CC BY
33
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2019 Управление, вычислительная техника и информатика № 47
УДК 519.2
DOI: 10.17223/19988605/47/4
Ю.Г. Дмитриев, Ж.Н. Зенкова, А.Г. Зенков
СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОЦЕНОК МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЯ ЦЕНОВОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ PSM
Анализируются асимптотические свойства оценок ценовых значений, полученных методом измерения ценовой чувствительности PSM (Price Sensitivity Meter), который ориентирован на потребительский спрос, показаны их асимптотическая нормальность и состоятельность, построены доверительные интервалы. Метод апробирован на реальных данных о ценовых предпочтениях потребителей нового программного продукта, выводимого на рынок товаров производственного назначения В2В; предприятию даны рекомендации относительно установления конечной цены на товар-новинку.
Ключевые слова: ценообразование; метод измерения ценовой чувствительности PSM; медиана; асимптотическая нормальность.
Вопрос установления рыночной цены, по которой предприятие будет продавать свою продукцию, особенно если это абсолютно новый для фирмы товар, является не просто ключевым, а жизненно важным для организации любой формы собственности [1]. Затратный подход не всегда позволяет найти такую цену, которую покупатели смогли бы воспринимать как приемлемую и справедливую. Методы ценообразования, ориентированные на спрос [2], решают данную проблему и помогают найти ориентировочные диапазоны справедливых цен еще до начала этапа внедрения товара на рынок. Одним из таких методов является метод измерения ценовой чувствительности - Price Sensitivity Meter (PSM), предложенный датским экономистом Питером Ван Вестендорпом [3]. Его описание приведено ниже.
Данная методика широко применяется за рубежом, однако достаточно редко используется в отечественной маркетинговой практике. Статистические свойства метода изучены весьма слабо, притом этот факт признается также и зарубежными исследователями [4-7]. В работах [8-12] метод PSM рекомендуется к применению за простоту как расчетов, так и интерпретации результатов, а также за относительную дешевизну стоимости маркетинговых исследований. В то же время в [8-10] метод подвергается критике, поскольку его результаты базируются на потребительских ощущениях, которые, с одной стороны, не имеют непосредственной связи с ожидаемой целевой прибылью компании-производителя, а с другой - не могут рассматриваться как четко осознаваемые потребителем данные [10], с чем стоит поспорить, так как после использования товара в течение некоторого временного периода, что предусматривается методом, представители целевой аудитории успевают получить емкое и детальное представление о товаре, а значит, смогут адекватно оценить его потребительскую ценность и указать справедливые, по их мнению, значения цен в процессе опроса.
В [4] предлагается модификация метода PSM, основанная на системе линейных (Чапмана-Колмогорова) и нелинейных дифференциальных уравнений, найдено ее аналитическое решение, представляющее собой комбинацию логистических регрессий. В [13] свойства метода изучены с помощью имитационного моделирования, показано влияние количества опрашиваемых на точность метода. В [13-20] предлагаются модификации на случай как наличия цензурированных данных, так и знания различной дополнительной информации; с помощью имитационного моделирования и метода бутстреп изучено влияние модификаций на свойства метода PSM; показано, что цензурирование негативно сказывается на точности оценивания ценовых предпочтений, в то время как привлечение дополнительной информации может улучшить его качество, в том числе и при наличии любого вида цензурирования.
В данной работе аналитически показана асимптотическая нормальность оценок ценовых значений, полученных с помощью метода PSM. Это позволяет находить доверительные интервалы для каждого из искомых уровней цен.
1. Метод измерения ценовой чувствительности PSM
Рассмотрим последовательность проведения маркетингового исследования согласно методу PSM. На начальном этапе N представителям целевой аудитории предлагается попользоваться товаром на протяжении некоторого периода времени для того, чтобы они смогли объективно воспринять его потребительскую ценность. Далее каждому участнику задаются следующие вопросы:
1. Ниже какого уровня цены х товар кажется Вам настолько дешевым, что начинают возникать подозрения о том, что он некачественный или поддельный?
2. Какая цена х 2 для Вас является приемлемой для покупки товара?
3. Какая цена Х3 кажется Вам высокой, однако Вы еще рассматриваете вопрос о покупке?
4. Начиная с какого уровня цены х4 товар кажется Вам настолько дорогим, что вопрос о покупке даже не ставится?
