CC BY
21
Для портфеля, используя формулу Ито, получим
<Ш, = р ,rB,<h + у, V*' [dh, + - dh? 1 =
р, rB, + y,SQeh'a{h„t)+y,S,eh-
дУ_
dh,
дУ_ dh,
iu Л ®
2 ЗА,
dV dV ,, ч
dt +
d2V
+y, S0 e^adw,. Условие dfl, = dV(hnt) дает уравнения
2
P+ y, 50 e*' a(h,,t)+y, S0 e* — =
(8)
а/ ЗА, ч "' 2 ЗА,2 '
и видно, что слагаемые, содержащие функцию а(А,, сокращаются и для У (к,, /) получается уравнение, не зависящее от коэффициента сноса а(А,, /):
dV_
dt '
г —
I дУ а'
ЗУ
2 dh, 2 dh,
dV dV /, ч oJ d2y
= —+-a\h.,t)+--
dt dh, V ' ' 2 ЗА,2
dV
y,S0e*o=o—.
dh,
Сюда же надо добавить условие
Из уравнения (10) имеем у, Ба е*' -вка этого выражения в (11) дает
dh,
Подставляя все это в (9), получим
8У_ dh,
(9) (10)
(Н)
Подстано-
Переход к переменной Я, = £0е приводит к обычному уравнению Блэка-Шоулса
8У _ ЭК ст25,2 d2У „ п
— + г8,-+------гУ = О,
(к ' dS, 2 dSf
т.е. формула Блэка-Шоулса верна для более общей модели процесса А,. Результаты, отличные от формулы Блэка-Шоулса, получаются лишь тогда, когда коэффициент волатильности ст2 станет зависеть от А, так как в этом случае коэффициенты при dгV^dА,2 и dV|dhl станут переменными, зависящими от А„ что и приведет к результирующей формуле, отличающейся от формулы Блэка-Шоулса.
ЛИТЕРАТУРА
1. F. Black,, М. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities//Journal of political economy. 1973. Vol. 81. № 3. P. 637-659.
2. Ширяев Л. H. Основы стохастической финансовой математики. Том I. Факты и модели. М.: Фазис, 1998. 489 с.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Поступила в научную редакцию 1 марта 2000 г.
УДК 519.2
Е.В. Сухушина, А.Ф. Терпугов
АВТОРЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕНЫ
ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ СО СКАЧКАМИ В СЛУЧАЙНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ
Рассматривается авггорегрсссионная модель изменения цены финансовых активов с изменением цен в моменты сделок, образующих пуассоновский поток событий постоянной интенсивности. Находятся основные характеристики процесса изменения иены (среднее значение, дисперсия, функция корреляции) и показывается его асимптотическая нормальность.
Модели изменения цен финансовых активов в настоящий момент привлекают к себе очень большое внимание, так как они необходимы для прогнешфования цены актива, расчета стоимости вторичных ценных бумаг и т.д.
Пусть Б, есть цена актива в момент времени /. Тогда при построении модели изменения цены 5, обычно переходят к процессу А, по формуле
А,=1п(.!?,|50), (1)
где 50- начальная цена актива (в момент времени 1 = 0). Дальнейшее развитие модели сводится к описанию процесса А,. Одной из наиболее часто используемых моделей процесса А, является авторегрессионная модель. В этом случае считается, что время меняется дискретно с интервалом Д/, так что = иАл В случае авторегрессионной модели первого порядка значения К ~ 40 процесса А, удовлетворяют уравнению
К = М + рК-1 + (2)
где ц - среднее значение (тренд) процесса А„; р -коэффициент авторегрессии; а - волатильность; е„ считаются независимыми стандартными нормальными случайными величинами #(0,1)
Однако в приложении к финансовому рынку такая модель не совсем адекватно отражает реальность. Дело в том, что цена актива изменяется и устанавливается в момент сделки, а моменты совершения сделок являются случайными. Представляется естественным считать, что изменения процесса А, происходят лишь в те случайные моменты времени, когда совершаются сделки. Именно эта модель и рассматривается в данной работе.
