Распределение времени доставки сообщения в сети связи с протоколом «Синхронная адаптивная Алоха» для случая конечного числа станций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Условие

существования стационарного режима.

Немарковская модель

Пусть функции £(/) и А(() неэкспоненциальны. В этом случае дня нахождения условий существования стационарного режима воспользуемся следствием 2 предельной теоремы дня цепи Маркова [6, §45]. Формулировка этого следствия для немарковской модели сета связи будет выглядеть следующим образом.

Чтобы неприводимая непериодическая цепь Маркова имела стационарное распределение, достаточно существования £>0, натурального числа /0 и

набора неотрицательных чисел хк (/'), к = 0,2, / £ 0, таких, что выполняются условия:

0 £ **2 ('2 ) * **1 («I ). > 'о .

ji о

(5)

2) Z **2 ('2 ) < +*. »1 < 'о •

JZ о

Для применения этого следствия построим вложенную цепь Маркова по моментам, непосредственно следующим за моментом г„, т.е. за моментом изменения состояния k(t). Запишем вероятности переходов из состояния в состояние за один шаг:

' ^одо = (6)-

о

Все остальные вероятности переходов равны нулю.

Запишем первую систему неравенств из (5) с учетом (6): х0 (/) - е 2:8х, (/)+(1 - 5)х, (/ -1), х, (/) - е £ р0х0 (/) + РЛ (/ +1) + р,дс2 (/ + 2),

J=0

Будем искать решение системы в виде:

(7)

х,(0 = В1+А1, (8)

где положительные Вк и А не зависят от /.

да

Заметим, что £ уа 7 = А, а,, (9)

о

где в! - средняя длительность интервала оповещения о конфликте.

Перепишем систему (7) с учетом (8) и (9):

Во-Д.-е^-О-бК

В1-р050-0-Ро)52-е>(р2+2р1К

В2-В0-е>\а1А. (10)

Умножим первое и второе неравенства системы (10) на 1/(2 + р, +Р2), а третье - на (Р,+Р2)/ /(2+Р, +Р2) и просуммируем. Слагаемые с Вк сокращаются, и мы получаем неравенство

Г-(1-5)+Р2+2Р1+Я.а1(Р1+р2)Ь (п) 2 + Р,+Р2 /

-(1-5) + р2+2р|+Х.а1(р,+р2)

Если

<0, (12)

2+р,+р2

то существует такое положительное А, что неравенство (11) выполняется. Подставим в (12) выражения для 6,р,,р2 из (6), обозначим р = \Ь,Ь -среднее время обслуживания, а, = ¿Г,, у = а Ь, р + +у = б и получим условие:

• № ■ • •

р<-

(13)

1+0-р оК+т^У где р имеет смысл загрузки системы. Если выполняется условие (13), то система неравенств (10) линейно зависима, поэтому имеет решение с точностью до аддитивной постоянной, значение которой выберем так, чтобы Вк> 0. Тогда хк (0 = Вк + Л/ > 0 и для них выполняется система неравенств (7). Следовательно, при выполнении условия (13) в системе существует стационарный режим.

ЛИТЕРАТУРА

1. Флинт Д. Локальные сети ЭВМ. М.: Финансы и статистика, 1986.

2. Бертсекас Д., Галагер Р. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989.

3. Назаров A.A., Юревич Н.М. Исследование явления бистабильности в сети с протоколом АЛОХА для конечного числа станций //Автоматика и телемеханика. 1996. № 9. С. 91-100.

4. Фалин Г.И. О неустойчивости сета АЛОХА //Проблемы передачи информации. 1990. № 1. С. 79-82.

5. Назаров A.A., Шохор С.Л. Сравнение асимптотической и допредельной моделей сети связи с динамическим протоколом случайного

множественного доступа //Математическое моделирование и теория вероятностей. Томск: Изд-во «Пеленг». 1998. С. 233-242.

6. Климов Стохастические системы массового обслуживания.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 26 мая 2000 г.

УДК 519.872: 681.03

Ю.Д. Одышев

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ДОСТАВКИ СООБЩЕНИЯ В СЕТИ СВЯЗИ С ПРОТОКОЛОМ «СИНХРОННАЯ АДАПТИВНАЯ АЛОХА» ДЛЯ СЛУЧАЯ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА СТАНЦИЙ

Рассмотрен класс адаптивных протоколов случайного множественного доступа, стабилизирующих неустойчивые сети связи, управляемые протоколом Алоха, в которых адаптация реализуется автоматом с целесообразным поведением (адаптером). Найдено асимптотическое распределение вероятностей времени доставки сообщения.