Рассмотрим цены в пунктах 1-4 как случайные величины X^, ] = 1,4 , с соответствующими
функциями распределения (х) = Р (X^ < х). Тогда результаты опроса можно представить как четырехмерную выборку (хи,Хк2,Хкз,Хк4), к = 1,N, при этом выборочные элементы можно рассматривать как независимые между собой, так как в процессе исследования представители целевой аудитории не могут оказать влияние друг на друга (опрос проводится тайно, желательно опрашивать каждого респондента отдельно).
Ш
; s3w : F4M
->-
:
S-1M
F2W : :
—*-§зМ -F2W ' -*-F4M
: -■—
--«-ii-i-i-
- пш1 ioni *безр - тях 3
Рис. 1. Кривые ценовой чувствительности метода PSM Fig. 1. Price sensitivity curves of PSM method
По каждому выборочному вектору Xy,X2j-,...,XN ^ случайной величины Xj, j = 1,4 , построим эмпирическую функцию распределения Fj (х) по формуле
1 N i \
FJ (х) = -Z1[0,х)\хи ) (1)
где I[ox)Q - индикаторная функция. Для i = 1, 3 рассмотрим эмпирическую оценку функции выживания
Si(x) = 1 (2)
Отобразим функции (1) и (2) на рис. 1. Эти функции называют кривыми ценовой чувствительности (Price Sensitivity Curves). Обычно на практике кривые предварительно кусочно-линейно сглаживают, а затем находят искомые цены (рис. 2).
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
0 ....
*опт ^безр *max х
Рис. 2. Сглаженные кривые метода ценовой чувствительности PSM Fig. 2. Smoothed price sensitivity curves of PSM method
В качестве рекомендуемого диапазона цен рассматривается отрезок, левый конец которого -абсцисса точки пересечения FA (x) и S (x) - «оптимальная цена» хопт, правый - значение, соответствующее пересечению F2(x) и 5з(х) - «ожидаемая цена», или «точка безразличия» Х6езр. Назначать цену ниже минимально возможной xmin не рекомендуется, так как потребители будут воспринимать товар как некачественный. Если назначить цену выше максимально возможной x , то потребители будут воспринимать товар как необоснованно дорогой.
2. Расчет ценовых значений методом PSM
Рассмотрим случай, когда метод PSM базируется на не сглаженных кривых, а на эмпирических функциях распределения, представляющих из себя ступенчатые функции. Заметим, что пересечением оценок кривых ценовой чувствительности могут являться отрезки, при этом в качестве искомой цены будем рассматривать их правые границы. Например, для точки безразличия £безр (см. рис. 1) формула
для определения цены принимает вид:
^ = max{ x:F2(x) = £з(x)} . Если несколько участников исследования назвали одинаковые цены, то возможна ситуация, когда пересечения не существует (см. xmin на рис. 1), в результате искомая цена определяется следующим образом:
xmin = x: S (x + 0)<F3 (x)<Si (x).
В итоге для i = 1,3 и j = 2, 4
X(iJ) =
max {х: Fj (х) = S,. (х)|
х: S (х + 0) < F (х) < S (х),
х: F (х) < Sj (х) < F (х + 0), при этом х(12) = хта, х(14) = Хопг, х(32) = Хб, х(34) = Xmax . Заметим, что для i = 1,3 и j = 2, 4 истинное
значение х(j) есть абсцисса точки пересечения теоретических кривых F (х) и Sj(х) , которая определяется в общем виде из уравнения
Fj (х) = 1 - F (х) (3)
или, что то же самое,
(F (х) + Fjj х))/ 2 = 0,5. Для i = 1,3 и j = 2, 4 рассмотрим функции
Gj (х) = (F (х) + Fj (х))/2. (4)
Очевидно, что Gj (х) есть функция распределения. Таким образом, решением уравнения (3) является медиана функции распределения (4), то есть такое значение х(^), что G (х(;] ) = 0,5 или
^ = G- (0,5) = sup {х :Gj (х) < 0,5}, (5)
где Gj1 (•) - обратная к Gj (х) функция.
