Взаимодействие экзогенных и эндогенных шоков на примере модели Самуэльсона-Хикса Текст научной статьи по специальности «Математика»

СЕРКОВ Леонид Александрович

Кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой прикладной информатики, предпринимательства и коммерции

Уральский институт бизнеса

620214, РФ, г. Екатеринбург, пер. Центральный рынок, 6 Контактный телефон: (963) 852-52-97 e-mail: dsge2012@mail.ru

Взаимодействие экзогенных и эндогенных шоков на примере модели Самуэльсона-Хикса

Аналитически исследуется влияние экзогенных шоков на эндогенные деловые циклы на примере нелинейной модели Самуэльсона-Хикса. В изолированной модели влияние экзогенных шоков на эндогенные колебания приводит к появлению области неопределенности, связанной с наличием множества равновесий. В модели с взаимодействием экономик влияние экзогенных шоков на эндогенные колебания проявляется в расширении области автоколебательных режимов. Полученные аналитические результаты подтверждены численными расчетами и могут быть полезны при изучении и управлении динамикой динамических стохастических моделей общего равновесия.

JEL classification: Е17, Е52, Е61

Ключевые слова: экзогенные шоки; эндогенные колебания; деловые циклы; детерминированная модель; предельный цикл; множество равновесий.

В последние годы важное место в современном макроэкономическом анализе занимают динамические стохастические модели общего равновесия (DSGE-модели). Модели данного класса предлагают формальный экономико-математический аппарат как для анализа источников флуктуации экономики, так и для анализа макроэкономической политики. Теоретической основой рассматриваемого вида анализа являются микроэкономические обоснования, в рамках которых динамика экономической системы представляет собой результат некоторой оптимизационной деятельности экономических агентов.

Теоретическим фундаментом классических DSGE-моделей следует считать теорию реального делового цикла (RBC). Основателями этой теории являются экономисты Ф. Э. Кидланд и Э. К. Прескотт [10]. Модель общего равновесия, которую они использовали для анализа деловых циклов, можно считать первым примером DSGE-модели. Теория реального делового цикла основывается на положениях новой классической теории. Так, в RBC-модели Кидланда и Прескотта предполагается, что рынки являются совершенно конкурентными, цены полностью гибкими, а ожидания экономических агентов рациональны. Одним из главных положений теории реального делового цикла является то, что колебания роста реального выпуска возникают только вследствие экзогенных шоков, воздействующих на уровень технологии. В дальнейшем DSGE-модели были модифицированы с учетом положений новой кейнсианской теории [11]: вместо совершенен но конкурентных рынков стали рассматриваться рынки с монополистической конкурен-^ цией, а также были введены предпосылки о жесткости цен и номинальных заработных ^ плат. Кроме того, наряду с шоками технологий в эти модели вводятся другие экзогенные § шоки, в частности, монетарные [6; 7] и фискальные шоки [5; 9], шоки нефтяных цен и др. ^ Следует отметить, что колебания деловой активности в DSGE-моделях могут © быть вызваны не только экзогенными, но и эндогенными шоками. Это означает, что

колебания возникают вследствие сложной детерминированной динамики внутри самой модели. Вместе с тем эффект взаимодействия экзогенных и эндогенных шоков на динамику и устойчивость равновесий в 080Б-моделях до сих пор не исследован. Одной из причин является то, что уравнения в 080Б-моделях в подавляющем большинстве случаев не имеют аналитических решений.

В предлагаемой публикации на примере нелинейной модели Самуэльсона-Хикса аналитически анализируется влияние экзогенных шоков на деловые циклы, возникающие в этой модели эндогенным образом.

Модель Самуэльсона-Хикса является динамическим аналогом одного из вариантов статической модели Кейнса. Модель включает в себя только рынок благ, и поэтому уровень цен и ставка процента предполагаются неизменными. В линейной модели в явном виде используются линейный мультипликатор и линейный акселератор с запаздыванием. Отметим, что мультипликатор инвестиций и принцип акселератора являются характерными примерами положительных обратных связей в экономике, которые могут усиливать даже слабые флуктуации до гигантских, способствуя тем самым качественному скачку системы в новое состояние. В оригинальной модели предполагается, что валовой внутренний продукт (ВВП) будущего года равен спросу на потребительские и инвестиционные товары в текущем году и, в свою очередь, спрос на потребительские товары является линейной функцией текущего значения ВВП, а на инвестиционные товары - линейной функцией прироста ВВП. Таким образом, линейная модель Саму-эльсона-Хикса имеет вид [1]

где С - нижний уровень непроизводственного потребления; с - предельная склонность к потреблению; у(') - ВВП в текущем году '; г - коэффициент акселерации или доля прироста ВВП, используемая на инвестиции; I - ежегодные постоянные ивестиции.

