Устойчивость и неустойчивость цены Текст научной статьи по специальности «Математика»

И.Г. Царев

Федеральное агентство по строительству и ЖКХ,

г. Москва

УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНЫ

В настоящей работе предложено использовать несколько моделей, описывающих колебание цены и объема выпуска товаров при помощи нелинейных дифференциальных уравнений, аналогичных уравнениям колебания нелинейных элементов механики и радиотехники. Также вводится представление о цене товара как о комплексной величине. Под обратной связью в экономической системе предложено понимать «рефлексивность», т.е. взаимодействие, в котором как ситуация на рынке, так и взгляды его участников являются зависимыми переменными. Показано, что колебания цены около равновесного значения возникают при мягкой потере устойчивости, а кризисные явления возникают как жесткое установление автоколебаний. Показана принципиальная невозможность долгосрочного прогнозирования рынка ввиду чувствительной зависимости от начальных условий.

Введение

Экономическая теория давно столкнулась «с фактом, что цены всех товаров ... непрерывно изменяются; они повышаются и понижаются под влиянием весьма различных обстоятельств, которые часто не находятся ни в какой связи с производством самого товара, так что кажется, будто цены вообще определяются чистой случайностью. ... Одной из первых ее задач было найти закон, который скрывается за этим кажущимся господством случайностей над товарными ценами. ... Наука искала устойчивый центр, вокруг которого эти изменения и колебания совершаются — стоимость товаров» [11, с. 146]. «Товары различных сфер производства продаются по их стоимостям, . стоимость является центром тяготения, вокруг которого вращаются их цены и по которому уравниваются их постоянные колебания вверх и вниз» [12, с. 185]. Классическое утверждение А. Маршалла заключается в следующем: «Когда спрос и предложение пребывают в равновесии, количество товара, производимого в единицу времени, можно назвать равновесным количеством, а цену, по которой он продается, равновесной ценой. Такое равновесие является устойчивым, т.е. цена при некотором отклонении от него будет стремиться к возвращению в прежнее положение подобно тому, как маятник колеблется в ту и другую сторону от своей низшей точки» [14, с. 28]. «Движение объема производства относительно своей точки равновесия будет носить примерно такой же характер» [14, с. 29].

Однако мы знаем, что сплошь и рядом цены не находятся в равновесии, а постоянно совершают колебания: «Спрос и предложение в действительности никогда не покрывают друг друга или если покрывают, то только случайно, следовательно, с научной точки зрения этот случай должен быть = 0, должен рассматриваться как несуществующий. Однако в политической экономии предполагается, что они покрывают друг друга» [12, с. 197].

Причина этих постоянных колебаний подробно не рассматривается. Обычно экономисты считают достаточным объяснение, что колебания цены связаны со случайными актами обмена. Но ведь если эти колебания не затухают со временем в точке равновесия, значит, точка равновесия на самом деле не является устойчивой. В то же время, колебательное движение происходит не произвольно, а вокруг этой самой неустойчивой равновесной точки, т.е. само движение — устойчиво. Понятие устойчивости хорошо известно в математике (см. [1] - [6]), но данный математи-ческий аппарат мало используется в экономической науке.

Заранее извинимся перед авторами за несколько вольное цитирование, так как в кавычки брались только наиболее крупные цитаты источников, и кое-что было добавлено от себя.

§1. Модель колебания цены, аналогичная осциллятору

Если физическую систему (например, вышеупомянутый маятник), обладаю-щую состоянием устойчивого равновесия, вывести из этого состояния каким-либо внешним воздействием и затем предоставить самой себе, то возникающие в системе колебания вблизи устойчивого равновесия называют собственными или свободными. Способную совершать собственные колебания систему называют осциллятором.

Попытаемся применить модель гармонического осциллятора х + 2ух + ш2х = 0 для объяснения рыночных явлений. Обозначим через x колебания имеющегося на рынке товара около равновесной точки xo. «Движение» экономической системы будем понимать, как изменение равновесной координаты х0 на величину х. При этом баланс скорости производства и потребления товара, т.е. равенство спроса и предложения, существующее в положении равновесия, нарушается и возникает скорость производства товара х. х — изменение скорости экономической системы, ее «ускорение», возникающее под действием «рыночных сил» f для возврата системы к точке равновесия: х = —Г .

