CC BY
16
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том №271
июнь
2000
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ
УДК 336.763:336.67 (075.4)
С.Н. Авдеенко, В.В. Домбровский
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННОЙ ИНТЕРВАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ В АНАЛИЗЕ ПОТОКОВ ПЛАТЕЖЕЙ
В данной работе для анализа потоков платежей предлагается использовать методы интервальной математики. Выведены формулы для расчета наращенной суммы и современной величины годовой ренты с несколькими начислениями процентов в год. Приведены результаты численных расчетов.
Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Такие последовательности платежей называются потоком платежей. Потоки платежей могут быть регулярными и нерегулярными. Компоненты нерегулярного потока платежей могут быть как положительными, так и отрицательными, а соответствующие платежи могут производиться через разные интервалы времени. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой [1]. Рента характеризуется следующими параметрами: член ренты - размер отдельного платежа, период ренты — временной интервал между двумя последовательными платежами, срок ренты - время от начала первого периода ренты до конца последнего периода, процентная ставка - ставка, по которой производится наращение или дисконтирование платежей.
Для анализа потоков платежей необходимо уметь рассчитывать их основные обобщающие характеристики. Таких характеристик две: наращенная сумма и современная (приведенная) величина. Наращенной суммой потока платежей называют сумму платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Современной величиной потока платежей называют сумму всех платежей, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока или упреждающий его [1]. Наращенную сумму определяют, например, чтобы знать общую сумму задолженности на какой-либо момент времени, итоговый объем инвестиций, накопленный на момент оценки денежный резерв. Современная величина является важнейшим показателем при оценке эффективности реальных и финансовых инвестиций, коммерческих сделок и т.д.
'Для'анализа й расчёта'характеристик йо^оИой гйга№кей йеббйоДиМб тбчНоЬ ЗаДаНий вСе* ПараметровТпсПхжаг-•размеров платежей, процентной ставки и т.д. При решении многих практических задач, как правило, эти параметры точно неизвестны, но всегда можно с достаточной степенью достоверности задать интервалы, в которых они лежат. В этом случае адекватным математическим аппаратом для количественного анализа потоков платежей могут служить методы интервального анализа [2, 3]. Применение интервального анализа позволяет заключить в интервалы решения задач, о входных данных которых известно лишь то, что они лежат в некоторых интервалах. При этом в интервалы решений включаются и ошибки округлений.
Существует несколько способов задания интервальных величин: обычная интервальная арифметика [4, 6 - 9], обобщенная интервальная арифметика [5, 8], арифметика Каухера и др. В данной работе анализ потоков платежей проведен с помощью обобщенной интервальной арифметики. Выведены формулы для вычисления обобщающих характеристик интервальных потоков платежей (под интервальным потоком будем понимать поток платежей, параметры которого - размеры платежей и процентная ставка - задаются интервалами) с использованием обобщенной интервальной арифметики.
1. Наращенная сумма годовой ренты с начислениями процентов т раз в год
Пусть платежи поступают один раз в год в конце года (т.е. интервал ренты равен одному году). Проценты на платежи начисляются по номинальной ставке ] е [Л,Л] >а число периодов начисления в год равно т. Каждый раз проценты начисляются по ставке
. Представим платеж и ставку наращения
т
т т
в следующем виде: Я = Я0 <ия где
Я0 - середина интервала 25к - ширина ин-
тервала [Л,,Л2], = ..■-Sj^uJйsJ, у, -
; - ширина интерва-
т
середина интервала
А А
т ' т
да
; п - срок ренты в годах. Тогда получим
А ¿1.
т ' т
ряд платежей с начисленными процентами:
(*о +«Л1 + Уо
и т.д. На последний платеж проценты не начисляются, и он будет равен (Я0 +«л)
Суммируя эти слагаемые по правилам обобщенной интервальной арифметики [5, 8], получим интервальное значение наращенной суммы
к—0
Имеем геометрическую прогрессию с первым членом (Л0 +ин), знаменателем (1 + у'0 + ыу)" и количеством членов п. Применяя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, получим
0+л+«,)"-•
Определим множитель наращения. Слагаемые в числителе и знаменателе:
(1 + Л+«;)"Я=и.4]+[Я1,Я2К,
где А, =(1 + 7оГЯ.
[т]
Л=0+лГ+1С-(1+Уо).....
