СОБСТВЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ В УПРУГОЙ СРЕДЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

2015

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып.3(30)

УДК 539.3

Собственные линейные колебания цилиндрической оболочки в упругой среде

И. И. Сафаров, М. Ш. Ахмедов, А. О. Умаров

Бухарский инженерно-технологический институт Республика Узбекистан, 105017, Бухара, ул. К. Муртазоев, 15 [email protected]; (+99893) 625-08-15

Рассматриваются собственные колебания тонких цилиндрических оболочек (h/R < 0,25) в

безграничной упругой среде. На контакте оболочек со средой выполняется условие жесткого или скользящего контакта. Получено частотное уравнение, которое решается численным методом Мюллера. Приводится анализ численных результатов.

Ключевые слова: коэффициент демпфирования; собственные частоты; упругая среда; оболочки, колебания.

Введение

Собственные колебания стержней и оболочек в упругой среде рассматриваются в работах [7; 10; 11]. В данных исследованиях окружающая среда стержней и оболочек заменяется упругими пружинками, т.е. при расчете учитывается коэффициент жесткости пружин. В работе [5] рассмотрены собственные колебания сферических оболочек в упругой среде, которые удовлетворяют уравнению Ламе (для оболочек и упругой среды). Сделан анализ полученных численные результатов. В настоящей работе, в отличие от известных работ рассматриваются собственные колебания цилиндрических оболочек с учетом условия излучения Зоммерфельда на бесконечности.

Постановка задачи

Достаточно протяженная цилиндрическая оболочка и окружающая ее среда сводятся к плоской задаче динамической теории упругости. В предположении обобщенного плоско-деформированного состояния уравне-

© Сафаров И.И., Ахмедов М.Ш., Умаров А.О., 2015

ние движения окружающей среды в смешениях имеет вид [8]

5 2ur / ч5Д

= (А + 2/ Ь— Йа

5t 5r r 5в

5Д 2/с 5а2

Р

52 ue с ~дё

где

(л + 2 / )! 5Д+ 2 / у с Ис>г 56 Ис

Д = 1 5 (rur ) + 1 5 u6

5а z , (1)

5r

r 5r r 56

1

2а z =-r

5(ru6) 5ur

5r

56

здесь Хс и - модули упругости окружающей среды оболочек, называемые постоянными Ламе; рс - плотность окружающей среды, u = urKr + uвKв - вектор перемещения

точек среды; Kr и Kg - единичные векторы.

Поставленная задача для окружающих оболочек среды решается в потенциалах перемеще-

ний

ur =

u6 =

5p 1 5щ

■ +

5r r 56

1 5р 5щ

r 56 5r

Расчетная схема

Потенциалы р и ц удовлетворяют волновому уравнению

V 2р =

1 ^ 2Р • у7 2,„ _ 1 дV

д t2

; V 2ц =

с 22 д г2

(2)

где С!2 = (ЯС + 2^с )/рс , с22 = Мс / Рс .

Уравнение движения цилиндрических оболочек на основе гипотезы Кирхгофа-Лява, при плоской постановке задачи имеет вид

д2и д^ R2

-7+-=--х1,

дв2 дв в 1

ди 2

—+ъ дв

{ Я4

д w „ д и

+ 2-

дв4 дв2

-+w

Я

+w =—х, В 2

(3)

где

Х1 = ~°гв

х2 = -аг

~РаК

д и

г=Я+ И/2 Но'1о _ 2 '

дг

-РоИо

д2 w

г=Я+ И/2 Уо'1о ~ 2 '

дг

Ъ 2 =

И

в

12 Я 2 Е 0И0

1 - V 2

а

г в I г = Я + И /2

= Мс \ 2

1 д2р 1 др

г двдг г 2 дв

1 д ц д ( 1 д ц

г - г I г

г 2 д в

д г I г д г

г=Я+И /2

а = \ XV 2 р + 2 м

гг1г = Я + И / 2 с ™ "

д 2 р д ( 1 д ц

д г

д г I г д в

1 д ( др ^ 1 д 2р

V 2р =--1 г— I +

г дг ^ дг ) г дв

Здесь Я - радиУс срединной поверхности °б°- ругости оболочки; Оп и ав - нормальные и

лочки; р0 - плотность оболочки; - коэф-

' ' Уо ^ касательные, составляющие реакции со сто-

фициент Пуассона оболочки; Ео - модуль уп- роны окружающей среды.

