О ВЛИЯНИИ БЛИЗОСТИ ИСТОЧНИКА ДИЛАТАЦИОННЫХ ВОЛН НА ДИНАМИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ЦИЛИНДРА С ЖИДКОСТЬЮ Текст научной статьи по специальности «Физика»

2015

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 4(31)

УДК 539.3

О влиянии близости источника дилатационных волн на динамические напряжения цилиндра с жидкостью

И. И. Сафаров, М. Х. Тешаев, З. И. Болтаев

Бухарский инженерно-технологический институт Республика Узбекистан, 105017, Бухара, ул. К. Муртазоева, 15 safarov54@mail.ru; (+99893) 625-08-15

Рассматривается бесконечно длинный круговой цилиндр, состоящий в общем случае из конечного числа коаксиальных вязкоупругих слоев, который окружен деформируемой средой. Исследовано динамическое напряженно-деформируемое состояние кусочно-однородного цилиндрического слоя от гармонической волны. Получены численные результаты напряжений в зависимости от длины волн.

Ключевые слова: круговой цилиндр; слой; длина волны; напряжения оболочек; плоская деформация.

Введение

Как известно, подземные трубопроводы при сейсмических воздействиях подвергаются колебаниям, которые сопровождаются большими повреждениями и даже отказом целой системы [8, 9, 10, 12, 17, 18]. Исследованию состояния подземных трубопроводов при сейсмических воздействиях посвящено множество работ [2, 3, 4, 5, 6, 7, 11]. В этих работах падающая волна напряжения считалась плоской. Однако для источников, расположенных близко от оболочки, возникла необходимость исследовать вопросы близости источника (на результаты работ) [15, 16]. В данной работе исследуется взаимодействие цилиндрических волн напряжения с цилиндром, состоящей в общем случае из конечного числа коаксиальных вязкоупругих слоев.

Постановка задачи

В работе исследуется взаимодействие цилиндрической волны напряжения параллельно-слоистыми упругими слоями с жидкостью. Предполагается, что линейный источ-

© Сафаров И.И., Тешаев М.Х., Болтаев З.И., 2015

ник (см. рис. 1) является непрерывным источником дилатационных волн напряжения с угловой скоростью ю и амплитудой ф0, а слоистый пакет представляет собой толстостенные и тонкостенные слои цилиндра. При описании движения тонкостенных элементов используются уравнения теории таких оболочек, в основу которых положены гипотезы Кирхгофа-Лява. Для тонкостенных слоев исходными являются уравнения линейной теории упругости. Нумерация слоев - произведение в порядке возрастания их радиусов от k =1 до k = N (рис. 1).

линдрических тел, находящихся в деформируемой среде

Величине, характеризующей свойства и состояние элементов, соответствуют значения . =1, 2, 3,..., N, где К - упругий слой заключен между (К-1)-м и К-м слоями. Параметры среды обозначены индексами К=Ы (рис. 1).

В предположении обобщенного плоско деформированного состояния уравнение движения в смещениях имеет вид [1]

(X. + 2и.)grad divйj - иго^оШ. + Ь. = р. 2

8 2й,.

8t2 (1)

где X. и и. (. = 1,2...N . = N относятся к

окружающей среде, . = 1,2,..., N -1 - к слою) операторные модули упругости [13]

X/ (t) = Хо .

и (t) = ¡о .

/(t) - | Я'')(t - г)/(г)dт

— да

/(t) - )(t - г)/(г)ёт

Ь■ - вектор плотности объемных сил; / (t) -некоторая функция; р.. - плотности материалов, -г) и я(х')(: -т) - ядро релак-

сации, Хо., ио. - мгновенные модули упруго- век-

о'г о?

сти вязкоупругого материала, й. {й., и^.)