Найдем статистическую оценку решения (5). Для этого по двумерной выборке (Хц, Xj), k = 1, N, для i = 1,3 и j = 2, 4 построим оценки функции распределения (4)
Gj (х) = (F (х) + Fj (х))/2. (6)
Оценки (6) являются несмещенными, т.е. MG^ (х) = G^ (х) , с дисперсией DGу (х) = о2 (х) / N, где
4 (х) = X • (f (х)(1 - F (х)) + Fj (х)(1 - Fj (х))+ 2(Fj (х, х) - Ft (x)F. (х)))=
= >/ • (Fi- (х) + Fj (х) - (F (х) + Fj (х))2 + 2Fj (х, х)). Здесь Fj (y, z) - совместная функция распределения случайной величины Xj и Xj для i = 1,3 и j = 2, 4, Fj (y, z) Ф F (У) • Fj (z), так как случайные величины X{ и Xj не являются независимыми. Кроме того, в силу центральной предельной теоремы
4/N •(Gj (х) - Gj (х))) =
1 NL (X..)-F(х) + Л. ,(X..)-F (х)' . .
VN• 1 ]Г[0,х)( ki) '() ) j() N(0,о2(х)) . (7)
N k=1 2
Таким образом, оценки ценовых значений х(j' могут быть получены путем подстановки оценки (6) в (5) с последующим вычислением по формуле:
XS = Gj1 (0,5) = sup { х :Gj. (х) < 0,5}. (8)
Это приводит к значению (N + 1)-й порядковой статистики в объединенной выборке объема
2N, составленной из выборок { Xb } и { Xkj }, k = 1,N, т.е. X0'j5) = XjjJ-1
( N+1)
(ij)
(N +1) .
3. Асимптотическая нормальность оценок PSM
Для доказательства асимптотической (N ^го) нормальности оценок (8) воспользуемся методом, изложенным в [21]. Представим (8) в виде функционала от оценки функции распределения (6)
x0j = t G J, (9)
в область определения которого входит теоретическая функции распределения G(x) и все функции вида
Gj (x) = G(x) +1((% (x) - G(x)) t G [0; 1].
Обозначим
ф) = T[Gj J, t <=[0;1].
Асимптотические свойства x(j определяются первой отличной от нуля производной функции ■q(t) в точке t = 0. Найдем производную ^(t) . Для этого рассмотрим уравнение
H (t, x0j ) = Gj (x0!5))-0,5 = о,
которое при t = 1 переходит в (9). Пусть уравнение H (t, x0j) = 0 определяет неявным образом значение функционала T[Gj J для всех t е[0,1]. Дифференцируя функцию ^(t) по t как неявную, имеем в точке t = 0
Gj (x0j5)-Gj (x0j5)) Gj (x0j5))-0,5
„ m 8H / 8t
n(t = 0) =-7-7
8H / 8Xj
е , (^) е , (хО.) '
где (х) — (/ (х) + /. (х))12 - плотность функции распределения О,(х), при этом предполагается,
что для т — 1,4 существуют /т (х) - плотности функции распределения — (х) и ^ (х^]) Ф 0. Отсюда и из (7) следует, что при N ^ да имеет место асимптотическая нормальность оценок (8):
Ь(^•(х, -х0"N(0;^), (10)
где у2 = Г.. х,]/(2(х,)).
Выражение (10) позволяет строить приближенные доверительные интервалы для х с заданной доверительной вероятностью 0 < у < 1:
у(у) ^(1+у)/2 •уу ^ (,) у(,) , г(1+у)/2 •у у ,т
^ х^5" + ' ( )
где г(1+у)/2 - квантиль уровня (1 + у) / 2 стандартного нормального распределения,
■у -V 2-у I х0У5, х0У5 Щ [ х0У5 )+/ (х0У5)), ('2)
/ (х), /у (х) - состоятельные оценки плотностей в точке х — х..
4. Состоятельность оценок
Покажем состоятельность оценок (5) и (12). Очевидно, что для г —1,3 и ] — 2, 4 функции распределения Гх, у] непрерывны, так как плотности существуют только для непрерывных случайных У
величин, следовательно, обратные к Г.[х, у] функции также существуют и являются непрерывными.
и
Воспользуемся интегральными преобразованиями [22]
X(Ь) = U{ks)= Р8(х^)], Х^ = ), иь = ^(х^), (13)
где для ^ = 1,4 Х(ку) - к-я порядковая статистика выборки {х^}, и^ - равномерная в [0, 1] с.в., и(к5) - к-я порядковая статистика выборки }. Нетрудно убедиться, что смесь с.в. Цц} и Цк/}, г = 1, 3 и / = 2, 4, к = 1, N, распределена равномерно в [0, 1], следовательно, для медианы
Ц0,5=в (у)=(р (х»))+Р (х» 1) ))/2
объединенной выборки {Цк} объема 2N верно неравенство Чебышёва:
и- - I ) ви05
p{|Uo,5 -ЕЦ05\ < е}> 1--205' Уе >
где [22]
ЕЦ05 ,
0,5 2 N +1
ви »• (2» - N+1) =_N__>0
0,5 ( 2N + 2)^ ^ +1)2 2 • ^ +1)2 —да Следовательно, и0 5 ———■1.
