Анализ инвестиционных проектов в условиях интервальной неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 336.763:336.67 (075.4)

С.Н. Авдеенко, В. В. Домбровский

АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ В УСЛОВИЯХ ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Для анализа инвестиционных проектов предлагается использовать методы интервальной математики. Выведены формулы для расчета чистого приведенного дохода. Приведены результаты численных расчетов.

Анализ инвестиционных проектов заключается в оценке и сравнении эффективности альтернативных проектов. Измерителями эффективности применяют как формальные характеристики, основанные на дисконтировании потоков ожидаемых поступлений и расходов, так и показатели, определяемые на основе данных бухгалтерского учета. Для оценки эффективности инвестиционных проектов используют четыре основных показателя: чистый приведенный доход (NPV), срок окупаемости, индекс рентабельности, внутреннюю норму доходности (IRR) [1]. Расчет этих показателей основан на принципе дисконтирования потоков платежей. Предполагаются известными размеры расходов и будущих поступлений от инвестиционной деятельности и рыночная процентная ставка »- "ставка сравнения flj (точнее, про гноз ее значения на будущее). На практике эти величины точно неизвестны, но можно, как правило, с достаточной степенью достоверности задать интервалы, в которых они лежат. В этом случае для анализа инвестиционных проектов можно применить методы интервальной математики [2-6]. В данной работе с помощью обобщенной интервальной арифметики [2] рассмотрена задача определения одного из наиболее часто применяемых на [фактике показателей - чистого приведенного дохода в условиях интервальной неопределенности.

Основные результаты

Под чистым приведенным доходом понимают разность дисконтированных на один момент времени показателей дохода и капиталовложений [1].

Пусть поток поступлений характеризуется величинами € [ä,(,),/?<"], причем эти величины могут

быть как положительными (доходы от инвестиций), так и отрицательными (инвестиционные расходы). Ставка сравнения q е \qx, q2 ]. В соответствии с правилами обобщенной интервальной арифметики [2] представим каждый член потока поступлений Rи

ставку сравнения q в следующем виде:

Я »

где R^ - середина интервала [ä^,/?^]:

Rv> = -

1+/?(')

- ширина интервала :

(») _ 2 к\

sy =

Ставка сравнения

Я = Яо +«V

где q0 - середина интервала [¿7,, <?2 ]: q0 =

25, - ширина интервала [дг,, <?2 ],

Тогда интервальное значение чистого приведенного дохода определится по формуле

1

(1)

+

Используя правила обобщенной интервальной арифметики [2], вычислим выражение

+ и.

Обозначим:

1=1

И

Тогда можно записать

Подставим это выражение в формулу (1) для чистого приведенного дохода. Получим

[l + qt+uj

«Z;

.'[А^А^и^В^В^

По правилу деления обобщенных интервальных чисел получаем

+ U

4] 4У

dp' Df

—и„

L Щ

w

Dl

w

где Д« = D<'> = A^A? + B«,f ).

Окончательный результат получим, заменив и

и и

(0

на соответствующие ограничивающие интервалы: иц - на [-jf,jf], - на [-4".4°]:

fye[fVt,W2], (2)

где

а!

Ъ-ПЪг'Я-

4м

+ S

А(,)

21__с

D,w *

"1Ö + V

D\

z><'>

Результаты численных расчетов

Исходные данные и результаты расчета чистого приведенного дохода приведены в таблице. Обозначения в таблице: ¡|, ¡2 - нижняя и верхняя границы ставки сравнения; п - срок инвестиционного процесса; - платежи, заданные интервалами, причем со знаком «-» - инвести-

ционные расходы; Wig, W2g - нижняя и верхняя границы чистого приведенного дохода, рассчитанного с помощью обобщенной интервальной арифметики. Вычисления проводились по формуле (2).

Результаты численных расчетов подтверждают возможность и перспективность использования методов интервальной математики в финансовом анализе.

Таблица1

Динамика чистого приведенного дохода при изменении границ ставки сравнения и платежей

Ставка в процентах Срок Платежи Чистый приведенный доход

»1 ¡2 п Ro R. R2 R3 R4 R$ W,g

48,64 49,36 5 -159,0 92,5 83,5 100,5 191 94,5 21,579 32,737

-155,0 96,5 85,5 102,5 194 95,5

48,68 49,32 5 -158,9 92,6 83,6 100,6 191,1 94,6 21,981 32,336

-155,1 96,4 85,4 102,4 193,9 95,4

48,72 49,28 5 -158,8 92,7 83,7 100,7 191,2 94,7 22,382 31,935

-155,2 96,3 85,3 102,3 193,8 95,3

48,76 49,24 5 -158,7 92,8 83,8 100,8 191,3 94,8 22,783 31,535

-155,3 96,2 85,2 102,2 193,7 95,2

48,8 49,2 5 -158,6 92,9 83,9 100,9 191,4 94,9 23,183 31,135

-155,4 96,1 85,1 102,1 193,6 95,1

48,84 49,16 5 -158,5 93 84 101 191,5 95 23,583 30,735

-155,5 96 85 102 193,5 95

48,88 49,12 5 -158,4 '93, Г ' 84,1' ' 101,1* 191*6' 23,983 30,336

-155,6 95,9 84,9 101,9 193,4 94,9

48,92 49,08 5 -158,3 93,2 84,2 101,2 191,7 95,2 24,382 29,937

-155,7 95,8 84,8 101,8 193,3 94,8

48,96 49,04 5 -158,2 93,3 84,3 101,3 191,8 95,3 24,780 29,538

-155,8 95,7 84,7 101,7 193,2 94,7

49 49 5 -158,1 93,4 84,4 101,4 191,9 95,4 25,179 29,140

-155,9 95,6 84,6 101,6 193,1 94,6

ЛИТЕРАТУРА

1. Четыркин ЕМ. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело ЛТД 1995.

2. Хансен Э.Р. Вычисление нулей функции при помощи обобщенной интервальной арифметики // Интервальные вычисления. 1993.

№3. С. 3-28.

3. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. |

4. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

5. Дамбровский В.В. Интервальные методы анализа инвестиций // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной ма-

тематике (ИНПРИМ-98): Тезисы докладов. Новосибирск, 1998. Ч. III. С. 133-134.

6. Дамбровский В.В. Интервальные методы в управлении финансами // Международная конференция по проблемам управления: Те-

зисы докладов. М., 1999. Т 2. С. 213-214.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 22 февраля 2000 г.

УДК 519.2

Р. Т. Валеев, А. Ф. Терпугов

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕН САМУЭЛЬСОНА

ПО «ЯПОНСКИМ СВЕЧКАМ»

Находятся и исследуются оценки параметра тренда и волатильности процесса изменения цены финансового актива в модели изменения цен Самуэльсона по ценам открытия и закрытия, а также по максимальной и минимальной цене за период торговой сессии.

Введение

Технические методы анализа фондового и финансового рынков получили в настоящее время очень широкое распространение. Наряду с методами, имеющими теоретическое обоснование (например, метод скользящего среднего, метод осцилляторов), имеется целый ряд методов, для которых техническое обоснование отсутствует. К таким методам отно-