CC BY
8ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2014 Математика. Механика. Информатика Вып. 3 (26)
УДК 539,3
Воздействие продольных и поперечных волн на цилиндрические слои с жидкостью
И. И. Сафаров, А. О. Умаров
Бухарский инженерно-технологический институт Республика Узбекистан, 105017, Бухара, ул. К. Муртазоева, 15 safarov54@mail.ru; (+99893) 625-08-15
Изучается поле динамических напряжений и смещений, возникающее вблизи цилиндрического слоя (с жидкостью) в вязкоупругой среде при прохождении плоской волны. Показано, что учет вязких свойств материала окружающей среды при расчете действия гармонических волн снижает напряжение и перемещение на 10-16%.
Ключевые слова: потенциалы перемещений; напряженно-деформированное состояние; продольные и поперечные волны; гармонические волны; метод Гаусса.
Введение
Воздействие продольных и поперечных волн на цилиндрическое тело исследовалось многими учеными [1, 2, 3, 4]. При этом рассматривались осесимметричные (и неосесим-метричные) задачи и применялись различные модели для жидкости и слоя (или оболочек). В предыдущих работах цилиндрическое тело рассматривалось в виде цилиндрической оболочки и уравнение движения было получено на основе гипотезы Кирхгофа - Лява [5, 6, 7, 8]. Окружающая среда рассматривалась как упругая, т.е. связи напряженного и деформированного состояний подчинялись закону Гука [9, 10]. Настоящая работа отличается от предыдущих тем, что цилиндрическую оболочку окружает среда, обладающая вязкими свойствами, т.е. связи напряжения и деформации подчиняются интегральному соотношению Больцмана - Вольтерра [12, 13, 15]. Модели воздействия продольных и поперечных волн на цилиндрические слои и жидкости базируются на методах, которые разработаны для динамики тел, взаимодействующих с деформируемой средой (см., например, книгу [11]).
Постановка задачи
На бесконечно длинный, однородный, изотропно-деформируемый цилиндр с идеальной сжимаемой жидкостью, находящийся
© Сафаров И. И., Умаров А. О., 2014
в бесконечно вязкоупругой среде, падает гармоническая плоская волна расширения (или сдвига) (рис.1). Фронт волны параллелен оси цилиндра. Таким образом, рассматривается задача о плоской деформации. Здесь г = R внешний и г = Я0 внутренний радиусы цилиндрического слоя. Основной целью работы является определение напряженно-деформированного состояния цилиндрического слоя и окружающей среды при воздействии продольных (или поперечных) гармонических волн. В предположении обобщенного плоско-деформированного состояния уравнение движения в смещениях имеет вид [1]
(Я. + 2/~.)gгaddivй, -~гоггогй, + Ь, =
^ 2
д 2й,
(1)
= Р
] дг2
где Л. и [. (. = 1,2, . = 1 - относятся к
окружающей среде, . = 2 - к слою) - операторные модули упругости
Я,/ (г) = Я
0 .
м /(г) = и
0 .
/ (г) — }я«(г — г)/(туг
—да _
/ (г) — К°(г — т) / (тут
Ь■ - вектор плотности объемных сил (Ь , = 0); /(г) - некоторая функция; р, -
плотности материалов,
,>(0,
"Г)
Я^ (x — г) - ядра релаксации, Л0]-, /ио]- -мгновенные модули упругости вязкоупруго-го материала, и^ {ыг1, и^ ) - вектор смещения,
который зависит от г,9,X . При давлении до 100 МПа движение жидкости удовлетворительно описывается волновыми уравнениями для потенциалов скорости частиц жидкости [11]
1 а (
рость звука в жидкости. Потенциал (р0 и вектор скорости жидкости связаны зависимостью V = gradр0 . Давление жидкости г = Я0 определяется с помощью линеаризованного интеграла Коши - Лагранжа.
Р = "РоС
аР0 дх
V ( =
с2 а х -
(2)
где
V 2 =
а-
1
• + —
а
+
1
+
а
давление жидкости на стенке цилиндрического слоя и ро - плотность жидкости. Нормальная компонента скорости жидкости и слоя, при условии безотрывного обтекания жидкости на поверхности их контакта г = Я0 , должна быть равна
дг2 г дг г2 д9 2 дифференциальные операторы в цилиндрических координатах и Со - акустическая ско-
6(0
дг
ди
г 2
г=Яп
дх
(3)
г=Я
Ф=Фе 1(кх-ш4)
и
х
Рис. 1. Расчетная схема с жидкостью 1-вязкоупругая среда; 2- цилиндрический слой; 3-жидкость
где иг 2 - перемещение точки слоя по нормали, на контакте двух тел (слоя и окружающей среды). Отметим, что в случае скользящего контакта грунта по поверхности трубы последнее уравнение (2) примет вид [2]
СТг91 = 0 .