тор смещения, который зависит от г,0, t. При давлениях до 100 МПа движение жидкости удовлетворительно описывается волновыми для потенциалов скорости частиц жидкости [14]

Д^о =

84

С2 812 ,

(2)

г 2

'о

Л ё2 ё d2

где Д = —2 +---1—2-2; Со - акустическая

ёг гёг г ё0

скорость звука в жидкости. Потенциал (р0 и вектор скорости жидкости связаны зависимостью V = ^гаёр0 . Давление жидкости (при г = Я0) определяется с помощью линеаризованного интеграла Коши-Лагранжа,

Р = -РоСо

Р 81

- давление жидкости на

стенке цилиндрического слоя и ро - плотность жидкости.

При условии безотрывного обтекания жидкости нормальная компонента скорости жидкости и слоя на поверхности их контакта (при г = Я0) должны быть равны

8г

8и

г1

81

(3)

где иг1 - перемещения слоя по нормали.

На контакте двух тел (при г = Я.) выполняется равенство смещений и напряжений (условие жесткого контакта)

иг. = иг ( . +1);

О гг. О гг (.+1),

И0 . И0(.+1);

О „а,- = О

г0(.+1)'

(4)

Отметим, что в случае скользящего контакта грунта по поверхности трубы последнее уравнение в (4) примет вид [1]:

ог0 = 0, где оПп^ и о\. - радиальное и касательное напряжения в .-го вязкоупругого тела; йП) и и. - радиальное и тангенциальное

смещения .-го тела. Решение волнового уравнения (1) в потенциалах перемещений удовлетворяет в бесконечности (при г ^ да) условию излучения Зоммерфельда [14]:

НтС^/Т)'

Иш^д/Т)к

lim^N =0,

г^да

(. +

Нт^ =

г^да

+ Ф V

8г

(5)

Рассмотрим продольную волну, порождаемую продольным источником волн расширения, расположенным в точке О . Потенциалы перемещения падающей волны расширения можно представить в виде [16]

(рРр = (pNoiлH01)(aNТ) е-, (6) где Яо(1) - представляет собой расходящиеся функции Ханкеля (первого рода нулевого порядка); рш - амплитуда волны расширения;

- волновое число сжатия; = ю2/с2а, ю - круговая частота.

Методы решения

Поставленная задача решается в потенциалах перемещений, для этого представим вектор перемещения в виде:

й = gгad р + гоЩ , (. = 1,2,.......,N),

г=

г

0

где р,■ - потенциалы продольных волн; / \ г / \

1 ЬЯ — ^ ^ (фоБЮ-т^ .

Щ , (у ■ ,Щв, ) - потенциалы векторного 0

поля поперечных волн. Решение уравнения (7) с учетом (9) вы-

Основные уравнения теории вязко- ражается через функции Ханкеля 1-го и 2-го

упругости (1) для этой задачи плоской дефор- рода п-го порядка:

мации сводятся к следующему уравнению: ш

Я +2Я>( _ ( ^^ М\со^'

-Я,Т(т-2Ц-0]-тУ(-=, Щу =%УпН"ВНш;

2 1 = 1,2,.....N-1,

= дР] » ,

= р а2 ' PN ^СН Ы+DnNH(i) (а^)\соБпве ш,

2 п=0

а У, (10)

До, V2Щ} - д |^ -т)ч= р., а2

WN ОМ+LnNHV пве-'Ю,

(7) п=0

а ~ 1 а 1 а ~ т

где V 2 = + 7 аГ + 7Г + в ~ ДИф- (0 = >[*п0-п(а,г) + КФобпве-—,

ференциальные операторы в цилиндрических координатах и V, - коэффициент Пуассона [1].

2 а2 1 а 1 а-

—г +--+ —г +-5--диф- р0 = > |Кп0 !п (а0 г ) + .

а г2 г а г г2 ав2 п0 ^ 0 ;

п=0

ференциальные операторы в цилиндрических А А, й г>< г п г Л//

где Апу , Апу , Вп,, Впу , Сп,, ^, LnN , MnN ,

тт _ и К' , - коэффициенты разложения, которые

На бесконечности, т.е. при г ^ да, потенциалы продольных и поперечных волн при определяются соответствующими граничны-

1 = N удовлетворят условию излучения ми условиями; Нп(1)(а;г) и Нп(2)(а;г) -Зоммерфельда (5). Решение уравнения (7) соответственно функция Ханкеля 1-го и 2-го можно искать в виде: рода п-го порядка

Р ■ (г, в , I) = Н{^{2)(аг) = !п(аг)± iNn(аг).