Непрерывным аналогом модели (1), как показано в работе [1], является следующее линейное неоднородное уравнение второго порядка:

где у и у - вторые и первые производные по времени от ВВП соответственно.

Заметим, что стационарным решением уравнений (1) и (2) является значение = (С + I) / (1 - с), которое не зависит от г (величина 1/(1 - с) - статический мультипликатор), т. е. введение акселеративного слагаемого лишь ускоряет переходный процесс, но не приводит к увеличению стационарного значения ВВП. Циклические колебания в модели Самуэльсона-Хикса происходят относительно стационарного значения объема ВВП у1'. В случае зависящих от времени независимых расходов, например при их экзогенном росте в геометрической прогрессии с постоянным темпом при появлении крупных инноваций, циклические колебания происходят относительно линейной траектории экономического роста.

В работе [1] также подробно исследованы фазовые траектории экономической системы, описываемой уравнением (2). Главным выводом этого исследования является то, что экономическая система устойчива при 0 < г < 1 и неустойчива при г > 1. При этом затухающие колебательные режимы (0 < г < 1) сменяются нарастающими (г > 1). При г = 1 (пограничный случай) система совершает незатухающие гармонические колебания, т. е. динамика ВВП принимает колебательный характер. Фазовым портретом таких колебаний является предельный цикл, т. е. изолированная замкнутая кривая на фазовой плоскости, к которой в пределе при ' — ^ стремятся все интегральные кривые.

Таким образом, эндогенными шоками в линейной макромодели Самуэльсона-Хик-са являются любые несоответствия между спросом и предложением, приводящие к интенсивным индуцированным инвестициям, осуществляемым с запаздыванием.

у(' +1) = С + су(') + г ■ [у(') - у(' -1)] +1,

(1)

1/(1 - с) ■ у + (1 - г) / (1 - с) ■ у + у = (С +1)/(1 - с),

(2)

2 (58) 2015

При этом вероятность возникновения предельного цикла бесконечна мала. Подобные модели в современной теории динамических систем характеризуются как структурно неустойчивые. Дополнительной трудностью использования этой модели является то, что амплитуда предельного цикла изменяется произвольным образом и зависит от начальных условий, но не от системы. Приведенные данные ясно отражают ограниченность линейного подхода к моделям циклических колебаний и необходимость введения в уравнения, описывающие циклические колебания, нелинейных членов.

Одним из первых применил нелинейный подход Р. Гудвин [8], который ввел в функцию инвестиций гладкую нелинейность и определил, что модель с нелинейным акселератором обладает предельным циклом и является структурно устойчивой. Подробное обоснование замены линейной аппроксимации кубическим членом и доказательство существования в полученной нелинейной модели устойчивого предельного цикла можно найти также в работе [2].

Нелинейное уравнение макромодели Самуэльсона-Хикса имеет вид [3]

у = (г -1) ■ у - г /3 ■ у Л3 - (1 - с) ■ у + (С +1). (3)

Представим решения уравнения (3) в виде у = у1' + г|, где г| - приращение ВВП относительно стационарного решения у1'. Тогда приращение г| будет удовлетворять уравнению

ц = (г -1) ■ц-г/3 ■ц Л3 - (1 - с) ■ц. (4)

Анализ собственных значений якобиана уравнения (4) позволяет выявить различные режимы поведения динамической системы и их устойчивость. Не будем подробно рассматривать выражения для собственных значений, так как этот анализ является стандартным и не представляет трудностей. Приведем лишь главные выводы этого исследования [3].

1. Фазовый портрет нелинейной модели Самуэльсона-Хикса, описываемой уравнением (2), при значениях коэффициента акселерации 0 < г < 1 и при значениях 0 < с < 1 представляет собой устойчивые узлы и фокусы. Динамическая система при этих значениях коэффициента акселерации совершает апериодические (в случае узлов) или затухающие (в случае фокусов) колебания.

