рп^) + Х2 Р12(/);

р21 (*) = ^1Р21 (0 + Ча2Р22 (Ґ); р22 (Ґ) = Ра1 Р21 (0 + Х2Р22 ^).

(2)

находим

Подставляя (3) в (2), получаем явный вид плотностей вероятностей рук (/), у, к = 1, 2.

Для вероятностей д,у(т), 0<т<Т, справедливы следующие системы дифференциальных уравнений:

Ях' 1 (т) = -ад1 (т) + а2ди (т), д^ (т) = а1д11 (т) - а2д12(т); д21 (т) = -а1д21 (т) + а2д22 (т), д'22 (т) = а1д21 (т) - а2д22 (т), с граничными условиями: д11 (0) = д22 (0) = 1, д12 (0) = д21 (0) = 0, решая которые находим (для т = Т)

д11(Т) = п1 + л2е_(а1+а2)Т, д12(Т) = п2-л2е_(а1+а2)Т, д21 (Т) = п - +а2)Т, д22 (Т) = п2 + (а1 +°2)т ,

п1 =а2/(а1 +а2), п2 =а1/(а1 +а2). (4)

Перейдем к нахождению вероятностей п,- (0|Т), , = 1, 2. Так как моменты наступления событий наблюдаемого потока образуют вложеную цепь Маркова, то для вероятностей п,(0|Т) справедливы следующие уравнения:

п1 (0 | Т) = п1 (0 | Т) п11 + п2 (0 | Т) п21; п2(0| Т) = п(0| Т) п12 +п2(0| Т) п22, п1 (0 | Т) + п2(0| Т) = 1, (5)

где пу - переходная вероятность того, что за время, которое пройдет от момента времени т = 0 до наступления следующего события наблюдаемого потока, процесс Х(т) перейдет из 1-го состояния в у-е (1, у = 1, 2).

Введем в рассмотрение вероятность ру - переходную вероятность того, что за время, которое пройдет от момента времени г = 0 (момента окончания мертвого времени) до наступления следующего события наблюдаемого потока, процесс Х(/) перейдет из 1-го состояния ву-е (1,у = 1, 2). При этом вероятности ру определятся в виде

ад ад ад

Р11 =| Р11 (/)& = Х11Р11 (/)Ж + да 21Р12 (/ )й/,

0 0 0

ад ад ад

Р12 =| Р12 (/)^/ = ра11 Р11 (/)Ж + X2 | Р12 (/)&,

0 0 0

ад ад ад

Р21 = | р21 (0^ = Х11 Р21 (/)й/ + да2 | Р22 (0^

0 0 0

ад ад ад

Р22 = | р22 (/)Л = Ра11 Р21 (/)Л + Х2 | Р22 (/)й/

0 0 0

где ру (г) определены в (2), р,у (/) - в (3). Подставляя (3) в (6), находим

Х1 (Х2 + а2) + д (1 - р)а1а2 а1 (Х2 + ра2)

р11 = ; р12 = ;

2122 2122

а 2 (Х1 + да1) X 2 (Х1 + а1) + р(1 - д)а1а 2

р21 = ; р22 ="

(6)

212 2 212 2

2122 = Х1Х2 +Х1а2 +Х2 а1 +(р + д - рд)а1а2. (7)

В силу марковости процесса Х(/) полученные переходные вероятности д, (Т) и Рг,- , г, р = 1, 2 позволяют выписать выражения для переходных вероятностей пр

П11 = д11(Т)Рп + Ч\2(Т)Р2\; П12 = дц(Т)р12 + Ч\2(Т)Р22; (8)

П21 = д21 (Т)р11 + д22 (Т)р21; П22 = д21 (Т)р12 + д22 (Т)р22 •

Подставляя в (8) сначала (4), затем (7), получаем

= Ри -п28[1 -(а1+а2)Т ]; п12 = Р12 +п28[1 - (а1+а2—;

