Применение интервальных методов в управлении инвестициями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 336.763:336.67

С.Н Авдеенко, В.В. Домбровский

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ МЕТОДОВ В УПРАВЛЕНИИ ИНВЕСТИЦИЯМИ

Предложено использовать интервальные методы для анализа и расчета обобщающих характеристик потоков платежей, па* раметры которых заданы интервалами, и эффективности инвестиционных проектов.

Инвестиции в реальные или финансовые активы, коммерческие сделки, кредитные соглашения предусматривают, как правило, вложения и поступления распределенных во времени денежных сумм. Эффективность подобных финансовых операций зависит от многих параметров и условий, оговоренных в контрактах: размеров денежных сумм, процентной ставки, предполагаемых сроков выплат и поступлений, риска, связанного с вложениями, и т.п.

Основным объектом финансового анализа в данном случае являются потоки платежей - суммы распределенных во времени денежных расходов и поступлений, предполагаемых в результате финансовой операции. Анализ и расчет показателей эффективности таких операций основан на фундаментальном в финансовом анализе принципа дисконтирования потоков платежей [1-3]. При этом предполагается точное знание размеров инвестиционных расходов и будущих доходов, а также значения рыночной ставки процента (рыночной нормы доходности, ставки сравнения [1—3]) в будущем. На практике ни инвестиционные расходы, ни тем более будущие доходы и рыночная ставка процента, как правило, точно неизвестны. Можно только с достаточной степенью достоверностью задать интервалы, в которых они лежат. В этом случае адекватным математическим аппаратом для количественного анализа потоков платежей, связанных с финансовыми операциями, могут служить методы интервального анализа [4-7].

В настоящей работе предложено использовать интервальные методы для анализа и расчета обобщающих характеристик интервальных потоков платежей (под интервальными потоками будем понимать потоки платежей, параметры которых - члены потока и процентные ставки, заданы интервалами) и эффективности инвестиционных проектов (ИП). Результатами расчетов в этом случае также являются интервальные величины.

Элементы

интервального анализа

Пусть R - множество всех вещественных чисел. Под интервалом Л=[аь а2], а\<а2, понимается замкнутое ограниченное подмножество А множества R вида Л=[аи а2]=М*е/?)л(а|<х<а2)}.

Множество всех интервалов обозначим через I(R).

В дальнейшем прописные латинские буквы будут соответствовать элементам I(R).

Два интервала А и В равны тогда и только тогда, когда a\=b\, a2=b2. Отношение порядка на множестве /(/?) определяется следующим образом: А<В тогда и только тогда, когда a2<bt.

Пересечение АглВ интервалов А и В пусто, если А<В или В<А, в противном случае АпВ=[т&х{аь Ь{), min{a2, М]€/(Л). Шириной со (А) интервала Л называется величина (o(A)=a2-ai. Середина т(А) - полусумма концов интервала А: т(А)=(а1+а2)/2. Абсолютная величина | А | определяется как

\А | =max{ | ai |, | а2 |}.

Вырожденный интервал, т.е. интервал с совпадающими концами а\=а2=а, отождествляется с вещественным числом а. Таким образом, RcJ(R).

Арифметические операции над интервальными числами определяются следующим образом. Пусть *е{+, -, /}, A, BeI(R). Тогда

A*B={a*b|aeA,b€B}, (1)

причем в случае деления 0еВ. Это определение эквивалентно соотношениям:

А+В=[а,, a2]+[b,, bj^+b,, ъ+ЪД, (2)

А-В=[а\, a2]~[bu ^>2]=[£*i—b2, 02~b\\,

AB=[a\, a2][bu 62]=[min \axbu a2b\ a2b2 аф2),

тах{а,Ь1,а2Ь, a2fc^ a,^}], (3)

A/B=[a,, a2] / [b,, bj=[ai, aj [l/b* 1/bJ. (4)

Из определения (1) непосредственно видно, что интервальные сложение и умножение ассоциативны и коммутативны. Роль нуля и единицы играют обычные О и 1, которые отождествляются с вырожденными интервалами [0,0] и [1,1]. Равенство (1) показывает, что если один из операндов является невырожденным интервалом, то и результат арифметической операции -также невырожденный интервал. Исключение составляет умножение на 0=[0,0]. Следовательно, для невырожденного интервала А не существует обратных по сложению и умножению элементов, так как если А+В=0, АС= 1, то А, В, С должны быть вырожденными. То есть вычитание не обратно сложению, деление не обратно умножению: А-А*0, А!А* 1, когда ш(Л>0). Однако всегда 0 еА-А, 1 еА/А.

