CC BY
39
УДК 332.012.2+332.1
Л.А. Серков
канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой прикладной информатики, предпринимательства и коммерции, НОУ ВПО «Уральский институт бизнеса»,
г. Екатеринбург
Д.Б. Елизаров
канд. техн. наук, доцент, кафедра прикладной информатики, предпринимательства и коммерции, НОУ ВПО «Уральский институт бизнеса»,
г. Екатеринбург
О.В. Быстрых
ст. преподаватель, кафедра прикладной информатики, предпринимательства и коммерции, НОУ ВПО «Уральский институт бизнеса»,
г. Екатеринбург
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭКЗОГЕННЫХ И ЭНДОГЕННЫХ ШОКОВ НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ САМУЭЛЬСОНА-ХИКСА
Аннотация. В предлагаемой публикации анализируется эффект взаимодействия экзогенных и эндогенных шоков на примере нелинейной модели Самуэльсона-Хикса, колебания в которой возникают эндогенным образом. Показана возможность возникновения множественности равновесий при подобном взаимодействии в изолированных системах. Полученные результаты относительно эффекта взаимодействия экзогенных и эндогенных шоков в модели Самуэльсона-Хикса могут быть полезны при изучении динамики и устойчивости равновесий в DSGE-моделях.
Ключевые слова: экзогенные и эндогенные шоки, множественность равновесий, DSGE-модели.
L.A. Serkov, Ural Institute of Business, Ekaterinburg
D.B. Elizarov, Ural Institute of Business, Ekaterinburg
O.V. Bystrykh, Ural Institute of Business, Ekaterinburg
INTERACTION OF THE ENDOGENOUS AND EXOGENOUS SHOCKS ON THE EXAMPLE OF A MODEL
OF SAMUELSON-HICKS
Abstract. In the present study explores the effect of interaction between endogenous and exogenous shocks on the example of a nonlinear model of Samuelson-Hicks, fluctuations which occur endogenous way. The possibility of occurrence of multiple equilibria when such interaction in isolated systems. The results obtained on the effect of interaction between endogenous and exogenous shocks in the model of Samuelson-Hicks may be useful in studying the dynamics and stability of equilibria in DSGE-models.
Keywords: exogenous and endogenous shocks, multiplicity of equilibria, DSGE-model.
В последние годы важное место в современном макроэкономическом анализе занимают динамические стохастические модели общего равновесия (DSGE-модели). Модели данного класса предлагают формальный экономико-математический аппарат как для анализа источников флуктуации экономики, так и для анализа макроэкономической политики.
Теоретическим фундаментом классических DSGE-моделей следует считать теорию реального делового цикла (RBC). Основателями этой теории являются экономисты Ф.Э. Кюдланд и Э.К. Прескотт [1]. Модель общего равновесия, которую они использовали для анализа деловых циклов, можно считать первым примером DSGE-модели. Теория реального делового цикла основывается на положениях новой классической теории. Так, в RBC-модели Кидланда и Пре-скотта предполагается, что рынки являются совершенно конкурентными, цены полностью гибкими, а ожидания экономических агентов рациональными.
Одним из главных положений теории реального делового цикла является то, что коле-
бания роста реального выпуска возникают только вследствие экзогенных шоков, воздействующих на уровень технологии. В дальнейшем РввЕ-модели были модифицированы с учетом положений новой кейнсианской теории, и наряду с шоками технологий в эти модели вводятся другие экзогенные шоки, в частности монетарные шоки.
Следует отметить, что колебания деловой активности в РввЕ-моделях могут быть вызваны не только экзогенными, но и эндогенными шоками. Это означает, что колебания возникают вследствие сложной детерминированной динамики внутри самой модели. Наличие эндогенных шоков может в свою очередь приводить к появлению множественности равновесий. Вместе с тем эффект взаимодействия экзогенных и эндогенных шоков на динамику и устойчивость равновесий в РввЕ-моделях до сих пор не исследован.
В предлагаемой публикации анализируется эффект взаимодействия экзогенных и эндогенных шоков на примере нелинейной модели Самуэльсона-Хикса, колебания в которой возникают эндогенным образом. Модель Самуэльсона-Хикса является динамическим аналогом одного из вариантов статической модели Кейнса. Модель включает в себя только рынок благ, и поэтому уровень цен и ставка процента предполагаются неизменными.
Нелинейное уравнение макромодели Самуэльсона-Хикса имеет вид [2]
у = (г -1)* у - г/3* у Л3 - (1 - с)* у + (С + /), (1)
где уЦ) - ВВП в текущем году t, у и у , соответственно, вторые и первые производные по времени от ВВП; С - нижний уровень непроизводственного потребления; с - предельная склонность к потреблению; г - коэффициент акселерации или доля прироста ВВП, используемая на инвестиции; / - ежегодные постоянные ивестиции.