В приведенной во введении цитате Маршалл говорит как о колебаниях цены товара, так и о колебаниях объема производства. Цена товара р является функцией x: р = ф(х). Данная

функция является кривой спроса на данный товар. Согласно Маршаллу [14, с. 308] хрп = С . Очевидно, что колебания должны происходить вокруг точки равновесия р0), причем р0 =вх, где \ = 1/п, 8 = С. Однако мы можем принять эту точку за начало координат и разложить функцию в ряд вблизи точки равновесия, тогда р0 + р = 8(х0 + х)= 8^х— ^х1х +...). Для достаточно малых х мы можем ограничиться первыми двумя членами ряда. Значит р = —82, х1х, и уравнение для цены товара совершенно аналогично предыдущему для объема товара р + 2ур + ш2р = 0.

Мы записали оба уравнения по аналогии с моделью осциллятора, считая что, объем товара и его цена подчиняются подобным законам. Для подтверждения нашей гипотезы мы должны интерпретировать второй и третий члены уравнений, т.е. рыночные силы, которые задают величину второй производной цены либо объема производства товара.

Произведение цен на объем товара дает его стоимость, обозначим ее как Б = рх, которую участники рынка стремятся максимизировать. При отклонении экономической системы от равновесия на малую величину товара х, общая стоимость товара уменьшается, и возникает «сила рынка», возвращающая систему в точку равновесия. Если принять точку равновесия за начало координат, то при разложении в ряд Тейлора представление функции

стоимости около этой точки имеет вид: = + ~~ +..., т.к. первая производная Б в точке

равновесия равна нулю, а представление силы имеет вид: ^ = сх +.... Для малых отклонений от равновесия прочие члены можно не учитывать. Возвращающая «сила рынка» как раз и есть третий член уравнения.

Под трением (второй член) видимо следует понимать транзакционные издержки. Вспомним определение Коуза: «Транзакционные издержки: это издержки сбора и обработки информации, издержки проведения переговоров и принятия решений, издержки контроля и юридической защиты выполнения контракта» [15, с. 9]. Из перечисленных издержек не

всегда поддаются учету издержки достовер-ности информации и принятых решений. Чем больше скорость производства товара x, тем большее сопротивление среды испытывает производитель, при этом у больше нуля. Ажиотажный спрос или паника дестабилизируют рынок и выводят его из равновесия, появляется «отрицательное трение» (у меньше нуля).

§2. Мягкая потеря устойчивости равновесных режимов

Модель осциллятора позволила нам получить определенные представления о свойствах цены, однако осталось неясным, почему колебания цены не «затухают».

Чтобы в системе возникли автоколебания, т.е. собственные периодические незатухающие колебания, необходимо наличие обратной связи, которая придает системе способность управлять поступающей извне энергией. Форма, амплитуда и частота колебаний при этом задаются самой системой.

Смысл обратной связи в экономической системе видимо состоит в том, что участники рынка пытаются понять ситуацию, возникающую на рынке и предпринять выгодные с их точки зрения действия. Это взаимодействие, в котором как ситуация, так и взгляды участников являются зависимыми переменными, называется, по терминологии Д. Сороса «рефлексивностью». В качестве термина использовано слово, которое французы употребляют для обозначения глагола, субъект и объект которого совпадают [16, с. 51].

Источником энергии в экономике без сомнения является труд.

Будем считать, что коэффициент затухания у, определяющий величину транзакционных издержек, не является постоянным и зависит от ожиданий участников рынка. При стабильном рынке у имеет положительное значение, при возникновении «неверных» представлений или ожиданий участников рынка может возникнуть ситуация «отрицательного трения». В то же время будем считать, что коэффициент у изменяется «не очень сильно» или для «не очень больших» х, т.е. наша нелинейная система близка к линейной системе. Запишем уравнение в виде:

x + 2y[l - af(x)]x + rn2x = 0 .

Параметр а играет роль коэффициента обратной связи, обеспечивающего «рефлексивность» рынка.

Запишем систему в нормальной форме: x = шу,

2у .

y = -шх +--[af(x) - 1]x

ш

Случаи, когда удается найти точные решения в явной аналитической форме, представляют, скорее, исключение из правил. Поэтому в теории колебаний разработан богатый арсенал приближенных или асимптотических методов. Перейдем к полярной системе координат x = rcos(wt + 0), y = -rsin(rat + 0), причем r и 0 независимые переменные, «медленно» меняющиеся от времени t:

Jrcos(®t + 0) - r0 sin(rat + 0) = 0

rsin(®t + 0) - r0 cos(®t + 0) = 2y[af(x) -1] • (-rsin(rat + 0)

Разрешив систему относительно r и 0, получаем:

ir = 2ry[af(x) -1 ] sin2 (rat + 0),

[0 = 2y[af(x)- 1]sin(®t + 0)cos(<»t + 0) .