2. При значении коэффициента акселерации г = 1 в системе, описываемой уравнением (2), происходит бифуркация рождения предельного цикла из устойчивого фокуса (бифуркация Хопфа). Фазовый портрет нелинейной модели Самуэльсона-Хикса при значениях коэффициента акселерации г > 1 представляет собой устойчивый предельный цикл и неустойчивый фокус. При этих значениях коэффициента акселерации система находится в автоколебательном режиме. Период и амплитуда колебаний растут с ростом коэффициента акселерации г.

В работе Ф. Э. Кидланда и Э. К. Прескотта на примере американской экономики показано, что волатильность инвестиций примерно в три раза превышает волатиль-ность ВВП [10]. Поэтому логично предположить, что индуцированные инвестиции могут случайно изменяться, т. е. коэффициент акселерации г является флуктуирующей величиной. В предположении, что экзогенные флуктуации (шоки) довольно быстры, заменим коэффициент г стационарным случайным процессом г{ = г + где экзогенный гауссов белый шум £' имеет нулевое среднее значение и интенсивность а2, т. е.

(С' (0) = 0, (С' (') ■С' ■('")) = °2-5('-'■). (5)

Заметим также, что экономические системы являются открытыми и взаимосвязаны друг с другом. Взаимосвязь систем моделируется включением в модель переменных, связанных с экспортом и импортом благ. Для упрощения аналитических расчетов пре-

дельные склонности к импортированию благ из ,-й в _/-ю экономику приняты равными предельным склонностям к импортированию благ из _/-й в г-ю экономическую систему.

Исходя из вышесказанного запишем стохастическое дифференциальное уравнение нелинейной модели Самуэльсона-Хикса с учетом взаимодействия экономических систем, преобразуя при этом дифференциальное уравнение второго порядка (6) в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка (6а и 6б).

м

X = / (х,) - В / м - х) + g (х,)-С, (0-а-п, (6)

>=1

/(х,) = (г -1) - - г/3 - Л3, g (х,) = - л3/3, а = 1 - с, (6а)

П, = х{, (6б)

где х, - скорость изменения приращения ВВП ,-й экономической системы; В - агрегированная (усредненная) положительная постоянная предельная склонность к импортированию благ; М - количество взаимодействующих экономик. Рассматривается идеализированный случай взаимодействия идентичных экономических систем.

В дальнейшем будем рассматривать случайный процесс в интерпретации Страто-новича [4] и интересоваться динамикой переменных (параметров порядка) (х) = 1/Мхл и (п) = 1/М-^П;. В приближении среднего поля (это приближение

является точным в случае взаимодействия при М — уравнения (6а)-(6б) можно записать в виде

х, = /(х,) - В - (х, - (х)) + g(х,) - С, (I) - а - п, (7а)

П, = х{. (7б)

Выразим динамику переменных в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений. Из уравнений (7а)-(7б) динамика первого момента (среднего значения) переменных х и п в нулевом приближении, пренебрегая флуктуациями Дх = х х), Дп = п-(п), выражается [3]

(х) = (/(х)) + а2 /2 - (g'(х) - g(х)) - а - (п), (8а)

(П) = х. (8б)

Нулевое приближение является очень грубым, и для его улучшения следует представить правую часть этих уравнений в терминах моментов более высокого порядка К,т = ((х-(х))п(п-(П)т) с учетом того, что ц0>0 = 1 и ц1>0 = ц0Д = 0 [3]. Разлагая/(х) и g(x) в ряд Тейлора относительно (х) и (п) , получим для первых моментов

х = XЦя,0 / «!• {/(я) ((х)) + а2 /2 - [g'((х)) - g(<х))](я)} - а - <п), (9а)

п=0

(П> = х, (9б)

где /(п)((х)) - производная п-го порядка; g'((х)) - производная первого порядка в точке х = (х).

Для моментов более высокого порядка

Ап.т = -пВК,т - ПК-1,т+1 + тК+1,т-1 + тК,т-1 ■{х)- пця-1>т •( у) +ХпРп+1-1,т /1{/ (1)({х)) +

I=0

+ал2/2-[g'((х>)g((х))](;)} + £п(п- %п+,-2,т /1!-аЛ2/2-[g«х))л2](1), (10)

I=0

где п + т > 2.

