CC BY
44
Вычислительные технологии
Том 7, № 1, 2002
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННОЙ ИНТЕРВАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ ДЛЯ АНАЛИЗА ФИНАНСОВЫХ
ОПЕРАЦИЙ
С. Н. Авдеенко, В. В. Домвровский Томский государственный университет, Россия e-mail: [email protected], [email protected]
In the present paper the use of interval arithmetic methods for the analysis of financial transaction is suggested. The formulas for main characteristics are obtained with the help of generalized interval arithmetic. The computational results are presented.
Введение
Современные финансово-банковские операции (коммерческие сделки, инвестиции в реальные или финансовые активы, кредитные соглашения) предполагают, как правило, вложения и поступления распределенных во времени денежных сумм. Эффективность подобных операций зависит от ряда параметров и условий, оговоренных в контрактах: размеров денежных сумм, процентной ставки, сроков выплат и поступлений и др.
Объектом финансового анализа в данном случае являются потоки платежей — суммы распределенных во времени денежных расходов и поступлений, предполагаемых в результате реализации операции. Расчет показателей эффективности таких операций основан на фундаментальном в финансовом анализе принципе дисконтирования денежных потоков [1-3]. При этом предполагается точное задание всех параметров операции: размеров инвестиционных доходов и расходов, значения рыночной ставки процентов (рыночной нормы доходности, ставки сравнения [1-3]). При решении многих практических задач, как правило, ни инвестиционные расходы, ни тем более будущие инвестиционные доходы и будущая рыночная ставка процентов точно неизвестны. Но всегда можно с достаточной степенью достоверности задать интервалы, в которых они лежат. В этом случае адекватным математическим аппаратом для количественного анализа денежных потоков, связанных с финансовыми операциями, могут служить методы интервального анализа [4-8]. Применение интервального анализа позволяет заключить в интервалы решения задач, о входных данных которых известно лишь то, что они лежат в некоторых интервалах.
Как известно, существует несколько способов представления интервальных величин: обычная интервальная арифметика [4-6, 8], обобщенная интервальная арифметика [9], арифметика Каухера [7]. В работе [10] анализ потоков платежей в условиях интервальной неопределенности проведен с использованием обычной (классической) интервальной арифметики.
© С.Н. Авдеенко, В. В. Домбровский, 2002.
В данной работе для расчета и анализа основных обобщающих характеристик интервальных денежных потоков (под интервальным потоком будем понимать поток платежей, параметры которого — размеры платежей и процентная ставка — задаются интервалами) и эффективности инвестиционных проектов (ИП) применяется обобщенная интервальная арифметика. Выведены формулы для вычисления этих характеристик с использованием обобщенной интервальной арифметики и проведен сравнительный численный анализ результатов, полученных в обычной и обобщенной арифметиках.
1. Основные понятия обобщенной интервальной арифметики
Рассмотрим интервал X шириной 2в. Пусть х — середина интервала X. Тогда любая точка в этом интервале может быть представлена как х + и для некоторого значения и, удовлетворяющего условию — в < и < в. Следуя [9], запишем X = х + и, несмотря на то,что X — интервал, а х + и — некоторое число из этого интервала. Согласно [9], интервальное представление f (X) любой функции записывается в форме f (X) = А + Ви, где А и В — интервалы. Арифметические действия с интервальными функциями в обобщенной интервальной арифметике производятся согласно следующим правилам. Пусть д^) — интервальная функция, представленная в виде д^) = С + Ди, где С и Д — интервалы. Сложение и вычитание
f (х) ± д(х) = (А + Ви) ± (С + Ди) = (А ± С) + (В ± Д)и. (1)
Умножение
f (X )д^) = (А + Ви)(С + Ди) = АС + (АД + ВС)и + ВДи2. (2)
Ограничиваем и2 интервалом [0, в2] и окончательно получаем ) = f (X)д^) = Е + Ди, где
Е = АС + ВД [0, в2] , Д = АД + ВС.