Пусть падающая плоская волна распространяется в положительном направлении по
оси х: ррр) = рАе
I[а,х—ох) {р) г\
• 1 , = 0 при воз-
действии
продольных
волн
(или
Л р) = е {Р1Х—0Я)
¥\Г> = ¥Ае"" , ррр) = 0 - при воздействии волн сдвига); рА и у/А - величины амплитуды падающих волн; о - круговая частота падающих волн, <р> - индекс означает
падающие волны. Выражение (р) (или у/{ р)) можно представить в полярных координатах цилиндрического слоя г, 9 посредством ряда
Л р
ад
ср{р)= <РАЕ(агг)СС8пве-1- ,
п=1
циалах перемещений, для этого представим вектор перемещения в виде
П п = 0 В результате подстановки уравнения (7)
где Еп = 1 2 п > 1, - цилиндрическая в (5) появятся слагаемые (например, первое
, ^ ' уравнение (5)), явно зависящие от времени:
функция Бесселя 1-го рода.
Методы решения — Я0] V2 4**\г,в) | )(г — т)е-"0Tdт,
Поставленная задача решается в потен- да
— А,^]^) ¡Я^ — т)e-"°гdт .
—да
и , = grad ср , + Г()1 Ц/ ,, (у = 1,2) , Путем замены переменной Ь- т =ц (5)
появляющееся слагаемое можно переписать в где (р. - скалярный потенциал продольных виде
волн; у . (у . ,ув] ) - векторные потенциа- — Я0.V2)(г,9)е•
лы поперечных волн. /да да л
Основные уравнения теории вязкоупру- • I Г собютт • ЯЯ] + Г ¿тют • (т^т I =
гости (1) для этой задачи о плоской деформа- ^ 0 0 )
ции сводятся к уравнению 2
Я + 2;
О] г-щ! -Г]
г
Я0] V24*) (г,в)е—« Г] (ю) + (ю)). ;]V24*)(г,в)е•
да да
Г собют • + Г ¿тютт • (т№т
.0 0
= Р = —А0] V24*)(г,в)е(г; (ю) + Га (ю)),
—Яо] ГR^'■)(г—2; ^»(г—=
—да —да
д2V
— Г ]—тК]г = Р]--^. (5) ГЛ (©) = Г Ял (г)со8®Г dт.
тг. дг2
—да 0
На бесконечности г ^ да потенциалы про- где
дольных и поперечных волн (] = 1) удовле- да
творяют условию излучения Зоммерфельда Гл(р)=Г^ ,
[1, 10]: 0
Нш* = 0, ¡шда(Л/г)К ( д* + I = 0 , (6) Г^(р) = |к)™^ ^ .
0, Такая замена переменных приведена в
г^да А А
книге [15, с.38, уравнения (1.54) и (1.55)]. Ам-
Нш (д/г) —У1 + iPlуl = 0 . плитудной комплексной функции 9кр)(г,в) и
г^да ^ дг ) 1
4к(уу)(г ,в), приведенной в (7), удовлетворяют
следующие уравнения:
г,
д У1 д г
Рассматриваемая задача относится к ус-
тановившимся процессам колебания [1, 2, 6, V2qV)(r в) + #2Я= 0'
15]. Поэтому решение уравнения (5) ищется в
^яку)(г,в)+^2чку* = 0,
V (г,в,г) = V2як0)(г,в) + «02як01 = 0, ] = 1,2, (8)
виде
РР2
= £< >(г,в )е , Г (г, в ,г) = где а] = Л0] (, — Л0])+ [ (1 — [0]),
да 2 2
= 2 Чг,в )е —. (7) «2 = РР_ а2 = Р
] АД1 — [0]) С
к = 1
Л- = гя °)+1Гя (°), Й> j = {°) + {°) ,
Решение уравнения (8) выражается через функции Ханкеля 1-го и 2-го рода п-го порядка:
СР1 =1кнП1} («г) + А'п Н? («г)],
п=0
Ъ = Е ВпН0 фг ) + В'п Н? (фхг )],
п=0
(2 =]^ЬпНП1) {«2 г)+ АНП2) {«2 г)], (9)
п=0
¥2 = Е МпН0 г ) + (А г )] ,
п=0
¿[КЛ («0г) + К'пNn («0г)],
Решение задачи (2), когда г ^ 0 , удовлетворяет условию ограничения силовых факторов [1], отсюда следует, что К'п = 0
ад
(0 =Е К«3« («0г).