Для модели (7а)-(7б) уравнения для моментов первого и второго порядков записываются в виде

X = X■[г-1 + стЛ2/2-ц20 ■ (г + 2■стЛ2) + 5/6■стЛ2■ц4>0] + +( х) Л3 ^[5/3 ■ц2>0 ■ст л 2 - г /3-2/3 ■ст Л2] + (х) Л5 ■ст Л2/6 -а ■(ц),

(ПН х), (12)

(ц2>0) = -2 ■ В ■ц2>0 + ст Л2 ■[( х) л 2 - 2/3 ■( х) Л4 +1/9 ^ х) Л6] + 2 ■ц2>0 ■[г -1 - г ■( х) Л2 + +стЛ2/2■ (1 -4■(х)л2 + 5/3■(х)Л4)] + Ц20 ■стЛ2/2■р-8■(х)Л2 + 30/9■(х)Л4] + +ц40 ■ /3 ■[стл2/2■ (20■(х)Л2-8)-2■ г] + ц40 ■стЛ2/24^[40■(х)Л2-16] +

+4■ц60 ■стл2/9-2■ц1>1, (13)

(Ни) = 2 ■Ци, (14)

(ци) = -В ■Цу +^2,0 -Цс,2 + Ци ■[г -1 - г ■( х) Л2 + ст Л2/2 ■ (1 - 4 ■( х) Л2 + 5/3 ■( х) Л4)] + +ц31/6 ■[ст л 2/ 2 ■ (20 ■( х) л 2 - 8) - 2 ■ г] + ц51 ■ст Л2/6. (15)

Заметим, что система обыкновенных дифференциальных уравнений (11)-(15) является незамкнутой, вследствие того что правые части уравнений содержат моменты более высокого порядка, чем левые части. Для того чтобы замкнуть эту систему уравнений, в настоящей работе используется гауссова аппроксимация [3], при которой моментами выше второго порядка пренебрегают.

Анализ устойчивости системы обыкновенных дифференциальных уравнений (11)-(15) в гауссовом приближении приводит к следующим выводам относительно влияния экзогенных шоков на деловые циклы, возникающие эндогенным образом в исследуемой нелинейной модели Самуэльсона-Хикса1.

1. В отсутствие взаимодействия экономик (В = 0) переход от устойчивого стационарного состояния к режиму автоколебаний происходит при значении коэффициента акселерации г = 1,0 (так же как и в детерминированной модели). Предельный цикл, образовавшийся в точках бифуркации с а2 = 0, ц2'о = но'2 = Ни ^ 0, приобретает устойчивость при г = 1,0. Оригинальным результатом является то, что с дальнейшим ростом интенсивности экзогенного шума а2 происходит обратный переход к устойчивому стационарному состоянию (при 1 < г < гс(а2)) или к появлению области неопределенности состояния системы (при г > гс(а2)). Переход к устойчивому стационарному состоянию происходит в точке бифуркации с а2(г) Ф 0, ц2'о = но'2 = Н1'1 = 0 и является индуцированным экзогенным шумом переходом [4]. Таким образом, в изолированных экономических системах взаимодействие экзогенных и эндогенных шоков приводит к тому, что режим автоколебаний проявляется в ограниченной области значений коэффициента акселерации и экзогенных возмущений (по сравнению с детерминированной моделью). Появление области неопределенности состояния системы, вероятнее всего, связано с множественностью равновесий. Фазовая диаграмма, соответствующая колебательным режимам стохастической модели Самуэльсона-Хикса при отсутствии взаимосвязи между экономическими системами, приведена на рис. 1. На этом рисунке штриховая линия 2, отделяющая режимы автоколебаний от режимов устойчивых фокусов и области неопределенности, получена с помощью численных расчетов2. Качественное совпадение с аналитическими результатами (кривая 1) вполне удовлетворительное.

1 Промежуточные выкладки анализа устойчивости ввиду ограниченного формата статьи опущены и могут быть представлены при запросе автору.

2 Численные расчеты проводились в п/п МаАаЬ.

