CC BY
98
УДК 519.2 (336.763)
А.А. Назаров, Т.Г. Семёнова
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОВЕДЕНИЯ УЧАСТНИКА ТОРГОВ НА ФОНДОВОЙ БИРЖЕ В УСЛОВИЯХ СТАЦИОНАРНОСТИ ЦЕНЫ АКТИВОВ
Построена и исследована модель, описывающая процессы, происходящие с трейдером на фондовой бирже. Разработана стратегия поведения трейдера для случая, когда цена активов представляет собой стационарный случайный процесс.
В настоящее время в связи с развитием интернет-трейдинга ведение торгов на фондовой бирже стало доступно для широкого круга частных лиц. По этой причине возросла актуальность исследования процессов, происходящих с отдельным участником торгов на бирже, и поиска оптимальных с точки зрения максимизации прибыли и минимизации риска стратегий биржевой игры.
В данной работе сроится модель, описывающая процессы, происходящие с трейдером. Затем эта модель исследуется с помощью методов асимптотического анализа. Рассматривается случай, когда цена активов является стационарным случайным процессом и может быть описана моделью авторегрессии. Для этого случая разработана оптимальная, с точки зрения максимизации роста капитала участника торгов, стратегия в условиях, когда асимптотическое среднее количества ценных бумаг, находящихся в распоряжении трейдера, постоянно.
Рассмотрим процессы, происходящие на фондовой бирже [1]. Пусть некоторый участник торгов (трейдер) покупает и продаёт ценные бумаги определённого вида. Цель трейдера - заработать на разнице между ценой, по которой он покупает активы, и ценой, по которой он впоследствии эти активы продаёт.
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Обозначим через s(t) цену, по которой совершаются сделки купли-продажи с рассматриваемым нами видом ценных бумаг в момент времени t. Будем считать, что процесс s(t) изменения с течением времени стоимости ценных бумаг представляет собой диффузионный случайный процесс, который может быть описан уравнением
ds(t) = a(s)dt + a(s)dw(t), (1)
где w(t) - стандартный винеровский процесс [2]; вид a(s) и c(s) будет уточнён позднее.
Естественно предположить, что интенсивность покупки и интенсивность продажи ценных бумаг в каждый момент времени будут зависеть от цены s(t) данного вида ценных бумаг. Будем полагать, что заявки на покупку образуют некоторый случайный поток интенсивности X(s), а заявки на продажу - случайный поток интенсивности ^(s). При этом X(s) > 0, ^(s) > 0. Отметим, что рассматриваемые модели потоков относятся к классу так называемых дважды стохастических потоков [3], управляемых диффузионным процессом.
Предположим также, что в любой момент времени t у трейдера имеется капитал величины K(t), K(t) > 0. При покупке одной ценной бумаги этот капитал уменьшается на величину s, а при продаже соответственно увеличивается на величину s.
Через n(t) обозначим число активов данного вида, имеющихся в распоряжении трейдера в момент времени t. Естественно, что n(t) > 0.
Отметим, что n(t) является компонентой трёхмерного марковского процесса {n(t), K(t), s(t)}, в котором
первая компонента принимает только целочисленные значения, а вторая и третья компоненты принимает свои значения из множества неотрицательных действительных чисел. Поэтому обозначим:
Р(п(/) = п, К < К(/) < К + ёК, 5 < А'У) < 5 + Ж) = = Р(п, К, 5, /)К5.
Выведем уравнение для распределения вероятностей Р(п, К, 5, 0, используя метод, аналогичный методу выведения уравнения Фоккера - Планка для плотности вероятностей обычного диффузионного процесса в [3]. Получим дР(п, К, 5, Г)
dt
- + ((s) + |(s))P(n, K, s, t) =
= Ц5)Р(п - 1, К + 5, 5, /) + ц(5)Р(п + 1, К - 5, 5, /) - (2)
д 1 д 2
--(а(5)Р(п, К, 5, /)} +--- {ст2 (5)Р(п, К, 5, /)}.