^ Решение (9) при , = N удовлетворяет

= > д к (г ,в ) е ; у ■ (г ,в , *) = (8) на бесконечности г^да условию излучения

=1 Зоммерфельда (5) и представляется в виде:

= >> д, \г,в )е, »

РN => С^НЩа )сов(тв)еш;

к = 1

комплексные

где д,)(г,в) и дЩ>(г,в) -

функции, которые являются решением сле- щ =>МпМН г)б1п (пв)е~ш

дующим уравнениям, вытекающим из (7): т=0

V2q|(()(г,в) + а2: qkр) = 0, V2qíу)(г,в) + = 0, в .

; 1 к ; 1 к Решению задачи (2) при г ^ 0 удовле-

V2ЧкЮ^(г,в) + а0чкЮ^ = 0, ■ = 1,2.....N , (9) творяет условие ограничения силовых факто-

где ров [1] и отсюда следует, что К'п= 0 :

2

2 рю ®

а' = Я, (1 - Я,)+ 2,, (1 - До,) • (0 = >=> К,»-!, кг) соз паг-

2 2

=—Р^--^, = —— ; Полный потенциал можно определить

До, V1 - До,/ С0 путем наложения потенциалов падающих и

Я, = а, — ) + —), Д = аяд—) + Л, —), отражта11ых волн. ^

Таким образом, потенциалы смещений

(ю) = IКЯ] (т) Б1П ют , будут ФN = Р^ + РN, ^ = У/N ,

0 Ф = (, = У,, ф0 = Ре. (10)

Для определения напряженно-деформируемого состояния сначала необходимо выразить падающую волну через волновые функции (10). Используя геометрическое построение на рис. 1 переходим от координат

r ,в к координатам r ,в в области r < rN.

V(NP} = Фо™ . X [(-1) "EnJn («^) H? («nZ )] cos пв e -<*,

n=1

il, n = 0

где En = i , Jn - цилиндрическая

n [2, n > 1 n

функция Бесселя первого рода.

Отсюда следует, что напряжения и смещения легко могут быть выражены через потенциалы смещений [2]:

дф- 1 дщ

u„. = —- +----; u„. =

dr r дв

°rri = ¿v ф + 2Д

1 дф: дщ

r дв

дr

°вв] = 2ф] + 2 м-

д 2ф- +д_( 1 дщ -дr2 дr ^ r дв

1 дф- 1 д 2ф-+ ) +

r дr r дв

1 1 д щ - д 2щ -+ —(----

= Mi 2

1 д 2ф-

r r дв дrдв

1

(11)

r двдr r2 дв

дЩ

r2 дв2

д ( 1 дщ

--r—l -

д r [ r д r

Далее, подставляя (10) в (11) с учетом (9), получим следующие выражения для перемещений и напряжений:

Фо EJnElN « )+~ + CnE5(1N «)+ cos nOe'

UrN = r

n=0

uon = r

n=0

+ mne52n) fr )

Ф0 EninEf) (aNr ) + +cNe63 N ) («Nr)+ +mne^ n ) fr)

cosп0e~

ur = r

=r-1X

n=0

'A-Eg)r)+ г) «r)

+

+

+

b-e2 ) f/)+Bn E-)

cosnOe

uoo = r -1X

°ON = 2M>N (1-МшУ- X

sin пв e

= 2M0N (1-MkN )r-2 X

^ = 2м, - (1- Mkj У 2 X

w

Ooo = 2M0 - (1- M- У2 X

w

oro = 2m- (1-M- )r-2 X

A-E*&J) («-r )+ +a-E 64-)r )-

+ B-E 62- \f,r )-

+ B-E 6^J)(f-r)

+СЛ:Г)«Г)+ +MNENffr) _

V0EJnE4N«) +

+C-NE^N"«)+ +MnNEf2N)(fNr)

+A-E4 « r)+ +B-E3J % r)+ ЛЕ4%Г) .