« 1,5

I

1

11.0

1,0

0,0 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 Коэффициент акселерации

Рис. 1. Фазовая диаграмма, соответствующая колебательным режимам стохастической модели Самуэльсона-Хикса при отсутствии взаимосвязи между экономическими системами.

Кривая 1 - результаты аналитических расчетов. Кривая 2 - результаты численного эксперимента. Предельная склонность к потреблению с = 0,8. Ниже кривых 1 и 2 - области автоколебаний, выше - область неопределенности (сплошная и штриховая часть линий 1 и 2) или область устойчивых фокусов (пунктирная часть линий 1 и 2)

2. Наличие взаимодействия экономик (й > 0) приводит к расширению области устойчивости незатухающих колебаний. При значении коэффициента акселерации г > 1 и с ростом интенсивности экзогенного шума ст2 переход к устойчивому стационарному состоянию (как в предыдущем случае) отсутствует и, кроме того, взаимосвязь экономик предотвращает появление области неопределенности. Оригинальным результатом является то, что при г < 1 и определенной интенсивности шума ст2(-0) происходит дестабилизация устойчивого стационарного состояния и переход к незатухающим колебаниям.

Таким образом, в связанных экономических системах влияние экзогенных шоков на деловые эндогенные циклы сводится к тому, что режим автоколебаний проявляется в расширенной (по сравнению с изолированными системами и детерминированной моделью) области значений коэффициента акселерации и экзогенных возмущений.

Сравнение аналитических результатов с результатами численных расчетов приведено на рис. 2.

Рис. 2. Фазовые портреты, полученные численным решением уравнений (7а)-(7б) с помощью алгоритма Эйлера при стл2 = 0,5, г = 0,75, а = 0,2 и величине шага Н = 0,005. Число взаимодействующих идентичных экономических систем М = 400, начальные значения х и г| распределены случайным образом по нормальному закону в интервале от -1 до 1

-2

-2

2

Приращение ВВП

Уравнения (7а)-(7б) исследовались с помощью численного алгоритма Эйлера. Число взаимодействующих идентичных экономических систем принималось равным M = 400, начальные значения x и г| распределялись случайным образом по нормальному закону в интервале от -1 до 1. Изучалась зависимость усредненного по всем системам приращения ВВП от времени и от усредненной скорости приращения ВВП. Рис. 2 демонстрирует наличие устойчивых предельного цикла (пунктирная линия) и фокуса (сплошная линия) при интенсивности шума стЛ2 = 0,5, r = 0,75, а = 0,2 и величине шага h = 0,005. При этом фазовый портрет в виде предельного цикла получается при наличии взаимодействия D > 0, а в виде фокуса - в отсутствие взаимодействия систем (D = 0). Таким образом, численный эксперимент подтверждает результаты аналитических расчетов.

Полученные результаты относительно эффекта взаимодействия экзогенных и эндогенных шоков в модели Самуэльсона-Хикса могут быть полезны при изучении и управлении динамикой и устойчивостью равновесий в DSGE-моделях.

Источники

1. Колемаев В. А. Математическая экономика. М. : Юнити, 2002.

2. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. М. ; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

3. Серков Л. А. Синергетические аспекты моделирования социально-экономических процессов. Екатеринбург : Ин-т экономики УрО РАН, 2008.

4. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М. : Мир, 1987.

5. Barro R. J. Government spending in a simple model of endogenous growth // Journal of Political Economy. 1990. Vol. 98.

6. Clarida R., Gali J., Gertler M. The Science of Monetary Policy: A New Keynesian Perspective // Journal of Economic Literature. 1999. Vol. 37.

7. Gali J., Monacelli T. Monetary Policy and Exchange Rate Volatility in a Small Open Economy // Review of Economic Studies. 2005. Vol. 72.

8. Goodwin R. M. The nonlinear accelerator and the persistence of business cycles // Econometrica. 1951. No. 19.

9. Jones L. Optimal Taxation in Models of Endogenous Growth // The Journal of Political Economy. 1993. Vol. 101. No. 3.

10. Kydland F. E., Prescott E. С. Time to build and aggregate fluctuations // Econometrica. 1982. No. 50 (6).

11. Smets F., Wouters R. An Estimated Stochastic Dynamic General Equilibrium Model for the Euro Area // Journal of the European Economic Association. 2003. Vol. 15.