Деление
ь(у) = М- А + Ви = А + ВС — АД
Л(А )= д(х) = С + Ди = С + С (С + Ди)и (3)
В знаменателе заменим и интервалом [—в, в]. Получим ) = Е + Ди, где
Е = А; Д = ВС — АД (4)
С С (С + Д[—8,8])' '
Если функции f и д зависят от п интервальных переменных XI с шириной Wi соответственно XI = хг + иг, где иг £ [—в,, вг], то они представляются в форме
п п
f (X) = Ао + 5"] Аги„ g(X) = Во + ^ Вги„
г=1 г=1
где Аг, В, (г = 1, 2, ... , п) — интервалы. Результатом арифметических действий с этими функциями будет функция
) = Со + ^ С,
п
гиг,
г=1
где для сложения
С = Л + Бг (г = 0,1,
для вычитания
Сг = Аг - Бг (г = 0, 1, . . . , п),
для умножения
п
Со = АоБо + АгБг [0^] ,
г=1
п
Сг = АоБг + АгБо + ^ ДБ, [-в,-, в,-] (г = 1, 2, ..., п),
¿=1
для деления
где
Бо + Бг [-вг, вг]
г=1
п
Получив результат как функцию, линейно зависящую от м1,И2, • • • , ип, мы "доводим" ее до интервала заменой каждой переменной иг на ограничивающий ее интервал [—вг, вг].
2. Анализ потоков платежей
Для анализа потоков платежей необходимо уметь рассчитывать их основные обобщающие характеристики. Таких характеристик две: наращенная сумма и современная (приведенная) величина. Наращенной суммой потока платежей называют сумму всех последовательных платежей с начисленными на них процентами. Современной величиной потока платежей называют сумму всех платежей, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока или упреждающий его. Наращенную сумму определяют, например, чтобы знать общую сумму задолженности на какой-либо момент времени, итоговый объем инвестиций, накопленный на момент оценки денежный резерв. Современная величина является важнейшим показателем при оценке эффективности реальных и финансовых инвестиций, коммерческих сделок и т.д. [1-3].
Типичными потоками платежей, рассматриваемыми в финансовой математике, являются годовые ренты — потоки платежей, компоненты которых — постоянные положительные величины, а интервал между платежами равен одному году [1-3]. На платежи начисляются сложные проценты по заданной номинальной годовой ставке в общем случае несколько раз в год. Рассмотрим задачи определения указанных выше характеристик для интервальной годовой ренты.
2.1. Наращенная сумма годовой ренты с начислениями процентов т раз в год
Пусть платежи поступают один раз в год в конце года. Размер платежа зададим в виде интервала [Д, Д]. Общее количество платежей равно п. Проценты на платежи начисляются по номинальной (сложной) ставке 7 £ [7,7], 7 > 0, а число периодов начисления в
к
год равно ш. Таким образом, каждый раз проценты начисляются по ставке — €
ш
Представим платеж и ставку наращения в следующем виде:
Я = До + ид, — вд < ид < вд, где Д0 — середина интервала [Д, Я ] ; 2в д — ширина интервала [Д, Я ] ;
к
— = к0 + и,-; —в, < и,- < в, ш ^ ^ ^
к А
шш
к0 — середина интервала
к 1 шш
, 2в, — ширина интервала
к к шш
Сумма первого платежа Я = Д0 + ид. После первого начисления процентов наращенная величина первого платежа будет Д0 + ид + (Д0 + ид) (ко + и,) = (Д0 + ид) (1 + ко + и,). После второго начисления (Д0 + ид) (1 + ко + и,) + (Д0 + ид) (1 + ко + и,) (ко + и,) = (Д0 + ид) (1 + ко + и,)2. В конце первого года наращенная величина первого платежа составит (Д0 + ид) (1 + ко + и,)ш. Первый платеж потока платежей будет приносить проценты в течение п — 1 лет, второй — в течение п — 2 лет и т. д. Получаем ряд платежей с начисленными на них процентами:
(До + ид) (1 + ко + и, )ш(п-1) , (До + ид) (1 + ко + и,)ш(п-2) , . . .