с

+

2

с

Я + И /2

Контакт между оболочкой и окружающей средой может быть жестким, т.е. выполняется равенство соответствующих перемещений и напряжений:

u

w

r = R + h/2

u

u

r = R + h/2 "r Для скользящего контакта

r=R+h/2 r=R+h/2

(4, а)

W \r=R+h/2 Ur\r=r+h/2,

а

r в

0.

(4, б)

r=R +h /2 Решение системы дифференциальных уравнений (1) и (3) удовлетворяет на бесконечности (при r ^ да) условию излучения Зоммерфельда [4]:

lim < = 0, (5, а)

др

ч dr lim у = 0,

lim(Vr) \др + íacpj = 0, (5, б)

(5, с)

lim(Vr) [д^ + iß у \ = 0, (5, д)

где a и ß - волновые числа;

а

а

a¿ = — P¿ = — c2 = (Лс + 2д,)/рс ,c2 = ¡uc / pc.

C1 C2

Волновые числа могут быть комплексными числами, мнимые части характеризуют затухание, т.е. убывание с расстоянием амплитуды волны со скоростью c/R-еа [2; 5; 9] (здесь Rea - реальная часть волнового числа a). Условия (5, а) и (5, с) называются условиями конечности, а (5, б) и (5, д) - условиями излучения.

Методы решения

Решение волнового уравнения (2) и (3) будем искать в виде

w Р

[Vn (R) Y sin пв ^ Wn (R) cos пв фп (r) cos пв

Уп(r) Asin пв J

(6)

где С = СЯ + гю1 — комплексная собственная частота; Vn (Я), Жп (Я) - амплитуды перемещений оболочки; фп (г),уп (г) - амплитуды потенциалов перемещения удовлетворяют уравнениям Гельмгольца

У2фп + а2 фп = 0,+ Р2¥п = 0.

Решение уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах выражается через функции Ханкеля первого и второго рода п-го порядка:

фп = Ап1 Н?(аг) + Вп1 Н%(аг),

¥п = Ап 2 H:\Pr) + Вп 2 Н%(?г), (7)

где Аы (/'=1, 2) и Вы - произвольные постоянные, которые определяются из граничных условий (4) и (5); Н™ (Кгг), Нп;2) (Кгг) — функции Ханкеля 1-го и 2-го рода п-го порядка [3].

Рассмотрим частное решение

фп = Ке|*01) (аг)]. (8, а) При возрастании г для больших аргументов Н(1) (аг )

функции 0 справедлива асимптоти-

ческая формула [8]

Н 01) (аг) + О (г>)].

Через

0(ra )

nar

(8, б)

обозначим такую величину

У_

у, что отношение гк остается ограниченным

при г ^ Ж. При учете (8, б) формула (8, а) примет следующий вид:

Ф1 = Re

2 í(ar---at)

I-e 4

nar

[i + 0(r 1)]

2 \ r n

I-cosal t---1—

nar l c 4

[i + 0(r 1)]

Здесь мы имеем дело с расходящейся волной, распространяющейся в направлении возрастания г со скоростью с. Также можно показать, что вторая волна

Ф2 = Яе[е Н 02) (аг)] является сходящейся, т.е. не имеет физического смысла.

Из условий Зоммерфельда следует, что нп2) (Кгг) описывает сходящую волну, поэтому при г ^ ж будет равно нулю (Вп = Вп2 = 0).

В качестве примера рассмотрим собственные колебания упругой среды с цилиндрическим неподкрепленным отверстием. На границе г=Я вставим условия свободного от напряжения, т.е.

arr I r=R = аre\r=R = 0-

(9)

После подстановки (6) с учетом (7) в граничные условия (9) получим систему алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. Для того чтобы система алгебраических уравнений имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы основной определитель был

где

х = юК(р /(Я + 2и))1/2; у = юК(р / ¡)1/2; Я

и и - коэффициенты Ламе; р - плотность материала.

Уравнение (10) после некоторых преобразований можно написать в следующем виде:

(и2 -1Жх)Иу)-(у2/ЭДх) + +F(у) + и2 - (и2 - у2 /2)2 = 0, где Е(х) = хН1п(х)/Нп(х), п = 1,2,3....