' N—да 2
Заметим, что в силу непрерывности функций распределения Р- (х, ) и функции распределения
У
ву (х) = (р (х)+Р/ (х)) 2 являются непрерывными, следовательно, их обратные функции также непрерывны. Отсюда, согласно первой теореме непрерывности [23], верно следующее
в' (Ц0,5 )———* в
А 1 Л
1
V 2 у
из чего следует состоятельность оценки = Х((/)+1) (5). Согласно [23] для любого фиксированного х
Р5 (х х)—Р— рц (х x),
У N—-да У
следовательно, в силу первой теоремы непрерывности [23] р. I хх^ )——— р. I х( /5), х( /5)) для негу V , , у N—да V/ V , ' у
прерывной функции Р ■ (х, х). Аналогично в силу первой теоремы непрерывности верно, что У
к\2Ру V х0:5),
Пусть для 5 = 1,4 плотности /„ (х) непрерывны и / (х) > 0. Рассмотрим ядерные оценки плот-
ностей (х) Розенблатта-Парзена [24, 25]:
1
/ (х) =-У К
Ы >=1
^х-X ^
V К у
где К (х) - ядро оценки (обычно это некоторая плотность распределения вероятностей), при этом
должны выполняться следующие условия:
+да
К5 (г) > 0, ¿еЯ, | К5 (г= 1, sup К5 (г) < да, lim К (г) = 0,
—да
геЯ |г—да
N
здесь hN - параметр размытости (последовательность положительных величин, такая, что
+ю +ю
lim hN = 0, [ tKs (t)dt = 0, Г)dt <ю, lim NhsN = ю), тогда fN (x) является состоятельной оцен-
N ^ю J N
-ю -ю
кой непрерывной функции /5 (х). Из этого следует состоятельность /. (х(. ) и /.(х(у)) в точке
(/ (х) сходятся по вероятности к непрерывной функции, отсюда по первой теореме непрерывности следует состоятельность в точке хЦ]).
Так как для 5 —1,4 / (х) > 0 и непрерывны, то функция _1_ также непрерывна, сле-
f ( x ) + fj ( x )
довательно, по первой теореме непрерывности
1 p 1
/)+/у(хоу)) / (х0у))+(х0у))■
Таким образом, в силу непрерывности произведения функций ¡2Г- (х, х) и —^г-^т
V у / (х) + /у (х)
при / (х)> 0 имеет место состоятельность оценки (12).
5. Метод PSM в анализе цены нового программного продукта
Рассматриваемый метод применялся в задаче определения цены нового программного продукта (1111), выводимого на рынок товаров производственного назначения В2В. В анкетировании принимали участие представители 52 организаций, которым в тестовом режиме в течение двух месяцев предоставлялась возможность воспользоваться 1111. В целях сохранения коммерческой тайны результаты опроса масштабированы и приведены в табл. 1 в условных единицах (у.е./ед.). Итоги подсчетов цен - выборочных медиан - показаны в табл. 2. Предприятию целесообразно назначать цену продажи в диапазоне 205-379 у.е./ед.
Таблица 1
Результаты опроса потребителей по методике PSM (у.е./ед.)
