Исследование поведения модели Самуэльсона-Хикса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.86:519.718

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ МВДЕЛИ САМУЭЛЬСВНА—ХИКСА

В. А. Колемаев

Государственный университет управления, г. Москва

Исследованы области устойчивости и неустойчивости модели Самуэльсона—Хикса. Показано, как можно расширить области устойчивости путем преобразования модели, состоящем в замене запаздывающей акселерации на упреждающую.

В работе [1] так трактуются синергетические свойства экономики: “...синергетическая экономика придает особое значение не линейным, а нелинейным аспектам экономического эволюционного процесса, не устойчивости, а неустойчивостям, не непрерывности, а разрывам, не постоянству, а структурным изменениям — в противоположность традиционному рассмотрению линейности, устойчивости, непрерывности и неизменности.” К важнейшим аспектам экономического эволюционного процесса автор относит “...нелинейность, неустойчивость, бифуркации и хаос в динамических экономических системах”. Таким образом, синергетические свойства системы опираются на ее неустойчивость.

Модель Самуэльсона—Хикса — это динамический аналог одного из вариантов статической модели Кейнса. В рассматриваемой модели предполагается, что валовой внутренний продукт (ВВП) будущего года равен спросу на потребительские и инвестиционные товары, сложившемуся в текущем году, в свою очередь спрос на потребительские товары — линейная функция текущего значения ВВП, а на инвестиционные товары — линейная функция прироста ВВП.

Таким образом, модель Самуэльсона—Хикса имеет следующий вид

у(? + 1) = О + Су(?) + г[у(?) — у(? - 1)] + I, (1)

где у (?) — ВВП в год ?; С — нижний уровень непроизводственного потребления; с — предельная склонность к потреблению; г — коэффициент акселерации или доля прироста ВВП, используемая на инвестиции; I — ежегодные постоянные инвестиции.

В работе [2] показано, что модель (1) имеет стационарное решение (при 0 < г < 1, 0 < с < 1)

уЕ = , Цту(?) = уЕ.

1 — С ? о ю

Это стационарное решение не зависит от г, так что введение акселеративного слагаемого г (у(?) — у(? — 1)) лишь ускоряет переходный процесс (чем больше г, тем

больше у(? + 1) при положительном приросте ВВП), но не приводит к увеличению стационарного значения ВВП.

В той же работе [2] показано, что непрерывным аналогом модели (1) служит следующее линейное неоднородное уравнение второго порядка:

_1_ + и-гОу + у = 0+1 уЕ = 0+1. (2)

1 - С @? 2 1 - С @? 1 - С' У 1 - С

Согласно теории линейных дифференциальных уравнений [3] общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного и частного решения неоднородного.

Общее решение однородного уравнения есть линейная комбинация фундаментальных решений

0,? О2Р

А1е 1 + А2е 2 , (3)

где 01 и 02 — корни характеристического уравнения

1 о2 + (Ь-!) о + 1 = 0.

1 - С 1 - С

Поскольку частным решением неоднородного уравнения служит константа в правой части уравнения (2), то общее решение имеет вид

о. ? о2? с + I

у(?) = А1 е + А2 е + С--,

1 2 1 - С

конкретное решение получаем при заданных начальных условиях.

Выбранное частное решение неоднородного уравнения является одновременно и его стационарным решением

Е С + I

у = 1-С ,

а точка (уЕ, 0) на плоскости (у, и) переменной у и её производной и = у’ является точкой равновесия (рис. 1).

Рис. 1. Перевод системы из установившегося состояния (у , 0) В неустойчивое состояние (уЕ + 10, и0)

Исследуем поведение решения уравнения (2) в окрестности точки равновесия (уЕ, 0). Казалось бы, что при небольшом отклонении от этой точки, вызванном неко-

/ \

0

торым внешним импульсным воздействием 5(?)

V и 0/

система, попавшая в точку (уЕ + к0, и0), должна после завершения переходного процесса снова возвратиться в

точку равновесия (уЕ, 0). Однако, как будет показано далее, это далеко не всегда так.