П21 = Р21 + П15[1 - (а1 +“2)Т ] ; п22 = Р22 -П15||1 - (а1+а2 ] ,

5 = (X2 -рда1а2)) 22. (9)

Наконец, подставляя (9) в (5), находим

Р21 +5л, -е~(а1+а2)Т "I р12 +5п2 |~1-е~(а1+а2)Т ]

П (0 | Т) =---------1 (а+а )Т-=±, П2(0|Т) =--------------1 (а+а )Т---------------1 (10)

1 -5е-(а1 +а2)Т 1 _5е-(а1+а 2)Т

где п1, п2 определены в (4); р12 , р21 - в (7); 5 - в (9).

Подставляя в (1) сначала (2), затем (3), (4) и (10), проделывая при этом необходимые преобразования и учитывая, что / = т -Т, получаем

Г0, 0 <т< Т;

РТ (Т) = 1у(Т)2хе~21(т_Т) + [1 _ у(Т)] г2е~22(т_Т), т > Т,

У(Т) = —-—[ _ ([ + ра1 )п (Т) _ (X2 + да2)^ (Т)],

22 21

п1(Т) = п + [2 _ п2(0 | Т)]е~(а1+а2 )Т, п2(Т) = п2 _[ _п2(0 | Т)](а1+а2)Т,

(11)

где 21 определены в (3); п - в (4); п,(0|Т) - в (10), г = 1, 2.

В частности, положив в (11) Т = 0, получаем формулу для р(т), приведенную в

[1].

3. Вывод совместной плотности вероятностей рт (Т1, т2)

Пусть т1 = Т + /ь т2 = Т + /2 - значения длительностей двух смежных интервалов между моментами наступления последовательных событий наблюдаемого потока. т1 = 0 - момент наступления первого события, т2 = 0 - момент наступления второго события. В силу того, что последовательность моментов наступления событий наблюдаемого потока образует вложенную цепь Маркова, то в обозначениях разд. 2 совместная плотность вероятностей рТ (т1, т2) примет вид

Рт СЧт2) =

0; 0 < т1 < Т, 0 < т2 < Т;

Xп (01 Т)£д,р(Т)Хр]к(т1 _ Т)]Г дь (Т)]Г рот(Т2 _ Т), (I2)

г=1 р=1 к=1 5=1 п=1

т1 > Т, т2 > Т,

где ррк (т _ Т) = ррк (/1), рот (Т2 _ Т) = рот (/2) определены в (2), при этом в выражениях для р,р (/), г, р = 1, 2, нужно произвести замену / на /1 либо на /2. Тогда подставляя в (12) сначала р ,к (/), р5П (/2), затем р,к (/1), р5П (/2), определенные в

(3) для ґ = 4 и ґ = ґ2, затем д^ (Т), дку (Т), определенные в (4), и, наконец, п(0|Т),

і = 1, 2, определенные в (10), и проделывая достаточно трудоемкие преобразования, находим

рТ (т1, т2) = 0; 0 <т1 < Т, 0 <т1 < Т,

Рт (Т, т2) = Рт (Т)Рт (т2 ) + е_(аі+“2)Т ^ рдаіа2 у(Т) [1 - у (Т)] х

^2 (13)

х[2ХЄ~"1(Т1-Т) - 2#г2(Т1-Т) ][ХХЄ~"1(Т2-Т) - 22в~г2(Т2-Т) ] ,

т1 > Т, т2 > Т,

где у(Т), рТ (тк) определены в (11) для т = тк, к = 1, 2.

Из (13) следует, что обощенный асинхронный поток, функционирующий в условиях мертвого времени, в общем случае является коррелированным потоком. Положив в (13) Т = 0, получаем формулу для р(ть т2), приведенную в [1].