д5 2 д52 1 '
Полученное уравнение будем называть математической моделью участника торгов на фондовой бирже.
2. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Применим метод асимптотического анализа [4] в условиях то есть в условиях, когда промежуток времени для исследования уравнения (2) является достаточно длительным.
Обозначим:
= т; пе = х; Ке = к;
-2 Р(п, К, 5, /) = п(х, к, 5, т, е).
е2
Здесь малый параметр е имеет смысл величины, нормирующей большие значения /. Выполнив указанную замену в уравнении (2), перепишем его в виде
дп( х,к, 5,т,е)
дт
-е + ((s) +1( s ))п( х, к, s, т,е) =
= )п( х -е, к + 5е, 5, т,е) + )п (х+е,к - 5е, 5,т,е) -
д 1 д 2
--{а(5)л( х,к, 5,т,е)} +---- {ст2 (5)п( х,к, 5, т,е)}. (3)
д5 2д521 '
Разложим в ряд функцию п(х ±е, к + 5е, 5, т, е) по приращениям аргументов х и к с точностью до слагаемых о(е), а затем приведём подобные. Получим
дп( х,к, 5,т,е)е = дп( х,к, 5,т,е) ( 5)-Х(5))е +
+
дт
дп( х,к, s,T,e)
дк
дх
д
((s) -1( s))se--{a(s)n( х,к, s,T,e)} +
дs
1 д2
h--;
2дs'
■{a2(s )п( х, к, s, т,е)} + о(е).
(4)
Найдём предел левой и правой частей уравнения (4) при При этом обозначим:
lim п(х, к, s, т, е) = п(x, к, s, т).
Тогда (4) примет вид
d 1 d ^ --{a(s)n(x,к,s,т)} +----{a2(s)n(x,к,s,т)} = 0 . (5)
ds 2 ds 1 '
Сделаем предположение, что s(t) является стационарным диффузионным процессом. В дальнейшем будем рассуждать исходя из этого предположения.
В уравнении (5) представим п(х, к, s, т) в виде произведения R(s)n(x, к, s, т), где R(s) имеет смысл стационарной плотности распределения вероятностей диффузионного процесса s(t). Такое разложение функции n(x, к, s, т) правомерно, поскольку цена активов не зависит от капитала и числа активов данного вида, имеющихся в распоряжении у одного трейдера.
Разделив обе части полученного выражения на n(x, к, т), будем иметь
-|-{а( s) R(s)} +1 |a2(s) R(s)} = 0.
ds 2 |s21 '
(6)
Найдём R(s). Для этого проинтегрируем уравнение (6) по s. Получим
-a(s)R(s) +1 ст2' (s)R(s) + 2ст2(s)R'(s) = C .
(7)
R'( s) +
ст ' (s) - 2a(s) ст2( s)
R(s) = 0 .
(8)
(
R(s) = exp
-i
ст (s) - 2a(s)
Л
ds
C1,
(9)
R(s) = exp (Д (2cs - s2) j C1. Найдём константу C1 из условия нормировки
(11)
J R( s)ds
= 1.
Получим
Тогда
Vä / а C1 =—;= exp I —- с
г
Тл/л
R(s) =
л/а
exp | --a2(s - с)2
(12)
Г V
СТА/П V ст
Таким образом, получили, что - это нормальное распределение величины 5 с математическим ожиданием, равным с, и дисперсией, равной о / л/2а .