Важным свойством интервально-арифметических операций является невыполнение закона дистрибутивности - равенство

А(В+С)=АВ+АС (5)

не всегда имеет место. Однако всегда справедливо включение

А(В+С)сАВ+АС, (6)

называемое субдистрибутивностью.

Утверждение 1. Пусть А, В, CeI(R). Тогда А(В+С)= =АВ+АС, где Ьс>0 для всех ЬвВ, се С.

Утверждение 2. Уравнение

А+Х=В (7)

имеет решение тогда и только тогда, когда v{A)£w(B).

Утверждение 3. Если X - решение уравнения (7), то Х<=В-А.

Теперь остановимся на вопросе разрешимости уравнения

АХ=В, (8)

где Л*[0,0] и XeI(R).

Введем вспомогательную функцию:

Х(ЛЬ

—,если|о, |,

Ог

О,

— в остальных случаях. аг

Утверждение 4. Уравнение (8) разрешзмо относительно Хе I(R) тогда и только тогда, когда х(Л)^х(В).

76

Утверждение 5. Пусть уравнению (8), где ОеА, удовлетворяет некоторое Xel(R). ТогдаХд£1А.

Основном свойством интервальных вычислений является монотонность включения. Следующее утверждение разъясняет это свойство.

Утверждение 6. Пусть А(к\ &k)eI(R), к=1, 2, и предполагается, что А(к)с$к\ к=\, 2. Тогда для операции * из {+, •, /} имеем А(1)*Ат с Е^Х)*еР\

Введем также понятие объединенного и интервального расширений функции [5]. Пусть/- функция, заданная при хеА=(А],..., Л) со значениями в R или J(R). Объединенным расширением функции ДА) называется функция f(X)=f(X, ,...,Ar„ ), XfzAb /=1,л, задаваемая равенством f(X)=\Jf(xi ,...,х„ ), i=l,п.

хеХ

Если ДА) - непрерывная функция, то f(X) е I(R), при X<zA. Важным свойством объединенных расширений является то, что из Л(|)сЛ(2) следует / (X(1 * )с с/(АГ(2)).

Интервальным расширением функции ДА) называется интервальнозначная функция F интервальных переменных A'i, ...,Х„такая, что:

1) F(X)=F(X, ,..„Х„ )=>7(Х, )=

=f(X>{f(x, ):(х, ,.^x„ )еХ};

2)F{x\, ...,х„) =/(х..хДх/бАГ,, /=1,л.

Интерватьное расширение непрерывной вещественной функции является монотонным по включению. Для вещественной рациональной функции можно построить естественное интервальное расширение. Оно получается, если все вещественные переменные заменить интервалами, а вещественные арифметические операции - интервально-арифметическими. Естественное интервальное расширение включает в себя объединенное расширение.

Используя свойства степенной функции х“, а>0, такие как монотонность и ограниченность, можно построить еб интервальное расширение, совпадающее с объединенным:

а) пусть а=п - натуральное число. Для X=[xh х2] el(R) х",х2 при п=2-к+1, к=1,2,..ч хС ,х" при л=2А,х,>0, х2 ,х" при п=2к, х2<0,

0,1X1" при п=2к, и ОеХ;

б) для а=1/л, где п - натуральное число,

иуГх=Ух^ ,"Jx^\

причем XaeI(R) при л нечетном и при четном л, когда

Х!>0;

в) если а=т/п - рациональное число, тип- взаимнопростые

Х"=-

(9)

(10)

лил __

. т/л

min

х2

т/п

(И)

прил=2А, х,£0, xf" ,х2 ' прит=2/+1, п=2к+\,

уГх )" при п=2 Л+1, т=2 /,

*=0,1,...; /=0,1,...