Нетрудно получить вероятностные характеристики наблюдаемого потока, такие, как математическое ожидание длительности интервала между соседними событиями, дисперсию и ковариацию:

у(Т) 1 - у(Т) Г ’ ™'П г ™' ’ ™'п2

М = Т +^- +--------, £> = 2

"у(т ) , 1 -У(Т)" "у(т ) , 1 -у(Т) ■

V 2 1 т 2 _ 2\ 22 _ _ 22 _

соу(х1 , Т2) = е (а1+а2)Ту(Т) [1 - у(Т)] (X2 - рдаха2) ^ ^ .

( 22)

4. Условия рекуррентности наблюдаемого потока событий

Рассмотрим частные случаи, при которых обобщенный асинхронный поток, функционирующий в условиях мертвого времени, становится рекуррентным потоком. Используя выражение (11) для у(Г), п1(Г), п2(Г) и выражение (10) для П1(0|Т), п2(0|Г), можно показать, что

уТГ) [1 у(Г)] а1а2 г2(Х1 -Х 2 + Ра1 - Ча 2)(Х1 -X 2 + да1 - Ра 2 ) х (14) |^(а1 +а2)(22 - 2г)(21 22 - (Х1Х2 - рдага2)е~(а1+“2)Г)^

х^ 22 -[^ -(а1 +а2)^ + 22)](а1 +а2)Г +[^2 -(Х1 + Х2)(а1 +а2)]е~2(а1+а2)г}.

Предварительно отметим, что выражение в фигурных скобках формулы (14), обозначим его / (Г), после преобразования примет вид

/(Г) = г22 [1 -еЧа1+а2)Г ]2 + (Х1 + Х2)(а1 +а2)е~(а1+а2)Г [1 -еЧа1 +а2)г] +

+ (а1 +а2)2 е-(а1 +а2)Г,

так что для любых Г > 0 имеем/(Г) > 0.

Из (14) вытекает:

1) если Х1 -X2 + ра1 - да2 = 0 , то совместная плотность (13) факторизуется: рГ(т1, т2) = рГ(т1) рГ(т2); при этом из (3) следует, что г1 =Х1 + ра1, 22 =Х1 +а1 + +(1 - д)а2, из (11) следует у(Г) = 1, и тогда рГ (тк) = 2хе~21(4 -Г), тк > Г, к = 1, 2, то есть рГ (т) = 2хе~21(т-Г), т > Г,

2) если Х1 -X2 + да1 - ра2 = 0 , то совместная плотность (13) факторизуется, при этом из (3) следует, что г1 = Х1 +да1, г2 =Х1 +а1 +(1 -р)а2, из (11) следует

у(Г) = 1, и тогда рГ (тк) = 2хе~21(Тк-Г), тк > Г, к = 1, 2, то есть рГ (т) = 21(т-Г),

т > 0.

Из (13) следует третье условие факторизации совместной плотности вероятностей р7{т1,т2): Х1Х2 -рда1а2 = 0 . Тогда рГ (т) определяется формулой (11), в которой

Так как последовательность моментов наступления событий наблюдаемого потока 4, /г,..., 4, ••• есть вложенная цепь Маркова, то при выполнении одного из вышеприведенных условий факторизации (либо их комбинаций) нетрудно показать, что факторизуется и совместная плотность вероятностей рГ (т1, ..., тк) для любого к. Последнее означает, что для этих ситуаций наблюдаемый поток является рекуррентным потоком.

Отметим, что условия факторизации для случая Г = 0 [1] и Г Ф 0 идентичны.

При нижеследующем обсуждении условий рекуррентности необходимо использование результатов, приведенных в [2, 7].

Для первого условия факторизации апостериорная вероятность V (Х1 | /) первого состояния процесса Х(/) (несмотря на то, что поток рекуррентный и плотность р (т) экспоненциальная) зависит от предыстории, т.е. зависит от моментов наступления событий /1, ..., /к наблюдаемого потока. Если здесь: 1) ввести два дополнительных ограничения: Х1 = да2, Х2 = ра1, то вероятность V (Х1 | /) не будет зависеть от предыстории, а будет зависеть только от ее значения в момент наступления события наблюдаемого потока, т.е. от V(Х1 |/к + 0) = да2/(ра1 + да2), к = 1, 2, ... ; так что при дополнительных ограничениях имеется некоторая близость наблюдаемого потока к простейшему потоку; 2) ввести одно дополнительное ограничение: если р = д, то V (Х1 | /) = а ^(а1 +а 2) для / > 0, т.е. апостериорная вероятность V (Х1 | /) вообще не зависит от моментов наступления событий

наблюдаемого потока, так что здесь имеет место наибольшая близость к простейшему потоку.