№ X i X 2 X 3 X 4 № Xi X 2 X 3 X 4 № X i X 2 X 3 X 4 № X i X 2 X 3 X 4
1 53 145 204 257 14 109 251 302 360 27 159 277 359 428 40 196 307 403 591
2 58 172 239 287 15 116 253 308 363 28 162 280 362 432 41 198 308 408 611
3 60 173 253 290 16 125 255 310 365 29 163 284 364 436 42 200 311 408 620
4 66 175 254 301 17 126 256 313 374 30 165 286 367 439 43 205 313 424 643
5 73 186 256 302 18 129 257 315 379 31 165 288 367 454 44 206 313 427 660
6 78 186 257 305 19 130 262 333 382 32 167 291 368 462 45 209 314 430 685
7 82 186 260 309 20 138 262 335 384 33 173 293 373 467 46 225 320 438 690
8 85 199 274 318 21 144 264 339 390 34 181 294 374 472 47 238 322 439 773
9 95 201 277 322 22 148 266 341 398 35 183 295 377 489 48 259 323 474 838
10 103 202 279 324 23 151 266 350 418 36 184 300 381 522 49 270 327 474 869
11 104 220 283 327 24 152 271 350 419 37 186 301 391 526 50 288 336 508 1152
12 108 222 293 352 25 155 274 354 421 38 186 303 394 529 51 290 343 581 1309
13 108 236 294 359 26 157 276 355 422 39 193 306 399 560 52 301 361 655 1350
Знание асимптотической нормальности оценок позволило построить доверительные интервалы для каждой цены с вероятностью у — 0,9 (см. табл. 2), где значения Vу (12) рассчитывались с использованием ядерных оценок плотностей с гауссовым ядром. Доверительные интервалы для у — 0,9 бы-
ли также смоделированы бутстреп-методом с объемом бутстреп-выборки М = 65 536. Результаты приведены в табл. 2. На рис. 3 показаны гистограмма, построенная по бутстреп-выборке медиан
Х^13, и плотность нормального распределения с параметрами, оцененными по бутстреп-выборке
(см. табл. 2).
Таблица 2
Результаты оценивания числовых характеристик и доверительных интервалов
Ы15) _ - x = xmin x(14) = xonl x(32) = x x = Лбезр x<34> = xmax
Оценки х® 205 290 306 379
Средние по бутстреп-выборке 206,80 289,88 303,21 376,51
Среднеквадратическое отклонение по бутстреп-выборке 11,00 10,93 6,90 6,02
У 0,9 0,9 0,9 0,9
2(1+у)/2 1,645 1,645 1,645 1,645
А— 2(1+у)/2 25,07 18,42 13,73 12,15
Нижняя граница интервала - Д 179,93 271,58 292,27 366,85
Верхняя граница интервала х(у5) + Д 230,07 308,42 319,73 391,15
Д£ по бутстреп-выборке 2,51 2,49 1,57 1,37
Нижняя граница интервала Х^ - Д 204,29 287,38 301,64 375,14
Верхняя граница интервала Х^ + Д£ 209,31 292,37 304,79 377,88
0,04 -г
0,035 -■
0,03 -■
0,025 -■
0,02 -■
0,015 -■
0,01 -■
0,005 -■
0 -I-——I--—I--—,--—,-=--
155 175 195 215 235 255
Рис. 3. Гистограмма бутстреп-выборки X(f и плотность N(206,8; 11,0) Fig.3. Bootstrap histogram of X¿12) and corresponding density N(206,8; 11,0)
Таким образом, предприятию рекомендовано рассмотреть в качестве базовых бутстреп-интервалы для оптимальной цены, позволяющей захватить большую долю рынка X^4 е( 287,38; 292,37) у.е./шт., а также для цены безразличия, которая выше оптимальной, но применяется для подчеркивания престижности и статусности товара Xq253) е (301,64; 304,79) у.е./шт.
Заключение
В работе показаны асимптотическая нормальность и состоятельность оценок ценовых значений метода PSM. На основании этого построены приближенные доверительные интервалы, в которых использованы оценки совместной функции распределения и плотностей. Расчеты по реальным дан-
ным результатов опроса представителей организаций - потенциальных потребителей нового программного продукта - показали, что эти доверительные интервалы шире в сравнении с доверительными интервалами, построенными методом бутстреп.
При формировании стратегии ценообразования производителю рекомендуется использовать в качестве базовых бутстреп-интервалы для оптимальной цены, позволяющей охватить большую долю рынка.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kotler P., Armstrong G. Principles of Marketing. Prentice-Hall, 2016. 398 p.
2. Коржов М.М., Кузин Д.А. Сравнительный анализ и практическое применение методов ценообразования с ориентацией на
спрос // Новости маркетинга. 2007. № 4. С. 9-17.
3. Westendorp P.H. NSS - Price Sensitivity Meter (PSM) - A New Approach to Consumer Perception of Prices // Venice Congress
Main Sessions, European Marketing Research Society (ESOMAR). Amsterdam, 1976. Р. 139-167.
4. Lipovetsky S. Van Westendrop Price Sensitivity in Statistical Modeling // International Journal of Operations and Quantitative
Management. 2006. V. 12, No. 2, P. 141-156.
5. Lipovetsky S., Magnan S., Polzi A.Z. Pricing Models in Marketing Research // Intelligent Information Management. 2011. No. 3.