Так как формулы преобразования содержали явно время, то новая система уравнений неавтономна, хотя исходная система была автономной. Мы можем усреднить правые части

уравнений по явно входящему времени за один период времени 1 = 2п, считая медленные г и 9 константами:

r = 2y — f r[af(x) - 1]sin2(<t + 0)dt = Ф(г,0), 2п 0

1 2п

0 = 2у— f [af(x) - 1]sin(x + 0)cos(<t + 0)dt = ¥(r,0)

Этот прием, когда исходные нелинейные дифференциальные уравнения заменяются также на нелинейные, однако более простые, носит название метод Ван-дер-Поля.

Если исследуемая фазовая траектория есть неподвижная точка или предельный цикл (состояние равновесия), то усредненное за один период значение r, очевидно равно нулю, так как радиус вектор должен возвратиться в исходную точку. Значит координаты этих состояний равновесия суть корни уравнения Ф(г, 9) = 0.

Исходя из условия на экстремум, состояние равновесия r = ri будет устойчивым, если: Ф' (r) < 0, и неустойчивым, если Ф'(г; ) > 0. Остальные движения будут либо асимптотически приближаться к ним, либо асимптотически удаляться от них при t ^ да

Теперь перейдем ко второму уравнению. Если Y(r) = 0, то второе уравнение

интегрируется сразу: 9 = 0, 9 = const = 90, и мы можем представить себе картину фазовых траекторий. Все интегральные кривые суть прямые, проходящие через начало координат под углом 0о. Движение вдоль каждой из этих прямых определяется уравнением r = Ф(г, 0) . Если мы вспомним теперь про собственную частоту вращения, то каждая из этих прямых будет вращаться. Корни уравнения ri, дадут круговые предельные циклы, а прочие точки прямой образуют траектории движения, асимптотически приближающиеся к состояниям равновесия или асимптотически удаляющиеся от них.

Перейдем теперь к случаю, когда второе уравнение не тождественно нулю. Пусть уравнение Y(r, 9) = 0 имеет несколько корней rj, которые не совпадают с состояниями равновесия ri. Тогда движение изображающей точки по какому-нибудь предельному циклу подчиняется уравнениям:

ri = const, 9 = pY(ri) + 90.

Устойчивость или неустойчивость рассматриваемого предельного цикла определяется устойчивостью или неустойчивостью соответствующего состояния равновесия, а направление вращения — знаком Т.

Выберем f(x) = 1 + Px - x2. Постоянный член характеризует «отрицательное трение», квадратичный ограничивает действие постоянного члена «не очень большими» значениями х, третий член является произвольным. Два коэффициента из трех выбраны равными единице для упрощения выкладок. Этого результата всегда можно добиться заменой переменной х на x/x0, т.е выбором «правильного» масштаба измерений.

= yr

, a 2

a-1--r

4

r = — f [a -1 + aPrcos(®t + 0) - ar 2cos2(«t + 0)]sin2 (rot + 0)dt

2n

= — f [a -1 + aPrcos(®t + 0) - ar2cos2(«t + 0)]sin(rot + 0)cos(«t + 0)dt = 0. Получаем систему:

r = yr

9 = 0

, a 2

a-1--r

0

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство, выражение для f содержало член Рд, который, однако, совершенно не входит в общее решение. Это обстоятельство весьма общее для любых нечетных членов. Если мы аппрокси-мируем Г(х) в виде любого многочлена, нечетные члены не оказывают никакого влияния.

Мы всегда можем подобрать безразмерный г таким образом, чтобы записать: Г = вг - г3.

При отрицательных 8 (а<1) устойчивым положением системы всегда является начало координат. Если 8 > 0, уравнение при положительных г имеет два положения равновесия Г 2 = 0; -Ув. Первое положение равновесия неустойчиво. При любом малом возмущении г скорость изменения Г становится положительной и г растет, пока не достигнет второй точки равновесия л/в, которая устойчива. При даль-нейшем увеличении г, Г становится отрицательной, и система стремится вернуться в эту точку. Мы имеем неустойчивое положение равновесия в начале координат, и устойчивый предельный цикл радиуса -Уе .

Остальные траектории разбиваются на два класса: на траектории, наматывающиеся снаружи на предельный цикл, и на траектории, наматывающиеся изнутри на предельный цикл (рис. 1).

Устойчивый фокус

Устойчивый предельный цикл

Рис. 1а) а < 1

Рис. 1 б) а > 1

Неустойчивый фокус

Таким образом, из положения равновесия рождается предельный цикл. Устойчивость равновесия переходит к циклу, само же равновесие становится неустойчивым. После потери устойчивости равновесия установившимся режимом оказывается колебательный периодический режим вблизи положения равновесия. Говорят, что произошла мягкая потеря устойчивости, так как устанавливающийся колебательный режим при малой закритичности (отличии параметра от критического значения) мало отличается от состояния равновесия.