п=0
Таким образом, подставляя (9) в (7), получим решение уравнения (5) вида
( =Е АП1 НО1 г )с°в(п9> ,
п=0 ад
¥1 =Е С^ ЯП1)(^1 г )ип (п9)е -'оХ,
п=0
СРг =]Е[СпНп1) («)+ ДН? Ы^ов*, (10)
п=0
Ъ = ¿МпН? {ф2г)+(ф2г)]в1п пве-х,
п=0
ад
(0 =Е К«3« («0г) с°8 п9е"° .
п=0
Полный потенциал можно определить (1) путем наложения потенциалов падающих и
условиями (3), (4) и (6); Нп «) и отраженных волн. Таким образом, потенциа-
Нп (2)(«,г) - соответственно функция Хан- лы смещений будут
п=0
где А , А',В ,В', С ,D ,£ ,М , К и К'
- коэффициенты разложения, которые определяются соответствующими граничными
(1),
п V— ]
келя 1-го и 2-го рода п-го порядка Нп1)(2)(«г) = Зп («г)± ¡Мп («г). Решение (9) при j=1 удовлетворяет на бесконечности
01 = Р( Р) +(1(1),
0 =(2, =¥1, ^2 =¥2, 00 =(0 (11) Отсюда следует, что напряжения и сме-
(г^да) условию излучения Зоммерфельда (6) щения легко могут быть выражены через потенциалы смещений [2]
и представляется в виде
адад
(1 =Е НП1)(«1 г );¥1 =Е С Н{п\.р1 г ).
д^ 1
и„ =—- +----; ив =
1 дъ
= Я 0 . V 2 0 . + 2 Д
99 - = Я 0 - V 0 - + 2 Д 0 -
д 2 0 д г 2
дг г дв
д Г 1 д ¥
д г 1 г д 9
1 5 0 . 1 д 2 0
г д г г д 9 2
-) + — (
1,1 д ¥
г дв дг
(12)
д 2¥
г г д 9
д г д 9
г 9 - = Д 0 - 1 2
1 д 2 0
1 д 0
г д 9 д г г 2 д 9
1 д ¥
г 2 д 9
д Г 1 д ¥
д г 1 г д г
Подставляя (11) в (12) с учетом (10), получим следующее выражение для перемещения и напряжения:
ив1 = г
^ФаЕ^Е^«) + ^(«г) + В^ф?) + КЯЕ™ («0 г )]с°8 пве1
п=0
]Е^АЕп/пЕб11)(а1г ) + А^« ) + ВпЕб32)(ф1г ) + КпК(б4 («0 г )]с°8 пве -
п=0
+
а
0
)
+
- г
2
иг1= г
иг2 = г-1 Е [СА? («2г) + ДЕ« («2г) + МЯЕ® Фгг) + £п£$4) + КЯЕ™ («0г)]с°8пве,
п=0
ив2 = г1 Е СпЕб1) («2г) + ВпЕб4] («2г) + МпЕб2) ф2г) + £«Е (ф2г) + КпЕ^>«г)]в1п пве
п=0
агЛ = 2^01 (1 — М )г2 Е ^аЕГЕ! («1г) + АпЕ13) («г) + В^ ф,г) + К«Е<4) («0 г )]с°8 пве ,
п=0
= 2^01(1 — М01 )г 2 ЕкЕ«/«Е?М + ^(«г^BnE—¡Фlr) + («0г)]с°8пбе—^, (13)
п=0
Стгв1 = 2М01 (1 — М01 )г2 ЕЕ [А«/«Е*? («г ) + А«е4!) («г) + В«е42 ф) + КпЕ44) («0 г )]в1п пве"-,
Огг2 = 2М02 (1 " М02 )г ^ Е
п=0 ад
°ев2 = 2М02(1" Д02)г Е
Огв2 = 2М02 (1 " М02 )г ^ Е
где
«=0
"С«Е(3) («2 г) + ДЕ«4 («2 г)+Ф2 г) + £«е14) (Ф2 г) +"
+ К«Е<4) («0 г)
с«е21) («2 г)+де ^ («2 г)+м«е22) (Ф2 г)+£«е22 ф2 г) +" +К«Е24) («0 г)
"с«е51) («2 г) + («2 г)+м«е53) (Ф2 г) + д«е54) Ф2 г) +
_+ К«Е5з4) («0 г)
соб пве"
соб пве
б1п пве
Е (к) =
Г
2+«—V )
где [д] - вектор-столбец, содержащий произ-
п + п —
V
2
\У«к)(«г) — «г¥«к}(аг), вольные постоянные; {F]- вектор столбец
Е12 )= п[(п + )(фг) + фгУ^) (фг)]
Ек)=" ">1 -
^21
2 3 г 2 2 « + « +---«г
2
Л
У«к) (ог)+огУ5 («г)
У
Е22 )= «фУ* > (фг) — (« + ) (фг)],
У?) («г ),
внешних нагрузок; [С] - квадратная матрица, элементы которой выражаются через функции Бесселя и Ханкеля. Уравнение (14) решается методом Гаусса с выделением главного элемента.