Для второго условия факторизации апостериорная вероятность

V (Х1 | /) = а ^(а1 +а 2) для / > 0. Здесь также нет зависимости апостериорной вероятности V (Х1 | /) от моментов наступления событий наблюдаемого потока и

поэтому имеет место его наибольшая близость к простейшему потоку.

Для третьего условия факторизации апостериорная вероятность М’(Х\ | /к + 0) = Х\I(Х^ + рах), к = 1, 2, ... , т.е. V (Х1 | /) не зависит от предыстории, а зависит от ее значения V (Х1 | /к + 0) в момент наступления события наблюдае-

п1(Г) = п1 1 + а1

Х1 -Х2 + да1 - ра 2 е-(а1 +а2)Г

Х1а 2 + Х 2а1 + (р + д)а1а 2

П2 (Г) — П2 1 а2

Х1 Х 2 + да1 ра 2 ^-(а1 +а2)Г

Х1а 2 + Х 2 а1 + (р + д)а1а 2

1

) + \(Х] +Х2 +а1 +а2)2 -4[Х1а2 +Х2а1 +(^ + д)а1а2

>2 + а^ + а2

мого потока. В этом случае близость наблюдаемого потока к простейшему потоку реализуется для следующих вариантов:

1) Х1 — да2, Х2 — 0, р — 0; тогда рГ (т) — да2е~да2(т-Г), т> Г ; при этом w(X-l |/к + 0) — 1, к = 1, 2, ... , и V(Х1 |/) не зависит от предыстории, а зависит от ее значения w(X! | /к + 0) в момент наступления события наблюдаемого потока (имеет место некоторая близость к простейшему потоку);

2) Х1 — да2, Х2 — ра1; тогда рГ (т) — 2хе~21(т-Г), т > Г, — ра1 + да2; при этом w(X-l |/к + 0) — да2/(ра1 + да2), к = 1, 2, ... , и V(Х1 |/) не зависит от предыстории, а зависит от ее значения V (Х1 | /к + 0) в момент наступления события наблюдаемого потока (имеет место некоторая близость к простейшему потоку);

3) Х1 — ра2, Х2 — 0, д — 0; тогда рГ(т) — ра2е~ра2(т-Г), т> Г ; при этом

V(Х1 | /) — а^(а1 +а2), / > 0, т.е. апостериорная вероятность V(Х1 | /) вообще не зависит от моментов наступления событий наблюдаемого потока (имеет место наибольшая близость к простейшему потоку); 4) Х1 — ра2, Х2 — да1; тогда

рГ (т) — 71е_21(т-Г), т> Г, — да1 + ра2 ; при этом V (Х1 | /) — а^(а1 +а2), / > 0

(имеет место наибольшая близость к простейшему потоку).

Рассмотрим особые случаи, когда в выражении (11) для у(Г) реализуется деление на ноль ^ = 2-1). Последнее возможно в трех вариантах: 1) Х1 +а1 — Х2 +а2, р — 1; 2) Х1 +а1 — Х2 +а2, д — 1; 3) Х1 +а1 —Х2 + а2, р — д — 1.