В следующих разделах изложенные понятия применяются при анализе потоков платежей и инвестиционных проектов.

Анализ переменных потоков платежей

Для анализа потоков платежей необходимо уметь рассчитывать их основные обобщающие характеристики. Таких характеристик две: наращенная сумма и современная (приведенная) величина. Наращенной суммой потока платежей называют сумму платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Современной величиной потока платежей называют сумму всех платежей, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока или упреждающий его. Наращенную сумму определяют, например, чтобы знать общую сумму задолженности на какой-либо момент времени, итоговый объем инвестиций, накопленный на момент оценки денежный резерв. Современная величина является важнейшим показателем при оценке эффективности реальных и финансовых инвестиций, коммерческих сделок и т.д. [1-3].

Рассмотрим задачи определения указанных характеристик для интервального потока платежей с переменными платежами. Вычислим наращенную сумму. Пусть начисление процентов производится по годовой процентной ставке /=[/'i, /2], />0, общее количество платежей равно и, интервал между платежами равен одному году, платежи приурочены к концу интервала. Сумма первого платежа /?, =[rti , г]} ]. Через год наращенная величина первого платежа будет Rt+RJ. Так как 1/>0 для любого ;'е/, то по утверждению 1 выполняется закон дистрибутивности (5): Ri+RtI= =Ri(\+l). Еще через год наращенная величина первого платежа составит Ri+Ril=Ri( 1+7). Так как закон дистрибутивности выполняется и в этом случае, то /г iC 1 +т)+/г j( 1 +/)/=/?!( 1 +/)(1 +/)=л! (1+У)2.

Через к лет наращенная величина платежа составит й|(1+/)*. Первый член потока платежей будет приносить проценты в течение (л-1) лет, второй - в течение (л-2) лет, ..., (л— 1)—й член потока - в течение одного года, на и-й член проценты не начисляются. Получаем ряд платежей с начисленными на них процентами: /?i(l+/)""', R1{\+rr1.F«-i(l+/), R*. Наращен-

ная сумма потока платежей S входит в интервал

S, =£ Я, (1+ /)"-'. (12)

i=i

Преобразуя это выражение по правилам интервальной арифметики (2), (9), получим

s,=Zk .<■„ ][(w, Г, (w, Г1

«=1

Интервал S\ является естественным интервальным расширением для наращенной суммы данного нерегулярного потока. Этот интервал можно сузить различными способами [4-7]. Воспользуемся, например, свойством субдистрибутивности (2.6). Запишем формулу (3.1) во вложенной форме:

S2=RnH М)(R-К 1+/ X Rn-2 + - +

+0+/ХЛ, )...))=['•*,, г„2 Ыш, ,1+/2 ]х

x([v,, ,re_h ]+[l+/, 1+/2 ]([г 2 ,v2i ]+...+ +[1+/, ,1+/2 ^[г,, ,г,2 ])...)).

На основании свойства субдистрибутивности S^cSi. Так как и 5) и S2 являются интервальными расширениями для наращенной суммы, то её объединенное расширение [7]: SQ(SinS2), a (^r^S* так как S^cFi.

77

Определим вторую основную характеристику переменного потока платежей - современную величину. Дисконтированная величина первого платежа определяется из уравнения (по определению) X\(\+iy=R\. Согласно утверждению 5, корень этого уравнения Х,с/?,/(1+/). Дисконтированная величина второго платежа является корнем уравнения X2(\+I)-R2 --Х2сД2/(\+1)2. Дисконтированная величина и-го платежа XjcRJ(\+If. Таким образом, современная величина нерегулярного потока платежей

, Л> R2

Ас—L + —

1+/ (1+/)2

R.