На последний платеж проценты не начисляются, и он равен До + ид. Для определения наращенной суммы необходимо просуммировать получившийся ряд платежей. Выражение для интервального значения наращенной суммы имеет вид
5 = (До + ид) ((1 + ко + и, )ш(п-1) + (1 + ко + и,)ш(п-2) + ... + (1 + ко + и,)ш + 1) .
Нетрудно заметить, что данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию. Применяя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, получим
5 = (Д0 + ид) -,
(1+ ко + и, )шп — 1 (1+ ко + и, )ш — 1 .
Используя правила обобщенной интервальной арифметики (1) — (4), определим множитель наращения. Слагаемое в числителе представим в виде
(1+ ко + и,)шп = [А, А] + [В, В ] и,,
где
Г пт ] [ 2 ]
А =(1+ ко)пш , А =(1+ ко)пш + £ СпШ (1+ ко)пш-2к в?к, В = пш (1+ ко)
к=1
Г пт-1 ] [ 2 ]
В = пш (1+ ко)пш-1 + ^ Спш+1 (1+ ко)пш-1-2к в2к.
к=1
• чпш-1
Здесь квадратные скобки в верхнем пределе суммы обозначают целую часть числа. Слагаемое в знаменателе
(1+ ко + и, )ш = [С, С ] + [Д,Д ] и,,
где
[ т ]
С =(1+ ко)ш ; С =(1+ ко)ш + £ С2к (1+ ко)ш-2к в2к; Д = ш (1+ ко)ш-1
к=1
[]
Д = ш (1+ ко)ш-1 + ^ С2к+1 (1+ ко)ш-1-2к в2к
к=1
где
Применяя правила обобщенного деления и умножения и заменяя и, и ид на соответствующие интервалы, получим окончательное выражение для наращенной суммы:
5 € ] , (5)
5 = ДоК — вд (К + Мв,) — в,ЯоМ;
5 = Д0К + вд (К + Мв,) + в,Д0М;
К = А—Г; К =
М = —)()_— Д ~ 1) ; М = В (С - () - Д (А— .
— (С — 1) (С — 1 + Дв,-) (С — 1) (С — 1 — Дв,-)
2.2. Современная величина годовой ренты с начислением процентов т раз в год
Оценку современной величины годовой ренты определим на момент времени, совпадаю-
1
щий с началом ренты. Обозначим через V дисконтный множитель, V = -;—, V > 0.
1 + к/ш
11
Представим дисконтный множитель в виде обоб-
Следовательно, V € щенного интервала
1 + к/ш' 1 + к/ш
V = V) + иу, — ву < иу < ву,
где — середина интервала [V, V ], 2ву — ширина интервала [V, V ] .
Современная величина ренты определяется как сумма всех платежей, дисконтированных на момент оценки современной величины. Дисконтируя первый платеж на начало ренты, получим величину (До + ид) (V + иу)ш. Современная величина второго платежа (До + ид) (V + иу)2ш. Продолжая рассуждения, получим ряд современных величин платежей следующего вида:
(До + ид) (Vо + иу)ш , (До + ид) (Ио + иу)2ш , . . . , (До + ид) (V + иу)пш .
Суммируя эти величины по правилам обобщенной интервальной арифметики, получим выражение для интервального значения современной величины ренты
п
Р = (До + + Му)* .
к=1
Свернем полученное выражение по формуле геометрической прогрессии
Р /Е? ■ \(лг , + иУ)Пт - 1
Р = (До + иД)(К) + иУ ) -77Т-,-Ш-Г.