Если, начиная с некоторого значения параметра а > 1, мы будем его непрерывно уменьшать (уменьшать «рефлексивность»), то радиус предельного цикла будет также непрерывно уменьшаться, стремясь к нулю при а^-1. При а = 1 предельный цикл исчезнет, сольется с неустойчивым фокусом, передав фокусу свою устойчивость; мы видим, что а = 1 является бифуркационным значением параметра а.

Таким образом, при малой рефлексивности рынка (0 < а < 1) мы имеем стабильную равновесную цену товара, однако с ростом рефлексивности возникают автоколебания цены, амплитуда которых, начиная с нуля, будет непрерывно увеличиваться.

§3. Представление о цене как о комплексной величине

В предыдущем параграфе мы получили систему уравнений

г = вг - г

ф = ю.

Мы можем для удобства рассматривать не вещественную, а комплексную плоскость, что упрощает запись, не меняя результат. Одно комплексное уравнение — это два вещественных, так же как одно комплексное число — два вещественных. Переменная w = Г(ъ) называется функцией комплексного числа ъ, если каждому значению ъ отвечает определенное значение Дъ). Так как ъ = х + /у, где х — вещественная часть, у — мнимая

82

часть, то задание z означает задание двух вещественных чисел х и у. При этом Д^) = u(x, у) + ^(х, у), где и(х, у) и v(x, у) - вещественные функции.

Переходя к комплексному уравнению, получаем: W = (/'ю + a)w - w|w|2, где w = гегф. Данное уравнение эквивалентно представленной выше системе, что проверяется непосредственно:

w = гё/ф + /фге/ф = = (/'ю + а)ге/ф - г3с/ф = (иг - г3)с/<р + /шгс/ф .

Такое представление колебаний осциллятора на комплексной плоскости очень удобно и дает нам право рассматривать цену как комплексную величину: w = гегф.

Может показаться странным, что наши переменные величины, которыми мы собираемся обозначать цены товаров, принимают мнимые значения. Однако ближайшее рассмотрение марксистской трактовки цены показывает, что: «Цена, или денежная форма товаров, как и вообще их стоимостная форма, есть нечто, отличное от их чувственно воспринимаемой вещественной формы, следовательно, — форма лишь идеальная, существующая лишь в представлении» [13, с. 105]. «Следовательно, возможность количественного несовпадения цены с величиной стоимости ... заключена уже в самой форме цены. ...

Но форма цены не только допускает возможность количественного несовпадения величины стоимости с ценой, т.е. величины стоимости с ее собственным денежным выражением, — она может скрывать в себе качественное противоречие, вследствие чего цена вообще перестает быть выражением стоимости, хотя деньги представляют собой лишь форму стоимости товаров. Вещи, которые сами по себе не являются товарами, например совесть, честь и т.д., могут стать для своих владельцев предметом продажи и, таким образом ... приобрести товарную форму. Следовательно, вещь формально может иметь цену, не имея стоимости. Выражение цены является здесь мнимым, как известные величины в математике. С другой стороны, мнимая форма цены, — например цена не подвергавшейся обработке земли, которая не имеет стоимости, так как в ней не овеществлен человеческий труд, — может скрывать в себе действительное стоимостное отношение или отношение, производное от него» [13, с. 112]. «В выражении «стоимость труда» понятие стоимости не только совершенно исчезает, но и превращается в свою противоположность. Это такое же мнимое выражение, как, например, стоимость земли. Но такие мнимые выражения возникают из самих производственных отношений» [13, с. 547].

Мы могли бы предположить, что величина стоимости товара дает нам модуль комплексного значения цены г, а неверные представления людей о величине этой стоимости определяют аргумент ее комплексного значения ф. Тем самым модуль цены или стоимость товара г не совпадает с действительной частью цены х, т.е. с денежным выражением этой стоимости, так как х = г-соБф.

Цена товара также может быть больше его действительной стоимости, в этом случае соБф>1, и сами представления людей ф являются комплексной величиной. Так как ф = ш1;, следовательно, представления людей периодически повторяются во времени, что также соответствует действительности.

§4. Жесткая потеря устойчивости

Попробуем теперь, взять более точное аппроксимирующее выражение для ^х).

Предположим, что Дх) = 1 + ^x + px2 + р3x3 - x4.