+ ...+•

(1+/Г1

+ (!+/)'’'

(13)

Вычислим естественное интервальное расширение для А, выполняя в (13) преобразования согласно правилам интервальной арифметики (4), (9):

* R п г 1

м(]+/) /*1

1 1

(1+/2 )'’(!+/, )'

• (14)

Уточним интервал, используя свойство субдистрибутивности (6). Представим (13) во вложенном виде:

■{йЫг]^' НьЬч} (,5)

АсА2 так как Ac(AinA2) [7], a А2сА\ по свойству субдистрибутивности (т.е. А ,пА2=А2).

Анализ постоянных потоков платежей

Рассмотрим задачи определения наращенной суммы и современной величины общей ренты [3]. Предполагается, что сумма годового платежа Л=[гь г2]. Платежи производятся р раз в год, их величина равна

R

Р

'2

У р

; J=\j\, j2] - номинальная ставка процен-

тов, J>0; проценты начисляются от раз в год по ставке Лт. Наращенная сумма ренты принадлежит интервалу, равному сумме наращенных интервальных платежей:

Используя (2), (3), (5) и (9)-(11), получаем

об)

где

-•■КГ'-К)

•НО

т(п—) Р

+...+

+\,к=\,2.

Нетрудно видеть, что данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию. С учетом этого получим

-1

-1

Определим современную величину /7-срочной ренты с начислением процентов от раз в год. Современная величина ренты принадлежит интервалу, равному сумме дисконтированных интервальных платежей:

Учитывая, что ряды представляют собой геометрические прогрессии, получаем интервал для современной величины р-срочной ренты с начислением процентов от раз в год

А с

г\ 'г

Р Р

1 - 0+л /”)'*" 1-Q+у'| (1+л:«Г'-1’0+у./«)",'-1

(17)

Отметим, что соответствующие формулы для других видов рент с постоянными платежами [3] получаются как частный случай формул (16), (17).

Анализ инвестиционных проектов

Основными характеристиками эффективности ИП являются чистый приведенный доход (net present value, NPV) и внутренняя норма доходности (internal rate of return, IRR) [3]. NPV - это разность дисконтированных по ставке сравнения на один момент времени потоков доходов и вложений. IRR - это расчетная ставка процентов, при которой NPV проекта равен нулю. Экономический смысл данного показателя в том, что он дает верхнюю оценку нормы дисконтирования, при которой проект еще остается выгодным. В интервальной постановке задача определения 1RR сводится к проблеме отыскания положительного корня интервального полинома. Рассмотрим сначала задачу определения чистого приведенного дохода.

Пусть поток платежей характеризуется величинами Л,е/(Л), где R, - итоговый баланс всех денежных выплат и поступлений к концу периода t исполнения проекта, количество периодов равно п. Компоненты потока платежей могут быть как положительными (доходы от инвестиций), так и отрицательными (инвестиционные расходы). Тогда, если ставка сравнения

п

Q=[qh дг\, имеем W = ^R,V' ,где К= 1 /(1 +0 - дисконт-/=0

78

ный множитель по ставке сравнения Q,W- интервальное расширение чистого приведенного дохода. Для вычисления W можно использовать полученные ранее формулы для современной величины переменного потока (14) или (15). Если потоки инвестиционных расходов и поступлений представляют собой /ьсрочные ренты, то для определения NPV можно использовать формулы для современных величин соответствующих /хрочных рент.

Для определения IRR необходимо решил, уравнение

+£*/'= О, О»)

<=1

где V=M{\+Qb) - дисконтный множитель относительно неизвестной ставки Qb - внутренней нормы доходности. Левая часть в (18) представляет собой интервальный полином относительно переменной V, причем компоненты потока платежей образуют ряд коэффициентов этого полинома. Согласно теореме Декарта количество положительных корней многочлена не превосходит числа перемен знака в ряду его коэффициентов, поэтому в случае потока платежей с единственной переменой знака (стандартный поток - инвестиционные расходы предшествуют доходам) уравнение (18) имеет единственное положительное решение (в противном случае применение IRR как показателя эффективности инвестиций не-

корректно). Очевидно, Qk с — -1.