(И) + Му) - 1
Слагаемое в числителе представим в виде
(V + Му)пт = [А, А] + [Б, Б] Му,
где
Г пт-1 ] [ 2 ]
А = Иопт; А = Иопт + ^ СПтКпт-2к4к; Б = птИопт-1;
Г пт-1 ] [ 2 ]
Б = птИопт-1 + ^ Спт+1Иопт-1-2к4*. к=1
Слагаемое в знаменателе
(Ио + Му)т = [С, С ] + [Д,Д ] Му,
где
С = Иот; С = Иот + ^ СтИот-2к4*; Д = тИот-1;
где
к=1
[т-1 ]
Д = тИот-1 + ^ С^Ч™-1-2*4* к=1
Далее, применяя правила обобщенного деления и умножения и заменяя Му и Ми на соответствующие интервалы, получим окончательный результат:
Р £ [Р,Р ] , (6)
Р = ДоК - ви (К + Мву) - вуДоМ; Р = ДоК + ви (К + Мву) + вуДо М;
К = сА-1 ; К = + (С ^ - Д 1);
- -С - 1' С - 1 (С - 1) (С - 1 - Дву)'
А - 1 Б (С - 1) - Д (А - 1)
М = ДА-+ С ~ ) (_-;
— _С - 1 ~(С - 1) (С - 1 + Дву)
_ -А - 1 -Б (С - 1) - Д (А - 1) М = Д—-+ С^-/—~ _ ).
С - 1 (С - 1) (С - 1 - Дву)
3. Анализ инвестиционных проектов
Основными характеристиками эффективности ИП являются чистый приведенный доход (Net Present Value, NPV) и внутренняя норма доходности (Internal Rate of Return, IRR) [1-3]. NPV — это разность дисконтированных по ставке сравнения на один момент времени потоков доходов и вложений. IRR — это расчетная ставка процентов, при которой NPV проекта равен нулю. Экономический смысл данного показателя в том, что он дает верхнюю оценку нормы дисконтирования, при которой проект еще приносит доход. В интервальной постановке задача определения NPV сводится к определению современной величины интервального денежного потока, компоненты которого, в общем случае не равные интервалы, могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Задача определения IRR сводится к проблеме отыскания положительного корня интервального полинома. Рассмотрим сначала задачу определения чистого приведенного дохода.
Пусть проект описывается интервальным денежным потоком, компоненты которого
характеризуются величинами
R(t) е
и могут быть как положительными (дохо-
ды от инвестиций), так и отрицательными (инвестиционные расходы). Ставка сравнения q € [^д] .
В соответствии с правилами обобщенной интервальной арифметики представим каждый член потока Л(4) и ставку сравнения q в следующем виде:
R(t) = R« + u(t)
R
SR < UR < SR ,
где R?,
2s
(t) R
середина и ширина интервала
R(t),R
w
q = q0 + Uq, -Sq < Uq < Sq
где qo, 2зд — середина и ширина интервала [д, д] .
Тогда значение чистого приведенного дохода определится по формуле
W = £ (R0t) + u
R) .
(1 + qo + Uq
(7)
Используя правила обобщенной интервальной арифметики, вычислим выражение, стоящее в знаменателе:
(1 + qo + Uq )*
A(t),A
W
+
в (t),B
(t)
Uq
где
A(t) = (1 + qo)t; A(t) = (1+ qo)t + £ Ct2k (1 + qo)t-2k sf; B(t) = t (1 + qo)t-1 ;
[ 2 ]
fc=1
в
(t)
[ ]
t (1 + qo)t-1 +£ Ct2fc+1 (1 + qo)t-1-2k s.
