CC BY
155
Рынок ценных бумаг
прогнозирование устойчивости рыночного равновесия на примере рынка акций холдинга (неоклассический подход)
Еа. ХАРПОвЛ, кандидат экономических наук, доцент, заведующая кафедрой «Мировая экономика» челябинского института (филиала) ГОУвПО «РГтЭУ»
Общеизвестно, что функция спроса может быть задана тремя способами: аналитическим, табличным и графическим (рис. 1).
К числу прочих факторов, определяющих объем спроса, относятся:
размер дохода потребителя (I, income); вкусы покупателей (T, tastes); цены на другие товары (Pa...P, prices); общее число покупателей, размер рынка (Х); накопленные сбережения (W, wealth); инфляционные ожидания (IE, inflationary expectations); • другие факторы.
В связи с изложенным в общем виде функция спроса может быть записана как
Qdx = f (Px, I ,T, Pa ...p, X ,W, IE).
Вместе с тем существуют отклонения от общепринятой функции спроса. Например, известен так называемый «парадокс Гиффена». Подтверждение кривой Гиффена (рис. 2) мы можем наблюдать сегодня в условиях динамично растущего отечественного фондового рынка. При постоянном и многократном повышении цен на акции ведущих предприятий России спрос на них растет независимо от цены. Кривая спроса на эти акции существенно отличается от типичного графика спроса (см. рис. 1).
Временные отклонения от закона убывающего спроса наблюдаются и в тех случаях, когда на биржу выводятся акции новых эмитентов, при этом иногда наблюдается резкое повышение цены акций малоизвестных эмитентов. Но как только трейдеры убедятся, что их ожидания завышены, спрос немедленно вернется на линию d (см. рис. 1). Вышеуказанные отклонения носят название «эффекта Веблена». В нормальных условиях функ-
рис. 1. Формы представления функции спроса
0 Q
Рис. 2. Кривая спроса Гиффена
38
финансы и кредит
При уменьшении Р для cl ^ AQ^ AQ ^ ^Q
Р4
4— для
N^d^._
Рис. 3. Вогнутаяивыпуклаякривыеспроса
ционирования любого рынка, включая фондовый, существует обратная зависимость между ценой и величиной спроса, поэтому кривая спроса имеет отрицательный наклон. Однако по своей конфигурации эта кривая может быть как вогнутой d1, так и выпуклой d2 (рис. 3). Как видно из рис. 3 конфигурация кривой спроса имеет принципиальное значение, и это обстоятельство необходимо учитывать при аналитической работе на рынке ценных бумаг.
Принято различать изменение объема спроса и изменение функции спроса. Изменение объема спроса возникает при изменении цены эмиссионной ценной бумаги при фиксированных значениях прочих факторов. В этом случае имеет место движение вдоль линии спроса. Если же изменятся прочие факторы, то произойдет сдвиг линии спроса вправо или влево (рис. 4), т. е. аналитики фондового рынка говорят об изменении функции спроса.
Смещение кривой спроса вправо и вверх соответствует увеличению спроса. Это означает, что в единицу времени большее количество ценных бумаг и по более высокой цене будет востребовано покупателями. И, наоборот, если кривая спроса сдвигается влево и вниз, это свидетельствует об уменьшении спроса. Отметим также, что одному и тому же объему спроса при сдвиге кривой спроса соответствуют разные цены спроса.
Под предложением на фондовом рынке понимается готовность трейдера продать ценную бумагу в целях максимизации прибыли, при этом объем
прибыли напрямую зависит от цены. Кроме цены, на уровень предложения эмиссионных ценных бумаг оказывают влияние следующие факторы:
• наличие у предприятия-эмитента производственных мощностей и природных ресурсов, рабочей силы и др. (R, resources);
• характер технологии (К);
• налоги и дотации (TS, tax and subsidy);
• природно-климатические условия, в которых функционирует предприятие-эмитент (С, conditions);
• цены на ресурсы и другие товары на других рынках (от Ра до Р) и т. д.
Таким образом, объем предложения на рынке ценных бумаг — это максимальное количество ценных бумаг, которое согласен выставить на продажу продавец или группа продавцов в единицу времени при перечисленных выше условиях. Зависимость объема предложения от определяющих его факторов называется функцией предложения. В общем виде функция предложения имеет вид:
Qs^ = f (P, P P., R, к, c, ts).