Для выделения корня V полинома использованы метод Ньютона-Рафсона и метод наклона (slope method), реализованный в обобщенной интервальной арифметике [10]. Рассмотрим интервально-арифметическую версию метода Ньютона-Рафсона [5, 7-9]. Для любого интервала V введем функции F[VrRo+m+.. ,+КД). • .)Л1^Л1+И2Я2+ИЗЛз+. • -+1W- • •> Предположим, что OeF(F) и рассмотрим функцию

ЩУ) = т(У)-?Щ^, (19)

где т(У)~ середина интервала У. Интервальное расширение метода Ньютона-Рафсона задается следующим рекуррентным соотношением: У^ИСУ^УлУ^, (я=1,2,...).

Согласно [7], если F(V.)=Q для К.с;Уо, где У0 - начальный интервал, то F*cF„. Реализуя алгоритм, получаем список подынтервалов начального интервала, не содержащих нулей функции F. Подынтервалы, которые не вошли в этот список, ограничивают соответствующие нули [8]. Алгоритм состоит из шагов:

1. Вычислим F(V0) и F(V0). Если OtF(V0), то процесс на этом заканчивается, так как в интервале Уо нулей функции F нет. Здесь мы используем свойство монотонности по включению интервальных расширений. В противном случае в Уо, возможно, имеются нули F. Пусть 0ef(Fo). Если одновременно Ое/г'(К0), то переходим к шагу 2.

2. Разобьем интервал К0надва:

^o=fv0l 1

и начинаем весь процесс с шага 1 с каждым из подынтервалов. Если OeF(F0) и ОеР'(У0), то переходим к шагу 3.

3. Вычислим N(V0). Если N(Vo)r\Vo=0, то в У0 не содержится нулей функции F. Если же 7/(K0)nF0 -интервал, то переходим к шагу 4.

4. Положим У0=Х(1)'иХ(2\ где X^l)=N( У0)гл У0. Интервал Л*2) не содержит нулей функции F, и его мы относим к множеству подынтервалов, на которых заведомо не содержится нулей F. С интервалом Л*1* мы повторяем весь процесс, начиная с шага 1.

5. Всякий раз, когда находится интервал У, не содержащий нулей ДУ), но пересекающийся с другим таким же интервалом X, вместо X и У берем их объединение XuY. Процесс продолжается до тех пор, пока дальнейшее улучшение становится невозможным. Эго может случиться, если на некотором этапе к N( Ук)г\ У*= К*.

Пример. Пусть ИП характеризуется следующим потоком платежей: Ло=[—10199], /?!=[—5149], Л2=[—86;—84], /?з=[49;51],Л4=[139; 141],Л5=[199;201],/?6=[99; 101].

Ставка сравнения £?=[0,13;0,15]. В результате расчетов получены следующие интервалы для показателей эффективности данного ИП:

Жс[92,7615; 128, 1822], &=[0,2080; 0,2220].

ЛИТЕРАТУРА

1. Ван ХорнДж. Основы управления финансами. М.: Финансы и статистика, 1996.

2. Шарп У.Ф., Александер Г.,Дж, Бейли Дж. Инвестиции. М.: Инфра-М., 1997.

3. Четыркин ЕМ. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело ЛТД, 1995.

4. АлефельдГ., ХерцбергерЮ. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.

5. Калмыков С.А., Шохин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа Новосибирск: Наука, 1986.

6. Шохин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981.

7. Мотте R.E. Interval analysis. Englewood Cliffs. N.J.: Prentice-Hall, 1966.

8. DargeIRH., Lascalzo F.R., Witt T.H. Automatic error bounds on real zeros of rational functions // Comm. ACM. 1966. V. 9, № 11.

9. Hanson RJ. Automatic error bounds for real roots of polynomials having interval coefficients // Comput. J. 1970. Vol. 13, № 3.

10. Hansen E.R Computing zeros of functions using generalized interval arithmetic // Interval Computations. 1993. № 3.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика и информатика» 20 февраля 1999 г.

79