CC BY
44
В.И. КЛОКОВ V.I. KLOKOV
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПОСРЕДНИКОВ НА ДИНАМИКУ ЦЕН
MODELING THE INFLUENCE OF INTERMEDIATE TRADE AGENTS ON THE PRICE DYNAMICS
Ключевые слова:
динамическая модель, рынок товаров, цена, устойчивость цен
В статье описываются математические модели динамики цен, основанные на так называемой «паутинообразной» модели рынка. На их основе автор производит оценку влияния деятельности посредников на устойчивость цен в условиях российского рынка.
Key words:
dynamic model, commodity market, price, price stability
This article describes the mathematical models of the dynamics of prices based on the so-called «spider web» model of the market. On this basis, the author assesses the impact of intermediate trade agents on the stability of prices in the Russian market.
В условиях российского рынка, когда между потребителем и производителем товара часто возникает длинная цепочка посредников, важно представлять возможные последствия этого явления. Для оценки влияния деятельности посредников на динамику цен в условиях российского рынка построим математические модели динамики цен, основанные на так называемой «паутинообразной» модели рынка [1; 2; 4; 6].
Параметрами, описывающими состояние рынка, будут:
X — цена товара в момент времени Ї,
St — предложение товара в момент Ї,
Dt — спрос на товара в момент времени t.
Допустим, что имеется один товар и функция предложения St и спроса Dt на товар зависит только от его цены. Все остальные факторы (цены на замещающие товары, основные производственные фонды, характер применяемой технологии, налоги и дотации, природно-климатические условия), от которых зависит предложение и спрос на данный товар, остаются неизменными. Таким образом, рассматривается однопродуктная модель рынка.
В простейшем случае можно предположить, что предложение S зависит только от цены Х товара и является возрастающей функцией от цены, таким образом спрос D зависит только от цены Х товара и является убывающей функцией от цены. В окрестности положения равновесия эти функции
Клоков В.И. Моделирование влияния посредников на динамику цен
Власть и экономика
можно линеаризовать. Таким образом, функции предложения S и спроса Б будут линейной возрастающей и линейной убывающей функцией цены соответственно:
5 = а • X + Ь , (1)
Б = —с • X + й 1
где а > 0 — определяет скорости возрастания предложения при увеличении цены; с > 0 — характеризует скорости убывания спроса при увеличении цены; начальные параметры Ь > 0 и й> 0 удовлетворяют условию й > Ь.
Рассмотрим дискретную модель, наиболее адекватно описывающую динамику цен. Шаг А/ по времени / примем за единицу измерения времени, т. е. А/=1, при этом частота дискретизации /л будет равна единице /л = 1/А/ = 1. Дискретные модели динамики цен в отличие от непрерывных моделей позволяют учесть процедуры принятия решений. Динамика цен включает взаимодействие трех подсистем: товаропроизводитель, потребитель и рынок. Рассмотрим два варианта процедуры принятия решений.
Вариант I. Товаропроизводитель, принимая решение об объеме предложения, ориентируется на цену предыдущего периода. Он осуществляет простейший прогноз цены, считая, что за промежуток времени от начала выпуска продукции до ее реализации посредникам цена практически не изменится и будет равной Х(. Потребитель предъявляет спрос и покупает товар по современной цене X. Рынок всегда находится в состоянии, близком к локальному равновесию. На математическом языке это записывается так:
5 = а • Х-1 + Ь
Б = —с • X + й. (2)
Б=5
Из условия равновесия рынка (спрос равен предложению Б( = 5) получим неоднородное разностное уравнение, описывающее динамику цены:
с • X + а • X-1 = й — Ь. (3)
Общее решение неоднородного разностного уравнения складывается из общего решения однородного разностного уравнения и частного стационарного решения. Частное стационарное решение получается из неоднородного разностного уравнения, описывающего динамику цены (3) исходя из предположения, что X — величина постоянная:
X = - Ь . (4)
р а + с ()
Цена Хр является положением равновесия разностного уравнения и соответствует равновесию на рынке. Переходные процессы ценообразования, устойчивость или неустойчивость положения равновесия определяется видом общего решения однородного разностного уравнения:
с • X + а • X-1 = 0. (5)
Общее решение однородного разностного уравнения ищется в виде X = X'. Из однородного разностного уравнения (5) получим характеристическое уравнении для определения X:
а
с • Х+ а = 0; ^ X =--- (6)
с
Тогда общее решение неоднородного разностного уравнения, описывающее динамику цены, будет иметь вид:
X=А • (- о)'+X,, <7>
где А — произвольная постоянная, которая при начальных условиях ' = 0, X = X будет равна А = X0 — X..