Описание модели
Будем считать, что момент совершения сделок ,12.....являются случайными и образуют пуассоно-
2
■> \ \2
У
вский поток событий постоянной интенсивности к. 2
Пусть И„ = /»(г„), т.е. значение процесса А, после со- Ц + ^ _ ^
вершения сделки в момент времени /„. Для А„ снова ' ,
возьмем модель (1): Л„ = ц + р(Ля_, -ц)+сте„, но те- ны Яг имеем выражение о{Нт} = ХТ перь моменты /я будут случайными.
, так что для дисперсии величи-
a a2 N Ц +
(1-РУ J
Рассмотрим момент времени Г. Тогда на интерва- Функция корреляции процесса Нт
ле [О, Г] было заключено N сделок в моменты времени п -г т/___ __ил
1 1 Пусть Г и Г -два момента времени. Найдем явное
и,и...... Число сделок N является случайной вели- , „л
1 2' * выражение для функции корреляции ЩТ,Т ) процесса
чиной, распределенной по закону Пуассона: 4
P(N) =
_ (а.Т)" е_хг нт, где r(t, Т') = cov(//r, Hf). Будем считать, что
Г* и хг Т1 > Т и Я.(г'-г) »1. Тогда Нт Нт, = УУ>,Д
Обозначим Нт = ¿А , где число слагаемых N слу- V > т г ¿-¡¿^ " *
»=1 г N ы' ' '
чайно. Тогда в момент времени Т Бт =50ехр(яг) и и л/|ягЯг,|Л'',Аг/| = ц2ЛгЛг' +—Х^Р1""*' •
ппв туггагпрнно гтятигпгарггну уяпякггрпитлг пппирггя 1 Р »=!*=!
для нахождения статистических характеристик процесса
Бт надо иметь статистическое описание процесса Нт. Суммируя по диагоналям, получим
N N'
Математическое ожидание и дисперсия ZZp1""*1 = #(l + p+...+pv '") +
N-1 N-i
Вычислим математическое ожидание и дисперсию + Х(Я--у)р* + - ¿)р"' .
процесса Нт, считая ХТ » 1, т.е. считая, что на интер- 1=1
гр г. „ , Но при больших N асимптотически вале 1 было много сделок. Дня этого запишем А„ в
А . , У(Я-л)р'~ЯУУ
виде Ля = ц + ст^ . Тогда ясно, что М{А„} = ц и 1 - р
J-0 .2
АГ-1 . -И*'
Un-s)pn-n"~N?:Pn'-n« = Np
. .сру^ЛЬг^гр'Г*1 [Д]. Так юмс .ЯГ.-.Х*,. ю. . . . кУГ.'Г. . 7 Г. ¿.р.7/Г. Л7Г.'. .
1-р »=1 ^ ,
при фиксированном N имеем Л/{ЯГ|Я} = цЯ и, ус- и асимптотически при
»=1 *=1
редняя еще и по Л* с учетом того, что для распределе- н'-км ы'-ы+х
ния Пуассона М{и) = ХТ, получим М{НТ} = \й.Т. =уу1-р _+ дг_£_ + ^£_1 = дг 1±£
* л, 1-р 1-р 1-р 1-р'
Для Я2можно записать Н2Т = 11>Л.Так как Подставляя М^Я^Я.Я'Ц'Я^' -Я + Я)+
а2 2
М{КА} = V-2 + соу(^Л) = Ц2 + уг^р'"'' + N ^ СТ и усредняя по N и Яу - Я, получим
то при фиксированном N Л/{я2|я)= ц2Я2м\нтНт,}=^((ХТУ + Хт)+^т(т'-ф
1-р
vv Ml rw™, +КТ1Гп?'те- к{т,т')=м\нтнт1}-№гг< =
• Суммируя по диагоналям, получим
»1
f 2 ^
ЕЕр =Я + 2£(я~.у)р1. При больших Я ас» 11—1
2 О' Ц2 +
Учитывая симметричность фун-
Г (1-р)2/
v_, и кции корреляции по обоим аргументам, окончатель-
мптотически " х - А/ х - А' —
/ л Г, а2 1 , л
'=1 1-Р но запишем Л(Г,Г) = XI ц2 +-г mini Г, Г) и
, p V (1-Р) J
~ > sp -—, и поэтому асимптотически при
j=I (l - р) для коэффициента корреляции значений Н^ и Нт
Цр1"1 ^ + = 1311 1110 согг(Яг,Я^) = тт(^,^.