Если все факторы, кроме цены, взять за постоянные, то функция предложения примет вид:
Qs^ = f(Px ).
Функция предложения (по аналогии с функцией спроса) также может быть задана тремя способами: аналитическим, табличным и графическим (рис. 5).
К неценовым факторам, влияющим на объем предложения на фондовом рынке, относятся:
• цены на другие товары;
• налоги и дотации;
• число продавцов на рынке и их ожидания и т. п. Во всех перечисленных случаях, когда меняется
не цена, а другие условия, речь идет об изменении функции предложения (происходит сдвиг кривой предложения). На фондовом рынке сталкиваются интересы покупателей- «быков», олицетворяющих спрос, и продавцов- «медведей», представляющих
Qs =/(Рг)
4-
2 -
Р,
1 10
2 60
3 80
4 100
5 110
Рис. 4. Сдвиг кривой спроса
40 80 120 Q Рис. 5. Формы представления функции предложения
предложение. Покупатели предлагают цену спроса, то есть максимальную цену, которую они готовы заплатить при покупке данного количества ценных бумаг, а продавцы, в свою очередь, — цену предложения, т. е. минимальную цену, за которую они готовы уступить это же количество ценных бумаг.
В условиях свободной конкуренции («идеального рынка») предполагается, что каждый акт обмена совершается в результате добровольного соглашения покупателя с продавцом по договорной цене, что ведут они себя рационально, т. е. действуют в своих собственных интересах, пытаясь извлечь максимальную выгоду. Графически это иллюстрирует известная из экономической теории «базовая модель» пересечения кривых спроса и предложения в точке равновесия Е (equilibrium) (рис. 6). Данный график называется «Крест Маршалла» по имени великого английского экономиста А. Маршалла.
Состояние рынка, при котором спрос и предложение уравновешены на определенном уровне цены, называется равновесным, оптимальным. Равновесными также называются цена и соответствующий объем продаж. Равновесное состояние по своей природе нестабильно, так как рыночные условия, определяющие его, постоянно изменяются, вызывая колебания спроса и предложения. В неоклассической экономической теории выделяют два подхода к проблеме рыночного равновесия. При первом рассматривается сбалансированность каждого отдельного рынка (частное равновесие). При втором — равновесие всей экономической системы в целом (общее равновесие).
В принципиальном плане нарушение рыночного равновесия может произойти в двух случаях: либо при отклонении средней продажной (рыночной) цены от равновесной, либо при сдвиге кривых спроса или предложения (рис. 7).
Возможны ситуации на рынке, когда линии спроса и предложения ни при каких уровнях цены не пересекаются, или, наоборот, имеют две точки пересечения (или даже общие участки). Специа-
Рис.6. Равновеснаяцена
листы в области технического анализа фондового рынка приведут массу примеров, иллюстрирующих подобные моменты.
Проблема устойчивости рыночного равновесия всегда важна, так как выводы о стабильности рынка ценных бумаг отдельных эмитентов или экономической системы в целом имеют далеко идущие последствия. При анализе устойчивости рыночного равновесия используются динамические модели, т. е. модели, учитывающие фактор времени. В качестве примера вспомним простейшую «паутинообразную» модель. Данная модель действует на фондовом рынке и предполагает ряд допущений, которые упрощают действительность. Во-первых, продавцы не могут корректировать ранее принятые решения о каких-то объемах продаж. Во-вторых, не допускается возможность образования запасов с последующей их реализацией, не учитываются случайные явления (например, колебания объемов сделок). Продавцы основывают свои ожидания будущей цены на цене предшествующего периода:
Qst =
где Q, — объем предложения ценных бумаг в период времени Р,
Р-1 — фактическая цена в период времени ¿-1.
Покупатели не принимают решения об объемах закупок заранее. Поэтому объем спроса в любой период времени зависит от цены ценной бумаги в данном периоде:
О, = D(Pt),
где Qd — объем спроса на ценную бумагу в период Р,
Р1 — цена в период I
Представим рассматриваемую ситуацию графически (рис. 8). Вышеназванные зависимости объемов спроса и предложения от цены изображены соответственно линиями ёи S. Если предположить, что в какой-то начальный период времени ( I = 0) по цене Р было раскуплено ценных бумаг на бирже в объеме Q, то в следующий период ( I = 1) этих же
<2 р
Рис. 8. Паутинообразная модель
ценных бумаг будет предложено к продаже в количестве Q1.