Тогда г = цФ(г), (3 = 0, где Ф(г) = ayr

а -1 Рг2 г4 -+ ■

а

4 8

Радиусы предельных циклов даются уравнением: Ф(г) = 0.

Уравнение всегда имеет корень г0 = 0 . При р < 0 ситуация аналогична рассмотренной в предыдущем примере, т.е. при а < 1 уравнение не имеет положительных корней, а при а > 1 имеет единственный положительный корень (мягкий режим). Если р > 0, то мы имеем более

1

интересный случай. При а < а0 =

1 + р2 /8

уравнение не имеет положительных корней, при

Область притяжения уст. фокуса

Неустойчивы й пред. цикл

Устойчивый фокус

Устойчивый пред. цикл

Рис. 2. ао < а < 1

а > 1 имеет единственный положительный корень (мягкий режим), и наконец, при а0 <а< 1 имеет два положительных корня, из которых устойчивым является больший.

Таким образом, при а0 < а < 1 (рис. 2) устойчивое состояние равновесия и устойчивый предельный цикл разделены неустойчивым предельным циклом.

Поэтому траектории, начинающиеся внутри неустойчивого предельного цикла будут идти к состоянию равновесия и только траектории, которые начинаются вне неустойчивого предельного цикла, будут наматываться на устойчивый предельный цикл. Неустойчивый предельный цикл, не соответствует, конечно, автоколебательным процессам. Он является границей, разделяющей «области притяжения» (аттракторы) устойчивого автоколебательного режима и устойчивого состояния равновесия. При достаточно сильном «толчке» в системе сразу возникают автоколебания с ненулевой амплитудой. Наблюдается жесткое установление автоколебаний. При этом система уходит со стационарного режима скачком и перескакивает на иной режим движения. В общем случае этот режим может быть другим устойчивым стационарным режимом, или устойчивыми колебаниями, или более сложным движением.

На рис. 3 изображена плоскость параметров а, Р, разбитая на области различных режимов. При убывании параметра а изображающая точка будет находиться на устойчивом предельном цикле до тех пор, пока а не станет равным ао. При переходе а через это бифуркационное значение устойчивый предельный цикл, слившись с неустойчивым предельным циклом, пропадает, автоколебания срываются.

По-видимому, жесткая потеря устойчивости соответствует скачкам цен, которые возникают в кризисных ситуациях, например, общеизвестным обвалам рынка в последние несколько лет. Например, правительство принимает решение о дефолте, участники рынка

пытаются понять возможные последствия и предпринять выгодные с их точки зрения действия. В результате скачком возникают колебания цены, например, доллара к рублю, достаточно большой амплитуды.

Заметим, что во всех примерах поведение системы качественно изменялось при переходе параметра а через бифуркационное значение. Подобные качественные изменения являются предметом рассмотрения теории катастроф.

Катастрофой называется скачкообразное изменение (качественная трансформация), возникающее в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий.

Рис. 3

Кроме описанных двух способов потери устойчи-вости положение равновесия может «умирать», слившись с другим при подходе параметра к критическому значению (или же «из воздуха» рождается пара положений равновесия). Из двух рождающихся (или умирающих) вместе положений равновесия одно устойчиво, другое неустойчиво.

«Математическая теория катастроф сама по себе не предотвращает катастрофы, подобно тому, как таблица умножения, при всей ее полезности для бухгалтерского учета, не спасает ни от хищений отдельных лиц, ни от неразумной организации экономики в целом.

Математические модели катастроф указывают, однако, некоторые общие черты самых разных явлений скачкообразного изменения режима системы в ответ на плавное изменение внешних условий. .

Трудность проблемы перестройки связана с ее нелинейностью. Привычные методы управления, при которых результаты пропорциональны усилиям, тут не действуют, и нужно вырабатывать специфически нелинейную интуицию, основанную на порой парадоксальных выводах нелинейной теории.

Математическая теория перестроек была создана задолго до нынешней перестройки. Вот некоторые простейшие качественные выводы из этой теории применительно к нелинейной системе, находящейся в установившемся устойчивом состоянии, признанном плохим, поскольку в пределах видимости имеется лучшее, предпочтительное состояние системы.

1. Постепенное движение в сторону лучшего состояния сразу же приводит к ухудшению. Скорость ухудшения при равномерном движении к лучшему состоянию увеличивается.

2. По мере движения . сопротивление системы изменению ее состояния растет.

3. Максимум сопротивления достигается раньше, чем самое плохое состояние, через которое нужно пройти. .

4. По мере приближения к самому плохому состоянию ... сопротивление, начиная с некоторого момента, . уменьшается, и как только самое плохое состояние пройдено . система начинает притягиваться к лучшему состоянию.

