CC BY
131
УДК 517.3
МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ. МОДЕЛЬ БЛЭКА
Ю. А. Петрова, М.Л. Лапшина
Модель ценообразования финансовых активов получила широкое распространение на практике и, помимо всего прочего, может также использоваться для оценки всех производных бумаг, включая конвертируемые ценные бумаги, и даже для оценки собственного капитала финансово-зависимых фирм. Наиболее популярная модель опционного ценообразования - разработанная в 1973 г. американскими экономистами Фишером Блэком, Майроном Шоулзом и Робертом Мертоном. Модель позволяет оценивать обоснованность котировок опционных контрактов и наиболее часто используется при стандартизированном ценообразовании на торговых площадках опционных бирж. Математическая формула определения стоимости производных финансовых инструментов оказала заметное влияние на развитие финансовых рынков
Ключевые слова: рыночный портфель, риски, модель
Модель ценообразования финансовых активов (capital asset pricing model - CAPM) была сформулирована в 1964 году В. Шарпом, а также Д. Линтнером и Ж. Моссэном на базе теории портфеля.
Прежде всего, следует отметить, что САРМ является описательной моделью формирования цен финансовых активов на основе их текущего дохода и нормы прибыли. Основной идеей САРМ является предположение о том, что норма прибыли инвестиции является линейной функцией ассоциируемых с ней рисков. Модель ценообразования финансовых активов основана на следующих предположениях: финансовый рынок и действия на нем индивидуального инвестора описываются моделью Мар-ковитца; на рынке действуют K инвесторов с однородными ожиданиями, то есть инвесторы, одинаково оценивают математическое ожидание и дисперсию доходностей рисковых активов:
ц = ц = ц )f„ х(k)=Е=к )Ъ, k=1K
и имеют одинаковый временной горизонт в один период \_T, T + lj; рынок находится в равновесии, то есть спрос на финансовые активы равен их предложению. В модели Блэка рассматривается финансовый рынок, на котором отсутствует безрисковый актив. Вместо него вводится так называемый портфель с нулевым коэффициентом бета [1].
Пусть ожидаемая доходность как минимум для двух рисковых активов различна:
3i* j (i, j = 1, N): ,
а матрица ковариаций положительно определена, т.е. для любого портфеля
Петрова Юлия Алексеевна - ВГТУ, аспирант, тел. (4732) 46-42-22
Лапшина Марина Леонидовна - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 46-42-22
х = (х1,...,хн)т Ф (0,...,0)т : х ^х > 0.
Предположения относительно /и и X позволяют сделать вывод, что для каждого инвестора с показателем терпимости к риску т<к) существует и единственный эффективный
портфельXі- ’ = (xi,...,xN) , k = i,K , представим в виде:
Xk) = Xmin +Т k) Z
который
(i)
X =----------
min т
e
где - портфель с минимальной дисперсией, а
г = £-1и-етЕ и-1е . (2)
ет Е 1е
Нормальность распределения доходности - это основное предположение, принятое в модели Блэка. Кроме этого, модель использует еще ряд предположений, а именно:
1) основные активы свободно продаются и покупаются, в том числе в дробных долях;
2) допускается “короткая” продажа (продажа без покрытия) основных активов;
3) никаких дивидендов или иных выплат по основным активам до исполнения опциона не предусматривается;
4) допускается привлечение и размещение наличности по той же самой безрисковой процентной ставке (с непрерывным накоплением процентов);
5) опцион относится к европейскому типу, и до дня погашения исполнен быть не может;
6) налоги, расходы на совершение сделок отсутствуют;
7) цена основной бумаги с ходом времени меняется непрерывно (без скачков);
8) характер изменчивости цены основной бумаги, а также процентная ставка в течение срока действия опциона остаются постоянными.
Совокупный спрос на рынке будет равен рыночному портфелю, соответствующему совокупному предложению:
X'
(3)
w
(к)
где wl' ) - начальный капитал к-го инвестора. Подставляя выражение для х
(к)
получаем:
^w( к V к)
где т = -
X
(4)
w
(к)
Портфель хт = (хт ,•••, х'т )т принадлежит эффективному множеству, следовательно, он удовлетворяет системе уравнений, т.е.:
2т ц-2Т Хт+Ле=0
Т т е х =1.
(5)
Рассмотрим портфель х0 из достижимого множества, который имеет наименьшую дисперсию среди портфелей, некоррелированных с рыночным портфелем хт , т.е. является решением задачи:
хт X х ^ тт (хт )т X х = 0, етх = 1. Имеем:
0 хт - ((хт )т X хт )-1 е
х =-------=-----------=------=
1 - (ет X-1 е)(( хт )т X хт) хт - ((ат )2 X хт )-1 е (б)
1 -(етX-1 е)(хт)т(атГ ( )
где (ат )2 = (хт )т X хт - дисперсия рыночного портфеля. Объединяя, приходим к уравнению Блэка:
Ері = Ер0 +в (Ерт - Ер0 ),
(7)
где в =
соу(р,., рт) ; = — р
уаг(рт)
і = 1, N, р0 - до-
ходность портфеля х0, который называется портфелем с нулевым коэффициентом бета, рт - доходность рыночного портфеля. Величина р - р0 называется премией за риск для актива
Аі, і = 1, N, а рт - р0 - премией за риск для рыночного портфеля. Большими достоинствами модели Блэка являются простота формул и то, что она дает естественный и непротиворечивый метод оценивания. Поэтому модель была адаптирована к различным типам опционов, и в большинстве случаев практики предпочитают пользоваться моделью Блэка-Шоулса или ее модификациями, а не более сложными моделями [2].
