Ретроспективный анализ основных динамических моделей оценки рыночного равновесия Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

СТАРЦЕВ Андрей Васильевич

Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой агробизнеса

Челябинский государственный агроинженерный университет

454080, РФ, г. Челябинск, пр. Ленина, 75 Контактный телефон: (351) 266-65-39

КАРПОВА Елена Александровна

Кандидат экономических наук, доцент кафедры экономической теории

Челябинский государственный университет

454021, РФ, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129 Контактный телефон: (351) 724-61-38 е-1шН: khelen7@mail.ru

Ретроспективный анализ основных динамических моделей оценки рыночного равновесия

Ключевые слова: динамические модели оценки рыночного равновесия; недостатки; характеристики спроса и предложения; устойчивость рыночной цены.

Аннотация. Анализируются основные модели, используемые для оценки рыночного равновесия. Предлагаются уточнения механизма взаимодействия спроса и предложения, необходимые для практического прогнозирования на фондовом рынке. Представленные теоретические аспекты подтверждаются фактическими данными поведения рынка акций предприятия холдингового типа.

В настоящее время для оценки рыночного равновесия используются две основные динамические модели: паутинообразная модель и модель Эванса. Паутинообразная модель достаточно наглядно иллюстрирует процесс взаимодействия спроса и предложения на организованных рынках, однако в уравнениях спроса и предложения отсутствует время как одна из основных характеристик динамических процессов (к которым относятся все экономические процессы). Этого недостатка лишена модель Эванса, в которой сделана попытка учета временного фактора.

Однако при принятых условиях с течением времени значение цены на организованном рынке приближается к равновесной цене, следовательно, ситуация на нем будет стабилизироваться. Нужно отметить, что в модели Эванса данное решение будет таковым при любых значениях параметров уравнений спроса и предложения. Но это не соответствует действительности [1]. Характеристики спроса и предложения определяют характер устойчивости рыночной цены. В этой связи модель Эванса также требует уточнения.

Для практического прогнозирования необходимо уточнить механизм взаимодействия спроса и предложения на фондовом рынке. Применим для этого также элементы дифференциального исчисления. Изобразим положения рынка в смещенном состоянии относительно точки равновесия на расстояние х (рис. 1) и предположим, что рынок уравновесился за счет соответствующего возрастания цены на величину АР. При этом восстанавливающая сила рынка будет равна -сх, где с - эластичность (жесткость) спроса или предложения по цене.

© Старцев А. В., Карпова Е. А., 2009

Дифференциальное уравнение движения рынка в этом случае имеет вид

х = —сх

или

х + к2х = 0, (1)

где к2 = с.

Таким образом, выбрав начало координат в положении статического равновесия рынка, всегда получаем дифференциальное уравнение свободных колебаний рынка без постоянного члена в правой части.

Полученное дифференциальное уравнение (1) свободных колебаний рынка является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид

X2 + к2 = 0.

Корни характеристического уравнения мнимые: X = ± кг. Следовательно, решение уравнения записывается в виде

х = С^озЫ + С^ткЛ. (2)

Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 продифференцируем решение (2):

x = -Cit sin kt + C2t cos kt. Подставим в (2) начальные условия

AP

t = 0, x = x0 =-----,

c

а в (3)

t = 0, x = x0 = 0. Определим постоянные интегрирования:

AP

c1 = x0 =-, C2 = 0.

c

(3)

Уравнение (2) движения рынка (изменения рынка) после подстановки значений С1 и С2 примет вид

AP

x =-----cos kt,

c

где k = yjc.

Вместе с тем очевидно, что движение рынка, в нашем случае, невозможно описать одним уравнением. Действительно, при изменении одного из основных параметров рынка (например, спроса) неминуемо в соответствии с общими экономическими законами происходит изменение предложения, которое уравновешивает рынок. В этом случае имеет место эластичность (жесткость) предложения, т. е. в точке 2 (см. рис. 1) происходит уравновешивание измененного состояния рынка вследствие действия рыночного механизма согласно неоклассической теории рыночного равновесия. Однако эластичности спроса и предложения различны, что связано с изначально противоположными намерениями участников рынка (продавцов и покупателей). Разница в эластичности приводит к несоответствию в изменениях объемов спроса и предложения. Поэтому для дальнейшего анализа взаимодействия спроса и предложения введем обозначения с и с

s d

В формализованном виде зависимости cd и cs имеют вид (см. рис. 1):

APd AP

cd = —1 = tgP; cs = —L = tga, d AQ AQ

где AQ - приращение (изменение) объема товара (акций и т. д.) на рынке;

APd - приращение (изменение) цены при изменении объема предложения товара (акций и т. д.) на рынке равном AQ;

AP - приращение (изменение) цены при изменении объема спроса на товар (акции и т. д.) на рынке равном AQ.