Однако данный объем предложения может быть реализован лишь по цене Р1. В дальнейшем рыночная ситуация будет развиваться таким образом, что сокращение предложения и увеличение спроса станут происходить соответственно паутинообразной линии, которая стремится к положению равновесия в точке с координатами Ре и Qе, где равновесие является наиболее устойчивым.
Следовательно, в паутинообразной модели заложены колебания цен и объемов ценных бумаг, которые при одних условиях приводят к равновесию, а при других — удаляют от него. Равновесие является устойчивым, если линия предложения круче линии спроса (см. рис. 8). На графике неустойчивого равновесия наблюдается обратная картина (рис. 9). Когда же углы наклона линий спроса и предложения одинаковы, то совершаются равномерные циклические колебания вокруг точки равновесия (рис. 10).
В состоянии устойчивого равновесия цена совершает затухающие (рис. 11а) или регулярные колебания (рис. 11в). В первом случае мы имеем дело с асимптотической устойчивостью рыночного равновесия.
Во втором случае устойчивость не определена, однако, если амплитуда регулярных колебаний
Рис. 10. Регулярные колебания вокруг положения равновесия
Рис. 9. Неустойчивое равновесие
Рис. 11. Колебания цены: а — затухающие; б — взрывные; в — регулярные
достаточно мала, то такое состояние можно назвать условно устойчивым. В случаях неустойчивого равновесия для цены и уровня потребления характерны «взрывные» колебания с постоянным удалением от точки равновесия (рис. 11 б) или регулярные колебания вокруг этой точки (см. рис. 11 в) с достаточно большой амплитудой.
Во многих экономических задачах прогнозирования ситуации на фондовых биржах, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями различных порядков, бывает также важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении аргумента, и в частности при неограниченном возрастании аргумента (например, горизонта прогнозирования). Важно знать, являются ли решения, удовлетворяющие данным начальным условиям, периодическими, приближаются ли они асимптотически к какой-либо известной функции, и т. д. Этими вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений.
Одним из основных вопросов качественной теории является вопрос об устойчивости решения
или об устойчивости движения (под движением можно понимать любое изменение ситуации на рынке, фондовой бирже и т. п.); этот вопрос был подробно исследован знаменитым русским математиком А. М. Ляпуновым (1857 - 1918) [1, 2, 3].
Пусть дана система дифференциальных урав-
нений
сСх <И
= № х, у),
<У=Ш х, У). <
(1)
Пусть х = х (0 и у = у (0 — решения этой системы, удовлетворяющие начальным условиям
_1 У=о = Уо._ (2)
Пусть далее, х = х(Р) и у = у(0 решения уравнения (1), удовлетворяющие начальным условиям
I У=о = Уо. (3)
Решения х=х ( I) и у=у ( I), удовлетворяющие уравнениям (1) и начальным условиям (2), называются устойчивыми по Ляпунову при I ^ да, если для каждого как угодно малого е > 0 можно указать 8 > 0 такое, что при всех значениях I > 0 будут выполняться неравенства
|х(0 - Х(0| <е,
У(0 - у(0| <е,
(4)
если начальные данные удовлетворяют неравенс-
твам
| Х3 Х^ <8 , |у0 -<8 .
(5)
<У л
— = - У +1.
а у
(6)
Общим решением этого уравнения является функция
У = Се ' +1. (7)
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию
У=0 = 1. (8)
Очевидно, что это решение у = 1 получится при С = 0. Найдем, далее, частное решение, удовлетворяющее начальному условию
У=0 = У).
Найдем значение С из уравнения (7):
У = С+1,
откуда
С=У -1.
Подставляя это значение С в равенство (7),
получаем:
У = (у - 1)е-+1.
Очевидно, решение у= 1 является устойчивым. Действительно,
У - у = [(у-1)е-'+1]-1 = (у - 0
при I ^ да (рис. 12).
Следовательно, при произвольном е будет выполняться неравенство (5), если будет выполняться неравенство
(У - 1)=8<е.