'A-E^« r) + "

+A- E- % r)+

+B-^fj r)+

+BTEZf) , 'ЛЛа/У

+ A- Е-«^ +В-Е3\fr)+

+B- E-f

(12)

cosnOe

sinnOe

cosnOe

cosnOe

sinnOe

где

E- =

n2 + n 1

f2 r Л

i« r)-« г¥^(«] r),

J

E{*) = n[(n + 1)гП-)(f-r)+ frY-lfr )J,

E-) = -21 _

+а

- n-1 \I~ -

f f \ 2 ^ 2 , , У- ' 2 2 n + n+—--a. r

2

i

y--a r)

r +

J

rY-s % r)

e2^' ) = -[f-rY--) (f-r)-(n + 1)Y--) (f-r )J,

E-) =

n ^+

r f2r2Л

2 2

a, r---—

j2

J

E If > = n[(n + 1)y!(- ) (a-r)- a JrYnl-l' (a-r )J, ) =

f

E(-) =

42 _

n2 + n - ^ -

f, 2r Л

Y---) (f} r )+ f rH% (f r ),

J

+

+

2

> = а)-пУ^ )(а,г )\

1 п-1 V 1 (к) = _„у (к)

Еукп = -пу

Л52 П1п

Е(к ) = -пУ

(к)

(Р/), (а/),

Е&) Чп^М-Р/УЙ'М! к = 1,2,3,4, где

у (V) = - , у(2■) = N ,

п п? п п'

у (3 к) = н (1) У (4 к) = Н (2)

и и ' и п '

Построение формального решения не встречает принципиальных затруднений, но исследование такого решения требует огромного количества вычислений. Задачи сводятся к решению неоднородных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами.

[С]{д}={р}, (13)

где {д} - вектор-столбец, содержащий произвольные постоянные; - вектор-столбец внешних нагрузок; [С] - квадратная матрица, элементы которой выражаются через функции Бесселя и Ханкеля. Уравнение (13) решается методом Гаусса с выделением главного элемента. В работе перемещения и напряжения сводятся в безразмерных видах:

ст.

ик =

г ар

ив, =

г ар

ст =

гг,

Ос

ст

ст в =

ст

в • ст0 =- Др2Рл.

В случае, когда Е1=Е2...=Е^ p1=p2...=pN и у1=у2..получаем отверстия (r=R), находящиеся в безгранично упругой среде (аш — ) = 0, Ьш — ) = 0). Граница свободна от напряжений, т.е. жидкость отсутствует. В этом случае окружное напряжение на поверхности полости сводится к следую-

щему:

°ввЫ (R,в/) = -з4 РN'ДыР, Ц1 - к"!^

да

*>(-1)п еп Н(1)пМ)ГпЫ соъпве

(14)

где

ТnNМоЛН-ЛаА^(аА)+ОХРА)\-1

О (Р В ) = @пМ (РNRN ) УпМ \РМВМ )

где

Опм(РЛ) = (п2 - 1)РЛН(1)п-1 )-- (п2 - п+1 р2 В2) н,1} (Р^ );

ОХРА)=(п3 - п+)-

1 с2

-(п2 + п--Р %)Р„%2Н\(р^В^), к^ = .

4

С2

Теперь рассмотрим некоторые предельные случаи.

При г . 0 :

Н1"2'«! =± | 'П*- - iÍ 2 ]+Ф М

п

НЦ«2)(-)

2

-) - =( 2 ){(п-1)!+п!-2 + 0(-41

и г .да:

нтх(2)=

2

п-

1/2

Ы (к- - п /4 )

использованы асимптотические формулы Ханкеля 1-го и 2-го рода [14]. Если в выражении (14) Ъ стремится к бесконечности, то можно воспользоваться асимптотическими разложениями функции Ханкеля для больших значений аргумента [10] (а - конечное):

11т2.да СТ'вв

1-1 к2

>Г%ГпЫ сомве-'— .(15)

Это выражение полностью совпадает с выражениями, полученными в работе [10] для плоской падающей волны. Если волновое число стремится к нулю, тогда предельный процесс описывает статическое решение для длинных волн. Этот предельный процесс позволяет нам использовать аппроксимирующие выражения для функций Ханкеля при малых значениях аргумента (Ъ - конечна):

11ПОо СТвв

'Л

1 + (^ )2 + !сов ^ Z

В,

* DK,

(16)

где DK = > (-1)т-2(-^)т-2(т - 1)соБ тв.