Другими словами, чем больше величина с, тем менее эластичны спрос или предложение.

Для прогнозирования развития рынка необходимо оценить его поведение после получения какого-либо возмущения (например, неожиданное снижение (повышение) объема или цены на акции предприятий в составе металлургического холдинга). Разбив цикл (период равный 2п) колебания рынка по аналогии с паутинообразной моделью на 4 четверти периода п/2, произведем оценку устойчивости рыночного равновесия как способности противостоять данным возмущениям (рис. 2).

В первой четверти периода колебаний (рис. 2) рыночного равновесия дифференциальное уравнение имеет вид

x + к2 x = 0 (4)

или

^ + к Q = 0, (5)

dt2

где k2 = cd.

Таким образом, выбрав начало координат в положении рыночного равновесия, получаем дифференциальное уравнение свободных колебаний без постоянного члена в правой части. Полученное дифференциальное уравнение (4) и (5) является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид

X2 + к2 = 0. (6)

Корни характеристического уравнения мнимые: X = ± кг. Следовательно, решение уравнения записывается в виде

Q = С1созк£ + С^тк^ (7)

Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 вычислим

= -С, к зт Ы + С2 к соз Ы.

& 1 2

(8)

Подставив в (7) начальные условия

а в (8)

АР

t = 0, Q = Qo =--------------------,

dQ dQ0 f = 0, — = —^ = 0, dt dt

находим

АР

С1 =-, С2 =0.

cd

После подстановки постоянных интегрирования получим уравнение колебаний рынка в первой четверти периода (рис. 3):

где к =^С.

Соответственно

где к = У[ГЛ.

АР

Q =------------соз к,

с

(9)

(10)

с

а

Проведя аналогичные рассуждения для оставшихся трех четвертей периода колебаний, приходим к выводу, что, последовательно разрешив полученные уравнения колебаний рынка, получим закон колебаний рынка в течение одного периода при различном сочетании эластичности спроса и предложения (рис. 3, 4 и 5).

Рис. 3. Период колебаний рынка для случая сл < с - предложение менее эластично, чем спрос (предложение более жесткое, чем спрос)

Рис. 4. Период колебаний рынка для случая сй = с - спрос и предложение имеют одинаковую эластичность

Рис. 5. Период колебаний рынка для случая сй > с - предложение более эластично, чем спрос (предложение менее жесткое, чем спрос)

Проводя аналогичные рассуждения, можно написать уравнения колебаний цены. Графическая интерпретация данных рассуждений представлена на рис. 6.

Обобщая изложенное, можно вывести следующую зависимость изменения амплитуды колебаний рынка в течение одного полупериода:

Qn = Q„

(11)

аналогично

с± р = р

. с . сг ,

(12)

где п - порядковый номер полупериода колебаний параметра рынка;

Q„ и р„ - начальное значение отклонения параметра рынка, в частности, объема и цены соответственно.

Таким образом, запишем решение уравнения колебаний рынка относительно точки равновесия

Q=а

С08 (кг + фп)

(13)

или

р=р

(с ^

'-й

С08 (кг + фп),

(14)

где ф - начальная фаза п-го полупериода;

к - средняя частота свободных колебаний рынка:

к=

Полный период колебаний рынка определяется по формуле

т=

к

(15)

2

Анализ уравнений (13) и (14) показывает, что рынок будет находиться в состоянии устойчивого равновесия только в случае, когда с, < с. То есть эластичность спроса больше эластичности предложения или, другими словами, предложение более жесткое в сравнении со спросом. Причем величина наибольших отклонений при их уменьшении изменяется тем интенсивнее, чем больше жесткость предложения по отношению к спросу (рис. 7).