5. . Слабо развитая система может перейти в лучшее состояние почти без предварительного ухудшения. .

6. Если систему удается ... скачком ... перевести ... достаточно близко к хорошему состоянию, то дальше она сама собой будет эволюционировать к нему» [3, с. 100-101].

§5. Динамическая система для описания колебаний биржевой цены товара

Как уже упоминалось, участники рынка стремятся максимизировать функцию

стоимости S = px. Эта функция задает кривую спроса: p = —, т.е. =1. При отклонении

x

экономической системы от равновесия на малую величину товара х, общая стоимость товара уменьшается.

Предположим, что на некий товар х возник повышенный спрос на рынке. Будем

считать, что на этом участке кривая спроса задается функцией p = —. Завышенная по

x

сравнению со стоимостью цена на товар приводит к активизации процесса производства и постепенному росту предложения, что ведет к постепенному снижению цены. В определенный момент, когда предложение достаточно превышает спрос, происходит резкое падение цены до величины, которая ниже реальной стоимости товара. После срыва значения

цены кривая спроса задается функцией p = —-. Резкое падение цены вызывает сворачивание

x

процесса производства и постепенное увеличение спроса, что в свою очередь ведет к постепенному росту цены. Наступает момент, когда спрос настолько превышает предложение, что цена на товар скачком повышается до прежней величины, которая превышает реальную стоимость товара. Далее повторяется периодический процесс, т.е. возникают автоколебания. Колебания, при которых система совершает такие скачки, называются разрывными колебаниями.

Скачок переменной называется «быстрым» движением. Переменная х за время скачка изменяется лишь на малую величину, поэтому ее можно считать неизменной. Напротив, движения изображающей точки, для которых скорости переменных остаются ограниченными в течение конечных промежутков времени, называют «медленными» движениями. Совокупность данных видов движения называется разрывными колебаниями.

Самое простое предположение заключается в том, что скорость изменения количества товара на рынке во время «медленных движений» пропорциональна как его количеству, так и цене на него: X = f(x,p) = ap - Px. Нелинейность этой системы обусловлена присутствием в ней нелинейной зависимости р от х, имеющей описанный выше гистерезисный характер, который обусловлен наличием определенных ожиданий покупателей и продавцов о том, как будет развиваться ситуация на рынке. Таким образом, при известной идеализации нам нужно решить два уравнения, причем одно сменяет другое, когда меняется знак X. В этом

заключается нелинейность задачи. Сами уравнения являются линейными.

£

Быстрые движения описываются уравнением 5p = g(x,p) = — p, где 0 < 5 « 1.

X

Медленные движения X = f (x, p) возможны когда g(x, p) = 0 . В этом случае точки плоскости р, х лежат на кривой p = 9(x), т.е. 9(x)-p = g(x,p) = 0 . Для точек, не принадлежащих кривой g(x,p) = 0, имеем подсистему быстрых движений: 5p = g(x,p), x = const.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнения первого порядка, что соответствует одному уравнению второго порядка. График движения системы состоит из прямолинейных и криволинейных отрезков (рис. 4).

Начнем рассмотрение с того момента, когда на рынке возникает спрос на товар и устанавливается некоторая цена рь Будем считать, что на этом участке

кривая спроса задается функцией p = —1, т.е. = 1.

x

Тогда, подставив выражение для р в уравнение движения x = ap-px, мы имеем:

р

I \

\ —1 p = —

------- ^^ x -►

• ElP R x = —-— px , где

x

X1 X2

Рис. 4

E =a—i

P

Решением уравнения при начальных условиях t =

0, x = x1 будет

(Ei -(Ei - x2 )• exp(-2pt))2 .

х ^-х

Очевидно, что Е1 — это то максимальное количество товара, которое теоретически может быть на рынке при t ^ да. Однако реально максимального насыщения рынка никогда не достигается, и при х2 происходит срыв значения цены до величины р2. Промежуток времени для первого участка определяется соотношением:

x

/ \i 1 р _ x2 : (Ex _(Ej _x12)exp(_2ßx1))2 или Tl = —ln-E-2.

2p р _ X2

Eiß

После срыва значения цены р = —, и мы получаем уравнение движения х = —2— Рх,

X

где р = ^^. При начальных условиях t = 0, x = x2, получим x = (e2 + (x2 _ E2 )• exp(_2ßt))2. Е2

ß

это то минимальное количество товара, которое теоретически может быть на рынке при t ^ да, однако это состояние также никогда не достигается, и при достижении х1 происходит резкий скачок значения цены до р1.