Частотное уравнение (11) решается численно, т.е. методом Мюллера [2]. Корни трансцендентного уравнения (11) являются

равен нулю. Элементы основного определителя содержат ю. При равенстве основного определителя нулю получим трансцендентное уравнение относительно частоты ( с ), которое описывает собственные колебания упругой среды с отверстиями:

(10)

комплексными числами, которые состоят из двух частей: реальные ^ею ) и мнимые части (1т с ). Реальные части корня описывают собственные частоты механической системы, а мнимые части описывают коэффициенты демпфирования (коэффициент затухания) [6; 12]. Результаты расчетов при п > 0 (^ = 0,25) собственных колебаний приведены в табл. 1.

Как видно из табл. 1, с увеличением числа волн по окружности соответствующие реальные и мнимые части комплексных частот возрастают. Частотное уравнение (11) зависит только от параметра V (коэффициент Пуассона).

Dn = хНп-1 [(и2 -1)уНп_х (у) - (и3 - п + у2 / 2)Нп (у)]- Нп (х)[(и3 - п + у2 / 2)уНп_х (у) - (и2 + п - у2 / 4)у2Нп (у)],

Таблица 1. Корни трансцендентного уравнения в зависимости от п (числа волн)

ю п=0 п=1 п=2 п=3

ю1 0,4529D+00 -i0,47651D+00 0,10927D+01 -i0,76538D+00 0,19075D+01 -i0,89782D+00 0,27565D+01 -i0,99155D+00

С2 - - 0,2862Ю+00 -i0,17852D+00 0,72325D+01 -i0,32283D+01

ю3 - - 0,404607D+00 -i0,178552D+00 0,12307D+00 -i0,22283D+00

С увеличением коэффициента Пуассона в пределах 0 <v <0,4 реальные и мнимые части комплексной частоты изменяются до 27 %.

Таким образом, на основе приведенных исследований выявлено, что рассматриваемая механическая система имеет дискретные комплексные собственные частоты.

Далее рассмотрим осесимметричные собственные колебания цилиндрических оболочек, находящихся в упругой среде. Дифференциальное уравнение, описывающее осе-симметричные колебания цилиндрической оболочки, имеет вид [1]:

,2 (д 4w „д2 w ) Ь I-- + 2—- + w + w =

дв4 '6

- vn

Е Ъ

дв'

Р0 К

д2 w

(12)

дг2

- + о

(1)

где

г О -

2ис

= К" х 10А0е -с ,

Х10 = -а1П1 Н01)(01) + Ц Н1(1)(01), 01 =оЦ = С.; ^ = , Ь2 = Ъ2 /12R2,

С

1 - 2v„

А0 - амплитуда перемещений.

Подставляя (6) и (4, а) в (12), получим систему алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. Для того чтобы система алгебраических уравнений имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы основной определитель был равен нулю. Тогда для определения ю получим трансцендентное уравнение (условия скользящего контакта):

Ъ2 у1и - 70 0 )х1и Ъ2 у1и - 70 (О 0 )Х1и

X

2 и

= 0,

где

)

К

К = К; У\п = пН^ )-с» нп+1 (О); г1я = и(1 - и)нп1)(а1 )+а1яп+)1 (О!);

Ь = Е (1 - У02) /(Е (1 + V));

а'П2 = п 2; а1 = Е0Ъ0(1 -vo2);

х1п = (- ед2 + ^(Ц )+а1яп+1(а1);

О

X 2 и =к IН^п 2 )+а 2 нп+1 (о 2);

у 2и = НЧ^ Конй («1);

а 0 = с К; С0 =У!Е0/ р0 ,

2 0(а 0) = Ь1 /[(а 0V2 - ап1) - п 2 /(а 0V2 - ^п 2 )]

V =1-vo; ат = Ь \п2 -

ь2 (п2 -1)+1; а2 =а

С0 - скорость распространения волн в стержне; Е1=Е/Е0.

Осесимметричные колебания цилиндрической оболочки (для жесткого контакта), частотное уравнение описывается выражением

ь2(а2у2 - аА)+Ь -ъ ^ад11 (О)/н(1)(О)=0.