11НИ-М „2*
7 '
В1 =и-от(1 + у'0У"""1,
в, —Ц1 + ЛГ1 + I сГО+лГ"2* -Г
(1 + 70+и>)"=[С1,С2]+[/)1,Р2]ыу, где С,= (1 + ЛГ.
Д =Ц1 + 7оГ'.
М
-1-2* .2* )
По правилам обобщенного деления и умножения
+ 1у[л0»лг1>^«л*21 КО
_ Л, -1 „ А,-1
где
А". ~ —'-, К* — ——
1 С2 -1 2
С,-г
^ Д, (С,-1)-/у(Л2-1)
1 (С2-1) (С2-1+А
_ д2(с2-1)-ди-1)
2 (с.-О^с.-^А
Заменяя и} и ин на соответствующие интервалы с учетом (1), получим выражение для наращенной суммы:
(2)
где 5, = ¡^ ■ К,-5Я (к2 + М2 ■SJ)-SJ ^R0 ^M1, 52 = • А-, +5л-{к2 + М2 •/?„ -Л/2.
2. Современная величина годовой ренты с начислением процентов т раз в год
Оценку современной величины определим на момент времени, совпадающий с началом ренты.
Дисконтный множитель У = —-—. Следовательно,
т
Уе [К„К2] =
1 +
. Представим от-
оценки современной величины. Дисконтируя платежи, получим ряд слагаемых следующего вида: первый платеж на момент оценки равен (Л0 + ия )(У0 +иу)п, второй платеж равен (Л0 + и„ \У0 + иу )2 т, и т.д. Последний платеж равен (Я0+ик \У0 + иу)"'".
Суммируя эти величины по правилам обобщенной интервальной арифметики, получим выражение для интервального значения современной величины
ренты Р = (яо + и„ (У0 + иу У. Свернем получен-
4=1
ное выражение по формуле геометрической прогрессии с первым членом (]10+ик)[У0+иу)т знаменателем (У0 + иу У и количеством членов л. Получим Р = (Я0+инХУ0+иУУ^+и^-'.
{У0+иу) -1
Определим интервальный множитель дисконтирования. Слагаемые в числителе и знаменателе:
[т]
где А, = УГ, А2 = УГ + X С^УГ'"*"
V >
*=|
Вх = п-т У0
Ж
пт-\
2 = птУ0 + 2_ сит уа 5
*=1
(И0+«К)-=[С„С2]+[А,/)2]«К,
где С, = У0 , С^С + ХСТ
4=1
Ц=тУ0я-\
гк„т-гк 2*
-. [й
I С,
>2*+1 |/ »-1-2* „2*
*-1
где
По правилу обобщенного деления и умножения Ре[р1,р2]=(к0+иЖ,к2]+[м1,м2^А= = [/?0/Г,,Я0К2]+ ик, -м2*рк2+ м2$>\+
+и>[л0А/„/г0А/21 (3)
4-1.
С2-1
делыый платеж и дисконтный множитель в следующем виде:Л = Л0+ид,...-5я й5я, где Л„ - середина интервала [Я,,Л2], 2зк - ширина интервала У = У0 +иу...-зу, й и¥ й5У, где У0 - середина интервала 2ху - ширина интервала [К,,У2]. Современная величина ренты определяется как сумма всех платежей, дисконтированных на момент
п В2.(С2-!)-£>, (А,-1). С, -1 2 (С, -1) (С, -1-£>2 )'
сг-1 ' (с г -1) (С2 - 1 + £>2 •*,,)
1 С,-1 2 (С,-1) (С,-1-£>, ч, )
Заменяя иу и ил на соответствующие интервалы, с учетом (3) получим окончательный результат:
Мад]. (4)
где рх =/?0 а:1-5д (а:2+м2-5г)-5к л0 л/2, Р2 =Я0 К2 (к2 +М2 -Я0 -М2.
3. Численные исследования
В работе проведены численные исследования зависимости размеров интервалов для наращенной суммы и современной величины потока платежей от изменения границ интервалов входных данных. Расчет наращенной суммы и современной величины проводился по формулам (2) и (4).
Исходные данные и динамика изменения наращенной суммы и современной величины ренты в зависимости от изменения границ интервалов платежей и ставок, приведены в таблицах 1,2.