При г ^ 0 :
н 01«2) (- )|
ез^ )=[«2 г2 — ^ )(
I г
2
Е41) = «[(« + 1)^«(к)(«г} — «У««)]
= ± — 1пг — {-I |1 — -1п-| + 0(-41пг),
Е (к )= — 42 _
2 ф2г
« + « — --
22
2/ л
Н^2)(- )
У««к )(фг)+ фгН«—)(фг)
(к)(
е51) =«*>(« ) — «у««* )(«г)],
е52 )=— «у«(к) (фг),
е61 )=— ) («г),
г
2
= + Л12 ] ^ " 1)+«! -2 + 0(-4)}
и г ^ ад:
(1 ),(2 )
Н .(1 ^) (- ) =
лг
е
± I (кг — л /4 )
где
ных видах:
Е(к) = [«у(к) (фг) — фгУ(к) (фг)} к = 123 4 использованы асимптотические формулы 62 « «"1 ' Ханкеля 1-го и 2-го рода [14]. В работе пере-
мещение и напряжение сводятся в безразмер-
У (1) = г У (2) = N У (3) = Н (1) У(4) = Н2)
Неопределенные коэффициенты
А«-), В«), С«), Dn;) определяются из системы линейных алгебраических уравнений седьмого порядка [с ]{д }= ], (14)
* и г- * и вв
и= ; ив = —
>«[л
О а =
гв-
О
¡«[А
О0 = " М> - ф 1 [ А .
* О гг-
о . = ——;
гг- '
О 0
2
Результаты расчетов и выводы
Все выражения для напряжений и смещений имеют вид
^ +11ш> = (к2 + 1ш2 )1/2 е,
где ю - частота гармонических волн, т.е. заданная действительная величина.
Для данных падающих волн напряжения и смещения определяются рядами, описываемыми с помощью специальных цилиндрических функций Бесселя и Ханкеля, с увеличением аргумента которых функциональные ряды (9), (10) и (13) сходятся.
В качестве ядра релаксации вязкоупругого материала примем трехпараметрическое ядро
А е
^, ) = ^, ) = ^ Ь ) =
Ржаницына - Колтунова, где А^ ,а, Р -
параметры ядра релаксации [3]. Вычисления были выполнены на компьютерном про-
граммном комплексе "МаАаЬ", ряды вычислены с точностью до 10-8.
Примем следующие параметры: А1 = 0,048; р = 0,05; а = 0,1;
А2 = 0; С0 = 1493 м; р0 = 1000^;
с м
Еш! = 2,1 • Ш10^;
м
■5 кг
р, = 2,0 • 103—; = 0,25; м
н
Еш2 = 1,95 • 1011 -;
м
р2 = 7,86 • 1011 у2 = 0,3; R0 = 0,5R.
2 м3 2 0
Максимальное напряжение в слое с жидкостью на действие продольных и поперечных гармонических волн является радиальным. Их изменение по окружности в приведено в табл. 1 и 2.