т=2 ^

Это решение точно совпадает с решением статической задачи, полученным в работе [16]. Если в цилиндрической полости содержать идеальную жидкость, тогда кольцевые напряжения примут вид:

2 -1)-

№

\

4

+

(

+[

-Ш (^ ("

V ^ п (п +1) - 2 Р2 В2 К В) Нп ) +

Л 1

(п - п2 - п) -1 nрNR2]РNRIn м Н^РВ+

4

е

и

и

г=В

-г—

(

+

1

V

7

Клы у

П3 -п+-фЯ \aRin-1 ая Нп (фя)+

При а1 Я ^ 0 получается решения статической задачи

(

1

Л

72-1у

уЛи у

{1-п2 )а0фЯ%-1 (аЯ) Н-ф)}«* п0е-

о =-

¿0

1

¿0+иий

1-4,

1 2X0 (1-у)

¿0 +и

Л

-(2-у) сок20

где

7 2 = 2 (1 - VN ) = Ф2_. „ = Р 1 - 2^ а РN

В предельных процессах выражения (15) и (16) описываются физическими результатами, приведенными в таблице.

Сведения о предельных процессах

Случай 1

а - произвольная

Случай 2

ато°о

z - конечно

Случай 3

а ^ 0

Случай 4

ВДшо00 I

У^да г=я '

Нш^Шо^

а - конечно

Динамическое решение для плоской волны.

Статическое решение, линейный источник волн расширения_

Статическое решение, напряженное состояния чисто сдвига._

Статическая задача о плоском деформированном состоянии

00 N

Коэффициент концентрации напряжения определяется следующими формулами

О

где о0в)= ' лФ0 М а2 [Н2и)яфц((а г) +(1-£2) Но(1)(а г )] e"ifflt.

Если учитываем жидкость, тогда с помощью (2), (3) и (12) можно определять соот-

О

О

( р )

(17)

ветствующие напряжения О

ггN и О00N

Числовые результаты

Для данных падающих волы напряжения и смещения определяются рядами, описываемыми выражениями (10)-(14) в случае жесткого контакта. Вычисления были выполнены на компьютерном программном комплексе "МаЙаЬ", ряды вычислены с точностью до 10-8.

Все выражения для напряжений и смещений имеют вид:

' {м:-у)

(Я +'Im)е= {я2 + 1Ш2)1'2е -{Ш-у>. (18) Как видно, решение поставленной задачи выражается через специальные функции Бесселя и Ханкеля 1-го и 2-го рода. С увеличением их аргумента ряды (10)-(14) сходятся. Поэтому, на основе численных экспериментов установлено, что учет 5-6 членов рядов достигла точности 10-6 - 108.

А = 0,048; ф = 0,05; а = 0,1.

Для исследования концентрации напряжений на свободной поверхности воспользуется абсолютные значения комплексной величины и соотношения (15) и (16). Ком-

плексная функция зависит от волнового числа а, угла 9 расстояния г , коэффициента Пуассона, модулей Юнга, плотностей, геометрических параметров Я и 7.

Если все характеристики (рис. 1) механической системы одинаковы (Е1=Е2= . Еп; р1 = Р2 =. . .= Рп ; V! = У2 = Уз =... = Уп), тогда рассматривается задача взаимодействия цилиндрических волн с цилиндрическими полостями. На рис. 2 приведена эпюра коэффициента

концентрации напряжения О00

висимости от 9 при

А = 0,048 ; ф = 0,05 ;

г= я в за-

г = ЯN

7

а = 0,1; V = 0.25; — = 3.0;

Я

30, 50, аЯ = 0.1.