Для оценки параметров и проверки гипотез в уравнении регрессии модели Блэка рассмотрим уравнение Блэка:
Ер = Ер° + в (Ерт - Ер°) = (1 -р.)7 + в Ер , (8)
где
в,=-
Сау(рі, рт)
у = Ер0, і = 1, N '
Уат(р )
В данной модели параметры, которые необходимо оценить, представлены коэффициентами бета для активов, т.е. в, і = 1 N, и ожидаемой доходностью портфеля с нулевым коэффициентом бета Ер0, который мы обозначили через у .
Пусть у- вектор N х 1 доходностей
рисковых активов А^, і = 1, N в момент времени ґ = 1, Т , а х - доходность рыночного портфеля в момент ґ = 1, Т , т.е.:
уґ =
р > )і=,
х{ =рт (ґ).
(9)
Сделаем следующие предположения:
1. Доходности актива А во времени, т.е.
р У), t = 1, т , являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами.
Совместное распределение доходностей активов А., I = 1,N, т.е. распределение слу-
т
чайного вектора у= (р^),...,рN(^)) , является нормальным.
2. Коэффициенты р., I = 1, N не зависят
от времени.
3. Соотношения между у и х ,
t = 1, т являются линейными, т.е. их можно
описать следующим уравнением регрессии:
У+ = а + Вх+ + е ,
^/t t t
где « = (а);Л=!, Р = (Р^= 1
(9')
векторы
N X 1 коэффициентов регрессии, е = (е. ^)). = 1
- вектор N х 1 ошибок.
4. Ошибки являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, для которых выполнены условия гомо-скедастичности:
т [0, t Ф 5,
е ~ 1Ю(0,О), Е(ее{ ) = \’ t t 5 [О, t = 5.
0 = (0,...,0)т е RN, 0 = (О)^
I,} = 1
5. соу( х1, г1) = 0 - условие независимости доходности рыночного портфеля и вектора ошибок.
к=1
к =1
Используя метод наименьших квадратов или метод максимального правдоподобия, получаем оценки параметров а, в и О :
& = у - (Ух,
Т
У ( у - у )(х - х ) г = 1 1 ‘ ООУ( у{, х{)
У (х . - х) г = 1
(10)
ОЬ8 т - 2 Т
Ом = Т,у 1(у<~^х:2~^х<) ■
Оценки для а и в будут асимптотически нормальными:
& ^ N
1
1 +
х 2
О
(11)
Г ( \
в ^ N в, -Т 1 52 О
V V х ) /
(12)
Далее проверим следующую гипотезу:
Н0: а = (е ~Р)у,
(13)
Т N
где е = (1, ..., 1) е Я . Функция правдоподобия для уравнения регрессии модели Блэка с ограничением а = (е - Р)у:
NT Т
1пЬ(у, в, О) = ——1п(2п)- — 1п|О -
(14)
Т
(-(е-Р)у-Рхг) °-1 (-(е-Р)г-вхг)■
Дифференцируя ее по у, в и О и приравнивая частные производные к нулю, получаем оценки для модели с ограничением:
\Т Л-^
у =
(е -/%) О (у -Рх) (е -/%)Т О-1 (е - Р)
,У 1(у->%е )(->%)
Т
(15)
О =
У — -г)
I = 1
Т
Т У (у-((е-в)-вх1 )(у((е-в)-вх1
г = 1
Критическая статистика теста отношения правдоподобия:
ЬЯ = Т (1п О - 1п !
||)^Х2(N -1) 2
(16)
имеет асимптотически х распределение с
N -1 степенями свободы.
Использование отношения правдоподобия связано с определенными неудобствами, вызванными тем, что вычисление оценок параметров у, в и О требует применения итера-
ционных методов, поскольку оценки модели с ограничением (15) являются взаимозависимыми. Рассмотрим способ, позволяющий обойти этот недостаток. Рассматривая модель Блэка:
Ер. -у = а. +в — -у), (17)
имеем следующее уравнение регрессии:
Уг-уе = а+в(х{-у) + £(, (18)
в котором независимой переменной является (х г - у), а зависимой (у - уе). Оценки модели без ограничений, полученные с помощью метода максимального правдоподобия:
а)=у-уе-в(х-у),
„ ,=.(( -у)Ь-
в=—^-------------------------------------, (19)
^ х)
О=Т У(у-у-в(хг-х)2
уг-у
—х)) .