Протокол случайного множественного доступа «синхронная Алоха» является одной из модификаций известного протокола «Алоха», предназначенного для передачи сообщений через спутниковую сеть связи [lj. Он, как и многие протоколы данного класса, не отличается стабильным функционированием [2]. В [3] показано отсутствие стационарно-

го режима для протокола «синхронная Алоха» с бесконечным числом абонентских станций (АС), а в [4] рассмотрено явление бис-табильности для того же протокола в случае конечного числа станций.

Для стабилизации таких систем используются адаптивные [5] протоколы доступа Одним из них является алгоритм Ривеста [6], который совпадает с алгоритмом Михайлова [7], разработанным для протокола случайного множественного доступа «синхронная Алоха» с поступающим на вход системы простейшим потоком с параметром А. Принцип работы этого алгориша состоит в том, что вероятность повторной передачи пакета из источника повторных вызовов (ИПВ) меняется с изменением величины оценки числа пакетов в ИПВ, которая явным образом зависит от величины X. Одним ю достоинств режима случайного доступа является быстрый доступ к передающей среде и малое время доставки сообщения при ограниченных нагрузках. Недостаток этого режима состоит в том, что при больших нагрузках время доставки сообщения становится большим и меняется непредсказуемо. В этом случае использование обычно широко применяемой теоремы Лиггла, позволяющей найти лишь среднее время доставки сообщения, представляется малоэффективным.

В данной работе рассмотрена неустойчивая сеть связи с конечным числом узлов и протоколом случайного множественного доступа «синхронная Алоха». Для ее стабилизации применяется адаптивная модификация протокола доступа, в которой адаптация реализуется автоматом с целесообразным поведением [8], названным здесь адаптером. Найдено асимптотическое распределение вероятностей времени доставки сообщения при Ы-кс, где N - количество АС.

Математическая модель сети связи

Сеть связи с протоколом случайного множественного доступа «синхронная Алоха» моделируется однолинейной системой массового обслуживания (СМО). Пусть число АС конечно и равно N и каждая из N станций может осуществлять передачу сообщения только в начале временного интервала единичной длины с веро-4тйо(п1к) Х/М. Обобщение, 11ерйдаваемое АС (назовём его приходящим из внешнего источника), ожидает начала очередного такта и с вероятностью единица становится на обслуживание в течение этого интервала. Если на этом такте на приборе не было других требований, то исходная заявка считается успешно обслуженной и покидает систему. Если в одном такте на приборе находилось более одного сообщения, то фиксируется конфликтная ситуация (все заявки искажаются), и в момент окончания такта все искаженные сообщения переходят в ИПВ. В начале такта каждая заявка из ИПВ обращается к прибору с вероятностью ц независимо от других требований с попыткой повторного обслуживания.

Для стабилизации неустойчивых сетей вероэтноспъ ц повторного обращения положим равной 9=//Г, гае Г-текущее состояние адаптера. Опишем его функционирование. Если в такте бьшо пустое окно или успешное обслуживание, тогда значение Г уменьшается на величину о, но не может стал, меньше единицы. Если обслуживание было конфликтным, то значение Т увеличивается на р. Состояние адаптера меняется в конце текущего такта. Положительные величины аир являются параметрами адаптера.

Состояние системы определим вектором $ 7), где / -число заявок в ИПВ, а Т-состояние адаптера. Рассмог-рим момент 1(к), непосредственно следующий за моментом окончания такта с номером к-\ и предшествующий момешу начала такта с номером к Обозначим (¡(к), Т(к)) состояние системы в момент времени Щ. Двумерный случайный процесс (¡(к), Т(к)) с дискретным временем к является д вумерной однородной марковской цепью.

Назовем временем пребывания заявки в системе длину Ж интервала от момента ее поступления в систему до момента окончания ее успешного обслуживания и ухода из системы. Величина № будет моделировать время доставки сообщения в сети связи с протоколом «синхронная адаптивная Алоха». Найдем стационарное распределение величины IV.

Распределение времени пребывания заявки в системе

В момент к выделим некоторую заявку в ИПВ и определим 1У(к) как длину интервала от момента к до момента ухода из системы выделенной заявки. Для исследования рассматриваемой сети обозначим /■(/, Т, ¿) = РОУ(к) > I / ¡(к) = /, Т(к) = Т), >0, Т) = Р0(к) = ¡,Т(к] = Г), 3 = ос + р.

Очевидно, что для времени IV пребывания заявки в системе имеет место равенство Р(1У <51) =

= Р' +(1-Р')

1=0 7бП

0)

Здесь ¿>0, - множество состояний адаптера, Р(г, Т) - стационарное распределение состояния (7,7) системы, которое застает заявка, поступающая в момент времени к,&Р* - вероятность успешной передачи сообщения с первого раза.