Обозначения в таблицах: ¡|, ¡2 - нижняя и верхняя границы процентной ставки ¡1=12 (табл. 1); п -срок ренты: п=4 (табл. 1), п=6 (табл. 2); ш - количество начислений процентов в год: т=2 (табл. 1),
Таблица 1
Динамика наращенной суммы при изменении границ процентной ставки и платежей
ш=3 (табл. 2); Яь Л2 - нижняя'и верхняя границы платежа; - нижняя и верхняя границы на-
ращенной суммы; А|§, А2ё - нижняя и верхняя границы современной величины.
4. Заключение
Численные исследования показывают, что применение обобщенной интервальной математики позволяет получить оценки основных характеристик потоков платежей в условиях интервальной неопределенности, причем интервалы для современной величины и наращенной суммы имеют вполне приемлемые границы в достаточно широком диапазоне изменения границ интервалов исходных данных.
Таблица2 Динамика современной величины при изменении границ платежей и процентной ставки
Ставка Платежи Наращенная сумма
¡2 R, R: S,g S:g
12 251,67 251,67 1209,17 1209,17
12,03 251,665 251,675 1209,15 1209,76
12,06 251,66 251,68 1209,12 1210,35
12,09 251,655 251,685 1209,10 1210,94
12,12 251,65 251,69 1209,07 1211,54
12,15 251,645 251,695 1209,04 1212,13
12,18 251,64 251,7 1209,01 1212,73
12,21 251,635 251,705 1208,98 1213,33
12,24 251,63 251,71 1208,95 1213,93
12,27 251,625 251,715 1208,92 1214,53
12,3 251,62 251,72 1208,89 1215,14
12,33 251,615 251,725 1208,85 1215,74
12,36 251,61 251,73 1208,82 1216,35
12,39 251,605 251,735 1208,78 1216,96
12,42 251,6 251,74 1208,74 1217,58
12,45 251,595 251,745 1208,71 1218,19
12,48 251,59 251,75 1208,67 1218,81
12,51 251,585 251,755 1208,63 1219,42
12,54 251,58 251,76 1208,59 1220,04
12,57 251,575 251,765 1208,55 1220,67
12,6 251,57 251,77 1208,50 1221,29
Ставка Платежи Современная величина
h »2 R. r2 A,g A2g
43 43 246 256 452,768 471,173
42,9 43,1 246,2 255,8 452,136 471,805
42,8 43,2 246,4 255,6 451,510 472,434
42,7 .43,3 246,6 255,4 450,888 473,060
42,6 43,4 246,8 255,2 450,271 473,683
42,5 43,5 247 255 449,658 474,303
42,4 43,6 247,2 254,8 449,050 474,920
42,3 43,7 247,4 254,6 448,447 475,534
42,2 43,8 247,6 254,4 447,848 476,146
42,1 43,9 247,8 254,2 447,254 476,754
42 44 248 254 446,665 477,359
41,9 44,1 248,2 253,8 446,080 477,962
41,8 44,2 248,4 253,6 445,499 478,561
41,7 44,3 248,6 253,4 444,923 479,157
41,6 44,4 248,8 253,2 444,352 479,751
41,5 44,5 249 253 443,785 480,342
41,4 44,6 249,2 252,8 443,223 480,930
41,3 44,7 249,4 252,6 442,665 481,514
41,2 44,8 249,6 252,4 442,112 482,096
41,1 44,9 249,8 252,2 441,563 482,675
ЛИТЕРАТУРА
1. Четыркин В.И. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело ЛТД, 1995.
2. Домбровский В В. Интервальные методы анализа инвестиций // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математи-
ке (ИНПРИМ-98): Тезисы докладов. Новосибирск, 1998. Ч. III. С. 133-134.
3. Домбровский В.В. Интервальные методы в управлении финансами // Международная конференция по проблемам управления: Тезисы
докладов. М., 1999. Т. 2. С. 213-214.
4. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981.
5. Хансен Э.Р. Вычисление нулей функции при помощи обобщенной интервальной арифметики // Интервальные вычисления. 1993. № 3. С.3-28.
6. R.EMorre. Interval analysis - englewood cliffs. N.J.: Prentice-Hall, 1966.
7. ЯН. Dargel, F.R Lascaizo, Т.Н. Witt. Automatic error bounds on real zeros of rational function // Comm. ACM. 1966. Vol. 19. №11.
8. Алефелъд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.
9. Калмыков С.А., Шохин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.
Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 22 февраля 2000 г.