Для первого варианта можно показать (проделывая выкладки, аналогичные выкладкам разд. 3 и 4), что

5. Особые случаи

рг (т)—

0; 0 < т < Г;

{ +а1 -а2(1 -д)[1 -(Х1 +а1)(т-Г)]л2(Г)}е (Х1+а1)(т Т),

(Х1+а1 )(т-Г)

рГ (т1, т2) — 0, 0 <т1 < Г, 0 <т2 < Г,

рГ (т1, т2) — рГ (т1)рГ (т2) - е-(а1 +а2)Г (1 - д)2(Х1Х2 - да1а2) х

х[1 - (Х! +а!)(т! - Г)][^ - (Х! +а!)(т2 - Г)]е

т1 > Г, т2 > Г;

(Х1+а1)( т1 +т2-2Г)

п2(Г) — п2 -[п2 -п2(0| Г)]е (а1+а2)Г, п2(0| Г)

1 -5е~(а1+а2)Г

а

а1 Х1Х2 - да1а2

(15)

а1 +а 2

В частности, положив в (15) Т = 0, получаем для этого варианта формулу рСч, т2), приведенную в [1].

Из (15) следует, что при д = 1 (первое условие факторизации) наблюдаемый

этом [2,7] апостериорная вероятность w(Х1 | t) = а2/^ +а2), t > 0 (имеет место наибольшая близость к простейшему потоку).

Для второго условия факторизации: 2 - дга^а2 = 0, вытекающего из (15),

плотность вероятностей рТ (т) определяется первой формулой в (15), в

которой п2(Т) =[а^(а1 +а2)]1 -(Х1 — а2)е~(а1+а2)Т/(Х1 +а1)^. При этом [2, 7] w(X1 |tk + 0) = =Х1/(Х1 +а1), к = 1, 2, ..., т.е. апостериорная вероятность не зависит от предыстории, а зависит от ее значения w(X1 | tк + 0) в момент наступления события наблюдаемого потока. В этом случае близость к простейшему потоку отсутствует.

Вероятностные характеристики для первого варианта примут вид

еоу(т1,т2) = —е~(а1+а2)Т (X2 -да1а2)х Г а1а 2(1 — д) +а1 — (Х1 —а 2)е~(а1 +а2)Т ^ |

|(а1 +а2)(Х1 +а1)2 |(Х1 +а1)2 — (Х1Х2 — да1а2)е~(а1+а2)Т ^|

Для второго варианта, аналогично первому, можно показать, что

Г0; 0 <т< Т;

'Т (Т) = + а! — «1(1 — р) [1 — (X! + а!)(т — Т)] 71! (Т)} е^1+а1)(т—Т),

рТ (т1, т2) = 0, 0 <т1 < Т, 0 <т2 < Т,

рТ (т1,т2) = рТ (т1)рТ (т2) — е~(а1+а2)Т (1 — р)2(Х1Х2 — ра1а2) х

поток становится рекуррентным. Тогда рТ (т) = (Х1 + а1 )е

(X +«1)(т—Т)

,т > Т ; при

|(а1 +а2)^(А-^оц) -(А^-роца^е ' 1+а2)Т

х[1 — (X +«1)(т1 — Т )][1 — (X +«1)(т2 — Т )]е]+а1)( т1+т2—2Т; т1 > Т, т2 > Т;

-(^1+а1)(т1+т2—2Т)

1 — 5е~(а1+а2)Т

а1 +а 2

а2 ^ Х1Х 2 — ра1а2

Х1 +а1 (Х1 +а1)2

(16)

В частности, положив в (16) Т = 0, получаем для этого варианта формулу р(х1, т2), приведенную в [1].

Из (16) следует, что при р = 1 (первое условие факторизации) наблюдаемый поток становится рекуррентным. Тогда рТ (т) = (7 +а1)е~(71 +а1)(т-Т), т> т ; при этом [2,7] апостериорная вероятность w(Х1 | /) = а2/^ +а2), / > 0 (имеет место наибольшая близость к простейшему потоку).