P. 167-174.
6. Roll O., Achterberg L.H., Herbert K.G. Innovative approaches to analyzing the Price Sensitivity Meter: Results of an international
comparative study // COMBI2010 Conference proceedings. Vantaa, 2010. P. 181-193.
7. Müller H. Empirische Untersuchung zur Messung der Preiswahrnehmung mittels Pricesensitivity-Meter // Marketing Zeitschrift
für Forschung und Praxis. 2009. No 3. P. 171-182.
8. Hofmann T., Lederle D., Felsch M. Innovative Verfahren der empirischen Preisforschung // Planung & Analyse, 2006. No. 6.
Р. 28-33.
9. Wildner R. Marktforschung für den Preis // Jahrbuch der Absatz- und Verbrauchsforschung. 2003. No. 49 (1). Р. 4-26.
10. Nagle T.T., Holden R.K. The Strategy and Tactics of Pricing: A Guide of Profitable Decision Making. 2nd ed. Prentice-Hall. Englewood Cliffs. NJ, 1995.
11. Kupiec B., Revell B. Measuring consumer quality judgments // British Food Journal. 2001. № 103 (1). Р. 7-22.
12. Comley P. What do we know about Pricing research // WARC. Admap, 1997. No. 1.
13. Журко Е.С., Зенкова Ж.Н. Метод ценообразования PSM для случая цензурированных выборок малого объема // Логистические системы в глобальной экономике. Красноярск : СибГАУ, 2016. С. 152-157.
14. Журко Е.С., Зенкова Ж.Н. Влияние априорной информации на результаты метода ценообразования на товар-новинку PSM // Актуальные проблемы и перспективы развития государственной статистики в современных условиях : III Меж-дунар. науч.-практ. конф. Саратов : Саратовстат, 2017. Т. 2. С. 66-68.
15. Журко Е.С., Зенкова Ж.Н. Метод ценообразования PSM для цензурированных данных с учетом квантиля // Наука. Технологии. Производство : междунар. союз ученых. СПб., 2015. № 9 (13). С. 13-16.
16. Журко Е.С., Зенкова Ж.Н. Модификация метода ценообразования PSM с учетом квантиля заданного уровня // Информационные технологии Сибири : сб. матер. Междунар. науч.-практич. конф. Кемерово : КузГТУ, 2016. С. 134-136.
17. Зенкова Ж.Н., Копнова Е.Е., Бараксанов Д.Н. Применение метода PSM и алгоритма Тёрнбулла при определении цены нового программного продукта // Высокие технологии, фундаментальные исследования, инновации : сб. докл. XVII Междунар. науч.-практ. конф. СПб., 2014. С. 301-305.
18. Зенкова Ж.Н., Краковецкая И.В. Маркетинговое исследование цены спроса по интервальным данным с привлечением информации о симметрии распределения // Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности и экономике. Высокие технологии, исследования, финансы : сб. докл. XV Междунар. науч.-практ. конф. СПб. : Политехн. ун-т, 2013. Т. 1. С. 101-104.
19. Зенкова Ж.Н., Краковецкая И.В. Непараметрическая оценка Тёрнбулла для интервально-цензурированных данных в маркетинговом исследовании спроса на биоэнергетические напитки // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 3 (24). С. 64-69.
20. Zenkova Zh., Krakovetckaia I. Marketing of New Bio-Energy Drinks // Theoretical and Empirical Reflections in Marketing. Athens Institute for Education & Research, ATINER, 2014. Р. 179-192.
21. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М. : Высшая школа, 1982. 256 с.
22. Шуленин В.П. Математическая статистика : учебник. Томск : НТЛ, 2012. Ч. 3: Робастная статистика. 520 с.
23. Боровков А. А. Математическая статистика. Новосибирск : Наука, 1997. 772 с.
24. Rosenblatt M. Remarks on some nonparametric estimates of a density functions // Ann. Math. Statist. 1956. V. 27, No. 3. Р. 832-837.
25. Parzen E. On estimation of a probability density function and mode // Ann. Math. Statist. 1962. V. 33. P. 1065-1076.
Поступила в редакцию 2 сентября 2018 г.