Можно показать, что распределение РО.Т.Ь) удовлетворяет уравнению

74 а, 1 + 1) =

V АГ-/-Я

/"(/' +л,Г+5, Ь)~

Т+а)

-НЙВ)

-ЧВГ

е

1--

(2)

и начальному по I условию F(/,Г,0) = 1. В стационарном режиме Р(Ъ Т) удовлетворяет уравнению

V

/>(/-«, Г)-

N

+ 1-

-('-ГНП'^Н*

( 1 \N-l-ts . V

Щ'-гЬЬг+«>+

♦^'-¿П'-ГЬ)''^™ <3>

Распределение Р(ъ Т) должно удовлетворять краевым условиям при 1=0 и /=/У , а также условию нормировки. Дальнейшие исследования будем проводить при "К>\!е, т.е. в условиях перегрузки.

Решим системы (2) и (3) асимптотическим методом [9] при И-#х>. Для этого, обозначив е2=1/Лг, сделаем замену переменных:

/Б2 = а+ем, 7б2 = А + бу, 1б2 = А, Я/,Г,1) = /(и,у,А,е), -^Р«,Т) = Н(и,у,г). (4)

Б

Зассъ(а,Ь) - точка стабилизации системы, определенная соотношениями

+ 1 = (5) о

где является решением уравнения

&Гс(0 + 1) = р. (6)

• • Соотношения (5К6) получены в-[Ю}. При е-»0-обо» • значим Н(и, у,0) = Я(и, у); /(и, V, А,0) = /(ы, V, А).

Так как в рассматриваемой системе заявки не теряются, то производительность сети равна интенсивности входящего потока, который является ординарным, и по теореме Королюка его интенсивность и параметр совпадают. Отсюда получаем, что в асимптотике при Ы-#х> производительность 5 будет определяться равенством 5 = - а). Тогда соотношение (1) при N-+00 перепишем так:

Р(м> <; А) = +

1 +

а + ги-г

г

/(и,У + Е5,А,Е) +

А + БУ + схб2

, 1-а-о)-«'

+ Я,(1-о-еи)(1-Хе2) х

х 1-

(1-Хе2)

А + БУ + ОБ 1-в-8|/ (

а+гм

1~

/(и,У,А,Б) +

1-

а+ы .1

а + еи-е

А+ЕУ + схе

6 + еу + ае2

2 . ч 1-а-е»

Г(1-Ае2) х

/(и,у,А,е)+

1-7-Г /(«-Б,у,Л,Б). (8)

А+бу + схб )

В (2) распределение /уг, Т.Ь) определено на дискретном множестве точек (х,Т,Ц. В (8) функцию Хи,у,А,е) доопределим для всех -<»<«, у<+®, А>0 с достаточной степенью гладкости, сохраняя выполнение равенства (8).

Теорема 1. Распределение (7) имеет вид

Р(м/ йИ) = Бе'* + (1 - 5е"*)

1 — ехр< ——е 'А •

I Ь К

. (9)

где является корнем уравнения (6).

Доказательство. Все функции в (8) разложим в ряд рд цррращертфнр £ргум?нтов в окрестности точек (и,у,А,е) с точностью до слагаемых второго порядка е и, обозначив

(1-Хе2) =х,(и,Е),

.2

1--

А + ЕУ

= Х2(М.,,>Е).

(10)

получим равенство

% е2а2 а2/

еа —+--4- + е

5у 2 5У

2^ = г\(\-а)^-г2\и ди

дИ

ди

+ (1-5е"*)

1- { |/(Ы,У,А)Я(«,У)ЛЛ

(7)

где а С^ является решением уравнения (6).

Чтобы найти асимптотическое при Ы—юо распределение вероятностей (7) значений времени доставки сообщения в исследуемой сети связи, достаточно найти асимптотические распределения Н(и,у), Лиу,к) и сосчитать значение интеграла в (7).

Найдем асимптотическое решение системы (2). Для э?щ> .сделаем в ие^з^ме^ (4УД(эдучим уравнение

л=0 П! 4=0

Х^-Хе"^ в2 /(М + ЛБ,У+Е8,А,Б)-

2 пди2 5у 2 5у

+е2А.(1-а)5^-еЦ1-а-б«)х,Х2 ~

диоу ди

д2 /

- —Ц1-а)Х,х2 —т-е8Х(1-а-Ем)х1х2 —-ди

Е^ 2 е262

V

Эу дuдv

еЧ2 ' - Х1Х2

Ь0-*)Х,Х2ТТ-е25Ч1-а)х,Х2

дч

. (. а и ш>Лд/ -в8х,Х2[1 + Гв--е-]--

(а и ап>\д{ -ЕХ|Хз —+ 6 — Е—- —-

А1А2и Ь Ь ) си

1-

ч А + еу+аб2,

/ у'-д-и. (

/(И + Б,У + б6,А,Б)-

. Ъ)сЬ2 Б2 а д2/ + 2 Ь ди2

-6

Х1Х2

/ + 0(Е2).