Подставляя x = x1 при 1 = т2, получим: т.

2ß x2 _ E2

Период авто-колебаний

T = Tj +T2 .

На рис. 5 изображен вид колебаний р и х. Колебания состоят из кусков экспонент и по форме весьма отличны от синусоидальных. Период колебаний обратно пропорционален коэффициенту в и зависит более сложным образом от остальных параметров. Вид реальных колебаний цены на рынках также мало похож на синусоидальные и часто имеет пики и понижения скорее прямоугольной формы.

Применим полученные результаты для объяснения некоторых процессов на фондовом рынке. Одна из двух теоретических посылок так называемого технического анализа при изучении состояния фондового рынка состоит в том, что прошлые состояния рынка периодически повторяются. В связи с этим задача инвестора состоит в том, чтобы на основе изучения прошлой динамики рынка определить, какой она будет в следующий момент. Циклическое повторение состояния системы говорит об устойчивых колебаниях около некого равновесного состояния.

x '

x2

Рис. 5

x

Приведем несколько терминов, которые применяются при анализе фондового рынка: Линия сопротивления — это линия, выше которой цена акции не должна подняться. Если цена акции преодолевает линию сопротивления, то это служит сигналом для покупки, поскольку она перешагнула психологический барьер инвесторов.

Линия поддержки — это линия, ниже которой цена акции не должна опуститься. Если курсовая стоимость бумаги падает ниже данного уровня, считается, что она будет

падать и дальше, поскольку преодолен психологический рубеж восприятия ситуации инвесторами.

Линии поддержки или сопротивления могут быть направлены как вверх, так и вниз в соответствии с существующим трендом. Об изменении ценового тренда говорит диаграмма, которую называют «голова и плечи». Если цена бумаги опускается ниже линии шеи, это сигнал о смене тренда на противоположный.

Как мы видим, график р(1:) предложенной нами модели содержит эти характерные черты фондового рынка.

В свою очередь периодическое движение (или так называемый предельный цикл) также может терять устойчивость для систем с числом степеней свободы больше единицы, т.е. при количестве уравнений больше двух. В этом случае поведение фазовых кривых близких к циклу, можно приближенно описывать при помощи эволюционного процесса, для которого цикл является положением равновесия.

«Аттракторы, отличные от состояния равновесия и строго периодических колебаний, получили название странных аттракторов. ... При таких режимах происходит экспоненциально быстрое разбегание фазовых траекторий, т.е. плохая предсказуемость течения событий по начальным условиям. . Переход системы на такой режим означает, что в ней наблюдаются сложные непериодические колебания, детали которых очень чувствительны к малому изменению начальных условий, в то время как усредненные характеристики режима устойчивы и не зависят от начального условия. .

Существование аттракторов с экспоненциально расходящимися фазовыми кривыми на них и устойчивость такого рода явлений были установлены в самом начале шестидесятых годов в работах С. Смейла, Д.В. Аносова и Я.Г. Синая по структурной неустойчивости динамических систем.

Независимо от этих теоретических работ метеоролог Лоренц в 1963 г. описал наблюдавшийся им в численных экспериментах по моделированию конвекции аттрактор в трехмерном фазовом пространстве с разбегающимися по нему в разные стороны фазовыми кривыми (система совершает сложное хаотическое движение, похожее на «танец» вокруг двух неустойчивых фокусов, описывая витки по раскручивающейся спирали, однако никакой периодичности в таком движении нет: и времена, в течение которых система находится вблизи одного из фокусов, и число витков на каждой из спиралей кажутся совершенно случайными). . В частности, из этого вытекала практическая невозможность долгосрочного динамического прогноза погоды: для предсказания всего на 1-2 месяца вперед нужно знать начальные условия с погрешностью 10- от погрешности предсказания. ...

Переход от устойчивого состояния равновесия процесса к странному аттрактору может совершаться как скачком (при жесткой или катастрофической потере устойчивости) так и после мягкой потери устойчивости. В последнем случае родившийся цикл сам теряет устойчивость. Потеря устойчивости цикла в общем однопараметрическом семействе систем возможна несколькими способами:

2) удвоение,

3) рождение или смерть тора (в терминологии Андронова: с цикла слезает шкура). Детали последних процессов зависят от резонансов между частотами движения вдоль

§6. Потеря устойчивости автоколебательных режимов

1) столкновение с неустойчивым циклом (\ = (/ш -а)\ + 2р\\|2 - \|\4 ).

меридиана тора и вдоль его оси, т.е. от того, будет ли отношение этих частот рациональным или иррациональным числом. Интересно, что рацио-нальные числа со знаменателем 5 и больше ведут себя практически как иррациональные» [3, с. 23-26].