Максимальное значение логарифмической функции правдоподобия для модели без ограничений:
£ £? Ш Т I £?\ Ш
I = 1пЬ(&у), Д О) = ——1п(2П) -—1п| О —— (20)
не зависит от у . Оценки модели с ограничением а = 0 :
гУ 1(у-уеЪ -г)
№=г=1Т-----------,
у(И2 (21)
г=1
схг)=Т у ((-в)-вхг)(у-^е-Р)-вх})
позволяют вычислить максимальное значение логарифмической функции правдоподобия с ограничением:
!(у) = 1п Ь ( в, О (у)) =
ш л ^ ^ 1^ ч| ^, (22) = —^1п(2п) - у 1п рсг) —2“
которое зависит от у . Подстановкой покажем,
что в выражается через О(у) и в следующим образом:
х-у
в = .
(х -у)2 + 5
<&У).
Получаем:
1 т
Т
О(Г) = Т у (у{-у(е-р)~вх1 )у{-у(е-р)~вХ1)
г = 1
=1 Z Tt=1
(
yf - (-fkxt - х))+<ВД
1—
(x -y\x -f)
(x -у)2 + s2
x
( - - -fkxt - x)) + a)
Заметим, что
T
z
t=1
тогда
1-
(x -r)(xt -Y)
(x -у)2 + s2
\T
(24)
TT — ~—xt -x)) a)
(x -7)(xt-у) (x-y)2 +S2
=0, (25)
—(y) = — -
1 --
(x - y)(xt - y) (x - y)2 + S2
x
£(y)£(y)T =
= —
1 +
(x - y)2 + s2 x
(dE(Y))T — 1d£(Y)
(26)
|q (y)| = |—|
1 + -
&(y)T — 1dE(Y)
(x - y)2 + s2 x
Критическая статистика отношения правдоподобия:
LR(y) = -2 -(Y) - l) = T (ln I-(y)| - ln |—|) =
= T ln
= T ln
1 + -
<£(y)T -§ 1^6(y)
(x - y)2 + s2 x
(27)
1+
(x - y)2 + s2 x
— -Ye - в(x -y)
Г1 (-уе - $ (х-у))
Минимизация разности |7(у) - /| по у позволяет найти оценку для у, полученную методом максимального правдоподобия. В силу свойств логарифмической функции минимизация
^(У)-1\ равносильна максимизации функции:
2
M (Y) =
(x - y)2 + s2
,(28)
х (у ~уе - $ (х -/)) О 1 (у -уе - $ (х ~у))
которая, в общем виде, представима следующим образом:
M (Y) =
где
(ay+ b ) — (ay + b)
2
Y + cy + d
—y+ь) = J s2 а ф о
(29)
2 2 2
Y + су + ё = (х -у) + ях > 0.
Значение у, соответствующее максимуму М(у), определяется исходя из решения уравнения дМ (у)/ду = 0, т.е.
дМ (у) = 2аТ О 1 (ау + Ь)
By
Y + cy + d
T — -1
(30)
(2y + c )(aY + b ) — (ay + b )
— 2 + cy + d )
= 0,
откуда получаем квадратное уравнение относительно y :
y2 + су + и I a — e -
(31)
2 (у2 + су + d) O' — 1e --(2у + с )(ay + b )T — 1e = 0
которое имеет два решения: одно - соответствующее минимуму М(у), а другое - максимуму М(у). Таким образом, последнее решение является оценкой для у, полученной методом максимального правдоподобия, тем самым получим оценки для параметров в и О . В результате применения САРМ аналитик получает норму прибыли конкретной инвестиции, которая при оценке данной инвестиции используется как норма дисконтирования. При этом одним из наиболее спорных является вопрос корректности применения исторической нормы прибыли для дисконтирования денежных потоков, поступающих через несколько лет в будущем.
Литература
1. Мельников А.В. Математические методы финансового анализа / А.В. Мельников, НВ. Попова . М..: Анкил, 2006. - 440 с.
2. Тарасевич Е.И. Использования модели ценообразования финансовых активов при оценке инвестиций в недвижимость / Е.И. Тарасевич. М.: Наука, 2009. - 210 с.
Воронежский государственный технический университет
THE PRICING MODEL OF FINANCIAL ASSETS. BLACK'S MODEL Ju.A. Petrovа, M.L. Lapshina
The pricing model of financial assets is widespread in practice and, in addition, can also be used to evaluate all the derivativessecurities, including convertible securities, and even to estimate the equity finance dependent firms. The most popular model of option pricing, developed in 1973 by American economists Fischer Black, Myron Scholes and Robert Merton. Model allows us to assess the validity of quotes and options contracts most often used in a standardized pricing on the trading floors of option exchanges. The mathematical formula for determining the value of derivatives had a noticeable impact on the development of financial markets
Key words: market briefcase, risks, model
и