Dmitriev U.G., Zenkova Z.N., Zenkov A.G. (2019) STATISTICAL PROPERTIES OF PRICE SENSITIVITY METER RESULTS. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie vychislitelnaja tehnika i informatika [Tomsk State University Journal of Control and Computer Science]. 47. pp. 30-40
DOI: 10.17223/19988605/47/4
Price Sensitivity Meter (PSM) technique is used to estimate prices, which are maximal agreed to consumers. It is based on marketing survey of N target audience representatives' price preferences. The survey forms independent sample
(Xkl, XM, XM, XM), k = 1, N, where for the k-th respondent Xk1 is minimal acceptable, Xk2 - bargain, Xk3 is high but yet acceptable, Xk4 is too high prices. For j = 1,4 the empirical distribution functions Fj (x) = Zni I[ox)(X# )/n are considered, for i = 1,3 : S (x) = 1- F (x) . The final prices are found as the abscissas of Fj (x), j = 2,4 and S¡ (x), i = 1,3 , intersections as X(j) = |max|x:Fj(x) = St(x)|; x: St(x + 0)<Fj(x) <Si(x)|, which are the medians' estimates xj of G¡¡(x) = (f(x) + F}(x))/2.
It was proved that x(j = X((ij>+i) are (N + 1)-order statistics of a sample containing random values (Xki,Xkj), k = 1, N, and x(j are consistent and asymptotically normally distributed:
L[4N(y¡j - N(0; vj),
where vv = ^2F (x(i),x(j^g. (xj), FtJ(y,z) is a joint of X,. and X}, F (y,z) * F(y)F(z) because according to PSM for i,j = 1,4, i < j, prices X < X. and they are not independent; g.(x) are the density function of Gtj(x) . Here we suggested that
y
for m = 1,4 3 fm (x) and g^ (x(j5)) * 0 . Equation (1) allows finding approximate confidence intervals
XN+1) - Z(1+r),2 -vv / 4N < xO« < XN+1) + Z(1+r),2 -vv ¡4N,
where y e (0,1) is a confidence level, v.. = 2F. I x(j), x(i} \ | f ( x(i} | + f. ( x(i} | | is consistent estimate of v.. based on the
ij V lJ( 0,^0,5 j/ {J i 0,5) Jj{ 0,5)) j
sample containing (x^ , X^), k = 1, N, z(1+y)/2 is a ((1 + y)/2) - quantile of the standard normal distribution, g¡j (x) is a consistent
estimate of the density at x.
The method was applied to calculate price of new software for B2B market. There were surveyed N = 52 target audience representatives. Some recommendations about pricing were given to the enterprise.
Keywords: Price Sensitivity Meter (PSM); median; asymptotical normality.
DMITRIEV Yurii Glebovich (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, National Research Tomsk State University,
Tomsk, Russia)
E-mail: dmit@mail.tsu.ru
ZENKOVA Zhanna Nikolaevna (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate professor, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russia) E-mail: zhanna.zenkova@mail.tsu.ru
ZENKOV Andrei Gennadievich (National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, Russia) E-mail: zenkov@tpu.ru
REFERENCES
1. Kotler, P. & Armstrong, G. (2016) Principles of Marketing. Prentice-Hall.
2. Korzhov, M.M. & Kuzin, D.A. (2007) Sravnitel'nyy analiz i prakticheskoe primenenie metodov tsenoobrazovaniya s orientatsiey
na spros [Comparative analysis and practical application of demand-driven pricing methods]. Novosti marketinga. 4. pp. 9-17.
3. Westendorp, P.H. (1976) NSS - Price Sensitivity Meter (PSM) - A New Approach to Consumer Perception of Prices. Venice
Congress Main Sessions, European Marketing Research Society (ESOMAR). Proc. of the ESOMAR Congress. Amsterdam. pp. 139-167.
4. Lipovetsky, S. (2006) Van Westendrop Price Sensitivity in Statistical Modeling. International Journal of Operations and Quanti-
tative Management. 12(2). pp. 141-156.
5. Lipovetsky, S., Magnan, S. & Polzi, A.Z. (2011) Pricing Models in Marketing Research. Intelligent Information Management. 3.
pp. 167-174. DOI: 10.4236/iim.2011.35020
W.T. ffMumpuee, M.H. 3enKoea, AT. 3enKoe
6. Roll, O., Achterberg, L.H. & Herbert, K.G. (2010) Innovative approaches to analyzing the Price Sensitivity Meter: Results of an
international comparative study. COMBI2010 Conf. Proc. Finland: Vantaa. pp. 181-193.