Вернёмся к уравнению (4). Проинтегрируем его по переменной 5 в пределах от 0 до +<»:
+е
гдл( x^, s,T,e) •dп(x,k, s,T,e)
d = eJ
dn( x, к, s, т,е) dx
(|(s) -X(s))ds +
дк
(X(s) -|(s))sds-[a(s )n( x^, s,T,e)]|
s=0
1r 2 ~||s=w
Ист (s)n(xji,s,T,s)Js=0
(13)
Для того чтобы отыскать неизвестную константу С, найдем предел левой и правой частей уравнения (7) при Б^-да. При вполне разумных предположениях ^(5) ^ 0 и Я'(5) ^ 0 будем иметь, что С = 0. Тогда
Функция п(х, к, 5, т, е) имеет смысл плотности распределения вероятностей по величине 5, следовательно к этой функции можно применить условие нормировки. По той же причине п(х, к, 5, т, е) = 0. Сделаем предположение, что цена рассматриваемых нами активов не может быть равна нулю. Тогда п(х, к, 0, т, е) = 0. Предположим также, что
dn( x, к, s, т, е)
ds
= 0 и
dn( x, к, s, т, е)
= 0 . Приме-
5=0 35
ним эти предположения к уравнению (13), а затем разделим обе части оставшегося выражения на е. Получим
дп( х, к, т, е) гбП( х, к, 5, т, е)
Это линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно Л(^). Из него находим:
дт
=J
dx
-(|(s) -X(s ))ds +
•dn( x, к, s, т, е) . дк
(X (s) -1( s))sds.
где С1 - произвольная константа.
Перед тем как проводить дальнейшие рассуждения, уточним вид диффузионного случайного процесса 5(/). Сделаем предположение, что этот процесс изменения с течением времени стоимости ценных бумаг описывается уравнением
) = а(с - + оём>((), (10)
т.е. а(5) = а(с - &()), с(5) = с. При этом а > 0. Такая модель процесса 5(0 означает, что цена на активы совершает с течением времени колебания около некоторого среднего значения с. Величину с на практике можно вычислить, используя статистические методы
[5].
Итак, подставив а(5) = а(с - 5(/)) и с(5) = с в формулу (9), получим следующий вид Я(я):
Представим п(х, к, 5, т, е) в виде произведения Л(^)п(х, к, т, е), где Л(^) имеет то же значение, что и выше. После этого найдём предел обеих частей уравнения при е^-0. В результате будем иметь
5л(х, к, т) = а 5л(х, к, т) + ^ дп(х, к, т) (14)
дт
Ix
дк
где
A = J R(s) (X(s) - |(s)) ds,
0
B = J R( s) (X(s)
- |(s)) sds.
Это вырожденное уравнение Фоккера - Планка для плотности п(х, к, т) некоторого двумерного диффузионного процесса {х(т), к(т)} с нулевой матрицей коэффициентов диффузии. Функции х(т), к(т) детерминированы и определяются решением системы двух уравнений [6] достаточно простого вида:
ёх(т)
d т dk (т)
d т
= A ,
(15)
= B.
Правые части уравнений (14) не зависят от неизвестных функций х(т), к(т), поэтому их решения очевидно имеют вид
х(т) = х(то) + А(т - То), к(т) = к(то) + В(т - то), где т0 - некоторый начальный момент времени.
3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОВЕДЕНИЯ ТРЕЙДЕРА
Поставим условие: асимптотическое среднее количества ценных бумаг, находящихся в распоряжении трейдера в течение длительного периода времени, должно быть постоянным. То есть в наших обозначениях
х(т) = const или х'(т) = 0. (16)
Целью игры на бирже является получение максимально возможной прибыли. Другими словами: трейдер желает, чтобы скорость роста его капитала была максимальной. В наших обозначениях
к'(т)^шах. (17)
Таким образом, получаем следующую задачу оптимизации:
х'(т)==A = J R(s )(X(s)-|(s ))ds = 0, dT 0
к '(т)=^drl=В = J R(s)(|(s) - X(s))sds
^ шах .
X ( s),|(s)
Критерий оптимальности в задаче (18) линейно зависит от функций Х(5) и д(5). Поэтому, очевидно, его максимум достигается, когда функции Х(5) и д(5) имеют кусочно-постоянный вид:
(X, 5 < 51;
X(s) =
0, s > s1;
(19)
к.s)={0
(20)
J R(s)ds = JR(s)ds - J R(s)ds .