Для второго условия факторизации: 2 - раха2 = 0 , вытекающего из (16),

плотность вероятностей рТ (т) определяется первой формулой в (16), в которой

п1(Т) = [а ^(а1 +а 2)]1 - (Х1 -а 2)е~(а1 +а2)Т /(Х1 +а1) ^. При этом [2, 7] апостериорная вероятность w(X-l | /) не зависит от предыстории, а зависит только от ее значения w(Xl | /к + 0) = Х^(Х1 +а1), к = 1, 2, ..., в момент наступления события

наблюдаемого потока. В этом случае близость к простейшему потоку отсутствует. Вероятностные характеристики для второго варианта запишутся в виде

Мт= Т +-^~ +а'(1 - р) П-2Т1,

7 + а1 (7 + а2)

а] (1 - р)п (Т)~'2

D = - 1— + 2ai(i - p)ni(T)

X- + a-

(X1 +a1) [ X1 +a1

cov(T—,т2) = -e~(a-+a2)T (X2 - qa—a2 )x f a—a 2(i - p) [X— +a— - (X— -a 2)e~(a-+a2)T J 1

I(a— +a2)(X— + a—)2 [(X— + a—)2 -(X—X2 -pa—a2)e~(a-+a2)T Jj Третий вариант идентичен первому варианту, когда q = 1, либо второму, когда p = -

Заключение

Полученные результаты делают возможным решение задачи оценки неизвестных параметров, задающих обобщенный асинхронный поток событий, функционирующий в условиях мертвого времени.

В общем случае коррелированного обобщенного асинхронного потока событий, функционирующего в условиях мертвого времени (наблюдаемый поток), для оценки неизвестных параметров можно использовать метод моментов; для частных случаев, когда наблюдаемый поток становится рекуррентным, - метод максимального правдоподобия.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Асинхронный дважды стохастический поток с инициированием лишних событий // Дискретная математика. 2011. Т. 23. Вып. 2. С. 59-б5.

2. Горцев А.М., Леонова М.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного асинхронного потока в условиях непродлевающего мертвого времени // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 3(12). С. 54-б4.

3. Леонова М.А., Нежельская Л.А. Вероятность ошибки при оценивании состояний обобщенного асинхронного потока событий // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 2 (19). С. 88-101.

4. Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. Минск: Изд-во БГУ, 2000. 175 с.

5. Васильева Л.А, Горцев А.М. Оценивание длительности мертвого времени асинхронного дважды стохастического потока событий в условиях его неполной наблюдаемости // Автоматика и телемеханика. 2003. № 12. С. б9-79.

6. Апанасович В.В., Коляда А.А., Чернявский А.Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте. Минск: Изд-во «Университетское», 1988. 254 с.

7. Горцев А.М., Леонова М.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного асинхронного дважды стохастического потока // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 1(10). С. 33-47.

Горцев Александр Михайлович Леонова Мария Алексеевна Нежельская Людмила Алексеевна Томский государственный университет E-mail: gam@fpmk.tsu.ru; mleonova86@mail.ru;

nla@fpmk.tsu.ru Поступила в редакцию 10 июля 2012 г.

Gortsev Aleksandr M., Leonova Maria A., Nezhelskaya Lyudmila A. (Tomsk State University). The joint probability density of duration of the intervals in a generalized asynchronous flow of events with unprolonging dead time.

Keywords: generalized asynchronous flow of events, unprolonging dead time, probability density, joint probability density, recurrence of the event flow.

Generalized asynchronous flow of events which intensity is a piecewise constant stochastic process X(t) with two states X— and X2 (X—> X2) is considered. During the time interval when X(t) = X, , Poisson flow of events takes place with the intensity X, , i = 1,2. Transition from the first state of process X(t) into the second one (from the second state into the first one) is carried out at any moment of time. The sojourn time in the i-th state is exponentially distributed with parameter ai , i = 1,2. The process of transition X(t) from the first state into the second one initiates with probability p (0< p <1) an extra event in the second state. Also the process of transition X(t) from the second state into the first one initiates with probability вероятностью q (0< q <1) extra event in the first state.

We solve the problem of finding the explicit form of probability density pT (т) of the interval between two events and the joint probability density pT (т- т2) of the length of two adjacent intervals with unprolonging dead time.