7. Müller, H. (2009) Empirische Untersuchung zur Messung der Preiswahrnehmung mittels Pricesensitivity-Meter. Marketing
Zeitschrift für Forschung und Praxis. 3. pp. 171-1826. DOI: 10.15358/0344-1369-2009-3-171
8. Hofmann, T., Lederle, D. & Felsch, M. (2006) Innovative Verfahren der empirischen Preisforschung. Planung & Analyse. 6.
pp. 28-33. (In German).
9. Wildner, R. (2003) Marktforschung für den Preis. Jahrbuch der Absatz- und Verbrauchsforschung. 49(1). pp. 4-26.
10. Nagle, T.T. & Holden, R.K. (1995) The Strategy and Tactics of Pricing: A Guide of Profitable Decision Making. 2nd ed. New
Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs.
11. Kupiec, B. & Revell, B. (2001) Measuring consumer quality judgments. British Food Journal. 103(1). pp. 7-22. DOI:
10.1108/00070700110382911
12. Comley, P. (1997) What do we know about Pricing research. WARC. Admap. 1.
13. Zhurko, E.S. & Zenkova, Z.N. (2016) Metod tsenoobrazovaniya PSM dlya sluchaya tsenzurirovannykh vyborok malogo ob"ema
[PSM pricing method for small-sized censored samples]. In: Loginov, Yu.Yu. (ed.) Logisticheskie sistemy v global'noy ekonomike [Logistical systems in global economics]. Krasnoyarsk: M.F. Reshetnev Siberian State University. pp. 152-157 (In Russian).
14. Zhurko, E.S. & Zenkova, Z.N. (2017) [The influence of additional information on the PSM method results]. Aktual'nye problemy
i perspektivy razvitiya gosudarstvennoy statistiki v sovremennykh usloviyakh [Topical problems and development prospects of state statistics in modern conditions]. Proc. of the Third International Conference. Vol. 2. Saratov: Saratovstat. pp. 66-68. (In Russian).
15. Zhurko, E.S. & Zenkova, Z.N. (2015) PSM pricing method for censored data using quantile. Nauka. Tekhnologii. Proizvodstvo.
9(13). pp. 13-16. (In Russian).
16. Zhurko, E.S. & Zenkova, Z.N. (2016) [Modification of PSM pricing method considering predetermined level quantile]. Informa-
tsionnye tekhnologii Sibiri [Information Siberian Technology]. Proc. of the International Conference. Kemerovo. pp. 134-136. (In Russian).
17. Zenkova, Z.N., Kopnova, E.E. & Baraksanov, D.N. (2014) [The use of PSM method and Turnbull estimator in determination of
new software price]. Vysokie tekhnologii, fundamental'nye issledovaniya, innovatsii [High Technology, Basic Research, Innovation]. Proc. of the 17th International Conference. St. Petersburg. pp. 301-305. (In Russian).
18. Zenkova, Z.N. & Krakovetskaya, I.V. (2013) Marketingovoe issledovanie tseny sprosa po interval'nym dannym s privlecheniem
informatsii o simmetrii raspredeleniya [Marketing research of demand price for interval-censored data using additional information about symmetry of distribution function]. In: Vysokie tekhnologii, issledovaniya, finansy [High technology, research, finance]. Vol. 1. St. Petersburg: St. Petersburg Polytechnic University. pp. 101-104.
19. Zenkova, Z.N. & Krakovetskaya, I.V. (2013) Nonparametric Turnbull estimator for interval-censored data in marketing research
of demand on bio-energy drinks. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 3(24). pp. 64-69. (In Russian).
20. Zenkova, Z.N. & Krakovetskaya, I.V. (2014) Marketing of New Bio-Energy Drinks. In: Grigoriou, N. & Veloutsou, C. (eds)
Theoretical and Empirical Reflections in Marketing. Greece: Atiner. pp. 179-192.
21. Kovalenko, I.N. & Philippova, A.A. (1982) Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika [Theory of probability and
mathematical statistics]. Moscow: Vysshaya shkola.
22. Shulenin, V.P. (2012)Matematicheskaya statistika [Mathematical statistics]. Tomsk: NTL.
23. Borovkov, A.A. (1997)Matematicheskaya statistika [Mathematical statistics]. Novosibirsk: Nauka.
24. Rosenblatt, M. (1956) Remarks on some nonparametric estimates of a density functions. Annals of Mathematical Statistics. 27(3).
pp. 832-837. DOI: 10.1214/aoms/1177728190
25. Parzen, E. (1962) On estimation of a probability density function and mode. Annals of Mathematical Statistics. 33. pp. 1065-
1076. DOI: 10.1214/aoms/1177704472