Рис. 2. Влияние близости источника на-

пряжении

в зависимости

0(аЯ = 0,1)

Из рис. 2 видно, что влияние близости источника заключается в перемещении максимального значения к точке, где прямая, проведенная из источника, касается границы полости.

+

г = Я

ж

г = Я

от

Для коэффициентов концентрации напряжений будем использовать абсолютное значение комплексной величины (18).

На рис. 3 изображено изменение

*

О00 г=в зависимости от волнового числа

2

при различных значениях — = 6.0; 12; 20, коЯ

торые быстро стремятся к решению для плоской волны, когда аК У 0.16. Это означает, что, когда источник находится на расстоянии

пяти радиусов от полости, высокочастотный

*

характер изменения О дд можно аппроксимировать решением для плоской волны.

Далее все значения приближаются к одной и той же асимптоте. Наибольшее различие между решением для плоской волны (2 .да) и рассматриваемым решением имеется в интервале 0 < аЯ < 0.22.

Рис. 4. Значение О

вв

в зависимости

от

аЯ {в = л)

Рис. 3. |О0в| в зависимости от аЯ

(волновой число) при в = 900; А = 0,048; а = 0,1; / = 0,5

Легко видеть, что когда аЯ . 0, динамическое решение для случая плоской волны

приводится к статическому значению:

*

(V = 0.25,0 = л/2), т.е. Овв =2.67.

Аналогичный, но более резко выражен*

ный, характер изменения отмечен для О дд

при {в = л) (рис. 4). Когда аЯ > 1.0, решение для динамического источника при значе-2

ниях — = 5.0; 10; 20 снова сводится к реше-Я

нию для плоской волны.

В случае Ъ / К = 2 (рис. 3) кривая динамической концентрации отличается от статической до 15 %.

В случае аЯ = 2.0 результаты статического и динамического напряженного состояния отличаются коренным образом при близких расстояниях источника (Ъ / К = 2). При

>50 воздействие цилиндрического источника раскладывается как плоская волна, т.е. можно не учитывать радиус кривизны волны.

Аналогичные результаты получены для цилиндрической полости с идеальной жидкостью. Результаты расчетов изображены на рис. 5. Из рисунка видно, что значения напряжений сильно зависят от параметра

у = —— . Кроме того, имеет место резонанс-Ср2 ное явление.

у=3.0—

I

у=1.0 1 (

Рис. 5. Зависимость |Овв| от осИЯ (Волновое число)

0

1.0

1.5

Выводы

1. Задача дифракции гармонических волн в цилиндрическом теле решается в потенциалах перемещений. Потенциалы перемещений определяются из решений уравнения Гельмгольца. Произвольные постоянные определяются из граничных условий, которые ставятся между телами. В результате поставленная задача сводится к системе неоднородных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами, которые решаются методом Гаусса с выделением главного элемента.

2. Контурные напряжения оее на свободной поверхности цилиндрических тел достигают своего максимального значения в

Q =

п

— - при воздействии поперечных волн

п

— - при воздействии продольных волн

Контурные напряжения оее при воздействии поперечных гармонических волн на 1520 % больше, чем при воздействии продольных волн.

3. Когда источник гармонических волн находится на расстоянии пяти радиусов (2 > 5Я) от цилиндрического тела, высокочастотный характер изменения контурных напряжений оее, воздействующих на внутреннюю свободную поверхность, хорошо аппроксимировать решением для плоской (2 .да) волны. Далее все значения приближаются к одной и той же асимптоте.

4. Числовые результаты показывают, что динамические коэффициенты концентрации напряжений около цилиндрических тел зависят от расстояния между источником и телом, волнового числа для цилиндра и среды, физико-механических параметров среды и тела.

Список литературы

1. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Ди-

фракция упругих волн. Киев: Наукова думка, 1978. 307 с.

2. Сафаров И.И., Умаров А.О. Воздействие

продольных и поперечных волн на цилиндрические слои с жидкостью // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2014. Вып. 3(26). С. 69-75.