(22)
Подставив (22) в (21), получим
| Л(5) (Х(5) - ц(5)) с!5 = (X + ц) | Я(5)С5 - ц .
0 0 Рассуждая аналогично, запишем следующее равенство:
ВД 51
| Я(5) (Х(5) - ц(5))С5 = цМ {(т)} - (X + ц) | Л(5)5С5 ,
0 0 где М {5(т)} - это математическое ожидание случайного процесса 5(т).
Таким образом, задача оптимизации (18) приобретёт вид
(X + |)J R( s)ds -1 = 0,
0
s1
| M {s(t)} - (X + |)J R( s) sds
(23)
^ шах.
s1, X, |
Напомним, что R(s) имеет вид (12). Для решения
задачи
(23) распишем J R(s)sds :
s1
[ R(s)sds = ._
0 2л/ па
s1
J R(s)ds.
-СТ ( exp(-^(c -s1)21-exp(-0-c2 j j +
+c
(24)
Первое равенство из задачи (23) можно переписать в виде
J R(s)ds =
|
X + |
(25)
(18)
Подставляя (25) в (24) и имея в виду, что М {5(т)} = с, получим задачу поиска экстремума функции трёх переменных:
= (Х + ц) х
2л/ла
exp | -—^(c - s1)2 I - exp I c2 j j ^ шах. (26)
s1, X, |
[0, 5 < 51; \ц, 5 > 51.
Значение параметров X, д и 51 будет определено ниже. Тогда
ВД 51 ВД
| Л(5) (Х(5)-ц(5))С5 = Х| Л(5)С5-ц| Я(5)С5 . (21)
0 0 51
Так как К(5) имеет смысл стационарной плотности распределения вероятностей диффузионного процесса 5(т), то
Обозначим:
U (X, s1) = = (X +1)|exp[-^ir(c - s1)2 j - exp
2л/ла
а 2 а" 0
Функция U (X, д, s1) линейно зависит от аргументов X и д. Следовательно, её максимальное значение по этим переменным достигается при их максимальных значениях. Напомним, что X - интенсивность покупки, д - интенсивность продажи ценных бумаг трейдером. Понятно, что эти величины по «техническим» причинам не могут быть сколь угодно большими. Поэтому введём обозначения для их верхних границ: max X = Л, max д = М
Для того чтобы найти критические точки функции U(X, д, s1) по переменной s1, решим уравнение U'si(X, д, s1) или
^ (X + |) exp |--а (c - s1)21 (c - s1) = 0 . (27) -\/ла I а j
Получим c = s1. Исследование этой точки показывает, что в ней функция U(X, д, s1) имеет глобальный максимум.
Итак, решение задачи оптимизации (18):
X = Л; д = М; c = s1.
На практике это означает, что для того, чтобы получить максимальную прибыль на бирже, трейдер должен:
0
1) покупать активы с максимально возможной интенсивностью, когда их цена ниже своего среднего значения;
2) продавать активы с максимально возможной интенсивностью, когда их цена выше своего среднего значения.
Данные результаты получены, напомним, при исследовании построенной нами модели методами асимптотического анализа в условиях, когда рассматриваемый промежуток времени является достаточно длительным, а капитал - неограниченным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рынок ценных бумаг: Учебник / Под ред. В.А. Галанова, А.И. Басова. М.: Финансы и статистика, 2000. 352 с.
2. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975. 320 с.
3. Волков И.К., Зуев С.М., Цветков Г.М. Случайные процессы. М.: Изд-во МГТУ им. И.Э. Баумана, 2000. 448 с.
4. Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизируемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. 158 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2003. 405 с.
6. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968. 358 с.
Статья предоставлена кафедрой теории вероятности и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 12 апреля 2004 г.