Окончательно решение неоднородного разностного уравнения с начальными условиями, описывающее динамику переходных процессов на рынке, имеет вид:
X=(-1 )■ • (а)' •«—х)+х- (*>
Следовательно:
— если |Х| < 1 или а < с, то равновесная цена X асимптотически устойчива в целом, т. е. при любой начальной цене X0 цена Xt стремится к равновесной цене X (X——X при ' — те). При этом цена Xt совершает периодические затухающие колебания относительно равновесной цены X.. Условие а < с означает, что скорость предложения товара больше скорости убывания спроса на товар при росте цен Х;
— если |Х| < 1 или а > с, то равновесная цена X не устойчива, точнее, при любой начальной цене X0 цена Xt уходит от равновесной цены X . При этом цена X совершает периодические колебания относительно равно-
Клоков В.И. Моделирование влияния посредников на динамику цен
Власть и экономика
весной цены X с возрастающей амплитудой. Условие а > с означает, что скорость предложения товара меньше скорости убывания спроса товара при росте цен;
— если |А,| = 1 или а = с, то равновесная цена Хр устойчива. При этом цена Xt совершает периодические колебания с постоянной амплитудой относительно равновесной цены X.. Условие а = с означает, что скорость предложения товара равна скорости убывания спроса товара при росте цен Х. Для принятия решений во втором варианте делаются следующие предположения.
Вариант II. Спрос запаздывает от предложения на один период. При определении объема предложения в каждый период времени товаропроизводитель ориентируется на спрос в предыдущий период. Цена предлагаемого товара устанавливается товаропроизводителем на уровне, определяемом в соответствии с функцией предложения. Объем потребления товара не может превосходить объем предложения и объем спроса. Это означает, что если предложение меньше спроса, то потребление равно предложению. Математически это запишется так:
3 = а • X + Ь А = -с • X- + й. (9)
А = 3
Аналогично предыдущему варианту из условия равновесия рынка получим неоднородное разностное уравнение, описывающее динамику цены:
а • X + с • X-1 = й —Ь (10)
Аналогично предыдущему варианту общее решение неоднородного разностного уравнения получается из (9) в виде:
X = (-1)’ • (а) • (X—^ ^ (И)
где параметры а и с поменялись местами при решении неоднородного разностного уравнения (8), а положение равновесия из (4) осталось прежним X. Соответственно, в признаках устойчивости положения равновесия Xp нужно также поменять местами параметры а и с.
Оценим теперь уровень влияния посредников на динамику цен. При наличии посредников возникает разница в ценах для производителя и потре-
бителя, которая достается посреднику. Пусть Х — стоимость товара для производителя, к — торговая наценка, г — наценка одного посредника, п — число посредников. Тогда, стоимость товара для потребителя будет равна:
X = (1 + г)п • (1 + к) • X. (12)
Система разностных уравнений для варианта I процедуры принятия решения будет иметь вид:
3 = а • X-1 + Ь А = -с • (1 + г)п • (1 + к) • X + й. (13)
А = 3
Система разностных уравнений сводится к одному уравнению:
с • (1 + г)п • (1 + к) • X + а • X-1 = й — Ь. (14)
Решение этой системы будет совпадать с приведенным выше решением (4) и (8), если в нем заменить с на (1 + г)п • (1 + к) • с. Это решение будет иметь вид:
X = (-1) • (( 1 + Г)п . Ц + к) . с)' • (X — X) + ^ (15)
где
X = й— Ь
р а + (1 + г)п • (1 + к) • с Система разностных уравнений для варианта II будет иметь вид:
3 = а • X + Ь
А = -с • (1 + г)п • (1 + к) • X-1 + й. (16)
А = 3
Система разностных уравнений сводится к одному уравнению:
а • X + с • (1 + г)п • (1 + к) • X-1 = й — Ь. (17)
Решение этой системы будет совпадать с приведенным выше решением (4) и (11), если в нем заменить с на (1 + г)п • (1 + к) • с. Это решение будет иметь вид:
Клоков В.И. Моделирование влияния посредников на динамику цен
Власть и экономика
/(1 + г)п • (1 + к) • с\'
X = (-1)' • ((------------Чг-------)_) • (Хо _ х) + х,
где
X =
й _ Ь
р а + (1 + г)п • (1 + к) • с
Из полученных решений видно, что для обоих вариантов равновесная цена совпадает. Однако переходные процессы существенно различаются. Для первого варианта параметр X, определяющий степень устойчивости, равен:
а
(1 + г)п • (1 + к) • с . (19)
X =
При наличии посредников и увеличении их числа этот параметр уменьшается и тем самым делает более устойчивым положение равновесия Хр, т. е. обеспечивает быстрое завершение переходных процессов в динамической системе. В этом случае возможен переход от неустойчивости к устойчивости. Наличие посредников является стабилизирующим фактором.