Далее для определенности будем рассматривать случай к0 < 0, и0 < 0, как показано на рис. 1, т. е. значение ВВП уменьшилось, а скорость его роста с нулевой в устойчивом состоянии поменялась на отрицательную.

Представим решение уравнения (2) при начальных условиях у(0) = уЕ + к, у'(0) = и0 в следующем виде: у = уЕ + к. Тогда приращение ВВП относительно стационарного решения уЕ будет удовлетворять однородному уравнению

_±_ + ( 1 - Г) + Л = 0 Л(о) = и

1 - с @2 + 1 - сйі + Л °’ Л(о) ио

(4)

Далее, кроме поведения ВВП, будет также изучаться эволюция инвестиций и потребления. Согласно модели (1) годовые инвестиции состоят из постоянной части I и переменной части / = г( у(?) — у(? — 1)). За время А? переменная часть составит А/ = г (у(?) — у(? — А?)). Перейдя к пределу при А? о 0, получим

= г@у = гйк. й? й? й?'

Поскольку /(0) = 0, к(0) = 0, то / = щ, тем самым текущее значение инвестиций 1(?) = I + / = I + гк(?), а текущее значение потребления как разность ВВП и инвестиций равно, соответственно, С(?) = уЕ — I + (1 — г)к(?).

Решение однородного уравнения (4) при заданных начальных условиях имеет вид (3), где коэффициенты А1 и А2 определяются из начальных условий. Характер решения зависит от типа корней 01 и 02 характеристического уравнения, а тип последних в свою очередь обусловливается значениями параметров г и С. Вначале рассмотрим все возможные значения г при условии, что

1 — 2 л/1 - С ! 0, т. е. С ! 3/4.

Заметим, что исследование устойчивости уравнения (2) было схематически выполнено в работе [2], в настоящей статье это исследование проводится в деталях, чтобы выявить случай неустойчивого поведения системы.

Первый случай: 0 < г < 1 — 2^1 - С.

В этом случае дискриминант характеристического уравнения положителен, а его корни

О'. 2 _ -Т-Г ± - ( 1 - с) . О, > 02.

действительны и отрицательны, поскольку больший корень 01 при 1 — г > 2 л/1 - с отрицателен.

Используя начальные условия из выражения (4), находим

Л _ ио - 02Л о Л _ и° - 01Л о

^1 _: : 5 ^2

1 01 - 02 ’ 2 01 - 02 ’

поэтому

л(і) 0 0 [(ио О2Л0) А (и° 01Л°) А ].

01 — О 2

Поскольку 01 < о, 02 < о, то Ііш л(і) _ о, откуда

і ода

Ііш у(і) _ /,

Іішу'(і) _ Ііш л'(і) _

і о о і ода

Ііш ----------—

і ода 01 - А-2

01і 02і

[(ио — 02Ло)01 А — (ио — 01Ло)02А @ _ о.

Таким образом, система по завершении апериодического переходного процесса возвращается в прежнее состояние покоя (уЕ, 0), т. е. является устойчивой.

В начале переходного процесса при к0 < 0, и0 < 0 ВВП, а следовательно, потребление и инвестиции, продолжают еще некоторое время убывать, затем начинается их монотонный рост, который заканчивается достижением их стационарных значений уЕ, уЕ — I и I, соответственно.

Второй случай: г = 1 — 2^1 - С.

В этом случае дискриминант равен нулю, характеристическое уравнение имеет один корень = —(1 — г)/2 кратности два, поэтому фундаментальными решениями

о1? о1?

уравнения (4) являются е и ?е , следовательно, обо 1 ?

щее решение имеет вид к(?) = е (Ах + А2?).

Используя начальные условия, находим А1 = к0, А2 =

о1 ?

= и0 — охк0, поэтому к(?) = е [к0 + (и0 — о1к0)?].