Л/{я2|я}= ц2Я2 + ° N. Уфедняя еще и по А^ с Асимптотическая нормальность
(1 - р) процесса Нт
учетом того «по для распределения Пуассона Докажем, <по при со величина Нт сходится
МШ2 =(ХГ)2+ХГ, получим м{н1\=и2(\т)2 + „ „ _
' 3 г т) г \ / по распределению к нормальной случайной величине.
Пусть число событий N фиксировано. Тогда характеристическая функция величин кх,Иг,...,Иы с
учетом нормальности величин ък имеет вид [2]:
Л/|ехр|/1юл||Лг| =
( " а2 " " I «>
= ехга /ц2>„ -7Г—• ^ „=1 2^1 - р ^ „,1 *=1
~ _Ит-М{нт}_ Нт-\>ХТ
г= дал =
кТ
/ _2 2 О
Iй Ч-,г
Для нее кумулянтная функция имеет вид
Фй(со)=ХГ
ехР1'
<оц
сх2со2
л/т7 2(1-р)2т2
Нт при фиксированном N равна 2А. Тогда _,• где д^ краткости обозначено ¿=цг+
ЯТк?
N >, и получим из
А/ {ехр {со #г IТУ} = Л/ |ехр|/со £ />„ •и предыдущего выражения, положив в нем все соя = со: Л/{гхр{ш#г |л^}= ехр(/шцАг -
(1-р):
-. Разложим экспоненту в ряд Тейлора:
г!»" NN
I \ °>
откуда очевцдно, что при
-- >-'1 _ а/1 + Р
При N » 1 У У р1""'1 ~ N , так что
1-Р
и=1 к=I
м{ехр{ш#г }|Лг}=ехр((соцЛг-
<т2ю2ЛГ
Я-*?)
Усредняя еще и по N, получим характеристическую функцию величины Нт в виде
ХТ —» да Нт Ф й (со) =--и #, сходится по распро-
Т« х ' 2
делению к стандартной нормальной случайной величине.
Аналогичными выкладками можно показать, что при X-+оо процесс Ит сходится пб распределению к нормальному случайному процессу.
(
Шн = ехр< ХТ
ехр< /сор - -
а2со2
2(1 - Р)
Перейдем к нормированной величине
-1
ЛИТЕРАТУРА
1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты и модели М.: Фазис, 1998. 489 с
2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 447 с.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Поступила в научную редакцию 1 марта 2000 г.
УДК 519.95
Е.В. Чаусова
ПОСТРОЕНИЕ ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СПРОСА НА УГОЛЬ
По данным о продажах фирмы, занимающейся поставками каменного угля в районы Томской области, проводится анализ спроса на уголь и строится прогноз с использованием трсндовых моделей.
Прогнозирование является одной из наиболее важных задач при принятии управленческих решений. Для предсказания поведения спроса в будущем и вычисления ошибок прогнозирования требуется некоторая информация, касающаяся предыстории спроса В связи с этим для анализа спроса приходится использовать данные о продажах Если неудовлетворенный спрос откладывается до очередной поставки угля на склад, то данные о продажах можно считать условно эквивалентными данным о спросе. Под условной эквивалентностью подразумевается возможное искажение картины спроса вследствие того, что момент продажи связан с моментом выполнения заказа на поставку, поэтому временной характер продаж может отличаться от картины возникновения спроса во времени.
Данные о продажах угля представляют собой динамический временной ряд. На рис. 1 они изображены графически. На графике продаж угля имеются отчетливые годовые периоды, присутствуют резко выраженные пики, амплитуда колебаний постоянна. Пики объясняются наличием сезонности. Действительно, весной спрос на уголь резко возрастает в связи с началом навигации.
Потребители пытаются как можно больше угля вывезти по «большой» воде - это гораздо дешевле. Однако существует рад клиентов, которым выгоднее возить уголь автотранспортом или железной дорогой, что объясняет наличие спроса в другое время года.
Так как спрос на уголь имеет явно выраженный сезонный характер, для составления прогноза спроса исследуем следующие две модели представления временных рядов: аддитивную модель [1] и модель тригонометрического тренда [2], представленные ниже соответствующими уравнениями (1) и (2):
=т,+е„У/ = 1Л\ (1)
где т, - гладкая составляющая ряда, а 5, - сезонная компонента;
У, = «о + .
а.
7*1
+аж.1(-0'+е„У/ = 1,Т.
(2)