Для первого варианта процедуры принятия решения (рис. 1) представлен пример появления устойчивости положения равновесия при увеличении доли цены товара, получаемой посредниками. При отсутствии посред-
10 15 20
Цена товара X
Рис. 1. Приобретение устойчивости положения равновесия при наличии посредников
ников на рынке равновесная цена равна X = 15 и эта цена неустойчива для первого варианта способа принятия решений. Появление посредников приводит к падению цены товара для производителя. Эластичность падения спроса по цене растет с 0,6 до 2. При этом эластичность предложения по цене растет с 1,2 до 1,4. Равновесная цена падает до Хр = 9 и приобретает устойчивость.
Для второго варианта картина обратная. Параметр X, определяющий степень устойчивости, равен:
X
(1 + г)п • (1 + к) • с
(20)
При наличии посредников параметр X увеличивается и тем самым делает динамическую систему менее устойчивой, что может привести к переходу от устойчивости к неустойчивости положения равновесия Хр при увеличении числа посредников.
На рис. 2 представлен пример потери устойчивости положения равновесия при увеличении доли цены товара, получаемой посредниками. При отсутствии посредников на рынке устанавливается равновесная цена Хр = 5 и эта цена устойчива. Появление посредников приводит к падению цены товара для производителя. Равновесная цена падает до Хр = 9 и теряет устойчивость.
Рис. 2. Потеря устойчивости положения равновесия при наличии посредников
а
Клоков В.И. Моделирование влияния посредников на динамику цен
Власть и экономика
На рис.1 и 2, иллюстрирующих поведение динамических систем, движение по спирали происходит в противоположных направлениях: в первом варианте — вращение по часовой стрелке, во втором варианте ориентация вращения противоположная.
Существование на рынке посредников и какие-либо другие причины могут приводить к увеличению времени запаздывания при принятии решений. В частности, экспериментально на основе анализа временных финансовых рядов показано наличие эффектов длинной памяти в сделках купли-продажи [3; 5]. Оценим влияние увеличения времени запаздывания на динамику. Для варианта II из общего решения однородного разностного уравнения (5) при времени задержки п простейшая модель переходных процессов на рынке будет описываться однородным разностным уравнением:
с • X + а • X = 0. (21)
I —п у '
Находим п корней характеристического уравнения:
(22)
I • (2 • к + 1) Д
где ак = е п — корень п-й степени из —1; к = 0, 1, ... п—1; I — мнимая
единица.
Если время запаздывания п увеличивается, то модуль корней характеристического уравнения увеличивается при а< 1 и уменьшается при ОС> 1. В пределе при п ^о модуль Хк^ 1. Следовательно, все переходные процессы замедляются, как стремление цены к равновесной (Х^Хр при ? ^ «>) в случае асимптотической устойчивости, так и уход от положения равновесной цены в случае неустойчивости.
Оценим частотные характеристики динамики рынка. На вход динамической системы направим единичный гармонический сигнал е‘“‘ и определим отклик системы:
с • X + а • X = е™-‘.
г г—п
Решение ищем в виде Х1 = 2 • е™-‘. После подстановки этих результатов в исходное уравнение получим:
(с + а • е-‘ “'п) • 2 = 1. Отсюда, отклик динамической системы:
1 1
2(ш) =
с + а • е-‘ “'п с + а • ео8 пт — I • а • 8т пт ’
Амплитудочастотная характеристика (АЧХ) динамической системы равна модулю отклика Н(ш)=|0(ш)|.
1
Н(ш) = I ^ --------------. (23)
у a2 + с2 + 2 ■ a ■ с ■ cos пш
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) равна аргументу отклика F(ro) = arg(Q(®)).
' — a ■ sin пш
F(«) = arctg
/ — a ■ sin пш \ ' с + a ■ cos пш'
(24)
Расчет показывает, что АЧХ и ФЧХ в большой степени зависят от времени запаздывания п.