fc=i
Подставляя это выражение в формулу (7) для чистого приведенного дохода и используя правила деления обобщенных чисел, получим
" А«
W е [W, W]
R(t) R(t) Ro Ro
A(t)' A(t)
(t) + UR
D
(t)' D(t)
- Uq
Rot)B(t) Rot)B(t)
D
(t)
D(t)
где D(i) = A(i) (A(i) - B(\); D(t) = A(t) (A(i) + B
Окончательный результат получим, заменив uq и uR на соответствующие ограничива-
г 1 (t)
ющие интервалы: uq заменим на [— , J, uR — на
-s(t) s(t)
. Имеем
W e [W,W] , (8)
где
/R(t) (t) A(t) R(t)B(i)'
W = S I =W - - ^D^
W =E +sü) dL,+s, ^D^
Для определения IRR необходимо решить уравнение
n 1
£ R(t)V' = 0' V = TTQb (9)
относительно неизвестной ставки Qb (внутренней нормы доходности).
Левая часть данного уравнения представляет собой интервальный полином относительно переменной V, причем компоненты денежного потока образуют ряд коэффициентов этого полинома. Согласно теореме Декарта, количество положительных корней полинома не превосходит числа перемен знака в ряду его коэффициентов. Поэтому в случае потока платежей с одной переменой знака (такой поток называется стандартным и соответствует случаю, когда инвестиционные расходы предшествуют доходам) уравнение (9) имеет единственное положительное решение (в противном случае применение IRR как показателя эффективности ИП некорректно). Очевидно
Qb с -1 + 1-
Существует несколько методов нахождения нулей полиномов, имеющих интервальные коэффициенты, с помощью интервальной арифметики [4, 5, 8, 9, 11]. В данной работе для выделения корня полинома (9) использована модификация метода Ньютона, использующая наклон [9], реализованная в обобщенной интервальной арифметике. Идея интервально-арифметической версии этой модификации состоит в следующем. Рассмотрим полином
n
f (x) =
m=0
Согласно [9], всегда можно записать f (x) — f (y) = (y — x)g(x,y), где
n m— 1
g(x,y) = £ am J] xkym—1—k.
m=0 fc=0
Если y — нуль функции f(), т.е. f(y) = 0, то
f(x)
g(x,y)-
Пусть Х — интервал, который содержит у, т. е. у € х —
/ (х)
#(х,Х)
. Определим
N (х, X)
х—
/ (х) . #(х,х)'
(10)
Если у € X, то у € N(х,Х). Представляем (10) в обобщенной интервальной форме:
^ ч А + Ви
N (х-Х-и) = х + сГл! ■
Интервальное расширение модификации метода Ньютона задается рекуррентным соотношением
Х„ = Хга_1 П N (х, Хп-1, и). Процесс останавливается, если дальнейшее уточнение интервала невозможно.
4. Численные расчеты и сравнительный анализ интервальных методов
В данном разделе приводятся результаты численных расчетов обобщающих характеристик интервальных денежных потоков и показателей эффективности ИП, полученные с применением обычной и обобщенной интервальных арифметик.
Формулы для расчета основных обобщающих характеристик интервальных потоков платежей и инвестиционных проектов в классической интервальной арифметике получены в [10]. Наращенная сумма годовой ренты с начислениями процентов т раз в год лежит в интервале
S = [Е,Я] ■ [М,М] , (11)
1 +
3
— 1
1+
3
—1
т
т
где М
1 + ^1 — 1 т
М
1 + — I — 1
т
Современная величина годовой ренты с начислениями процентов т раз в год лежит в
интервале
Р = [д,д]
1 — 11 + -т
1 + -1 — 1 т
1 — 11 + ^ т
1 + ^1 — 1 т
(12)
Чистый приведенный доход рассчитывается как современная величина нерегулярного потока платежей, дисконтированных по ставке сравнения Q = :
W = [К,Е]
(1+ 3 " (1+ 31
(13)
Расчет наращенной суммы проводится по формулам (11) для обычной интервальной арифметики и по (5) — для обобщенной. Результаты расчетов приведены в табл. 1.