Если уравнения (1) описывают динамику развития экономической ситуации (например, взаимодействие спроса и предложения ценных бумаг на фондовой бирже), где аргумент есть время, и при этом уравнения не содержат явно времени , т. е. имеют вид
<Х=А (Х, у),
Из неравенств (3) и (4) следует, что при малых изменениях начальных условий мало отличаются соответствующие решения при всех положительных значениях I. Если система дифференциальных уравнений является системой, описывающей динамику какого-либо экономического процесса со свойственными ему изменениями его параметров, то в случае устойчивости решений характер исследуемого процесса мало изменяется при малом изменении начальных условий (возмущении).
Допустим, динамика развития какого-то конкретного экономического процесса может быть описана дифференциальным уравнением первого порядка
<У=А2 (Х, у),
л А 1
то эта система называется автономной.
Рассмотрим автономную систему линейных дифференциальных уравнений сСх
- = сх + ^у,
(9)
Рис. 12. Решение уравнения (6)
Х=0 = Х0
Х=0 = Х0
Предположим, что коэффициенты a, b, c, g постоянные, т. е. система уравнений (9) представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Очевидно, что x = 0, y = 0 есть решение системы уравнений (9), в чем легко убедиться путем непосредственной подстановки.
В целях анализа характера развития ситуации, например, на фондовом рынке, исследуем вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты системы уравнений (9), чтобы решение x = 0, y = 0 было устойчиво. Для чего продифференцируем первое уравнение, что позволит в
dy
дальнейшем исключить у и — и привести систему
dt
уравнений (9) к одному уравнению, на основании
свойств уравнений системы
d2x dx dy dx , .
df = Cdt+ gd = Cdt+ §(aX + ЬУ) =
dx dx
= c--+ gax + b(--cx)
dt s dt J
или
^TT - (b + c) ^J- - (ag - bc)x = 0. dt2 dt
(10)
Довольно часто для удобства записи в математической литературе (особенно в технической) используется иная форма записи дифференциальных уравнений, в которой уравнение (10) принимает вид х - (Ь + с)х - а - Ьс)х = 0.
Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (10) может быть записано как
X2 -(b + c)X-(ag-bc) = 0.
(11)
Уравнение (11) также часто принято записывать в виде определителя
c-X g a b-X
= 0.
Как известно, устойчивость или неустойчивость решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (9) определяется характером корней характеристического уравнения (11). В частности, из теоремы об устойчивости систем, сформулированной Гурвицем для случая, когда возмущения описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, следует: для того, чтобы возмущенное состояние системы было асимптотически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения системы имели отрицательные вещественные части. Если среди корней этого уравнения имеется хотя бы
один с положительной вещественной частью, то возмущенное состояние неустойчиво. Возмущенное состояние будет устойчиво, но не асимптотически, когда характеристическое уравнение, не имея корней с положительными вещественными частями, имеет корни с вещественными частями, равными нулю, если эти корни простые. Иными словами, отклонения системы будут с течением времени стремиться к нулю только в том случае, когда вещественная часть корней характеристического уравнения будет отрицательна. В случае же равенства вещественной части нулю отклонения системы с течением времени не возрастают, оставаясь в границах начальных отклонений после прекращения воздействия (возмущения).
Обозначим корни характеристического уравнения (11) через и Х2. Устойчивость или неустойчивость решения системы дифференциальных уравнений (9) определяется характером корней Я,1 и Х2, которое можно определить, например, по теореме Виета, которая для данного случая имеет вид:
(Ь + с) ±4Ъ
X1,2 ="
2
где D — дискриминант характеристического уравнения (11).