Поскольку о1 < 0, то Ит к(?) = 0, Ит к '(?) = 0, откуда

? —— да ? —— да

Ит у(?) = уЕ, 11т у '(?) = 0, т. е. система возвращается в

? —— ^ ^

прежнее состояние покоя, следовательно, она устойчива.

Валовой внутренний продукт, потребление и инвестиции ведут себя на протяжении переходного процесса аналогично их поведению в случае 1.

Третий случай: 1 — 2 л/1 - С < г < 1.

В этом случае дискриминант характеристического уравнения отрицателен, поэтому его корни — комплексные взаимно сопряженные: о1 = а + Ею, о2 = а — Ею, где

а _ —Ц^ < о, ю _ 1 - с - > о.

2 N 4

неустойчива, поскольку не возвращается в первоначальное устойчивое состояние.

На плоскости (к, и) фазовых переменных траектория системы, заданная уравнениями (5) и (6), будет выглядеть как эллипс в канонической форме ( см. рис. 2):

22

к ^ = 1, где а = р, Ь = юр.

Используя начальные условия из выражения (4), находим

л _ ио - ( а - Ею ) Л о л _ ио - ( а + Ею ) Л о

л 2 Ею ’ л 2 Ею ’

поэтому

Л(і) _ еаіГлос°8юі + ——аЛ^віпюі| .

Поскольку а < 0, то Ит к(?) = 0, Ит к (?) = 0, откуда

? о № ? о №

Ит у(?) = уЕ, 11т у ’(?) = 11т к ’(?) = 0.

? — № ? — № ? — №

Таким образом, система после затухающих гармонических колебаний возвращается в первоначальное состояние покоя, т. е. является устойчивой.

Валовой внутренний продукт, потребление, инвестиции при к0 < 0, и0 < 0 вначале продолжают убывать, затем растут и достигают установившихся значений, после чего этот автоколебательный процесс продолжается с экспоненциально затухающей амплитудой вплоть до окончательного достижения этими показателями за бесконечный промежуток времени своих стационарных значений.

Четвертый случай: г = 1.

С содержательной точки зрения этот случай означает, что весь прирост ВВП за год целиком идет на инвестиции.

При г = 1 корни характеристического уравнения мнимые взаимно сопряженные: о1 = /ю, о2 = —/ю, ю = „[Г-С.

Используя начальные условия, находим

Л = и0 + /юк0 , = — и0 - /юк0

А = , А2 = —

2 Ею

2 Ею

поэтому

л(і) _ Лосокюі + —о віпюі _ рзіп(юі + м), (5)

и(і) _ л '(і) _ — юЛ^іпюі + —осовюі _ юрсо8(юі + ф), (6)

где

віПф

Ло

л2+(*

Таким образом, при г _ 1 система будет совершать незатухающие гармонические колебания, т. е. система

Валовой внутренний продукт будет колебаться в пределах уЕ ± р, потребление будет оставаться постоянным и равным стационарному значению у — I, а инвестиции будут находиться в незатухающих автоколебаниях согласно уравнению Д?) = I + к(?).

Пятый случай: 1 < г < 1 + 2 л/1 - С.

Это запредельный случай, поскольку на дополнительные инвестиции (сверх постоянного значения I) пойдет больше, чем прирост ВВП, и это превышение может осуществиться лишь за счет соответствующего сокращения потребления.

В этом случае дискриминант характеристического уравнения отрицателен, поэтому его корни комплексные взаимно сопряженные:

0-1 _ а + Ею, 0-2 _ а — Ею,

___ 1 — Г V А

а _ — > о,

( 1 - Г)

> о,

поэтому

Л(і) _ р£а віп(юі + ф), р _

ло + (ио - аЛ о

віпф

_ Ло

и система будет совершать гармонические автоколебания с экспоненциально возрастающей амплитудой, т. е. система неустойчивая.