т
т
—тп
_ тп
_ \ т
т
1
1
Таблица 1
Динамика наращенной суммы ренты с начислениями процентов т раз в году при изменении границ всех показателей
г г Е Е п т Бд Бд Б Б ■д
14,73 15,27 45,8 52,2 3 12 160,119 183,686 160,201 183,661 23,567 23,460
14,76 15,24 45,6 52,4 3 12 159,478 184,325 159,554 184,305 24,846 24,751
14,79 15,21 45,4 52,6 3 12 158,838 184,963 158,906 184,948 26,125 26,042
14,82 15,18 45,2 52,8 3 12 158,197 185,602 158,257 185,590 27,404 27,333
14,85 15,15 45 53 3 12 157,557 186,241 157,608 186,233 28,683 28,625
14,88 15,12 44,8 53,2 3 12 156,917 186,880 156,959 186,875 29,963 29,916
14,91 15,09 44,6 53,4 3 12 156,277 187,519 156,309 187,516 31,242 31,207
14,94 15,06 44,4 53,6 3 12 155,637 188,158 155,658 188,157 32,522 32,498
14,97 15,03 44,2 53,8 3 12 154,997 188,798 155,008 188,798 33,801 33,790
15 15 44 54 3 12 154,357 189,438 154,357 189,438 35,081 35,081
Расчет современной величины проведен по формулам (12) для обычной интервальной арифметики и по (6) — для обобщенной. Результаты приведены в табл. 2.
Таблица 2
Динамика современной величины ренты с начислениями процентов т раз в году при изменении границ всех показателей
г г Е Е п т Ад Ад А А ■д ■
15 15 249,2 252,8 4 2 703,441 713,603 703,441 713,603 10,162 10,162
14,97 15,03 249,4 252,6 4 2 703,544 713,499 703,55 713,5 9,955 9,951
14,94 15,06 249,6 252,4 4 2 703,65 713,393 703,659 713,397 9,743 9,739
14,91 15,09 249,8 252,2 4 2 703,757 713,285 703,767 713,294 9,528 9,527
14,88 15,12 250 252 4 2 703,867 713,174 703,875 713,191 9,308 9,316
14,85 15,15 250,2 251,8 4 2 703,978 713,061 703,983 713,087 9,083 9,104
14,82 15,18 250,4 251,6 4 2 704,091 712,946 704,09 712,983 8,854 8,893
14,79 15,21 250,6 251,4 4 2 704,207 712,828 704,197 712,878 8,622 8,681
14,76 15,24 250,8 251,2 4 2 704,324 712,708 704,304 712,774 8,384 8,47
14,73 15,27 251 251 4 2 704,443 712,586 704,41 712,668 8,143 8,258
Чистый приведенный доход рассчитывается по формуле (13) для обычной интервальной арифметики и по (8) — для обобщенной. Результаты — в табл. 3.
Таблица 3
Динамика чистого приведенного дохода при изменении границ ставки сравнения
и границ платежей
г г п Ео Е1 Е2 Ез Е4 Е5 Ед Ед Е Е ■д ■
48,84 49,16 5 -158, 5 -157, 5 92,5 96,5 83,5 85,5 100,5 102,5 191 194 94,5 95,5 22,69 29,61 22,71 29,61 6,92 6,90
48,88 49,12 5 -158, 4 -157, 6 92,6 96,4 83,6 85,4 100,6 102,4 191,1 193,9 94,6 95,4 23,09 29,21 23,10 29,21 6,12 6,11
48,92 49,08 5 -158, 3 -157, 7 92,7 96,3 83,7 85,3 100,7 102,3 191,2 193,8 94,7 95,3 23,49 28,82 23,50 28,82 5,32 5,31
48,96 49,04 5 -158, 2 -157, 8 92,8 96,2 83,8 85,2 100,8 102,2 191,3 193,7 94,8 95,2 23,89 28,42 23,90 28,42 4,52 4,52
49 49 5 -158,1 -157, 9 92,9 96,1 83,9 85,1 100,9 102,1 191,4 193,6 94,9 95,1 24,29 28,02 24,29 28,02 3,72 3,72
В табл. 4 приведены результаты расчетов внутренней нормы доходности.