од
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,0В
“\ / / / \ \ \ / 1 / 1 ( 1
/ 1 1 1 1 \ % \ \ / / \ \ \ 1 1 1 1
1 1 1 1 1 \ ' / \ 1 1 1 1
1 1 1 1 / / \ X X \ X \ \ 1 1 1
п=2 1 1 1 / / % X X X \ /\ / 1 1 1
/ / / / / / /г 1=2 X \ \ \ \ \ / / / /
/ п=1 X \ ч / ✓ S
------п—1
------п=2
------п=3
0
ОД
0,2
0,3
0,4
0,5
Частота
Рис. 3. Зависимость АЧХ динамических систем от запаздывания п
Для первого и второго варианта АЧХ совпадают. Длительность запаздывания на низких частотах слабо влияет на амплитуду. На более высоких частотах разница возрастает, чем больше частота, тем больше амплитуда.
Фазовые характеристики для первого и второго варианта существенно различаются (см. рис. 4, 5).
Таким образом, «невидимая рука рынка» далеко не всегда обеспечивает его устойчивость. В ряде случаев механизмы рыночного саморегулирования не могут сделать устойчивым равновесное состояние и требуются административные управленческие усилия для переходов от одной стратегии
Клоков В.И. Моделирование влияния посредников на динамику цен
Власть и экономика
'"Ч
/\ / 1 / / 1 / / ' / /
» 1 1 1 / / /
: 1 1 / /
і \у / / /
/ / / У ✓ / / /
1 /
о 1 2 ,1п з о ** 4Ґ о
§ / 1 1 /
і і і 1 /
і і \ /
і / V/ \ /
Частота
Рис. 4. Зависимость ФЧХ от запаздывания п
/\
/ / / / V / \ N / . / /\ \ і
// V , /Л \ \ / / / » і і
/ / / / / и г \ і \ » \ і
/'/ \ 1 / / \ » \ і \»
\ / / / \»
0 2 \ 0 / / 3/ 0 4 /0,
\ / / / /
/ /
> /\ /
/ \ / /
Частота
Рис. 5. Зависимость ФЧХ от запаздывания п
к другой и за счет этого — стабилизации рынка. Возможно, устойчивость рынка улучшится, если в модели при принятии решения учесть более длинный ряд прошлых цен на товар.
Представленные модели рынка можно отнести к «мягким» математическим моделям1. При малом нелинейном возмущении модели рынка, динамика цен качественно остается неизменной.
1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришкин И.М. Математика для экономистов: от арифметики до эконометрики. М.: Юрайт, 2010.
2. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М.: Изограф, 1997.
3. Леонидов А. Путь к экономическому равновесию и эффективность финансовых рынков: взгляд физика // Вопросы экономики. 2009. № 11. С. 82-89.
4. Прасолов А.В. Математические методы экономической динамики. СПб.: Лань, 2008.
5. Bouchaud J.-F., Farmer J.D., Lillo F. How Markets Slowly Digest Changes in Supply and Demand // Handbook of Financial Markets: Dynamics and Evolution / T. Hens, K. Schenk-Hoppe (eds.). Elsevier: Academic Press, 2008.
6. Rosser M. Basic mathematics for economists. L.; N.Y.: Routledge, 2003.
References:
1. Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishkin I.M. Matematika dlya ekonomistov: ot arifmetiki do ekonometriki. M.: Yurayt, 2010.
2. Lebedev V.V. Matematicheskoe modelirovanie sotsialno-ekonomicheskikh protsessov. M.: Izograf, 1997.
3. Leonidov A. Put k ekonomicheskomu ravnovesiyu i effektivnost finansovykh rynkov: vzglyad fizika // Voprosy ekonomiki. 2009. № 11. S. 82-89.
4. PrasolovA.V. Matematicheskie metody ekonomicheskoy dinamiki. SPb.: Lan, 2008.
5. Bouchaud J.-F., Farmer J.D., Lillo F. How Markets Slowly Digest Changes in Supply and Demand // Handbook of Financial Markets: Dynamics and Evolution / T. Hens, K. Schenk-Hoppe (eds.). Elsevier: Academic Press, 2008.
6. Rosser M. Basic mathematics for economists. L.; N.Y.: Routledge, 2003.
1 Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. [Электронный ресурс] // Московский центр непрерывного математического образования: сайт: Математическое образование: вчера, сегодня, завтра ... ШЗ!.: http://www.mccme.ru/edu/?ikey=viarn-models (дата обращения: 14 апреля 2011 г.).
Клоков В.И. Моделирование влияния посредников на динамику цен