А + БУ+аБ

= -(а,,и + а12у)-

ЗА

ди

>

dv

du2

d2H(u,v) , L d2H(u,v) + bl -—-+ t>2 -—-=0,

du2

dv2

d2f(u,v,h) | A d2f(u,v,h) 2 dv2 12 ЭиЭу

о

Здесь / (и, v, А) = lim / (и, v, А, e), *->o

ок + 1

OD

а„ = Х+е~*Я.[(1-а)к-1] + 0x2 Х Ь2 Ь1 '

°21 -I 1 аП ° -I

-^ = а„+ке = в»,

=Я.(1-а)[Х(1-а) + 1-в-*]+-е-',

Ь

2Ьг = аР, Ьп=(аЬ/Ь)е-', где к=Х-1 /6, а # является корнем уравнения (6). (12) Можно показать, что //(ц^ является двумерным нормальным распределением и удшиктеоряет уравнению

где все коэффициенты имеют вид (12).

Обозначим Ф(А)= ^/(и,ч,И)Н{и,у)с1исЬ и —00-00

найдем функцию Ф(Ь), для чего домножим уравнение (11) на Н(и,у) и проинтегрируем почленно это соотношение по -оо<и, у<+ оо. После интегрирования по частям соответствующих слагаемых с учетом (13) получим

Ф'(А) = -(1 / ¿)е~'Ф(А). (14)

В результате решения (14) в силу начального условия Ф(0)»1 получаем равенство

Ф(А) = ехр

{-Н

— {(а„и + а12у)Я(м,у)}+ du

+ Т" {(«2.« + *22 *)} + ¿12

dv

d2H(u,v) dudv

откуда с учетом (7) следует соотношение (9). Теорема 1 доказана.

Заключение

В настоящей работе найдено .асимптотическое при Я-«х> распределение времени доставки сообщения в сети связи с протоколом случайного множественного доступа «синхронная адаптивная Алоха». Методом, изложенным в работе, может быть найдено распределение времени доставки и для других протоколов этого класса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Назаров A.A., Юревич Н.М. Исследование явления бистабильности в сети с протоколом Алоха для конечного числа станций // Ав-

томатика и телемеханика. 1996. № 9. С. 91-100.

2. Бертсекас Д., Галагер Р. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989.

3. Фалин Г.И. О неустойчивости сети Алоха // Проблемы передачи информации. 1990. № 1. С. 79-82.

4. Одышев Ю.Д. Исследование явления бистабильности в сети с протоколом «синхронная Алоха» для конечного числа станций // Ма-

тематическое моделирование и теория вероятностей. Томск: Пеленг, 1998. С. 242-247.

5. Горнее AM, Назаров АЛ, Терпугов А.Ф. Управление и алатаиия в системах массового обслуживания. Томск Изо-во Том. ун-та, 1978. ö.ÄraeÄLMavwrkcaaioibybaycsianbroa^ Cambnge,MA:Mrr,LaboratMyfcr Computer scicnce, 1985.

7. Михайлов B.A. Геометрический анализ устойчивости цепей Маркова в R"+ и его приложение к вычислению пропускной способно-

сти адаптивного алгоритма случайного множественного доступа // Проблемы передачи информации. 1988. № 1. С. 61-73.

8. Цетяин M.JI. Исследование по теории автоматов и моделированию биологических систем. М.: Наука, 1969.

9. Назаров A.A. Асимптотический анализ марковизируемых систем. Томск: Изд-воТом. ун-та, 1991.

10. Одышев ЮД. Исследование сети связи с протоколом «синхронная адаптивная Алоха» для конечного числа станций // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 115-119.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 20 марта 2000 г.

УДК 519.872

Я С. Шмырин

ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ПОТОКА СОБЫТИЙ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ

Рассматривается задача об оценке параметров потока событий с переключениями. Предлагается рекуррентный алгоритм расчета оценок параметров потока событий. Реализуется имитационная модель потока, приводятся результаты •численных расчетов.

Случайные потоки событий являются широко применяемой моделью для описания процессов в реальных физических, экономических, технических и других системах. Характеристики потоков событий, описывающих эти процессы, как правило, имеют случайную природу. Одной из распространенных моделей таких процессов являются МС-потоки событий - потоки, интенсивность которых является кусочно-постоянным марковским процессом с конечным числом состояний (такие потоки иначе называют потоками с переключениями [1]). Режимы функционирования реальных физических и технических систем обычно зависят от текущей интенсивности потоков событий, циркулирующих в системе; с другой стороны, параметры потоков, как правило, являются ненаблюдаемыми величинами. Вследствие этого важной является задача оценки параметров потока событий в произвольный момент времени по наблюдениям за этим потоком.