Таблица 4
Расчет внутренней нормы доходности
п Ео Е1 Е2 Ез Е4 Е5 Еб Е7 1ЕЕд 1ЕЕд ■д
6 —151 —51 59 109 198 49 40 — 26,8209 28,5390 1,7181
—149 —49 61 111 202 51 42 — — — —
6 —101 —51 —86 49 139 199 99 — 20,8219 22,3017 1,4797
—99 —49 —84 51 141 201 101 — — — —
7 —52 —202 —52 48 198 98 198 190 22,7958 24,6612 1,8654
—50 —198 —49 52 201 102 202 192 — — —
В таблицах использованы следующие обозначения: г, г — нижняя и верхняя границы процентной ставки; п — срок; т — количество начислений процентов в году; Л, Я — нижняя и верхняя границы платежа; $д, $д и $, $ — нижняя и верхняя границы наращенной суммы, рассчитанной с помощью обобщенной и обычной интервальных арифметик соответственно; Ад, Ад и А, А — нижняя и верхняя границы современной величины, рассчитанной с помощью обобщенной и обычной интервальных арифметик соответственно; тд и т — ширина интервала результата, полученного с помощью обобщенной и обычной интервальных арифметик соответственно; Wg, Wg и W, W — нижняя и верхняя границы чистого приведенного дохода, рассчитанного с помощью обобщенной и обычной интервальных арифметик соответственно; /ЛЛд, /ЛЛд — нижняя и верхняя границы внутренней нормы доходности.
На основе представленных результатов можно сделать вывод, что применение обобщенной интервальной арифметики для анализа финансовых операций вполне оправдано, так как в ряде случаев (например, при расчете современной величины потока платежей) позволяет получить более узкий интервал решения, чем при использовании классической. Кроме того, реализация модификации метода Ньютона, использующей наклон, в обобщенной интервальной арифметике обеспечивает быструю сходимость рекуррентной процедуры поиска внутренней нормы доходности. На практике при расчетах основных характеристик потоков платежей целесообразно использовать оба подхода и в качестве результата брать пересечение полученных интервалов.
Авторы выражают благодарность С. П. Шарому за предоставленную литературу и полезные замечания, способствовавшие улучшению данной работы.
Список литературы
[1] ДОМБРОВСКИЙ В. В. Методы количественного анализа финансовых операций.
Томск: Изд-во научно-техн. лит., 1998.
[2] Четыркин В. И. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело ЛТД, 1995.
[3] Шарп У. Ф., Александер Г. Дж., Бейли Дж. Инвестиции. М.: Инфра-М, 1997.
[4] Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.
[5] Калмыков С. А., Шокин Ю. И., Юлдашев З. Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.
[6] Шокин Ю. И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981.
[7] KAUCHER E. Interval analysis in the extended interval spase IR // Computing Suppl. 1980. Vol. 2. P. 33-49.
[8] Moore R. E. Methods and Applications of Interval Analysis. Philadelphia: SIAM, 1979.
[9] HANSEN E.R. Computing zeros of functions using generalized interval arithmetic // Interval Computations. 1993. No. 3. P. 3-28.
[10] ДОМБРОВСКИЙ В. В. Интервальные методы в управлении финансами // Междунар. конф. по проблемам управления: избр. тр. Т. 1. М., 1999. C. 202-209.
[11] Dargel R. H., Lascalzo F. R., Witt T. H. Automatic error bounds on real zeros of rational function // Comm. ACM. 1966. Vol. 19, No. 11.
Поступила в редакцию 28 ноября 2000 г., в переработанном виде —10 июля 2001 г.