Возможны несколько случаев, которые достаточно подробно изложены в [1, 2, 3]:
1) корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные — в этом случае рынок стремится к устойчивому равновесию без колебаний (по типу рис. 12);
2) корни характеристического уравнения действительные, положительные и различные — в этом случае рынок неустойчив и малейшие изменения цен или объемов продаж приводят к его дестабилизации, причем с течением времени дестабилизация возрастает. Новое равновесное состояние возможно, но на другом качественном уровне;
3) корни характеристического уравнения действительные, имеют разные знаки — в этом случае рынок неустойчив. На фазовой плоскости имеет место особая точка, называемая седлом;
4) корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной действительной частью — в этом случае рынок стремится к равновесию с некоторыми затухающими колебаниями. Данная ситуация наиболее типична для основных типов рынков (в частности биржевого рынка акций). На фазовой плоскости имеет место особая точка, называемая устойчивым фокусом;
5) корни характеристического уравнения комплексные с положительной действительной частью — в этом случае рынок неустойчив, любые, сколь угодно малые изменения цен или объемов продаж приводят к его дестабилизации. Вместе с тем характер изменений, в отличие от случая 2, носит колебательный характер с возрастающей амплитудой. Равновесие возможно, но на качественно новом уровне с применением инструментов регулирования рынка;
6) корни характеристического уравнения чисто мнимые — в этом случае рынок можно считать устойчивым, хотя имеют место колебания объемов продаж и цен, однако роста амплитуды колебаний не происходит. Этот случай также типичен для рынка ценных бумаг (биржевого). Более того, такое состояние рынка просто необходимо, так как стабилизация на биржевых рынках недопустима.
Вместе с тем поиск численного значения корней характеристического уравнения, на наш взгляд, не всегда имеет смысл. Для принятия решения брокером (трейдером) достаточно упрощенного «дискриминантного» анализа. Дело в том, что случай с действительными отрицательными корнями характеристического уравнения на рынке ценных бумаг весьма и весьма редкий (так как это противоречит смыслу биржевой торговли), то методом исключения можно положить, что устойчивость биржевого рынка определяется случаями 4 и 6. Тот и другой случай возможен при условии D < 0. С учетом изложенного, для определения устойчивости биржевого рынка, исходя из уравнения (9), достаточно выполнения следующего условия: (Ь < 2с
{¿(¿-2с) <4^. (12)
Очевидно, что знание поведения рынка и развития ситуации на рынке предопределяют принятие рационального решения о покупке или продаже ценных бумаг.
Нами был проанализирован рынок акций ОАО «ЧМК» за период с 01.09.2007 по 21.09.2007. Анализ данных позволил вывести следующую закономерность: изменение цены акций прямо пропорционально влияет на объемы торгов (степень доверительной вероятности — 70 %). Данную зависимость можно использовать для прогнозирования объемов торгов при изменении цены акций. Вместе с тем знания общей направленности торгов явно недостаточно для принятия решения на биржевом рынке. Важное значение, и об этом было сказано выше, играет скорость совершения сделок. Обоз-
начим за Х — уровень цены спроса, за Y — уровень цены предложения. Первые производные от этих переменных, соответственно, означают скорость изменения цены спроса и предложения. Допустим, имела место ситуация:
<<х < = У
<У = -4х .
л
Исследуем устойчивость решения данной системы уравнений, для чего составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
-X 1 -4 -X
= 0, X2 + 4 = 0, X = ±2/.
Полученные корни чисто мнимые, имеет место случай 6.
Общее решение системы будет выглядеть следующим образом:
х = С sin(2 t + 8)
у = 2С cos(2t + 8).
Решение будет иметь вид:
2 2 2 у2 = 4С 2(1 - Х.) или^ + Х-г = 1. С 4С2 С2
Имеют место гармонические колебания, не выходящие за пределы начальных колебаний, которые определяются величиной некоторой постоянной С. На фазовой плоскости имеем эллипсы, означающие амплитуды колебаний в зависимости от начального отклонения рынка.
Очевидно, что данный рынок устойчив, т. е. можно говорить об устойчивом росте цены на акции данного эмитента. Что и было подтверждено последующей историей развития отечественного фондового рынка. Данная методика может быть использована при углубленном изучении фондового рынка для принятия мотивированного решения, с последующим учетом механизмов хеджирования.
Литература
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1978. 576 с. :ил.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие / Под ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2004. 575 с.:ил.
3. КолемаевВ.А. Математическая экономика: Учеб. для вузов. М.: ЮНИТИ, 1998. — 240 с.:ил.
4. Басовский Л. Е. Менеджмент: Учеб. пособие. М.: ИНФРА-М, 2005. 216 с. (Высшее образование)
5. КарповаЕ.А., СтарцевА.В., КетоваИ.А. Методы анализа и прогнозирования биржевой торговли: Монография. Челябинск: Челяб. ин-т (фил.) РГТЭУ, 2005.