3. Сафаров И.И., АхмедовМ.Ш., Умаров А.О.

Динамические напряжения и смешения вблизи цилиндрической подкрепленной полости от плоской гармонической волны // Ежемесячный научный журнал "Prospero" (Новосибирск) 2014. № 3. С.57-61.

4. Собиров М.И. Задачи взаимодействия уп-

ругих волн с цилиндрическими сооружениями, находящимися в деформируемой среде: автореф. дис.... канд. техн. наук. Ташкент. 1993. 19 с.

5. Стрельчук Н.А., Славин О.К., Шапошников

В.Н. Исследование динамического напряженного состояния тоннельных обделок при воздействии взрывных волн // Известия вузов: Строительство архитек-тура. № 9. 1971. С. 129-136.

6. Рашидов Т.Р., Хожиматов Г.Х., Мардонов

Б.М. Колебания сооружений взаимодействующих с грунтом. Ташкент: Фан, 1975.174 с.

7. Рашидов Т.Р., Сагдиев Х. и др. О двух ос-

новных методах изучения сейсмо-напряженного состояния подземных сооружений при действии сейсмических волн. Ташкент: ДАН, 1989. № 6. С.13-17.

8. Мубораков Я.Н. Сейсмодинамика подзем-

ных сооружений типа оболочек. Ташкент: Фан, 1987. 192 с.

9. Рашидов Т.Р. Динамическая теория сейс-

мостойкости сложных систем подземных сооружений. Ташкент: Фан, 1973. 182 с.

10. Рашидов Т.Р., Дорман И.Я., Ишанходжа-ев А.А. Сейсмостойкость тоннельных конструкций Метрополитенов. М.: Транспорт. 1975. 120 с.

11. Мубораков Я.Н., Сафаров И.И. и др. Об основных методах изучения напряженно-деформированного состояния подземных цилиндрических сооружений при взаимодействии с упругими волнами // Прочность инженерных сооружений при сейсмических и импульсных воздействиях. Ташкент: Фан, 1990.

12. Мубораков Я.Н., Сафаров И.И. Оценка сейсмонапряженного состояния подземных сооружений методом волновой динамики // Сейсмодинамика зданий и сооружений. Ташкент: Фан, 1988. С. 114-122.

13. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. 277 с.

14. Сафаров И.И. Колебания и волны в дисси-пативно недородных средах и конструкциях. Ташкент. Фан, 1992. 250 с.

15. Мун Пао. Влияние кривизны сферических волн на концентрацию динамических напряжений // Прикладная механика. Сер^. Т. 89, № 2. 1962. 93 с.

16. Мау Менте. Динамические напряжения и смещение вблизи цилиндрической поверхности разрыва от плоской гармонической волны сдвига // Прикладная меха-

ника / пер. с англ. Сер.Е. Т.30, № 3. 1963. С. 117-126.

17. Ильюшин А.А., Рашидов Т.Р. и др. Действие сейсмической волны на подземные трубопроводы // Материалы междунар. науч. конф. "Трение, износ и смазочные материалы". Т.3, ч.2. Ташкент, 1985. С.128-132.

18. Горшков А.Г. Нестационарное взаимодействие пластин и оболочек со сплошными средами // Известия РАН. Механика твердого тела, 1981. № 4. С.177-189.

About influence of source proximity dilatational waves on dynamic stresses of the cylinder with liquid

I. I. Safarov, M. X. Teshaev, Z. I. Boltaev

Bukhara Technological Institute of Engineering

The Republic of Uzbekistan, 105017, Bukhara, K. Murtazoyev st., 15

safarov54@mail.ru; (+99893) 625-08-15

The article considers an infinitely long circular cylinder consisting generally of co-viscoelastic finite number of coaxial layers, surrounded by a deformable medium. Dynamic stress-deformed state of piecewise-homogeneous cylindrical layer of the sine wave was invested. Numerical results of voltage were obtained, depending on the wavelength.

Key words: circular cylinder; the layer wavelength voltage shells; planar deformation.