Одним из аттракторов может быть разрушение системы.

В сложных физических системах с многими аттракторами может развиваться процесс упорядочения, который получил название самоорганизации. Мы называем систему самоорганизующейся, если она в ходе эволюции обретает какую-либо пространственную структуру. Для того, чтобы в системе началась самоорганизация, она должна быть подведена к границе устойчивости. «Самопроизвольное, не связанное с действием внешних организующих полей регулярное поведение в сложной системе есть результат развития в ней определенного вида неустой-чивостей. При этом процесс упорядочения, очевидно, связан с коллективным (кооперативным) поведением образующих систему подсистем. Именно благодаря «кооперативности» теорию самоорганизации часто называют синергетикой (от греческого «совместные действия»). ... Модели теории самоорганизации — это модели нелинейных неравновесных систем, подверженных действию флуктуаций, ... в момент перехода беспорядок - порядок» [8, с. 3].

Система, которая может обмениваться с внешним миром веществом, энергией и энтропией, называется открытой. «Бельгийская школа И. Пригожина развивает термодинамический подход к самоорганизации ([9], [10]]. Основное понятие синергетики Хакена (понятие структуры как состояния, возникающего в результате когерентного (согласованного) поведения большого числа частиц) бельгийская школа заменяет более специальным понятием диссипативной структуры — открытой системы, обменивающейся с окружающей средой потоками вещества и энергии, однородное состояние равновесия (которой) может терять устойчивость и необратимо переходить в неоднородное стационарное состояние, устойчивое относительно малых возмущений» [8, с. 8]. Источник энергии должен поставлять энергию в достаточно упорядоченном виде: по терминологии Бриллюэна в систему должна «впрыскиваться» негэнтропия, т.е. энтропия с обратным знаком (информация, мера упорядоченности). Очевидно, что в любой хозяйственной структуре таким источником одновременно информации и энергии является труд. Внутри же самой системы все время рождается энтропия, которая вытекает затем вместе с теплом в окружающее пространство. Если «запереть» поток энтропии, то и (система) «умрет». Из системы нужно удалять «шлак» из вновь рождаемой энтропии, в качестве которого можно рассматривать, например отходы производства и загрязнение окружающей среды.

Чувствительная зависимость от начальных условий говорит о невозможности долгосрочного прогноза ценовых колебаний, так как погрешность начальных условий 10-5 от погрешности предсказания недостижима, кроме того, любое «возмущение» переводит систему на соседнюю фазовую кривую, которая в дальнейшем экспоненциально расходится с исходной. Тем не менее, имеет смысл изучать предложенные выше модели колебаний цены, так как они приводят к лучшему пониманию сути происходящих на рынке процессов.

Между прочим, благодаря хаотическим колебаниям цены около состояния равновесия мы можем говорить о некой вероятности распределения значения цены, но смысл этой вероятности существенно отличается от вероятности, возникающей в результате представлений о случайных актах обмена товаров на рынке.

Благодарности

Автор выражает свою искреннюю благодарность профессору Ю. С. Куснеру. Эта работа могла бы не появиться без его деятельного участия.

Список литературы

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М.: Физматгиз, 1959.

2. Аленицын А.Г., Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Краткий физико-матема-тический справочник. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

3. Арнольд В.И. Теория катастроф. — М.: наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 128 с., с.19.

4. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. — М.: Наука. 1967.

5. Понтрягин Л.С. Знакомство с высшей математикой: Дифференциальные уравнения и их приложения. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

6. Лопатинский Я.Б. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — К.: Вища школа. 1984.

7. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. — М.: Ред. ж. «Успехи физических наук», 1997.

8. Нелинейные волны: Самоорганизация. — М.: Наука, 1983.

9. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1977.

10. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчи-вости и флуктуаций. М.: Мир, 1973.

11. Маркс К., Энгельс Ф. Наемный труд и капитал. Избранные произведения в 3-х томах. Т. 1. — М.: Политиздат, 1985.

12. Маркс К. Капитал. Критика политической экономии. Т. III. — М.: Политиздат, 1949.

13. Маркс К. Капитал. Критика политической экономии. Т. I. — М. Политиздат, 1983.

14. Маршалл А. Принципы экономической науки., т. II. — М.: Прогресс, 1993.

15. Коуз Р. Фирма, рынок и право. — М.: Дело ЛТД, 1993.

16. Сорос Дж. Алхимия финансов (Soros G. The alchemy of finance) — М.: ИНФРА-М, 1996.