Представим решения уравнения (1) в виде
у = у* + Г,
где г- приращение ВВП относительно стационарного решения у^. Тогда приращение г будет удовлетворять уравнению
Г = (г -1)*г - г/3*г лз-(1-с )*т . (2)
Анализ собственных значений якобиана уравнения (2) позволяет выявить различные режимы поведения динамической системы и их устойчивость. Не будем подробно приводить выражения для собственных значений, т.к. этот анализ является стандартным и не представляет трудностей. Поэтому приведем лишь главные выводы этого исследования.
1. Фазовый портрет нелинейной модели Самуэльсона-Хикса, описываемой уравнением (2) при значениях коэффициента акселерации 0 < г < 1 и при значениях 0 < с < 1, представляет собой устойчивые узлы и фокусы. Динамическая система при этих значениях коэффициента акселерации совершает апериодические (в случае узлов) или затухающие (в случае фокусов) колебания.
2. При значении коэффициента акселерации г = 1 в системе, описываемой уравнением (2), происходит бифуркация рождения предельного цикла из устойчивого фокуса (бифуркация Хопфа). Фазовый портрет нелинейной модели Самуэльсона-Хикса при значениях коэффициента акселерации г > 1 представляет собой устойчивый предельный цикл и неустойчивый фокус. Система находится при этих значениях коэффициента акселерации в автоколебательном режиме. Период и амплитуда колебаний растут с ростом коэффициента акселерации г .
Изменение ВВП всегда сопряжено со случайностями вследствие влияния экзогенного шума на изменение системных параметров, так что коэффициент акселерации г является флуктуирующей величиной. В предположении, что экзогенные флуктуации довольно быстры, заменим коэффициент г стационарным случайным процессом г t = г + &*£,, где экзогеный га-
уссов белый шум С имеет нулевое среднее значение и интенсивность а2, т.е.
С (0) = 0, (С (ОС ')> = а2*^ - ('). (3)
Заметим также, что экономические системы являются открытыми и взаимосвязаны друг с другом. Взаимосвязь систем моделируется включением в модель переменных, связанных с экспортом и импортом благ. Для упрощения аналитических расчетов, предельные склонности к импортированию благ из , -ой в } -ую экономику приняты равными предельным склонностям к импортированию благ из 1 -ой в / -ую экономическую систему.
Учитывая вышесказанное, запишем стохастическое дифференциальное уравнение нелинейной модели Самуэльсона-Хикса с учетом взаимодействия экономических систем, преобразуя при этом дифференциальное уравнение второго порядка (4) в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка (4а и 4б).
х, = /(х,) - й/М * £(х, - х]) + д(х/)* С,V) - а * ) , (4)
1=1
Л, = х,, (4а)
/(х,) = (г -1)* х1 - г/3* х1 Л3 , д(х,) = х1 - х1 л3/3, а = 1-с, (4б)
где х! - скорость изменения приращения ВВП , - ой экономической системы, й - агрегированная (усредненная) положительная постоянная предельная склонность к импортированию благ, М - количество взаимодействующих экономик. Рассматривается идеализированный случай взаимодействия идентичных экономических систем.
В дальнейшем будем рассматривать случайный процесс в интерпретации Стратоновича и интересоваться динамикой переменных (параметров порядка) (х) = 1/М * £х! и
))) = 1/М * . В приближении среднего поля (это приближение является точным в случае
взаимодействия при М ® ¥) уравнения (4а) - (4б) можно записать в виде
х, = / (х,) - й *( х, - х) + д( х1 УС (() -а*), (5а)
)&> = х,.. (5б)
Непосредственное изучение бифуркаций в модели, описываемой системой уравнений (5а) и (5б) является довольно затруднительным. Поэтому попытаемся выразить динамику переменных в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений. Из уравнений (5а) - (5б) динамика первого момента (среднего значения) переменных х и ) в нулевом приближении,
пренебрегая флуктуациями Ах = х-(х), Дп = )-))), выражается [2]
(х) = /(х)) + а2 / 2* (д'(х) * д(х)) - а * )), (6а)
)п) = х. (6б)
Нулевое приближение является очень грубым и для его улучшения следует представить правую часть этих уравнений в терминах моментов более высокого порядка
т„т = ((х-х)"))-())Т) с учетом того, что т,0 = 1 и т,0 =то,1 = 0 [2]. Разлагая /(х) и д(х) в ряд Тейлора относительно (х) и ))), получим для первых моментов
(х) = £ т„,0 / п !* /(п Ч( х)) + а2 /2* [д '(( х)) * д({ х) )](п)} -а*))), (7а)
п=0 1 '
( Л) = х, (7б)
где /(пх)) - означает производную п - ого порядка, д'((х))- производную первого порядка в
точке х = (х) . Для моментов более высокого порядка
Дп,т = -ПйДп,т - ПДп-1,т+1 + тДп+1,т-1 + тДп,т-1 *{х) - ПМп-1,т *{ У) + Е П^п+1 -1,т / 1 !* V" >(( х)) +
I=0
^Л2/2* [д'((х))д({х))](|'} + Еп(п - 1)д+|-2,т /1!*^л2/2*[д((х))л 2](|', (8)
I=0
где п + т > 2 .