Таблица 1. Радиальное напряжение в слое с жидкостью при воздействии продольных волн
в 00 450 90° 1350 1800
°гг Пустой слой 0,672 0,423 0,711 0,518 1,65
^гг Слой с жидкостью 0,778 0,435 0,721 0,547 1,686
Таблица 2. Радиальное напряжение в слое с жидкостью при воздействии поперечных волн
Угол: в 00 450 900 1350 1800
°гг Пустой слой 0,631 0,712 0,521 1,801 0,847
^гг Слой с жидкостью 0,683 0,914 0,637 1,925 0,886
В области длинных волн (— > 1, D =2R
Л
- диаметр слоя, Л - длина волны) напряжения в слое с жидкостью и без жидкости отличаются до 14%, а в области коротких волн
(— (1) - до 40 %. Учет вязких свойств мате-
Л
риала окружающей среды при действии продольных и поперечных гармонических волн снижает напряжение и перемещение на 1016%. При 9 = 90 и 2700 достигается максимальное радиальное напряжение при воздействии продольных волн. Следует отметить, что максимальное напряжение при воздействии поперечных волн достигается при 9 = 45 и
1350'. Распределение напряжения при ßiRi=
0.099.стремится к статическому случаю (Х^-да), в то время как при более высоких волновых (ß1 R1 = 1,5) числах распределение напряжений значительно отличается от статического. Отношение плотностей ^=р1/р2 оказывает большое влияние на напряжение и смещение слоя. По мере возрастания плотности слоя максимальные величины напряжения и смещения слоя возрастают.
Таким образом, разработанная методика и алгоритм для решения поставленных задач позволяют найти напряженно-деформированное состояние цилиндрических тел при воздействии гармонических волн.
Список литературы
1. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевенко М.А. Дифракция упругих волн. М.: Наука, 1978. 308 с.
2. Pao Y.H., Mow C.C. Diffraction of elastic waves and dynamic stress concentration. Grane, Russak, 1973. № 4. 694 p.
3. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. 276 с.
4. Datta S.K. Tensional waves in an infinite elastic solid containing a penny - shaped crack.-z. answer // Math. And Phys. 1970. Vol. 21, №3. P. 343-351.
5. Мубариков Я.Н., Сафаров И.И. О действии упругой волны на цилиндрическую оболочку // Изв.АнУзССР. Сер. техн. наук. 1987. № 4. С. 34-40.
6. Сафаров И.И. Оценка сейсмонапряженно-го состояния подземных сооружений методики волновой динамики // Сейсмоди-намика зданий и сооружений. Ташкент, 1988.
7. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустических и упругих средах. М.: Машиностроение, 1977. 304 с.
8. Сафаров И.И. Взаимодействие волн в многослойных цилиндрических слоях, находящихся в безграничной упругой среде // Тр. VII Всесесоюз. конф. "Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений". Днепропетровск, 1989. С. 56-57.
9. Сафаров И.И., Жумаев З.Ф. О разрушении
тоннеля при сильных движениях земли // Междунар. конф. по сейсмостойкому строительству. СПб., 2000. С. 71-78.
10. Авлиякулов Н.Н., Сафаров И.И. Современные задачи статики и динамики подземных трубопроводов. Ташкент: Fan va texnologiya, 2007. 306 с.
11. Бозоров М.Б., Сафаров И.И., Шокин Ю.И. Численное моделирование колебаний дис-сипативно однородных и неоднородных механических систем. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1996. 189 с.
12. Рашидов Т.Р., Сафаров И.И. и др. О двух основных методах изучения сейсмонап-ряженного состояния подземных сооружений при действии сейсмических волн // Докл. АН. 1989. № 6. С. 13-17.
13. Сафаров И.И. Авлиякулов Н.Н. Методы повышения сейсмостойкости подземных пластмассовых трубопроводов // Узбекский журнал нефти и газа. 2005. № 4. С.42-44.
14. Грейс Э., Мэтьюз Г.Б. Функции Бесселля и их приложение к физике и механике. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 371 с.
15 Кристенсена Р.К. Введение в теорию вяз-коупругости. М.: Мир, 1974.
Influence of slit and cross waves on cylindrical layer with liquid
I. I. Safarov, O. A. Umarov
Bukhara engineering-technological institute, Uzbekistan, K. Murtazoyev st, h. 15 safarov54@mail.ru; (+99893) 625-08-15
The field of dynamic voltage and upheaval emerging near cylinderic layer (with liquid) ontena-cious elastic environment while passing flat wave is being studied .There indicated the count of tenacious characters of substance of harmonious waves lowers voltage and removal for 10-16 %.
Key words: removal potentials; tense-deformed state; slit and transversal waves; harmonious waves; Gauss s method.