Если использовать асимптотическое выражение функции Ханкеля при |а| > 1 то для нулевого и первого порядка получим выражение комплексных собственных частот:

с ■ ЬА L1 +

ю = -/--+

2hlV 2

+

а,

01

+

а

Ъ2^

-+

2h2V2 У

где

1

А=ЧЕД1+Vl)(1 - 2Vl)/(1 -

Для существования ю = а0 +гО1 комплексных собственных частот необходимо выполнение условия:

(

а01 /V1 >

Ь1 ^ '

V h2V2 У

+

а1ь1 L1

2h2V2 У

.1

Если это условие не выполняется, тогда для цилиндрической оболочки будут существовать мнимые собственные частоты (О1). Для выполнения первого условия модуль упругости Е1 должен удовлетворять неравенству

Е1 >(l+Vl)(ь2 +1)Ъ2 [ +(1-^1-2^(1-^ )-1).(13)

Кроме того, для ц выполняется следующее условие:

(1-2^1-Vo2)

Ъ0а01(1+^1-2^-1|' Е°

Численные значения осесимметричных (и=0) собственных частот приведены в табл. 2

([ =0,1; V = V2 = 0,14, Ъ0=0,025). На основе полученных численных результатов приходим к выводу, что при Е2=Е/Е0 > 0,21, т.е. реальные части собственной частоты обращаются в нуль, а поведение мнимых частей остается неизменным.

V

2

2

-1

Таблица 2. Зависимость собственных комплексных частот от Е

ю Е1=0,03 Е2=0,0 85 Е2=0,12 Е2=0,15 Е2=0,21

Re ю 1,3308-10-1 0,3276 -10-1 0,2670 -10 2 0,41665 -10-3 0,6168510»7

1т ю - г - 0,9767 -102 -/0,5891-10-2 - /0,1776-102 -/0,93 91-10-3 -/036С)1(0г

Выводы

1. Нами была предложена постановка задачи собственных колебаний цилиндрических тел находящихся в деформируемой среде. Задача сводится к нахождению тех ю = О0 + /О1 (О0 - реальная и Ог - мнимая части комплексных собственных частот), при которых система уравнений движения и условия излучения имеют ненулевое решение в классе бесконечно дифференцируемых функ-

ций. Было показано, что задача имеет дискретный спектр.

2. Из обсуждения результатов установлено, что с увеличением модуля упругости и коэффициента Пуассона соответствующие собственные частоты механической системы медленно увеличиваются. Собственные частоты ^ею) и коэффициенты демпфирования (1тю) при скользящем и жестком контакте отличаются до 15 %, а при жестком контакте -более 15 %. С увеличением толщины оболочки собственные частоты увеличиваются до 10 %.

Список литературы

1. Авлиякулов Н.Н., Сафаров И.И. Современ-

ные задачи статики и динамики подземных трубопроводов. Ташкент: "Фан ва технологиялар", 2007. 306 с.

2. Бозоров М.Б., Сафаров И.И., Шокин Ю.И.

Численное моделирование колебаний дис-сипативно однородных и неоднородных механических систем. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1996. 189 с.

3. Грей Э., Мэтью Г.Б. Функции Бесселя и их

приложение к физике и механике. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 371 с.

4. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевенко М.А.

Дифракция упругих волн. М.: Наука, 1978. 308 с.

5. Дубровский В.А., Морочник В.С. Собствен-

ные колебания сферической неоднородности в упругой среде // Физика земли. 1981. № 7. С. 29-37.

6. Мирсаидов М.М., Трояновский И.Е. Дина-

мика неоднородных систем с учетом

внутренней диссипации и волнового уноса энергии. Ташкент: Фан, 1990. 170 с.

7. Мубораков Я.Н. Сейсмодинамика подзем-

ных сооружений типа оболочек. Ташкент: Фан, 1987. 192с.

8. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир,

1975. 872 с.

9. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной

механики твердых тел М.: Наука, 1977. 380 с.

10. Рашидов Т.Р. Динамическая теория сейсмостойкости сложных систем подземных сооружений. Ташкент, 1973. 180 с.

11. Рашидов Т.Р., Мубораков Я.Н., Сафаров И.И. О двух основных методах изучения сейсмонапряженного состояния подземных сооружений при действии сейсмических волн // Доклады Академии наук РУз. 1989. № 6. С. 43-47.

12. Сафаров И.И. Колебания и волны в дис-сипативно неоднородных средах и конструкциях. Ташкент: Фан, 1992. 252 с.

Own linear fluctuations of the cylindrical cover in the elastic medium

I. I. Safarov, M. Sh. Akhmedov, A. O. Umarov

Bukhara Technological Institute of Engineering

The Republic of Uzbekistan, 105017, Bukhara, K. Murtazoyev str., 15

[email protected]; (+99893) 625-08-15...

This paper deals with its own linear oscillations of cylindrical shells, in an infinite elastic medium. The frequency equation is solved numerically by method of Muller. The analysis is of the numerical results.

Key words: damping coefficient; natural frequencies; elastic medium; and membrane fluctuations.