Для модели (5а) - (5б) уравнения для моментов первого и второго порядков записываются в виде
X = х *[г - 1 + ^л2/2-д20*(г + 2 * а л 2) + 5/6*^л2*д40]
+ (х) л 3 * [5 /3 * т20*^л2 - г/3 - 2/3*^л2] + X л5*^2/6 -а* X, (9)
Х = X, (10)
(д,0) = -2* й *д20 + а л 2 * [(х) л 2 - 2/3 *(х) л4 +1/9 *(х) лб] + 2* д20*[г -1 - г *(х) л2
+ал2/2*(1 -4*(х)л2 + 5/3*(х)л4)] + д,0 *ал2/2*[2-8*(х)л2 + 30/9*(х)л4]
+д40*/3*[ал2/2*(20*(х) л2-8)-2*г] + д40 *ал2/24*[40*(х)л2-16]
+4* ^б,0*^л2/9 - 2* т,1, (11)
(//0,^ = 2* т,1, (12)
= -й * т1,1 + д,0-д0,2 + д *[г -1- г *( х) л2 + ал2/2*(1 - 4*( х) л2 + 5/3 *( х) л 4)] + /31 / 6*[^л2/2*(20*(х) л2-8)-2*г] + /,/^2/6. (13)
Заметим, что система обыкновенных дифференциальных уравнений (9)-(13) является незамкнутой вследствие того, что правые части уравнений содержат моменты более высокого порядка, чем левые части. Для того чтобы замкнуть эту систему уравнений, в настоящей работе используется гауссова аппроксимация [2], при которой моментами выше второго порядка пренебрегают.
Анализ устойчивости системы обыкновенных дифференциальных уравнений (9)-(13) в гауссовом приближении приводит к следующим выводам относительно эффекта взаимодействия экзогенных и эндогенных шоков в исследуемой нелинейной модели Самуэльсона-Хикса.
1. В отсутствие взаимодействия экономик (й = 0) переход от устойчивого стационарного состояния к режиму автоколебаний происходит при значении коэффициента акселерации г = 1.0 (так же как и в детерминированной модели). Предельный цикл, образовавшийся в точках бифуркации с а2 = 0, Д0 = Д = Д ф 0 , приобретает устойчивость при г = 1.0. Оригинальным результатом является то, что с дальнейшим ростом интенсивности экзогенного шума а2 происходит обратный переход к устойчивому стационарному состоянию (при г < гс(а2)) или к появлению области неопределенности состояния системы (при г > гс(а2)). Переход к устойчивому стационарному состоянию происходит в точке бифуркации с а2(г) ф 0, Д0 = = Д = 0 и является индуцированным шумом переходом. Таким образом, изолированные экономические системы адекватны экономикам с низкой предпринимательской активностью, в которых режим автоколебаний проявляется в ограниченной области экзогенных возмущений.
2. Наличие взаимодействия экономик (й > 0) приводит к расширению области устойчивости незатухающих колебаний. При значении коэффициента акселерации г > 1 и с ростом интен-
2
сивности экзогенного шума а переход к устойчивому стационарному состоянию отсутствует и, кроме того, взаимосвязь экономик предотвращает появление области неопределенности. Ориги-
нальным результатом является то, что при г < 1 при определенной интенсивности шума sc2(D) происходит дестабилизация устойчивого стационарного состояния и переход к незатухающим колебаниям. Таким образом, взаимосвязанные экономические системы адекватны экономикам с высокой предпринимательской активностью, в которых режим автоколебаний проявляется в расширенной (по сравнению с изолированными системами) области экзогенных возмущений.
Полученные результаты относительно эффекта взаимодействия экзогенных и эндогенных шоков в модели Самуэльсона-Хикса могут быть полезны при изучении динамики и устойчивости равновесий в DSGE-моделях.
Список литературы:
1. Kydland F., Prescott E.C. Time to build and aggregate fluctuations // Econometrica. 1982. 50 (6). P. 1345-1370.
2. Серков Л.А. Синергетические аспекты моделирования социально-экономических процессов. Екатеринбург: Институт экономики УрО РАН, 2008. 215 с.