Рис. 7. Интенсивность изменения величины наибольших отклонений рынка

с,

при А = 1 и т < 1, где т = —

с

Таким образом, при т > 1 равновесие неустойчиво; при т = 1 равновесие не определено; при т < 1 равновесие устойчиво (рис. 8).

0

6

8

Рис. 8. Интенсивность изменения величины наибольших отклонений рынка

с,

для А„ = 1 при т > 1 и т < 1, где т = —

Анализ рис. 8 показывает, что при одинаковом отклонении от 1 при т > 1 интенсивность возрастания отклонений значительно больше, чем их убывания при т < 1 (например, при т = 1,2 и т = 0,8).

Анализ уравнения (15) показывает, что период колебаний будет тем больше (длиннее), чем больше эластичность спроса и предложения (меньше жесткость).

Проверим представленные теоретические аспекты фактическими данными поведения рынка акций ОАО ММК как одного из типичных представителей предприятий холдингового типа. С этой целью исследуем котировки акций ОАО ММК за период

4

п

с

август 2006 г. - октябрь 2007 г. Данные для исследования устойчивости рыночного равновесия были получены с официального сайта компании Финам (рис. 9).

Финам.RU© www.finam.ru ЕМА7.14 Volume mav= 19.4млн. ММК Недельный

Рис. 9. Динамика цен и объемов продаж акций ОАО ММК

Анализ предоставленных данных позволил нам определить эластичность предложения акций в зависимости от цены на акцию (рис. 10). Данный анализ был проведен с использованием программной среды Microsoft Excel. Уравнение тренда было получено с использованием метода наименьших квадратов. Анализ полученного уравнения показывает, что коэффициент эластичности равен 0,7245. В качестве исходных данных для построения уравнения тренда были использованы значения объемов продаж и цены по концу каждого месяца.

О, млн шт.

Рис. 10. Исследование эластичности предложения рынка акций ОАО ММК за период октябрь 2006 г. - октябрь 2007 г.

При проведении аналогичных исследований нами было получено уравнение эластичности спроса за тот же период (эластичность спроса по цене равна 0,5420). Затем полученные зависимости были совмещены. Таким образом, была получена графическая интерпретация модели рынка акций ОАО ММК (рис. 11).

Полученная модель была исследована на устойчивость рыночного равновесия. С этой целью нами было задано начальное возмущение цены на 1 р./шт. Результаты моделирования поведения рынка для одного периода колебаний (2п) представлены на рис. 12.

(^, млн шт.

Рис. 11. Исследование эластичности спроса и предложения рынка акций ОАО ММК за период октябрь 2006 г. - октябрь 2007 г.

0,8

0,6

0,4

0,2'

0

-0,2'

-0,4

N

\

V

V \

\ У

0 %.2 4 у •5

Ч /

Рис. 12. Результаты моделирования поведения рынка для одного периода колебаний (2п)

Анализ рис. 12 показывает, что рынок устойчив. Наблюдаются затухающие гармонические колебания. Соотношение эластичности спроса и предложения следующее:

т с, 0,5420

т = — =---------

с, 0,7245

= 0,7481.

На рис. 13 представлена огибающая, проведенная через максимальное отклонение цены акции по аналогии с теоретическими исследованиями, представленными на рис. 7, 8.

Таким образом, проведенные исследования на фактическом материале рынка акций предприятия холдингового типа полностью подтверждают проведенные ранее

теоретические исследования устойчивости рыночного равновесии, что подтверждает возможность использования данного подхода для совершенствования финансового анализа в рамках развития ФИМ металлургического холдинга.

Представленные свободные колебания рынка в чистом виде (без шумов) невозможны [2], так как даже в течение одного периода (тем более что нами принят условный период, измеренный в радианах) могут наблюдаться дополнительные возмущения рынка, которые будут накладываться на свободные колебания, значительно искажая картину.

Источники

1. Карпова Е. А. Анализ теоретических аспектов принятия инвестиционных решений в условиях становления рыночной среды. Челябинск, 2002.

2. Старцев А. В., Карпова Е. А., Кетова И. А. Методы анализа и прогнозирования в биржевой торговле. Челябинск, 2005.