Потребление и инвестиции также будут совершать гармонические автоколебания с экспоненциально возрастающей амплитудой относительно своих стационарных значений:

С(і) _ у! — I — (Г — 1)еаір8іп(юі + ф),

І(і) _ I + геаір$іп(юі + ф).

На рис. 2 для всех рассмотренных случаев показаны траектории системы на плоскости фазовых переменных (Л, и), и _ Л .

Таким образом, экономика, описываемая моделью Самуэльсона—Хикса при с > 3/4, устойчива при о < г < 1 и неустойчива при г О 1. При с Р 3/4 получатся те же результаты, но первого и второго случаев не будет.

В заключение рассмотрим прием расширения области устойчивости модели Самуэльсона—Хикса (это имеет место, как было показано выше, при Г < 1) путем ее преобразования заменой запаздывающего эффекта акселерации на упреждающий.

Для этого сначала исключим акселератор из модели Самуэльсона—Хикса, приравняв г _ о, тогда получим

18

СОНТНОІ $С1ЕНСЕ$ № 1 • 2006

Рис. 2. Фазовые траектории системы при разных значениях коэффициента акселерации г (с = 0,84, ц0 = —1, и0 = —1)

Рис. 3. Инерционное звено с акселератором в цепи положительной обратной связи

динамическую модель Кейнса у(? + 1) = С + у(?) + I, непрерывный аналог которой имеет вид

Д_ @у + у _ си

1 - с йі

1 - с 5

т. е. является инерционным звеном с постоянной времени Т _ 1/(1 — с).

Теперь введем акселератор в контур положительной обратной связи этого инерционного звена, как показано на рис. 3.

Передаточная функция системы с положительной обратной связью имеет вид:

# (0) _

1

1 - #1 (о) #2 (о) (Т - г) о + 1 ’

т. е. в результате снова получим инерционное звено с постоянной времени, уменьшенной на коэффициент акселерации г, и переходный процесс будет происходить быстрее. Дифференциальное уравнение такой системы имеет вид

(Т

+ у _

С + I

1 - с ,

его дискретным аналогом является следующее конечно-разностное уравнение первого порядка:

у(? + 1) = С - г(1 - С) у(?) + —С + I , п } 1 - г (1 - С) 1 - г (1 - С)’

которое легко преобразуется к виду у = (? + 1) = С + + Су(?) + г(1 — С)[ у(? + 1) — у(?)] + I, т. е. имеет место эффект акселерации с упреждением (разность у(? + 1) — у(?)), а не с опозданием, как в модели Самуэльсона—Хикса (разность у(?) — у(? — 1)).

Таким образом, при переходе от модели Самуэльсона—Хикса к контуру положительной обратной связи динамической модели Кейнса (инерционное звено) с акселератором получаем устойчивую систему, по крайней

мере, при Т — г О 0 или при г Р ! 1, т. е. диапазон

1 - С

изменения коэффициента акселерации г для новой модели, в котором она устойчива, заметно шире, чем для модели Самуэльсона—Хикса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Занг В. Б. Синергетическая экономика. — М.: Мир, 1999.

2. Колемаев В. А. Математическая экономика. — М.:

ЮНИТИ-ДАНА, 2002.

3. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Физматгиз, 1987.

© (495) 371-11-65

□

16—18 ноября 2005 г. в Институте проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН состоялась международная научно-практическая конференция “Теория активных систем — 2005”.

Соорганизаторами конференции выступили:

• Воронежский государственный архитектурно-строительный университет;

• Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН;

• Липецкий государственный технический университет;

• Московский авиационный институт;

• Старооскольский технологический институт;

• Тверской государственный университет;

• Тульский государственный университет.

На конференции были представлены около ста докладов по следующим направлениям теории и практики управления социально-экономическими системами:

— базовые модели и механизмы теории активных систем;

— экспертиза, прогнозирование и принятие решений;

— прикладные задачи теории активных систем;

— управление финансами.

Со сборником трудов конференции можно ознакомиться на сайте теории управления организационными системами

www.mtas.ru.